Задачи на смеси и сплавы



Скачать 204.97 Kb.
Дата12.07.2016
Размер204.97 Kb.
ТипРеферат
Задачи на смеси и сплавы.

Введение новых образовательных стандартов требует не только знаний у учащихся, но и умение их применять. В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включая в работу с учащимися соответствующие задания на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций. В процессе подготовки приходится искать различные пути решения таких типов задач, как задачи «на движение», «на работу», «процентное содержание», «смеси и сплавы»...

Хочу поделиться уже опробованными приемами решения задач на «смеси и сплавы». По отзывам школьников, рассматриваемая модель соответствует их представлениям о процессе сплавливания, выпаривания и др., позволяет компактно и наглядно представить эти процессы, упрощает составление уравнения. Он появился и нашел свое применение после знакомства с различной литературой.

В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею.



Рассмотрим задачи на смеси и на так называемый «принцип сухого вещества», которые можно решать с помощью «обратной пропорциональности».

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорции.

Задачи на смеси.

1. У хозяйки имеется 50 г 9%-го уксуса. Сколько нужно добавить воды, чтобы получить уксус 3%-й концентрации?Ответ укажите в граммах.

Решение.

Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив за х массу воды, которую нужно добавить, а за массу полученного 3%-ного уксуса. Запись будет иметь следующий вид:

масса процентная концентрация

Зависимость между массой и процентной концентрацией обратно пропорциональная, так как если уменьшить концентрацию уксуса в несколько раз, то масса во столько же раз увеличится. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками. Запишем пропорцию:



; ; ; .

Ответ: 100 граммов.



2. У хозяйки было некоторое количество 70%-ной уксусной кислоты. После того, как она добавила в кислоту 3200 г воды, у неё получился 6%-ный уксус. Сколько граммов 70%-ной уксусной кислоты было первоначально у хозяйки?

Решение.

Пусть х граммов 70%-ной уксусной кислоты было первоначально, а



г–масса полученного 6%-ного уксуса. Условие задачи имеет следующий вид: масса процентная концентрация

Запишем пропорцию:



; ;

Ответ: 300 граммов.



3. В лаборатории изготовили 1 кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200 г воды. Определите процентное содержание соли в новом растворе.

Решение.

Пусть х процентное содержание соли в новом растворе.



Узнаем массу нового раствора после испарения воды: .

Условие задачи имеет следующий вид: масса процентная концентрация

Запишем пропорцию:

; ; ;

Ответ: 20% соли в новом растворе.



4. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80% раствор уксусной кислоты). Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?

Решение.

Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты).

Условие задачи имеет следующий вид:

объём процентная концентрация



Запишем пропорцию:



; ; ;

Ответ: 125 миллилитров.



5. Имеется 10 литров 60%-ного раствора соли. Сколько литров воды нужно долить, чтобы получить 40%-ный раствор соли?

Решение.



; ; ;

Ответ: 5 литров.



6. Имеется 1 грамм 69%-ной уксусной кислоты. Сколько граммов воды нужно долить, чтобы получить 3%-ный раствор уксуса?

Решение.



; ; ;

Ответ: 22 грамма.



7. У хозяйки есть 5 кг сахарного сиропа 50% концентрации. Сколько литров кипячёной воды необходимо добавить для получения сиропа 40% концентрации?

Решение.



; ; ;

Ответ: 1,25 литров.



8. Кислый маринад для консервирования овощей содержит 24% столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80% раствор уксусной кислоты). Сколько процентов уксусной эссенции должно содержаться в аналогичном маринаде?

Решение.



; ; ;

Ответ: 3% уксусной эссенции.



9. По рецепту засолки огурцов на каждые 10 л рассола необходимо добавить 1 л столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80% раствор уксусной кислоты). Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для приготовления 5 л рассола?

Решение.



; ; ;

125 мл для 10 л рассола, то для 5 л рассола

Ответ: 62,5 миллилитров.

10. Морская вода содержит 4% (по массе) соли. Сколько килограммов чистой воды надо выпарить из 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 12%?

Решение.

х кг чистой воды нужно выпарить.



; ; ;

Ответ: 20 кг чистой воды нужно выпарить.



11. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

Решение.

х кг пресной воды нужно прибавить.



; ; ;

Ответ: 60 кг пресной воды.



Задачи на так называемый «принцип сухого вещества».

1. Свежие абрикосы содержат 80% воды по массе, а курага (сухие абрикосы)- 12% воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

Решение.

Будем рассматривать абрикосы как смесь некого «сухого вещества» и воды. При хранении и усушке масса «сухого вещества» не изменяется, поэтому найдём его процентную концентрацию в свежих абрикосах и в кураге:



сухого вещества в свежих абрикосах.

Составим таблицу: масса процентная концентрация сухого вещества

Запишем пропорцию:



; ; ;

Ответ: 44 кг свежих абрикосов.



2. Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушёных абрикосах 25% воды?

Решение.

Узнаем концентрацию абрикос после сушки:



х кг масса свежих абрикос, то кураги 0,4х кг.

Находим процентную концентрацию «сухого вещества»:

В свежих абрикосах «сухое вещество» возьмём за, а в кураге вычислим

Составим таблицу: масса процентная концентрация сухого вещества

Запишем пропорцию и найдём :



;

30% сухого вещества в свежих абрикосах, тогда воды 100-30=70%

Ответ: 70% воды содержат свежие абрикосы.

3. В свежих яблоках 80% воды, а в сушёных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

Решение.

Находим «сухое вещество» в свежих и сушёных яблоках:



«сухого вещества» в свежих яблоках.

«сухого вещества» в сушёных.

Пусть .

Составим таблицу:

Запишем пропорцию и найдём :

; ;

Так как масса свежих яблок была , а сушёных стала узнаем, на сколько же килограммов уменьшилась масса при сушке:



, а

Ответ: на 75%.



4. Свежесрезанные грибы содержат 90% воды. После длительного хранения 120 кг грибов на складе содержание воды в них уменьшилось до 84%. Какой стала масса грибов после хранения?

Решение.

.



; ;

Ответ: 75 кг стала масса после хранения.



5. Свежая клюква состоит на 99% из воды. Заготовители собрали 500 кг клюквы и сдали её на склад. После длительного хранения на складе содержание воды в клюкве уменьшилось до 96%. Сколько килограммов весит клюква после хранения?

Решение.

сухого вещества в клюкве.

сухого вещества стало в клюкве после длительного хранения.



;

Ответ: 125 кг.



6. Зёрна свежей кукурузы содержат 40% влаги, а кукурузные хлопья – 8% влаги. Сколько килограммов свежей кукурузы нужно переработать, чтобы получить 15 кг кукурузных хлопьев?

Решение.

сухого вещества в свежей кукурузе.

сухого вещества в кукурузных хлопьях.



;

Ответ: 23 кг.



7. Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Ответ:2,5 кг.



Задачи на смеси и сплавы с помощью таблиц.

Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов.



1. Сплавили 2 кг цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

Изобразим каждый сплав в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). На модели отобразим характер операции: сплавление – знак «+», после двух прямоугольников поставим знак «=», показывая, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух.

Заполняем получившиеся прямоугольники в соответствие с условием задачи:

1) Указываем компоненты сплава, сохраняя порядок соответствующих букв.

2) Вписываем процентное содержание соответствующего компонента. Процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.

3) Перед прямоугольником записываем массу (или объём) соответствующего сплава (или компонента).

Представим этот процесс в виде следующей схемы:



Решение.

Пусть процентная концентрация меди в получившемся сплаве х. Найдём процентное содержание второго компонента. Дополним схему этими выражениями:



Так как по меди известны все компоненты, то составим уравнение:











Ответ: 65%.



2.Смешали 300 г 60%-ного раствора серной кислоты и 200 г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?

Решение.

Пусть х% серной кислоты в получившемся растворе.

Составим схему:

Составим уравнение:







Ответ: 68%.



3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

масса первого раствора, масса второго раствора, а масса получившегося раствора.

Составим уравнение:





Ответ: 2.



4. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?

Решение.

х – масса первого сплава, у – масса второго сплава, масса нового сплава.



Составим уравнение:







Ответ: 0,5.



5. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла второго из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Решение.

металла первого сорта.

Составим уравнение:







Ответ: 100.



6. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Решение.

х кг – меди нужно добавить, а кг масса нового сплава.



Составим уравнение:







Ответ: 13,5 кг.



7. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов первого раствора было взято?

Решение.

х г – было взято первого раствора, а г – второго раствора.



Составим уравнение:







Ответ: 150.



8. В 1 кг сплава меди и олова содержится 45% олова. Сколько граммов меди надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание олова в новом сплаве стало равным 15%?

Решение.

х г – меди надо добавить, а масса нового сплава.



Составим уравнение по меди:







Ответ: 2000 г.



9. Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок бронзы, содержащий 1/12 часть олова, сплавляется с другим куском, содержащим 1/10 часть олова. Полученный сплав содержит 1/11 часть олова. Найдите вес второго куска, если вес первого равен 84 кг.

Решение.

х кг – вес второго куска.



Составим уравнение: х=







Ответ: 70 кг.



10. У ювелира два одинаковых по массе слитка, в одном из которых 36% золота, а в другом 64%. Сколько процентов золота содержится в сплаве, полученном из этих слитков?

Решение.

х – масса слитка, а у% – золота в полученном сплаве.



Составим уравнение:





Ответ: 50%.



11. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?

Решение.

Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном новом сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х кг, и, внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:



Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.



Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:

1)если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк – ;

2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк – .

Уравнение в этом случае имеет вид: Это уравнение равносильно предыдущему.

Ответ: х=9кг.

12.Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано?

Решение.

Составим 1схему:



Составим 1 уравнение по кислоте: 0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3).

Составим 2 схему:

Составим 2 уравнение по кислоте: 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).

Для решения задачи получаем систему уравнений:

Решаем систему уравнений:



Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.



13. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?

Решение.

Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты) необходимо добавить воду, тогда схема для решения задачи имеет вид:



Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака равенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение



Значит, для приготовления 1000мл маринада понадобится 125мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты).

вода

вода


вода

укс.кисл


укс.кисл

80%


100%

10%


х мл

х г

(1000-х) мл

1000 мл

+

=



Ответ: 125мл.

14.Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

Решение.

При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Схема для решения такой задачи имеет вид:



Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:



0,2х=8,8

х=44.

Ответ: 44кг.



Задачи для самостоятельного решения:

1. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Ответ.: 10 кг.

2. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?

Ответ: 3 л первого и 1 л второго.

3. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?



Ответ: Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.

4. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды  нужно прибавить к к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?



Ответ: 60 кг      

5. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?

Ответ: 1,5 кг      

6. Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10-ный раствор?

Ответ: 441 г     

7.Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлоизной массы, содержащей 85% воды, чтобы получитьмассу с содержанием 75% воды?

Ответ: 200 кг    

8. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Ответ: 70 кг 

9. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Ответ: 13,5 кг    

10. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Ответ: 150 г и 450 г

11. В сосуд, содержащий 180 г 70% -го водного раствора уксуса добавили 320 г воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Ответ: 25,2%.



12. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г 70% -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?

Ответ: 1,6 кг воды.



13.Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20% раствора этой же кислоты. Найти концентрацию соляной кислоты в получившейся смеси.

Ответ: 16%



14. Смешали 8кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

Ответ: 12%



15.Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором - 12:5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

Ответ: 268 кг золота и 108 кг меди.



16. Одна смесь содержит вещества A и B в отношении 1:2, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 2:3. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 17:27?

Ответ: На 9 частей первой смеси нужно взять 35 частей второй смеси.



17. Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Ответ: 200г и 600г 



18. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К куску бронзы 500кг содержащему 72% меди добавили некоторое количество бронзы, содержащей 80% меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите сколько добавили бронзы.

Ответ:300кг.



19. В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в растворе?

Ответ:20%.



20.При выплавке стали из чугуна, выжигается углерод. Содержание углерода в чугуне 4%. Сколько тонн углерода нужно выжечь из 245т чугуна, чтобы получилась сталь с содержанием углерода 2%?

Ответ:5т.



21.Имеется 600г сплава золота и серебра содержащего золото и серебро в отношении 1:5 соответственно. Сколько грамм золота необходимо добавить к этому сплаву чтобы получить новый сплав содержащий 50% серебра.

Ответ:400г.



22.После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой — 20 г безводного йодистого калия, получилось 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого на 15% больше концентрации второго.

Ответ:40% и 25%.



23.Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. После того как оба слитка сплавили, получился слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в каждом слитке, если в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.

Ответ:20% и 60%



24. В сосуде находится 10%-ный раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде?

Ответ:8%.



25. Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый слиток массой 150 кг содержит 40% олова, а второй массой 250 кг — 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково. Сплавив первый и второй слитки, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном сплаве?

Ответ:170 кг.



27. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза меньше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.

Ответ: 280 кг.



27. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет 14% веса меди. Сколько серебра в данном сплаве?

Ответ:0,25 кг.



28. Имелись два разных сплава меди, причем процент содержания меди в первом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом ее 6 кг, а во втором — вдвое больше.

Ответ:20% и 60%.



29. Два раствора, первый из которых содержал 800 г, а второй 600 г безводной серной кислоты, смешали и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определите массу первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем во втором.

Ответ:4кг и 6 кг.



30. Имеется стальной лом двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Ответ:40т и 100т.



31. Имеется сплав серебра с медью. Вычислите вес и пробу этого сплава, если его сплав с 3 кг чистого серебра есть сплав 900-й пробы, а его сплав с 2 кг сплава 900-й пробы есть сплав 840 пробы. (Проба благородного металла, равная например, 760 означает, что масса этого благородного металла в сплаве составляет 0,760 от массы всего сплава.)

Ответ: Вес первоначального сплава 3кг его проба 0,8.



32. Имеются три слитка. Первый весит 5 кг, второй 3 кг и каждый из этих слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите вес третьего слитка и процент содержания меди в нем.

Ответ:10кг; 69%



33. Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отношении 2:3, другой — в отношении 3 : 7. В каком количестве надо взять эти сплавы, чтобы получить 12 кг нового сплава, в котором медь и олово были бы в отношении 3:5?

Ответ: 9кг и 3кг.



34. 40% раствор серной кислоты разбавили 60% раствором, после чего добавили 5кг воды и получили раствор 20% концентрации. Если бы вместо 5кг воды добавили 5 кг 80% раствора серной кислоты, то получился бы 70% раствор. Сколько было 40% и 60% раствора серной кислоты?

Ответ: 1кг 40% и 2кг 60%.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Е.А.Семенко и др.Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2005.Ч.1. – 156с

2. Е.А.Семенко и др.Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ – 2008 по математике.. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2008.Ч.2. – 103с

3. Е.А.Семенко и др.Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ – 2008 по математике.. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2006.Ч 3. – 121с

4. Хоркина Н.А, Как помочь ученикам решать логарифмические уравнения и неравенства. МПГУ

5. Д,Гущин Сборник заданий по алгебре для подготовки к ЕГЭ и конкурсным экзаменам. Пособие для учителей./Париж, СПб: Стетоскоп, ВВМ, 2008. – 114с

6.Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ.М.: Айрис – пресс,2004.-304с.
7.Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся /ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010. – 96с.

8. Математика в школе №№ 4,5 1998г.


9. 2. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. Москва «Просвещение» 1989.
10. Ткачук Лариса Андреевна, учитель математики МОУ лицея №4 г.Ейска Краснодарского края, Интернет ресурсы.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница