Учебно-методическое пособие по курсу «Экономико-математические методы и моделирование»



страница5/5
Дата06.06.2016
Размер0.92 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5

Пусть Xij - время участия i-го человека в выполнении j-го задания. Все величины Xij - неотрицательны, и, поскольку каждый человек должен быть полностью задействован, а каждое задание полностью выполнено, величина Xij должна удовлетворять следующим ограничениям:


X11 + X12 + … + X14 = 1,

----------------------

X41 + X42 + … + X44 = 1,

(5.1)


X11 + X21 + … + X41 = 1,

----------------------

X14 + X24 + … + X44 = 1,
При этих ограничениях минимизируется полное время
T = 1 X11 + 5 X12 + … + 8 X43 + 5 X44 . (5.2)
Таким образом, это задача линейного программирования транспортного типа. Поскольку задача транспортная, в ее оптимальном решении (целочисленном) четыре из величин Xij будут равны 1, а остальные - 0.
С другой стороны, в матрице времени размерностью 4 х 4 надо найти четыре элемента - по одному в каждой строке и каждом столбце, таких, чтобы сумма выбранных элементов была минимальной. Условие равенства Xij 0 или 1 в некоторых случаях необходимо, чтобы придать смысл формулировке задачи.

Задача может быть обобщена для матриц размерностью n n. Для каждой такой матрицы задача состоит в выборе n элементов - по одному в каждой строке и по одному в каждом столбце, таких, что их сумма минимальна.


Решение задачи о назначениях
с помощью табличного процессора EXCEL

Математическая модель задачи имеет вид:

  1. Минимизировать .

  2. Ограничения: Пусть xij=1, если i-м рабочим выполняется j-я работа, и xij=0, если i-м рабочим не выполняется j-я работа.

j[1,4]; i[1,4]; xij{0,1}
В ячейку Е7 введем целевую функцию, вычисляющую стоимость работ, а в ячейки A12:D12 и E8:E11 - формулы, задающие левые части ограничений:


После выполнения расчетов будет получено решение:


Задания:

Имеются n рабочих и m видов работ. Стоимость cij выполнения i-м рабочим j-й работы приведена в таблице, где рабочему соответствует строка, а работе - столбец.

Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был занят только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была бы минимальной.

1.




Виды работ. Стоимость их выполнения.

Рабочие


3

6

2

5

11




1

2

7

11

3




5

12

11

9

1




2

4

2

10

5

2.



Виды работ. Стоимость их выполнения.

Рабочие


8

6

2

5




5

2

9

8




3

8

1

9




1

4

2

3




3

7

10

5

3. Полевая топографическая экспедиция имеет в своем составе: строителей - 60 чел,. наблюдателей - 48 чел, нивелировщиков - 71 чел, топографов - 54 чел. Для постройки требуется 50 чел, для наблюдений - 63 чел, для нивелирования - 45 чел, для топографических работ - 75 чел. Производительность труда задана таблицей:




Постройка

Наблюдение

Нивелирование

Топограф. работы

Строители

2,0

1,0

1,2

1,1

Наблюдатели

1,2

1,7

1,5

1,3

Нивелировщики

1,4

1,5

1,7

1,4

Топографы

1,2

1,6

1,5

1,7

Распределить наличные трудовые ресурсы исполнителей по видам работ так, чтобы обеспечить максимальную производительность труда.

4. Ансамбль состоит из 5 музыкантов (М1, М2, М3, М4, М5), которые должны выучить репертуар, состоящий из 5 пьес (П1, П2, П3, П4, П5). Из-за разной подготовленности и квалификации на изучение этих пьес потребуется различное время. Распределить музыкантов так, чтобы все пьесы были выучены, каждый музыкант был задействован только на своей партии пьесы, а время изучения пьес было минимальным.







П1

П2

П3

П4

М1

2

4

6

7

М2

1

3

5

9

М3

3

5

2

1

М4

8

1

7

8

5. Хозяин владеет четырьмя верблюдами В1, В2, В3, В4, способными переносить грузы до 200 кг. Он заключил договора с четырьмя соседями, которым требуется еженедельно переносить грузы Г1, Г2, Г3, Г4 по 170 кг, 120 кг, 130 кг и 150 кг. Скорости передвижения верблюдов приведены в таблице:




Грузы

Верблюды

170

120

130

150

В1

10

11

11

10

В2

12

13

13

12

В3

9

15

14

9

В4

10

14

13

11

Спланировать перевозки так, чтобы минимизировать время перевозок. Каждый верблюд при этом может быть занят только на одной работе. Определить среднюю скорость всех верблюдов при оптимальной перевозке.

6. Авиакомпании требуется определить, сколько стюардесс следует принять на работу в течение шести месяцев при условии, что любая из них должна пройти предварительную подготовку. Потребности в количестве человеко-часов летного времени известны: в январе – 8000, в феврале – 9000, в марте – 8000, в апреле – 10000, в мае – 9000 и в июне – 12000.

Подготовка занимает один месяц, т.е. прием на работу должен хотя бы на один месяц опережать выход на работу. Обучаемая в течение месяца должна пройти 100 часовую практику, т.е. освобождается 100 человеко-часов за счет каждой обучаемой в течение месяца.

Каждая обученная стюардесса в течение месяца может иметь налет до 150 часов. В начале января авиакомпания уже имеет 60 подготовленных стюардесс. При этом ни одну из них не снимают с работы. Приблизительно 10% обучаемых стюардесс увольняются. Подготовленная стюардесса обходится авиакомпании в 800 рублей, а обучаемая – в 400 рублей в месяц.

Необходимо спланировать штат авиакомпании таким образом, чтобы минимизировать издержки за указанный период времени.

6. Аппроксимация экспериментальных данных

На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных зависимостей или задачей аппроксимации. Аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы φ(x) для установленной из опыта функциональной зависимости y=f(x). Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных.



Пример:

Имеются две наблюдаемые величины x и y. Значения этих наблюдаемых величин приведены в таблице:



Необходимо построить линейную модель y = mx+b, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения. Обычно m и b подбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов разностей между наблюдаемыми и теоретическими значениями зависимой переменной y, т.е. минимизировать

Z=(yi –mxi –b)2, где n – число наблюдений. (6.1)

Для решения этой задачи отведем под переменные m и b ячейки D3 и E3, соответственно, а в ячейку F3 введем минимизированную функцию.

=СУММКВРАЗН(B2:B7; E3+D3*A2:A7)

Функция СУММКВРАЗН вычисляет сумму квадратов разностей для элементов указанных массивов.

Теперь выберем команду Сервис, Поиск решения и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения. Отметим, что на переменные m и b ограничения не налагаются. В результате вычислений средство Поиск решений найдет: m=1,88571 и b=5,400.

Параметры m и b линейной модели y=mx+b можно определить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Функция НАКЛОН определяет коэффициент линейного тренда. Функция ОТРЕЗОК определяет точку пересечения линии линейного тренда с осью ординат.

Функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК вычисляются по следующим формулам:

(6.2)

В ячейках D2 и E2 найдены m и b, соответственно, по функциям:

= НАКЛОН(B2:B7; A2:A7)

= ОТРЕЗОК(B2:B7; A2:A7)


Коэффициенты m и b можно найти и другим способом: построить точечный график по диапазону ячеек A2:B7; затем выделить точки графика двойным щелчком и активизировать контекстное меню правой кнопкой мыши, выбрав команду Добавить линию тренда. В диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбрать параметр Линейная, а на вкладке Параметры установить флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппрокси мации(R2).

По коэффициенту корреляции можно судить о правомерности использования линейного уравнения регрессии. Чем он ближе к единице, тем более обосновано это указывает на линейную зависимость между наблюдаемыми величинами. Если коэффициент корреляции близок к –1, то это говорит об обратной зависимости между наблюдаемыми величинами.

Флажок Пересечение кривой с осью Y в точке устанавливается только в случае, если эта точка известна. Например, если этот флажок установлен и в его поле введен 0, это означает, что ищется модель y=mx.

На основе найденных коэффициентов уравнения регрессии можно определить теоретическое значение наблюдаемой величины y. Вычислим теоретическое значение y в ячейке C2 при x из A2 по формуле:

=$D$2*A2+$E$2.

Теоретическое значение у в фиксированной точке (например, в ячейке С2) можно определить с помощью функции ПРЕДСКАЗ:

=ПРЕДСКАЗ(A2; $B$2:$B$7; $A$2:$A$7).

Другой часто встречающейся на практике моделью, описывающей вид экспериментальных данных, является экспоненциальная модель, которая описывается уравнением y= bmx

Значения экспоненциального тренда можно предсказать с помощью функции РОСТ, а значения параметров экспоненциальной модели определяются с помощью функции ЛГРФПРИБЛ:

РОСТ (известные_значения_y; известные_значения_х; новые_значения_y; конст)

ЛГРФПРИБЛ (известные_значения_y; известные_значения_х; конст; статистика)

Кроме того, одномерную экспоненциальную модель можно построить графически. В таблице приведены результаты построения экспоненциального уравнения тренда для x 7, 8 и 9.



В диапазоне ячеек B8:B10 введена функция построения линейного тренда:

=ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B7; A2:A7; A8:A10)

В диапазон ячеек C2:C10 введена функция построения экспоненциального тренда:

=РОСТ(B2:B7; A2:A7; A2:A10)

Линейный и экспоненциальный тренды тесно связаны между собой. В диапазон ячеек D2:D10 введена функция:

=EXP(ТЕНДЕНЦИЯ(Ln(B2:B7); A2:A7; A2:A10))

Как видно из таблицы, значения в диапазонах C2:C10 и D2:D10 совпадают.

В диапазоны ячеек F2:G2 и F3:G3 введены функции:

= ЛИНЕЙН(B2:B7; A2:A7)

= ЛГРФПРИБЛ(B2:B7; A2:A7)

для определения параметров линейной и экспоненциальной моделей.

Квадрат коэффициента корреляции экспоненциальной модели равен 0,947 и меньше квадрата коэффициента корреляции линейной модели (=0,9923). Таким образом, в данном примере линейная модель более достоверно описывает зависимость между наблюдаемыми величинами.

Задания:

1. Построить линейную модель для двух наблюдаемых величин (например, объем реализованных фирмой автомобилей за указанное число недель).



Неделя

1

2

3

4

5

6

7

8

Кол-во машин

13

19

26

30

37

44

49

55

2. Найдите значение SQRT(2), имея три узла интерполяции:

X

1,69

1,96

2,25

Y

1,3

1,4

1,5


ЛИТЕРАТУРА:

  1. Б. Банди Основы линейного программирования.- М.: «Радио и связь» 1989 г., 176 с.

  2. А. Гарнаев Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. - СПб: «BHV» 1999г., 336 с.

  3. В. Гельман Решение математических задач средствами EXCEL: Практикум. СПб.: Питер, 2003. – 240 с.

  4. О. Гусева, Е. Гусев, Н. Миронова. Одна задача, два решения. М.: Информатика и образование, 2000, 96 с.

  5. Б. Курицкий Поиск оптимальных решений средствами EXCEL.- СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 1999.

  6. М. Пинегина Математические методы и модели в экономике. – М.: Издательство «Экзамен», 2002. – 128.


Средства обеспечения освоения дисциплины

  1. Ю. Губарь. Введение в математическое моделирование – http://www.intuit.ru

  2. Ю. Губарь. Введение в математическое программирование – http://www.intuit.ru

  3. А. Кудлаев Обучающе-аттестующее программное средство «Организация офиса» информационно-образовательного пространства в области геодезии, картографии, кадастра и наук о Земле. Регистрационное свидетельство НТЦ «Информрегистр» Министерства РФ по связи и информатизации №8416 2003 г.

  4. В. Пакулин Решение задач оптимизации управления с помощью MS Excel 2010 - http://www.intuit.ru/studies/courses/
    4751/1020/info

Каталог: posobiya
posobiya -> Право жить в согласии. Обзор книг серии «Детям о праве» П. Астахова
posobiya -> «Централизованная библиотечная система» межпоселенческая библиотека им. М. А. Ульянова сектор обслуживания читателей-детей
posobiya -> Любви все возрасты покорны. Диспут
posobiya -> «Дети святы и чисты…» Беседа о детских произведениях Антона Павловича Чехова
posobiya -> Указатель для детей и их родителей Омск 2008 Булатов Эрик Владимирович
posobiya -> Вам и не снилось: литературный вечер-знакомство с повестью Г. Щербаковой «Вам и не снилось» из цикла «Читаем вместе»
posobiya -> Программа «Откуда пошла славянская письменность» Цель
posobiya -> Тюкалинск, 2011 Читательское назначение
posobiya -> Чрезвычайные ситуации на химически опасных объектах с выбросом аварийно химически опасных веществ в окружающую природную среду методическая разработка для студентов всех специальностей дневной формы обучения Нижний Новгород 2009


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница