Учебно-методическое пособие по курсу «Экономико-математические методы и моделирование»



страница4/5
Дата06.06.2016
Размер0.92 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5

Трудоемкость подготовки специалистов I – й категории вдвое больше, чем специалистов II – й категории и втрое больше, чем специалистов III – й категории. Если бы готовили только специалистов I – й категории, то их выпуск составил бы 500. Анализ условий трудоустройства показывает, что минимальный спрос на специалистов составляет 200, 150 и 350 человек категорий I, II и III, соответственно. Однако, соотношение выпуска специалистов категорий I, II и III должно быть равно 3:2:5. Прибыль, приносимая трудоустроенными специалистами, составляет 300, 200, 500 рублей, соответственно. Определить прибыль, удовлетворяющую заданным условиям.

  1. При изготовлении бланков для тестирования можно использовать два вида краски: желтую (Ж) и розовую (Р). При расчете на 1 тысячу бланков следует учитывать:

  • производство одного бланка Р обходится в 30 копеек, а бланка Ж – 36 копеек. На производство 1 тысячи бланков выделяется не более 330 рублей;

  • производство одного бланка Р длится 2 секунды, Ж- 2,2 секунды. Для обеспечения непрерывности процесса тестирования на изготовление одной тысячи бланков должно тратиться не более 35 минут времени работы печатного станка;

  • при обработке бланков следует учитывать, что качество сканирования бланка Р по 10-ти бальной шкале можно оценить на 6, а бланка Ж - на 8. Это сказывается на процессе обработки: верификаторам за обработку одного бланка Р платят 60 копеек, а бланка Ж – 50 копеек. Суммарно на обработку одной тысячи бланков выделяется не более 560 рублей. Следует учитывать, что обработка одной тысячи бланков Р занимает в среднем 2 часа 30 минут, а бланков Ж – 2 часа 15 минут. Для обеспечения своевременности на обработку одной тысячи бланков должно уходить не более 2 часов 20 минут.

Определить, сколько бланков каждого цвета выгодно производить фирме, чтобы снизить издержки на их производство и обработку.

  1. Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV, требования к содержанию которых в сплавах приведены в таблице:

Сплав

Требования к содержанию металла


А

Не более 80% металла I

Не более 30% металла II



В

От 40 до 60% металлаII

Не менее 30% металла III



Не более 70% металла IV

Характеристики и запасы руд, используемых для производства металлов I, II, III и IV приведены в таблице:

Руда

Запас, т

Состав, %

Цена, т

I

II

III

IV

Другие компоненты

1

1000

20

10

30

30

10

30

2

2000

10

20

30

30

10

40

3

3000

5

5

70

20

0

50

Цена 1 т. сплава А равна 200 рублей, а 1 т. сплава В – 210 рублей. Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.

  1. Компания импортирует красные вина трех марок:

Марка
красного
вина

Цена
одной
бутылки

Количество импортируемых бутылок
в год

Французское бургундское


1,08

100000

Французское бордо

0,96

130000

Испанское красное

0,50

150000

Красные вина смешиваются для получения столовых вин трех марок:

Марка
столового
вина

Содержание
красного вина, %


Максимальное количество, продаваемых бутылок в год

Цена одной бутылки

Не менее

Не более

Божеле

30(бургундское)

50 (испанское)

200000

1,96

Нюи-Сент-Жорж

30(бургундское)

30 (испанское)

Не ограничено

2,46

Сент-Эмильон

60(бордо)

30 (испанское)

180000

2,08

Как организовать производство, чтобы прибыль была максимальной?

3. Основные понятия теории игр

Каждая игра характеризуется:



  • количеством игроков;

  • возможным для каждого из игроков набором действий, называемых стратегией;

  • функциями выигрыша (платежа), отражающими степень достижения интересов каждого игрока;

  • результатом игры, к которому приводят выбранные игроками стратегии.

Один из способов описания игры состоит в том, что рассматриваются все возможные стратегии игроков и определяются платежи, соответствующие любой возможной комбинации стратегий игроков. Описанная таким образом игра называется игрой в нормальной форме.

Пример

Фермер, имеющий ограниченный участок земельных угодий, может засадить его тремя различными культурами: А1, А2, А3. Урожай этих культур зависит главным образом от погоды, которая может находиться также в трех различных состояниях: B1, B2, B3.

Фермер имеет информацию об урожайности этих культур при трех различных состояниях погоды, которая отражена в матрице H`:


Виды культур

Возможные состояния погоды

Цены С

Засуха - В1

Нормальная - В2

Дождливая - В3

Рожь - А1

20

5

15

2

Пшеница - А2

7,5

12,5

5

4

Овес - А3

0

7,5

10

8

||h`ij|| - элемент матрицы, который показывает, какое количество центнеров культуры i (i=1..3) получит фермер с одного гектара земли, в том случае, если реализуется состояние природы j (j=1,2,3);

Ci – рыночная цена одного центнера культуры Ai.

Тогда матрица Н, характеризующая возможные доходы, которые может получить фермер от каждой из культур при различном состоянии погоды, будет:


Виды культур

Возможные состояния погоды

Засуха - В1

Нормальная - В2

Дождливая - В3

Рожь - А1

40

10

30

Пшеница – А2

30

50

20

Овес - А3

0

60

80

||h`ij|| - элемент матрицы, который показывает, какой доход может получит фермер с одного гектара земли, если он посеет культуру i (i=1..3), а погода будет находится в состоянии j (j=1,2,3);

Необходимо определить пропорции, в которых фермер должен засеять имеющийся участок земли, чтобы максимизировать свой доход вне зависимости от того, какие погодные условия будут реализованы.

Данная задача может быть сведена к антагонистической игре. В данном случае в качестве первого игрока выступает фермер, а в качестве второго природа.

Антагонистические игры и их свойства

Игра двух лиц называется антагонистической, если один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой.

Наличие этого свойства дает возможность рассматривать не две матрицы, а одну матрицу, в которой каждый из элементов характеризует выигрыши первого игрока и проигрыши второго при выборе ими соответствующих стратегий.

Процесс разыгрывания конечной антагонистической игры состоит в том, что оба игрока независимо друг от друга выбирают свои стратегии, которые определяют результат игры, отражающийся в матрице выигрышей.

Оптимальные стратегии и их выбор

Выбираю ту или иную стратегию, каждый из игроков стремится удовлетворить свои интересы: первый обеспечит себе максимально возможный выигрыш, а второй минимально возможный проигрыш.



Стратегия первого игрока называется оптимальной, если при ее применении выигрыш первого игрока не может быть уменьшен, какими бы стратегиями ни пользовался второй игрок. Стратегия второго игрока является оптимальной в том случае, если проигрыш второго игрока не может быть увеличен, какими бы стратегиями ни пользовался первый игрок.

Принцип осторожности предполагает, что каждый игрок выбирает свои стратегии исходя из предположения, что его противник не упустит возможности использовать его ошибки в своих интересах.

Руководствуясь этим принципом, первый игрок проанализирует, какой минимальный выигрыш может быть получен при использовании им каждой из трех его возможных стратегий. Если он использует:



  • стратегию (А1), его минимально возможный выигрыш будет равен 10;

  • стратегию (А2), его минимально возможный выигрыш будет равен 20;

  • стратегию (А3), его минимально возможный выигрыш будет равен 0.

Из найденных минимальных выигрышей найдем максимальный (V^=maximinjhij=20 – нижняя цена игры), и выберем соответствующую ему стратегию первого игрока (А2). Очевидно, что применение такого принципа может привести первого игрока к выбору оптимальной стратегии.

Применяя этот же принцип, второй игрок проанализирует, какой максимальный проигрыш он может иметь при использовании им каждой из трех возможных стратегий. Если он использует:



  • стратегию (В1), его максимальный проигрыш будет равен 40;

  • стратегию (В2), его максимальный проигрыш будет равен 60;

  • стратегию (В3), его максимальный проигрыш будет равен 80;

Из найденных максимальных проигрышей найдем минимальный (V^=minjmaxihij=40 – верхняя цена игры), и выберем соответствующую ему стратегию второго игрока (В1). Очевидно, что применение такого принципа может привести и второго игрока к выбору оптимальной стратегии.

Применение принципа осторожности может привести и первого и второго игрока к выбору оптимальной стратегии.

Так как нижняя цена игры не равна верхней цене игры, то антагонистическая игра не имеет седловой точки и решения в чистых стратегиях. Пара чистых стратегий создает в игре равновесие, когда в матрице выигрышей существует элемент, который одновременно является наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Этот элемент называется Седловой точкой.

Решение этой игры следует искать в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия – это вероятностная комбинация чистых стратегий.

Антагонистическую игру можно свести к паре взаимодвойственных задач линейного программирования.

Если первый игрок – фермер – применяет свою оптимальную смешанную стратегию P*, а второй игрок – природа – применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который фермер может получить со своего участка, будет не меньше цены игры V, где V^<V< V^. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

40p1*+30p2*≥V

10p1*+50p2*+60p3*≥V

30p1*+20p2*+80p3*≥V

Для этой системы неравенств проведем следующее преобразование: разделим каждое из них на V и введем новые переменные:



Тогда, рассматриваемая система примет вид:



40у1+30у2≥1

10у1+50у2+60у3≥1

30у1+20у2+80у3≥1

Разделив равенство: p1*+ p2*+ p3*=1 на V, получим, что переменные у1, у2, у3 удовлетворяют условию



у123=1/V

Поскольку цель первого игрока – максимизация его выигрыша, а математическое ожидание его выигрыша не меньше цены игры, то первый игрок будет стремиться максимизировать цену игры, которая в свою очередь эквивалентна минимизации величины 1/V. Из вышеуказанного следует, что для первого игрока задача может быть сформулирована следующим образом: определить вектор Y=( у1, у2, у3), компоненты которого удовлетворяли бы:



  • Системе функциональных ограничений:

40у1+30у2≥1

10у1+50у2+60у3≥1

30у1+20у2+80у3≥1

  • Системе прямых ограничений:

у1≥0, у2≥0, у3≥0

  • Целевая функция Z стремилась бы к минимуму:

Задача второго игрока

Задача первого игрока

Целевая функция:

F=x1+x2+x3 –> max

Z=у123 –> min

Функциональные ограничения

40x1+10x2+30x3≤1

30x1+50x2+20x3≤1

60x2+80x3≤1

40у1+30у2≥1

10у1+50у2+60у3≥1

30у1+20у2+80у3≥1

Прямые ограничения

x1≥0, x2≥0, x3≥0

у1≥0, у2≥0, у3≥0

Решая эти задачи, найдем оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Оптимальная стратегия первого игрока будет определяться вектором Y=

Из соотношения у123=1/V найдем V:

Из соотношений: найдем:

p1*= 0,49 p2*= 0,40 p3*=0,11

Смешанная стратегия фермера в данном случае может трактоваться в виде смеси стратегий, подразумевающей одновременное применение игроком своих чистых стратегий в определенных пропорциях, которые заданы вектором P*

Решение задачи средствами EXCEL

Исходные данные, искомые величины, функция цели и ограничения заполняются на рабочем листе EXCEL:




После заполнения формы ввода и запуска задачи на выполнение будет получено следующее решение, при котором будут оптимально выполнены все условия и ограничения:


4. Транспортная задача

Пусть имеется несколько пунктов отправления, в которых сосредоточены запасы товара в определенных количествах, и несколько пунктов назначения, которые хотят получить этот товар в заданных количествах. Сумма запросов на получение товаров из всех пунктов назначения равна сумме запасов в пунктах отправления. Известны стоимости перевозок единицы товара между пунктами отправления и назначения. Требуется составить план перевозок, чтобы:

  • Все грузы из пунктов отправления были вывезены

  • Потребности пунктов назначения были удовлетворены

  • Суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.


Пример

Фирма должна отправить некоторое количество товара с трех складов в пять магазинов. На складах имеется соответственно 15, 25, 20 единиц товара, а для пяти магазинов требуется соответственно 20, 12, 5, 8 и 12 единиц. Стоимость перевозки одной единицы со склада в магазин приведена в таблице.




Склад


Магазин

М1

М2

М3

М4

М5

С1

С2

С3


1

5

4



0

1

8



3

2

1



4

3

4



2

3

3


Как следует спланировать перевозку товара для минимизации стоимости? Пусть X ij — количество товара, отправляемого со склада i в магазин j. Ясно, что Xij  0, и в силу ограничений на возможности поставки со складов (предложение) и спрос в магазинах они удовлетворяют следующим условиям:

для предложения

X11+X12+X13+X14+X15







=15




X21+X22+X23+X24+X25




=25







X31+X32+X33+X34+X35

=20

для спроса

X11

+X21

+X31

=20

X12

+ X22

+X32

=12

X13

+X23

+X33

= 5

X14

+X24

+X34

= 8

X15

+X25

+X35

=15

Стоимость, равная

C=X11 +0X12 +ЗX13+4X14 +2X15 +5X21+...+4X34+3X35,

должна быть минимизирована при этих ограничениях.

Эта задача является задачей линейного программирования, Поскольку суммарный спрос равен сумме поставок, во всех случаях должно выполняться равенство. Также сумма по первым трем ограничениям дает тот же результат, что и сумма по последним пяти ограничениям.

Эти результаты обобщаются на транспортную задачу с m пунктами производства и объемами производства аi (i= 1, 2,..., m), и n пунктами потребления и объемами потребления bj (j = 1,...,n), где



(4.1)

Если Cij - стоимость транспортировки одного изделия из пункта производства i в пункт потребления j , то задача заключается в нахождении Xij  0, удовлетворяющих соотношениям:




X11+X12+…+X1 n

= a1

X21+…+X2 n

= a2

-----------------------------------------------------------------

X m 1+…+X m n

= am




X11 +X21 +X m 1

= b1

(4.2)

X12 X22 +Xm 2

= b2




-----------------------------------------------------------------

X1 n +X2 n +X m n

= b n

и минимизирующих функцию:

C = C11 X11 + C12 X12 +…+ C m n X m n .

Соотношения (4.2) можно переписать: найти такие Xij  0, для которых справедливы неравенства:



(4.3)
(4.4)

и которые минимизируют функцию:



(4.5)

Поскольку




согласно уравнению (4.1), имеется всего m + n - 1 независимых ограничений и, следовательно, m + n - 1 базисных переменных в базисном допустимом решении.

Дисбаланс

Существуют два типа транспортной задачи: открытая и закрытая. Транспортная задача называется открытой если сумма запасов товара на складах отличается от суммы потребностей товаров у магазинов. Транспортная задача называется закрытой, если сумма запасов товара на складах равняется сумме потребностей магазинов. Решение существует только для закрытой транспортной задачи, поэтому если транспортная задача открытая, то ее надо привести к закрытому типу. Для этого в случае, если запас товара на складах превышает потребность магазинов, то вводят фиктивного потребителя, который выбирает весь избыток товара. В случае же, если существует дефицит товара, т.е. потребность магазинов больше, чем запас товаров на складах, то вводят фиктивного поставщика, с фиктивным запасом товара на складе. В обоих случаях в матрице тарифов перевозок |C| данному складу или магазину проставляется нулевая цена перевозки.


ПРИМЕР


Пусть 15, 25, 20 единиц товара, хранящихся на складах С1, С2, С3, должны быть распределены по четырем магазинам, где требуется 20, 12, 5 и 9 единиц. Пусть стоимость перевозки одной единицы со складов в магазины задается таблицей


Склад

Магазин

М1

М2

М3

М4

С1

С2

С3


2

3

3



2

1

6



2

1

3



4

3

4


Как следует планировать перевозку для минимизации стоимости?

Склады располагают 60 единицами товара. Магазинам требуется лишь 46 единиц. Для того чтобы перейти к транспортной задаче, введем фиктивный магазин, которому требуется 14 единиц. Стоимость перевозок со склада в этот магазин полагается равной 0. Если в окончательном решении будет получено, что некоторые товары надо будет отправить в этот магазин, то это будет проигнорировано. Товары останутся на складе. Таким образом, поставлена транспортная задача, для которой уравнения

выполняются.

Если спрос превышает предложение, надо ввести фиктивного поставщика с нулевой стоимостью перевозок. Продукция этого поставщика на самом деле поставляться не будет. Спрос на нее не будет удовлетворен.

Методы решения транспортной задачи

Для решения транспортной задачи разработано несколько методов, каждый из которых отличается от другого методом заполнения матрицы перевозок.

Метод минимального элемента

Алгоритм метода минимального элемента состоит в следующем. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается позиция с наименьшим значением тарифа C, затем просматриваются значения наличия запасов на складе A и потребности у потребителя B, затем в данную клетку записывается величина D=MIN(A,B). Из запасов соответствующего склада и потребностей магазина вычитается величина D . Если запас товара на складе исчерпан, то эта строка исключается из дальнейшего рассмотрения. Если потребность магазина в товаре удовлетворена полностью, то этот столбец исключается из дальнейшего рассмотрения. Может быть случай , когда одновременно исключаются и строка и столбец, этот случай называется вырожденным. В дальнейшем весь процесс повторяется до тех пор , пока не будет исчерпан весь запас товаров на складах и не будет удовлетворена потребность всех магазинов. По полученной матрице перевозок вычисляется целевая функция задачи Z.

Метод Фогеля

Метод состоит в следующем. Просматриваются все строки и столбцы матрицы тарифов, вычисляется разность между двумя наименьшими элементами в строке или в столбце. Затем из всех этих разностей выбирается строка или столбец с максимальной разность. В выбранной строке или столбце, как и в методе минимального элемента, заполняется клетка с наименьшим значением тарифа. Затем обнулявшаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения и весь процесс повторяется до полного исчерпания запаса товаров на складах. По полученной матрице перевозок вычисляется целевая функция Z.

Метод двойного предпочтения

В начальной своей стадии этот метод похож на метод минимального элемента, но для столбцов. Просматривается первый столбец матрицы тарифов, в нем находится наименьший элемент. Затем проверяется, минимален ли этот элемент в своей строке. Если элемент минимален в своей строке, то по методу минимального элемента в эту клетку заносится значение D=MIN(A,B), соответствующие запас и потребность уменьшаются на эту величину. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения и процесс повторяется, начиная с первого неисключенного столбца. Если найденный минимальный элемент не минимален в своей строке, то происходит переход к следующему столбцу и так до тех пор, пока не будет найден такой элемент. По полученной матрице перевозок вычисляется целевая функция Z. Этот метод требует интенсивных операции обмена с памятью, поэтому более громоздок по сравнению с остальными и требует больших вычислительных ресурсов.

Метод северо-западного угла

Метод состоит в следующем. Просматривается матрица тарифов перевозок C, начиная с левого верхнего угла (клетки). В эту клетку записывается величина D=MIN(A,B). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс опять повторяется для левой верхней клетки оставшейся матрицы и так до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Решение транспортной задачи
с помощью табличного процессора EXCEL

Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров сбыта. Фабрики располагаются в Калуге, Твери, Новгороде и Смоленске. Их производственные возможности 200, 150, 225, и 175 единиц продукции ежедневно. Центры сбыта располагаются в Коломне, Смоленске, Рязани, Новгороде и Иванове. Их потребности составляют 100, 200, 50, 250, 150 единиц продукции ежедневно. Хранение на фабрике единицы продукции обходится в 0,75 рублей в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции равен 2,5 рублей в день. Стоимость перевозки приведена в таблице.







Коломна

Смоленск

Рязань

Новгород

Иваново

Калуга


1,5

2

1,75

2,25

2,25

Тверь

2,5

2

1,75

1

1,5

Новгород

2

1,5

1,5

1,75

1,75

Смоленск

2

0,5

1,75

1,75

1,75




  1. Минимизировать , где cij – стоимость перевозок, xij – объем перевозок.

  2. Ограничения:

  • Объемы перевозок не могут быть отрицательными

xij>=0, i[1,4], j[1,5]

  • Так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров сбыта должны быть удовлетворены

, j[1,5]; bj – спрос в j-м центре.

, i[1,4]; ai – объем производства на i-й фабрике.

Для решения задачи введем данные:



A1:E4 стоимости перевозок.

A6:E9 значения неизвестных (объемы перевозок).

G6:G9 объемы производства на фабриках.

A11:E11 потребность в продукции в центрах сбыта.

G11 целевая функция: =СУММПРОИЗВ(А1:Е4;А6:Е9).

В ячейки A10:E10 введены формулы, определяющие объем продукции, ввозимой в центры сбыта:

=СУММ(А6:А9)

=СУММ(B6:B9)

=СУММ(C6:C9)

=СУММ(D6:D9)

=СУММ(E6:E9)

В ячейки F6:F9 введены формулы, вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик:

=СУММ(А6:E6)

=СУММ(А7:E7)

=СУММ(А8:E8)

=СУММ(А9:E9)

Задача решается с помощью инструмента EXCEL «Поиск решения»: Сервис/Поиск решения.

В диалоговом окне Поиск решения произведем заполнение:

Установить целевую ячейку: $G$11

Равной: Минимальное значение

Изменяя ячейки: $A$6:$E$9

Ограничения: $A$10:$E$10=$A$11:$E$11

$A$6:$E$9>=0

$F$6:$F$9=$G$6:$G$9

В результате будет получено решение:


Задания:

1. Фирме необходимо перевезти из Твери, Клина, Торжка лошадей для их участия в скачках. Лошадей необходимо доставить в Москву, Санкт-Петербург и Новгород. В Твери находится 25 лошадей, в Клину 38, а в Торжке 18. В Москву необходимо доставить 42 лошади, в Санкт-Петербург 25 лошадей, а в Новгород 14 лошадей. Стоимость перевозки 1 лошади приведена в таблице:






Москва

Санкт-Петербург

Новгород

Тверь

300

550

500

Клин

200

500

500

Торжок

400

600

500

Как следует организовать перевозку лошадей, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы?

2. Четыре мукомольных завода (М1, М2, М3, М4) производят ежемесячно 900, 400, 1200, 500 тонн муки. Мука должна быть передана потребителям А, В, С, D, ежемесячные запросы которых составляют 500, 600, 400, 1200 тонн. Стоимость транспортировки от заводов до покупателей приведена в таблице:



Завод

Потребитель




А

В

С

D

М1

13

14

19

25

М2

5

7

6

20

М3

6

9

11

15

М4

20

25

32

39

Составить план распределения, минимизирующий транспортные расходы.

3. Хлебобулочный комбинат имеет 3 пекарни (П1, П2, П3), которые производят за некоторый промежуток времени 10, 15, 25 тонн хлебобулочных изделий. Данные изделия поставляются в 4 магазина М1, М2, М3, М4, потребности которых составляют: 8, 12, 20, 10 тонн изделий. Стоимости транспортировок 1 тонны изделий из пекарен в магазины представлена в таблице:






М1

М2

М3

М4

П1

8

11

11

12

П2

13

16

16

13

П3

10

8

8

10

Как необходимо спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы?

4. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами З1, З2, З3, способными произвести за некоторый промежуток времени 50, 30 и 20 тыс. тонн стали, соответственно. Свою продукцию компания поставляет четырем потребителям (П1, П2, П3 и П4), потребности которых составляют 12, 15, 25 и 36 тыс. тонн стали, соответственно. Стоимости производства и транспортировки 1 тыс. тонн стали с различных заводов различным потребителям приведены в таблице:



Потребитель

Завод




З1

З2

З3

П1

15

19

14

П2

19

18

16

П3

19

18

20

П4

15

19

18

Определите минимальные общую стоимость, объемы производства на каждом заводе и планы перевозок.

5. Компания контролирует три фабрики (Ф1, Ф2 и Ф3), способные произвести 50, 25 и 25 тыс. изделий еженедельно. Она заключила договоры с четырьмя заказчиками З1, З2, З3 и З4, которым требуется еженедельно 15, 20, 20 и 30 тыс. изделий. Стоимости производства и транспортировки 1 тыс. изделий заказчикам с фабрик приведены в таблице:



Фабрика

Заказчик




З1

З2

З3

З4

Ф1

13

17

17

14

Ф2

18

16

16

18

Ф3

12

14

19

17

Определите минимизирующие общую стоимость, объемы производства и распределения для каждой фабрик.

6. Четыре сталелитейных завода (I, II, III и IV) производят еженедельно 950, 300, 1350 и 450 тонн стали определенного сорта, соответственно. Стальные болванки должны быть переданы потребителям А, В, С, D, Е, еженедельные запросы которых составляют 250, 1000, 700, 650 и 450 тонн стали, соответственно. Стоимость транспортировки от заводов к потребителям в тоннах приведена в таблице:



Завод

Потребитель




А

В

С

D

Е

I

12

16

21

19

32

II

4

4

9

5

24

III

3

8

14

10

26

IV

24

33

36

34

49

Какой нужно составить план распределения стальных болванок, чтобы минимизировать общую стоимость?

7. Компания владеет тремя заводами (А, Б, В). Соответствующие стоимости производства равны 26, 23 и 22 на единицу, объем производства 6000, 3000 и 3000 единиц. Компания обязалась поставлять соответственно 1500, 2500, 2700 и 3300 единиц в города Г, Д, Е, Ж. При заданных стоимостях перевозок составьте оптимальные планы производства и распределения.




Город

Стоимость транспортировки




А

Б

В

Г

1

9

6

Д

4

2

1

Е

1

2

7

Ж

9

8

3

8. Фирма «Фауна» владеет 4-мя питомниками: П1, П2, П3, П4,- в которых выращивает за месяц 100, 150, 250, 200 коробок цветов. Выращенные цветы поставляются в 4 магазина: М1, М2, М3, М4,- потребности которых составляют 150, 120, 200, 230 коробок цветов. Стоимость транспортировки 1 коробки из питомников в магазины представлена в таблице:




М1

М2

М3

М4

П1

10

7

5

8

П2

9,6

3,2

6,4

6,1

П3

4,2

11

3,2

4

П4

2,8

3,4

3,8

7

Как необходимо спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы?

9. Фирма заключила контракты с тремя складами о хранении своей продукции на них. Вместительность складов 2500, 750, 1750 единиц товаров, соответственно. Фирма располагает тремя видами продукции A, B, C, запасы которых составляют 1910, 970, 2120 единиц, соответственно. Стоимость хранения товаров на складах приведена в таблице:






Виды товаров

Склады

А

В

С

1

0,2

1

0,2

2

0,4

1

0,5

3

0,5

0,5

0,4

Составить план хранения товаров на складах, минимизирующий затраты фирмы.

10. Компания по переработке мусора располагает тремя заводами (З1, З2, З3), способными перерабатывать мусор и производить за некоторый промежуток времени 100, 70, 50 кг экологически – чистой продукции, соответственно. Свою продукцию компания поставляет четырем предприятиям П1, П2, П3, П4, потребности которых составляют 50, 70, 40 и 60 кг, соответственно. Стоимость производства и транспортировки 1 кг продукции с заводов на предприятия приведены в таблице:







Завод

Предприятие

З1

З2

З3

П1

5

15

5

П2

9

12

7

П3

7

10

10

П4

10

13

6

Определить планы перевозок, минимизирующие затраты.

11. Строительная компания построила четыре дома общей площадью 1350, 980, 640, 770 тыс. кв. метров соответственно. Компания заключила контракты с пятью фирмами по отделке помещений. Каждая из них способна организовать отделочные работы на 700, 940, 490, 950, 660 тыс. кв. м. Стоимость работ на 1 тыс. кв. м. приведена в таблице:






Фирмы по отделке помещений

Дома

Ф1

Ф2

Ф3

Ф4

Ф5

Д1

15

12

30

15

10

Д2

10

10

20

15

25

Д3

20

30

10

10

20

Д4

25

17

5

12

15

Какой нужно составить план отделочных работ, чтобы минимизировать расходы строительной компании?

12. Транспортная фирма заключила 3-х сторонний договор о перевозке грузов со складов 1-го клиента (С1, С2,С3) на склады 2-го (K1, K2, K3, K4). У 1-го клиента на складах имеется 300, 600 и 400 тонн груза, а склады 2-го клиента могут принять 200, 300, 400 и 500 тонн груза, соответственно. Стоимость перевозки 1-ой тонны груза со складов 1-го клиента на склады 2-го приведены в таблице:



Склады 1-го клиента

Склады 2-го клиента

K1

K2

K3

K4

С1

10

4

8

11

С2

12

8

6

9

С3

7

10

12

8

Определить откуда, куда и сколько нужно перевезти грузов, чтобы расходы при перевозке были минимальны.

13. Гражданин купил в Сбербанке 450 долларов США, 350 немецких марок и 350 евро и решил заработать денег на разнице курсов, посетив 5 обменных пунктов. В силу некоторых обстоятельств он решил ограничить сдачу валюты 200, 250, 120, 280 и 300 единицами в 1, 2, 3, 4 и 5-ом обменных пунктах, соответственно. Разница курсов продажи валюты в Сбербанке и покупки в обменных пунктах приводится в таблице (в рублях):




Валюта

Обменные пункты

1

2

3

4

5

Доллар

- 0,4

0,6

- 0,3

0,7

1,2

Марка

0,8

- 0,3

- 0,5

1

- 0,4

Евро

-1

0,8

0,7

- 0,3

- 0,4

Определить, сколько, куда и какой валюты нужно сдать гражданину, чтобы добиться максимальной прибыли, при выполнении всех условий.

14. Компания владеет двумя фабриками Ф1 и Ф2, производящими электронное оборудование. Фабрики в течение некоторого периода выпускает 16 и 12 тыс. изделий, соответственно, при нормальных темпах производства. При сверхурочной работе эти показатели могут быть повышены до 20 и 14 тыс. изделий, соответственно. Дополнительная стоимость производства 100 изделий в сверхурочное время на Ф1 и на Ф2 составляет 8 единиц. Компания снабжает трех потребителей П1, П2, и П3, потребности которых в течение одного и того же периода составляют 10, 13 и 7 тыс. изделий, соответственно. Стоимости перевозок 1 тыс. изделий потребителю с фабрик приведены в таблице:



Фабрика

Потребитель




П1

П2

П3

Ф1

5

4

6

Ф2

6

3

2

Найдите решение транспортной задачи.

15. Фирма предложила владельцам трех авиалиний перевозить бригады специалистов в различные части света. Стоимость перевозок приведена в таблице:



Авиалиния

Сидней

Калькутта

Бейрут

Даллас

Сан-Паулу

I

24

16

8

10

14

II

21

15

7

12

16

III

23

14

7

14

12

Администрация фирмы решила, что контракты на перевозку будут заключаться с владельцами авиалиний в отношении 2 : 3 : 2, а также, что из 70 намеченных на следующий год перевозок 10 - в Сидней, 15 - в Калькутту, 20 - в Бейрут, 10 - в Даллас и 15 - в Сан-Паулу.

Как следует распределить контракты на перевозки для минимизации общей стоимости при условии удовлетворения запросов администрации фирмы? Какова минимальная стоимость перевозок, удовлетворяющих приведенным выше ограничениям?


16. Некоторый продукт производится на двух заводах и распределяется между двумя пользователями. Их потребности на ближайшие два месяца приведены в таблице:

Пользователь

Потребность




Август

Сентябрь

1

420

550

2

350

480

Стоимость транспортировки продукта с заводов потребителям приведена в таблице:



Завод

Потребитель




1

2

1

10

13

2

12

6

Стоимость производства единицы продукта и объем производства по плану за два месяца приведены в таблице:



Завод

Стоимость производства.

Объем




Август

Сентябрь

Август

Сентябрь

1

3,0

3,6

500

600

2

3,2

2,9

300

500

По условию задачи возможно производить продукт в течение месяца, хранить его лишь в течение месяца, а затем отправлять пользователю. Стоимость хранения составляет 0,5 на заводе 1 и 0,6 на заводе 2.

Требуются найти оптимальные планы производства и распределения. Сформулируйте задачу как транспортную и найдите оптимальное решение.

5. Задача о назначениях

Четыре человека с номерами M1, М2,…, М4 способны выполнить четыре задания с номерами T1, T2,…, T4. В силу разной квалификации на выполнение этих заданий им потребуется различное время. Как следует распределить людей по заданиям, чтобы минимизировать время выполнения? Время выполнения приведено и таблице




Люди


Задания

T1

T2

T3

T4

M1

M2

M3

M4



1

9

4



8

4

10

5



7

6

7

11



8

3

9

7



5


Каталог: posobiya
posobiya -> Право жить в согласии. Обзор книг серии «Детям о праве» П. Астахова
posobiya -> «Централизованная библиотечная система» межпоселенческая библиотека им. М. А. Ульянова сектор обслуживания читателей-детей
posobiya -> Любви все возрасты покорны. Диспут
posobiya -> «Дети святы и чисты…» Беседа о детских произведениях Антона Павловича Чехова
posobiya -> Указатель для детей и их родителей Омск 2008 Булатов Эрик Владимирович
posobiya -> Вам и не снилось: литературный вечер-знакомство с повестью Г. Щербаковой «Вам и не снилось» из цикла «Читаем вместе»
posobiya -> Программа «Откуда пошла славянская письменность» Цель
posobiya -> Тюкалинск, 2011 Читательское назначение
posobiya -> Чрезвычайные ситуации на химически опасных объектах с выбросом аварийно химически опасных веществ в окружающую природную среду методическая разработка для студентов всех специальностей дневной формы обучения Нижний Новгород 2009


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница