Учебно-методическое пособие по курсу «Экономико-математические методы и моделирование»



страница1/5
Дата06.06.2016
Размер0.92 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2   3   4   5

Федеральное агентство по образованию РФ

Московский государственный университет геодезии и картографии

(МИИГАиК)



А.А. Кудлаев


Экономико-математические методы и моделирование

Поиск оптимальных решений

Учебно-методическое пособие по курсу
«Экономико-математические методы и моделирование»



Москва 2007 г.

Составитель: к.т.н., Кудлаев А.А.
Поиск оптимальных решений. Учебно-методическое пособие по курсу «Экономико-математические методы и моделирование». М., МИИГАиК, 2007, 56 стр.
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с утвержденной программой курса «Экономико-математические методы и моделирование» для студентов вечернего факультета специальности земельный кадастр, рекомендовано кафедрой вычислительной техники и автоматизированной обработки аэрокосмической информации.

В учебно-методическом пособии рассмотрены вопросы моделирования процессов оптимального планирования. Пособие содержит примеры и практические задания для реализации в среде MS EXCEL.

Библиография: 9 названий.
Рецензенты:

Член-корр. Международной Академии информатизации,


доцент Института технологий, экономики и предпринимательства МЭИ, к.т.н. Макальский Л.М.

к.э.н., доцент кафедры «Финансов и банковского дела» Донецкого национального технического университета Устинова Л.Н.

к.т.н., доцент кафедры «ВТиАОАИ» МИИГАиК Зайцев А.А.

ОГЛАВЛЕНИЕ:




  1. Моделирование как метод познания 03

  2. Оптимизационные модели 09

  3. Основные понятия теории игр 30

  4. Транспортная задача 35

  5. Задача о назначениях 48

  6. Аппроксимация экспериментальных данных 52

  7. Литература 56


1. Моделирование как метод познания

Нельзя найти такой области знания, в которой в той или иной мере не использовались бы модели. Человек часто применял в практической деятельности метод аналогий.

Слово модель произошло от латинского слова modelium, которое означает образ. Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и употреблялось для обозначения образа или прообраза.

Под моделью объекта понимается другой объект, отличный от исходного, который обладает существенными для целей моделирования свойствами, и в рамках этих целей полностью заменяет исходный объект. Модель используется при разработке теории объекта в том случае, когда непосредственное исследование его не представляется возможным.

Выделяют такие признаки модели:


  • это воображаемая или материально реализуемая система;

  • она воспроизводит объект исследования;

  • модель должна быть не только сходна с оригиналом, но и отлична от него, причем модель отражает те свойства оригинала, которые существенны;

  • она способна замещать объекты;

  • ее изучение дает новую информацию об объекте;

  • модель обязательно имеет целевое назначение.

Часто термин модель употребляется как синоним термина теория в случае, когда теория еще недостаточно разработана, для обозначения предварительного варианта будущей теории.

Моделирование есть не только процесс построения модели, но и ее исследования. В отличие от обычного эксперимента, где средства эксперимента взаимодействуют с объектом исследования, в модельном эксперименте взаимодействия нет, так как экспериментируют не с самим объектом, а с его заместителем.

Для модельного эксперимента характерны следующие операции:


  • переход от натурального объекта к модели построение модели;

  • экспериментальное исследование модели;

  • переход от модели к натуральному объекту, состоящий в перенесении результатов, полученных при исследовании, на этот объект.

Модель входит в эксперимент, не только замещая объект исследования, но и может замещать условия, в которых изучается объект натурного эксперимента.

Типы моделей

Существуют различные классификационные признаки, по которым выделяют различные типы моделей:



  • способ построения (форма модели);

  • качественная специфика (содержание модели).

По способу построения модели бывают материальные и идеальные.

Материальные модели подразделяются на:

  1. Физически подобные (они сходны с оригиналом по физической природе и геометрической форме, отличаясь от него лишь числовыми значениями параметров - действующая модель электродвигателя);

  2. Пространственно-подобные (макеты самолетов, судов);

  3. Математически подобные (не имеют с оригиналом ни физического, ни геометрического сходства, но объект и модель описываются одинаковыми уравнениями - механические и электрические колебания).

Виды абстрактных (идеальных) моделей:

  1. Вербальные (текстовые). Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности.

  2. Математические — очень широкий класс знаковых моделей, широко использующих те или иные математические методы. Математические модели позволяют описывать, воспроизводить, изучать и прогнозировать процессы и явления с помощью математических и вычислительных средств. Математическое моделирование позволяет имитировать в принципе невоспроизводимые или нежелательные ситуации (прогноз погоды, последствия ядерной войны).

  3. Информационные класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации). Любое моделирование, отличное от натурного моделирования, можно отнести к информационному.

Граница между вербальными, математическими и информационными моделями проведена весьма условно; возможно, информационные модели следовало бы считать подклассом математических моделей.

Основные этапы компьютерного моделирования

Первый этап — определение целей моделирования. Основные из них:



  1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

  2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом и определить наилучшие способы управления при заданных критериях;

  3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

После этого переходят к формализации объекта (процесса), результатом которой и будет математическая модель.



Содержательное описание в словесной форме содержит:

  • сведения о физической природе исследуемого процесса;

  • сведения о количественных характеристиках элементарных явлений исследуемого процесса;

  • сведения о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования системы;

  • постановку прикладной задачи, определяющую цели моделирования исследуемого процесса.

Содержательное описание процесса служит основой для дальнейшей формализации этого процесса построения формализованной схемы и математической модели процесса.

Формализованная схема является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью. На этапе построения формализованной схемы должна быть сформулирована цель исследования, составлен список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также искомых величин и оцениваемых зависимостей.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров (ранжирование) по степени важности влияния их изменений на выходные. От этого зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Отбрасывание менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей.

На этапе перехода от формализованной схемы к математической модели необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение: в виде уравнения, системы уравнений и т.д.

Последним этапом формализации является идентификация модели —определение параметров и структуры модели, обеспечивающей наилучшее совпадение исходных данных объекта и данных, полученных на модели объекта. Можно считать, что модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности.

Требование адекватности модели изучаемому объекту (процессу) предполагает:


  • правильное качественное описание объекта;

  • правильное количественное описание объекта.

Для достижения адекватности модели процессу необходимо осуществлять контроль:

  • размерностей;

  • порядков;

  • характера зависимостей;

  • экстремальных ситуаций;

  • граничных условий;

  • математической замкнутости.

Когда математическая модель сформулирована и выполнена ее идентификация, выбирается метод исследования модели.

Следующий этап - этап разработки алгоритма и программы на ЭВМ. Достаточно распространенным подходом к программированию остается структурный подход, основными приемами которого являются модульность, разработка алгоритма "сверху вниз" с дальнейшей пошаговой детализацией. Другим подходом является объектно-ориентированное программирование. В некоторых случаях расчеты удобно провести, используя готовые программные продукты, например, электронные таблицы или специальные математические пакеты.

После составления программы с ее помощью решается тестовая задача с целью отладки и тестирования программы, устранения грубых ошибок. Затем следует собственно численный эксперимент.

В случае несоответствия модели реальному процессу происходит возврат к одному из предыдущих этапов. Возможные точки возврата указаны на схеме:



  • либо в процессе огрубления были отброшены какие-то важные факторы или же было взято слишком много незначительных факторов и требуется уточнить математическую модель;

  • либо выбор метода исследования оказался не слишком удачным и нужно использовать более сложный и точный.

После внесения тех или иных изменений вновь проходим по части технологической цепочки и делаем это до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.

По окончании компьютерного эксперимента с математической моделью накопленные результаты (чаще всего численные) обрабатываются и интерпретируются.



Назначение и виды информационных моделей

Можно классифицировать модели по отраслям наук: математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.

Можно положить в основу классификации применяемый математический аппарат, это естественно для математика, более интересующегося аппаратом математического моделирования.

Цели моделирования:


  • дескриптивные (описательные) модели;

  • оптимизационные модели;

  • многокритериальные модели;

  • игровые модели;

  • имитационные модели.

Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, исследователь описывает (предсказывает) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли, и т.д., т.е. ставит чисто описательные цели. В этой ситуации нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.

На уровне других процессов можно воздействовать на них, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс.

Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм, но и к вещам весьма серьезным. В математике есть специальный раздел "Теория игр", где изучаются методы принятия решений в условиях неполной информации.

Иногда модель подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. Если при этом не ставится целью вмешательство и регулирование численности колонии, то отличие имитационной модели от дескриптивной достаточно условно.



Классификация экономико-математических моделей

Экономико-математические модели можно классифицировать по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта:



  1. Макроэкономические модели рассматривают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость и т.д.

  2. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо поведение одной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории.

  3. Равновесные модели описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящаяся вывести ее из данного состояния, равна нулю.

  4. Оптимизационные модели присутствуют в основном на микроуровне: максимизация прибыли, минимизация затрат.

  5. Статические модели описывают некоторый объект в определенный (фиксированный) момент времени.

  6. Динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени.

  7. Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.

  8. Стохастические модели допускают случайные воздействия на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики.

  9. Эконометрические модели строятся на основе изучения и анализа эмпирических данных.


2. Оптимизационные модели

Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленности, торговле и управлении. Этими методами можно решить многие задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов.



Постановка задачи оптимизации

В задачах оптимизации требуется найти значения параметров или функций, реализующих максимум или минимум некоторой зависящей от них величины. Во многих инженерных и экономических задачах ищется максимум меры выполнения или минимум стоимости. Другим приложением задач оптимизации является получение приближенных решений выбором неизвестных значений параметров или функций, дающих минимум ошибки.

Математически эти задачи относятся к задачам на условный экстремум. Постановка таких задач в общем виде выглядит следующим образом:


  • найти условный максимум(минимум) функции f(x1x2…xn)max(min);

  • при условии, что независимые переменные удовлетворяют системам ограничений:

g1(x1x2…xn)  0

..………………


gm(x1x2…xn)  0

x10, x20,…,xn  0

В задаче математического программирования функцию f(x1x2…xn) называют целевой функцией; систему неравенств G(x1x2…xn) – специальными ограничениями задачи математического программирования. Задачи линейного программирования – частный случай задачи математического программирования, в которых целевая функция и ограничения линейные.

Задача об оптимизации использования ресурсов

Фирма производит две модели А и В книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели В – 4 м2. Фирма может получить до 1700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 минут машинного времени, а для изделия модели В – 30 минут. В неделю можно использовать 160 часов машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 рубля прибыли, а каждое изделие модели В – 4 рубля прибыли?

Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим через


х1 количество выпущенных полок модели А, а через х2 – количество выпущенных полок модели В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения х1 и х2. Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедельную прибыль. Еженедельная прибыль

Р = 2х1 + 4х2 (2.1)

Согласно классической теории оптимизации функция принимает экстремальные значения в точках, в которых обращаются в нуль ее производные, либо на границе области определения. Рассмотрения производных в нашем случае недостаточно, так как



и

и никаким выбором х1 и х2 нельзя обратить эти производные в нуль. Действительно, чтобы увеличить функцию Р, надо увеличить х1 и х2. Но значение х1 и х2 не могут быть увеличены неограниченно. Эти значения ограничены, в частности, лимитами на сырье и машинное время.

Поскольку х1 и х2 выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательны, т.е.

(2.2)

Теперь ограничения на наличие досок и машинное время могут быть записаны следующим образом:



(для досок) (2.3)

(для машинного времени)

Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти значения х1 и х2, удовлетворяющие условиям неотрицательности (2.2) и ограничениям типа неравенства (3) и максимизирующие функцию Р = 2х1 + 4х2.

Это типичная двухмерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной функцией своих переменных. Ограничения на эти переменные тоже линейны (представлены на рисунке). Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотрением положительного квадранта. Границы определяются прямыми:

,

.

Стрелка на каждой границе рис. 2.1 указывает, с какой стороны прямой выполняется ограничения. Заштрихованная область 0АВС, содержащая точки, для которых соблюдены условия (2.2) и (2.3), называется допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Задача состоит в том, чтобы найти решение, максимизирующее функцию Р.

Штриховыми линиями на рисунке изображены прямые 2х1 + 4х2 = 0,
2х1 + 4х2 = 800, обозначенные a и b соответственно. Эти прямые параллельны и представляют собой уровни функции Р со значениями соответственно 0 и 800. Ясно, что значения функции Р возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте. Действительно, вектор с компонентами , , т.е. вектор с компонентами указывает направление возрастания функции Р, перпендикулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат.

Линией уровня с наибольшим значением функции Р, имеющей хотя бы одну общую точку с допустимой областью, является прямая c, проходящая через вершину В; на ней Р принимает значение 1400. Точка В, в которой


х1 = 300, х2 = 200, соответствует оптимальному решению задачи. Эти значения могут быть получены как решение уравнений

,



Следовательно, максимальная прибыль составляет 2*300+4*200=1400. При оптимальном решении оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени.

Рассмотренная задача может быть расширена до трех и более моделей и соответствующего количества неотрицательных переменных. Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по-прежнему заключается в максимизации линейной функции от нескольких неотрицательных переменных с линейными ограничениями в форме неравенств.

Общая задача линейного программирования состоит в максимизации (или минимизации) линейной функции



z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (2.4)

от n вещественных переменных x1, x2,…, xn, удовлетворяющих условиям неотрицательности



(2.5)

и m линейным ограничениям





……………………..…………… (2.6)



Среди ограничений могут одновременно встречаться знаки . Задача состоит в максимизации (минимизации) целевой функции. Значения bi, cj, aij предполагаются известными.

В матричных обозначениях задача может быть представлена следующим образом:

максимизировать (минимизировать) функцию



z = cT x0 , (2.7)

где


(2.8)

(2.9)

и

- вектор-столбец n х 1,

а

cT = (c1, c2, …, cn) – вектор-строка 1 х n,


- вектор-столбец m х 1,

A0 = (aij) – матрица m x n.


Индекс 0 в векторе x0 и в матрице A0 указывает на то, что это начальные значения.

Графическое решение двухмерных задач

На примере, рассмотренном в предыдущем разделе, показано, каким образом задачи линейного программирования возникают на практике, и продемонстрирован графический метод их решения. Рассмотрим еще несколько примеров такого рода, чтобы выявить общие свойства задач линейного программирования, которые подскажут путь к их общему решению.



Пример 1

Минимизировать функцию z = -3x1 - 4x2

При ограничениях x1,x20,

x1 + x2 20

-x1 + 4x2 20

x1 10

x2 5

Допустимой областью, изображенной на рис. 2.2, является четырехугольник PQRS. Два последних ограничения усиливают условия неотрицательности. Функция z убывает в направлении вектора



.

Оптимальным решением задачи является точка x1 =12, x2 =8 с минимальным значением функции z = -68. Иногда задача имеет более чем одно оптимальное решение.



Пример 2

Минимизировать функцию z = -6x1 - 2x2



при ограничениях x1,x20, 2x1 + 4x2 9, 3x1 + x2 6.

На рис.2.3 четырехугольник ОАВС изображает допустимую область , и, таким образом, вектор указывает направление убывания функции z. Любая точка на отрезке ВС является оптимальным решением. В частности, в вершинах В = и С=(2, 0) достигаются оптимальные решения, соответствующие одному и тому же минимальному значению функции z = -12. Функция z имеет единственное минимальное значение.

Иногда решение задачи не ограничено.



Пример 3

Минимизировать функцию z = x1 + x2

при ограничениях x1 - x2, x2.

Допустимая область, изображенная на рис. 2.4, не ограничена в направлении, в котором функция z возрастает, т.е. в допустимой области не существует конечной точки, в которой функция z достигала бы максимума. Решение, как и максимальное значение функции z, не ограничено. Однако некоторые задачи с неограниченными допустимыми областями имеют конечные решения. Например, задача максимизации функции z= x2 при ограничениях из примера 3 имеет конечное решение.

Если бы задача состояла в минимизации функции z = x1 + x2 при тех же ограничениях, то минимум достигался бы в единственной точке (z (min) в вершине допустимой области x1=1, x2=0).

Иногда задача не имеет решения, поскольку допустимой области не существует.



Пример 4

Минимизировать функцию z = 2x1 + 3x2

при ограничениях x1, x20, x1 + x2 , 3x1+ 5x2 .

Ограничения задачи противоречивы, поэтому нет допустимых решений

Из рассмотренных выше примеров можно вывести несколько характерных черт задач линейного программирования:


  1. допустимая область всегда является выпуклым многоугольником, если не пусто;

  2. если оптимальное решение существует, то оно всегда достигается в угловых точках допустимого множества, причем, если целевая функция достигает экстремума более чем в одной угловой точке, то задача имеет множество оптимальных планов, которым соответствуют все точки отрезка, соединяющего указанные угловые точки.

Решение оптимизационных задач
с помощью «Поиска решений» табличного процессора EXCEL


Пример 1: задача об оптимальном использовании ресурсов.

Фирма производит две модели книжных полок: А и В. Их производство ограничено наличием сырья и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели В – 4 м2. Фирма может получить до 1700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 минут машинного времени, а для изделия модели В – 30 минут. В неделю можно использовать 160 часов машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 рубля прибыли, а В – 4 рубля прибыли?

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель:



  1. Для определения каких величин (переменных) строится модель?

Переменными являются: А - объем производства полок А, В - объем производства полок В.

  1. В чем состоит цель выбора оптимальных переменных?

Цель – определить среди всех допустимых значений А и В такие, которые максимизируют прибыль P. Прибыль от производства А и В равна:
P = 2*А + 4*В

  1. Ограничения неизвестных?

Объем производства положительный и счетный:
А, В> = 0, А, В = целые.

Расход материала не может превосходить его запас:


3*А + 4*В <= 1700.

Временные затраты на изготовление изделий не могут превышать лимита машинного времени: 12*А + 30*В <= 9600.

Исходные данные, искомые величины, функция цели и ограничения заполняются на рабочем листе EXCEL:

В меню «Сервисе/Поиск решения» выполняется заполнение форм ввода окна:




В результате будет получено следующее решение, при котором будут оптимально выполнены все условия и ограничения:



Элементы диалогового окна Поиск решения

В поле Установить целевую ячейку дается ссылка на ячейку с функцией, для которой будет находиться максимум, минимум или заданное значение. Тип взаимосвязи между решением и целевой ячейкой задается переключателем в группе Равной (максимальному значению, минимальному значению или значению).

В поле Изменяя ячейки указываются ячейки, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи, т.е. ячейки, отведенные под переменные.

Ограничения, налагаемые на переменные, отображаются в поле Ограничения. Средство поиска решений допускает ограничения в виде равенств, неравенств, а также позволяет ввести требование целочисленности.

Ограничения добавляются по одному в диалоговом окне Добавления ограничения. В поле Ссылка на ячейку вводится левая часть на ограничение, в поле Ограничение – правая часть. С помощью раскрывающегося списка вводится отношение между левой и правой частями ограничения. Нажатие кнопки Ок завершает ввод ограничений.

С помощью кнопки Параметры диалогового окна Поиск решения вызывается диалоговое окно Параметры поиска решения, где можно изменять условия и варианты поиска решения задачи.

Элементы окна Параметры поиска решения:

Поле Максимальное время служит для задания ограничения времени. Поле Предельное число итераций ограничивает число промежуточных вычислений. Поля Относительная погрешность и Допустимое отклонение служат для задания точности поиска решения. Флажок Линейная модель служит для поиска решения линейной задачи оптимизации или нелинейной аппроксимации нелинейной задачи. В случае нелинейной задачи этот флажок должен быть сброшен, в случае линейной задачи – установлен. Флажок Показывать результаты итераций служит для приостановки поиска решений и просмотра результатов. Флажок Автоматическое масштабирование служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений. Группа Оценка служит для выбора метода экстраполяции. Группа Разности служит для выбора метода численного дифференцирования. Группа Метод поиска служит для выбора алгоритма оптимизации.

Отчет о результатах решения задачи выбирается в диалоговом окне Результаты поиска решения: Результаты, Устойчивость, Пределы.

Пример 2: Задача о составе смеси.

Фирма занимается разработкой нового типа автомобильных покрышек для дорог Европы, предъявляющей свои требования:







Требования ЕС

А

В

С

Износостойкость

6

5

6

8

Сцепление

10

10

12

8

Прочность

5

8

5

3

Для производства покрышек используются три полимера: А, В и С - с характеристиками в условных и безразмерных единицах, указанными выше. В каких пропорциях необходимо смешать эти полимеры, чтобы износостойкость оказалась максимальной?

Решения задачи проводится по аналогии с предыдущей задачей:



  1. Для определения каких величин (переменных) строится модель?

Переменными являются: А – доля полимера А, В – доля полимера В и
С – доля полимера С в смеси.

  1. В чем состоит цель выбора оптимальных переменных?

Цель – определить среди всех допустимых значений А, В и С такие, которые максимизируют износостойкость покрышек. Износостойкость равна: =5*А + 6*В + 8*С

  1. Ограничения неизвестных?

Доли компонентов смеси положительны: А, В, С > = 0;

Сумма долей компонентов должна составлять 100% : А + В + С= 1.

Износостойкость должна соответствовать: 5*А + 6*В + 8*С >= 6

Сцепление должно соответствовать: 10*А + 12*В + 8*С > =10

Износостойкость должна соответствовать: 8*А + 5*В + 3*С >= 5

После подстановки исходных данных, условий и ограничений будет получено решение:





Задания:

  1. Фирма производит полки двух типов: А и В. В неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Фирма может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. станочного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин. Станок можно использовать 160 ч в неделю. Если прибыль от продаж полок типа А составляет 3 рубля., а полок типа В - 4 рубля, то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

  2. Столяр изготавливает стулья двух типов: А и В. Трудоемкость изготовления первого типа стульев вдвое выше трудоемкости изготовления второго. Столяр за месяц может сделать 100 стульев типа А, если будет заниматься только ими. На изготовление стула А материала затрачивается 5 единиц, а стула В – 3 единицы. Запас материала составляет 500 единиц. Месячный объем сбыта стульев обоих типов ограничен диапазоном от 120 до 180 штук. Прибыль от продажи стула А составляет 80 рублей, а стула В – 60 рублей. Определить оптимальный объем производства стульев, при котором достигается максимальная прибыль.

  3. Предприятие выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии составляет 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 рублей, соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства радиоприемников для получения максимальной прибыли.

  4. Фирма производит два продукта: А и В,- рынок сбыта которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан последовательно на станках типа I, II, III. Время обработки в часах для каждого из изделий А и В приведено ниже:




I

II

III

A

0,5

0,4

0,2

B

0,25

0,3

0,4

Время работы станков I, II, III составляет 40, 36 и 36 часов в неделю, соответственно. Прибыль от изделий А и В составляет 5 и 3 рублей. Определить недельные нормы выпуска изделий А и В, максимизирующие прибыль.

  1. Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10-ю часами в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия каждого вида приведены в таблице. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.




Изделие

Время обработки одного изделия, мин.

Удельная прибыль

Станок 1

Станок 2

Станок 3

1

10

6

8

2

2

5

20

15

3

  1. Фирма производит два вида продукции – А и В. объем сбыта продукции А составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Стоимость продукции А и В равны 20 и 40 рублей, соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В, позволяющее получить максимальный доход.

  2. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом станке приведено в таблице:

Станок

Время обработки одного изделия, ч

Тип 1

Тип 2

Тип 3

Тип 4

1

2

3

4

2

2

3

2

1

2

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10 рублей и 15 рублей для станков 1 и 2. Допустимое время использования станков ограничено значениями: 500 машино-часов для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3, 4 равны 65, 70, 55, 45 рублей. Составить план производства, позволяющий получить максимальную чистую прибыль.

  1. Завод выпускает изделия трех моделей. Для их изготовления используются два вида ресурсов А и В, запасы которых составляют 4000 и 6000 единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведены в таблице.

Ресурс

Расход ресурса на одно изделие данной модели

1

2

3

А

2

3

5

В

4

2

7

Трудоемкость изготовления модели 1 вдвое больше, чем модели 2, и втрое больше, чем модели 3. Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий модели 1. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей 1, 2 и 3, соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей 1, 2 и 3 должно быть равно 3:2:5. Прибыль от реализации изделий моделей 1, 2, 3 составляет 30, 20, 50 рублей, соответственно. Определить количество выпускаемых изделий, при котором будет получена максимальная прибыль.

  1. Предприятие производит два вида фотопленок: Ц – цветная и ЧБ – черно-белая. Трудоемкость изготовления Ц вдвое выше трудоемкости изготовления ЧВ. Если бы предприятие выпускало только фотопленку типа Ц, то суточный объем производства мог бы составить 5000 ед. На фотопленку Ц требуется 350 ед. исходного материала, а на фотопленку Ч – 200 ед. Запас исходного материала ограничен 600000 единицами. Суточный объем сбыта фотопленки обоих видов ограничен диапазоном от 1500 до 2000 штук. Прибыль от продажи пленки типа Ц равна 80 руб., а типа ЧВ – 50 руб. Определить какое количество фотопленки каждого типа следует изготовить, чтобы максимизировать прибыль.

  2. Автозавод выпускает две модели автомобилей: “Каприз” и “Фиаско”. На заводе работает 1000 неквалифицированных и 800 квалифицированных рабочих, каждому из которых оплачивается 40 ч в неделю. Для изготовления модели “Каприз” требуется 30 часов неквалифицированного и 50 часов квалифицированного труда; для “Фиаско” требуется 40 часов неквалифицированного и 20 часов квалифицированного труда. Каждая модель “Фиаско” требует затрат в размере 500 рублей на сырье и комплектующие изделия, тогда как каждая модель “Каприз” требует затрат в размере 1500 рублей; суммарные затраты не должны превосходить 900000 рублей в неделю. Рабочие, осуществляющие доставку, работают пять дней в неделю, и могут забрать с завода не более 210 машин в день. Каждая модель “Каприз” приносит фирме 1000 рублей прибыли, а каждая модель “Фиаско” - 500 рублей прибыли. Какой объем выпуска каждой модели Вы бы порекомендовали для повышения прибыли?

  3. Корреспонденция компании отправляется 3 способами: по электронной почте, по факсу и по обычной почте. Каждый из видов пересылки характеризуется скоростью, допустимым объемом пересылаемой информации, конфиденциальностью и стоимостью.

Вид связи

Время доставки

Объем

Конфиденциальность

Цена

Эл. Почта

2

20

2

9

Факс

7

5

5

20

Почта

25

30

15

50

Компания исходит из тех расчетов, что для ее успешной работы минимальный объем пересылаемой корреспонденции должен составлять 400 ед., время пересылки не должно превышать 400 ед., а конфиденциальность должна составлять не менее 250 ед. Как организовать отправку корреспонденции, чтобы выполнить указанные ограничения и затратить минимум средств на ее пересылку?

  1. Фирма выпускает два типа деталей: А и В. Для этого она закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверлению и шлифовке. Данные, характеризующие загрузку станочного парка фирмы, приведены в таблице:




Станки

Деталь А, шт/ч

Деталь В, шт/ч

Токарный

25

40

Сверлильный

28

35

Шлифовальный

35

25

Каждая отливка, из которой изготавливают деталь А, стоит 2 рубля. Стоимость отливки для детали В – 3 рубля. Продажная цена деталей равна 5 и 6 рублей, соответственно. Стоимость часа станочного времени составляет для используемых станков 20, 14 и 17,5 рублей. Найти оптимальный план выпуска продукции, позволяющий максимизировать прибыль.

  1. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя радиосеть и телевидение. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой 1000 рублей в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 руб., а каждая минута телерекламы – в 100 руб. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

  2. Имеется 6 видов мебели: гардероб, книжный шкаф, буфет, стул, стол и диван. Необходимость этих предметов расценивается с точки зрения их вместимости, комфортности и площади, которую они занимают, а также их стоимости.

Мебель

Вместимость

Комфорт

Площадь

Цена

Гардероб

10

1

1

8000

Книжный шкаф

5

1

0,6

5000

Буфет

4

1

0,5

7000

Стул

0

8

0,2

1000

Стол

0

7

0,5

2000

Диван

0

10

2

10000

Каталог: posobiya
posobiya -> Право жить в согласии. Обзор книг серии «Детям о праве» П. Астахова
posobiya -> «Централизованная библиотечная система» межпоселенческая библиотека им. М. А. Ульянова сектор обслуживания читателей-детей
posobiya -> Любви все возрасты покорны. Диспут
posobiya -> «Дети святы и чисты…» Беседа о детских произведениях Антона Павловича Чехова
posobiya -> Указатель для детей и их родителей Омск 2008 Булатов Эрик Владимирович
posobiya -> Вам и не снилось: литературный вечер-знакомство с повестью Г. Щербаковой «Вам и не снилось» из цикла «Читаем вместе»
posobiya -> Программа «Откуда пошла славянская письменность» Цель
posobiya -> Тюкалинск, 2011 Читательское назначение
posobiya -> Чрезвычайные ситуации на химически опасных объектах с выбросом аварийно химически опасных веществ в окружающую природную среду методическая разработка для студентов всех специальностей дневной формы обучения Нижний Новгород 2009


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница