Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012



страница1/12
Дата07.07.2016
Размер1.15 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Алгебраические структуры

Учебно-методическое пособие

для студентов гуманитарных направлений

Саранск 2012



СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................Введение 3

1. Необходимые понятия и определения из теория множеств 4

1.1Понятие о множестве 4

1.2Виды множеств 4

1.3Способы задания множеств 5

1.4Подмножества данного множества. 5

Равенство множеств 5



1.5Действия над множествами 6

1.6Разбиение множества на классы 8

1.7 Перестановки 10

1.8Отображения множеств. Подстановки 12

2. Бинарные операции на множестве. Свойства операций. Специальные элементы множества относительно данной операции 15

2.1Введение 15

2.2Понятие внутренней бинарной операции 17

2.3Всюду определенные операции на множестве 18

или алгебраические операции 18



2.4Коммутативные операции 19

2.5Ассоциативные операции 20

2.6Дистрибутивные операции 20

2.7Специальные элементы множества относительно 22

алгебраической операции 22



2.8Симметризуемые элементы. 24

Симметризуемые операции 24



3. Алгебраические структуры: группы, кольца, поля 25

3.1Введение 26

3.2Определение группы и следствия, вытекающие из них 28

3.2.1Первое определение группы и следствия, 28

вытекающие из него 28

3.2.2Второе определение группы и следствия, 29

вытекающие из него 29

3.2.3Эквивалентность определений группы 31

3.2.4Мультипликативная группа подстановок n элементов 32

3.2.5Определение конечной группы 36



3.3Понятие кольца. 38

Простейшие свойства элементов кольца 38

3.3.1Определение кольца. Виды колец 38

3.3.2Основные следствия, вытекающие из определения кольца 39

3.3.3Простейшие свойства элементов кольца 40

3.3.4Делитель нуля в кольце 41

3.3.5Кольцо классов вычетов по mod m 44

3.4Понятие поля. Поля классов вычетов 49


Вопросы и упражнения ......................................................................................................... 45

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................................................................. 48

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................Введение

Общий курс математики в настоящее время включает в себя довольно много разделов современной математики: дискретную математику, элементы функционального анализа, новейшие методы математической статистики и т.д.

В частности государственный стандарт предполагает знакомство студентов специальности "Прикладная математика в экономике" с элементами общей алгебры.

Данное учебное пособие предназначено для первого ознакомления с понятиями основных алгебраических структур: группа, кольцо, поле. Оно обращено к студентам не математикам первых курсов, представителям нематематических специальностей, которым всё чаще приходится сталкиваться в их работе с алгебраической тематикой.

Дело в том, что при наблюдаемой "математизации" всех отраслей знания алгебра занимает всё более и более значимое место. Её методы и основные объекты (так называемые алгебраические структуры – группы, кольца, поля) проникают во многие математические дисциплины и другие науки. Возможности же овладеть соответствующим понятийном аппаратом для широкого круга не математиков достаточно ограничены. По так называемой общей алгебре выходит большое число учебников и книг как отечественных авторов, так и зарубежных. К сожалению, они обычно доступны лишь читателю, который уже приобрёл некоторые навыки в понимании достаточно абстрактных определений и рассуждений. Подчеркнуть же такие навыки и заполнить большое число абстрактных понятий содержательными представлениями по существу негде.

Представленное пособие предполагает заполнить имеющийся здесь пробел. Для этого мы постарались строить наше изложение так, чтобы алгебраические структуры и их основные свойства как можно более естественно возникали из привычного традиционно сложившегося материала: из арифметики, элементарной алгебры, геометрии и комбинаторики.

Мы считаем, что читатель, внимательно изучивший это пособие, выполнив предложенные задания, будет владеть теми познаниями и навыками, которые откроют ему доступ к обширной учебной, монографической и журнальной литературе, посвящённой современной алгебре или использующей алгебраический аппарат.

1. Необходимые понятия и определения из теория множеств




    1. Понятие о множестве


Множества и числа образуют фундамент для построения изящного и прочного здания математики, которое позволяет человеку находить разумные решения задач науки и техники, поставленные перед ним, его бытиём и сознанием.

Никто не знает, когда в сознании человека возникло понятие о множестве и числе. Но это уж и не столь важно. В самом деле, вне зависимости от этого, мы с успехом пользуемся теорией множеств и чисел, как весьма тонким и сильным исследовательским аппаратом естествознания.

Действительно, исходной точкой рассуждения человека являются изучаемые им объекты. Каждый из этих объектов обладает некоторым свойством, которым может обладать или не обладать другой объект.

Поэтому при изучении объектов у нас возникает естественная потребность к объединению этих объектов по общему для них признаку в одно целое. В результате, в нашем сознании возникает понятие множества объектов, которое обладает одним и тем же свойством.

Эти объекты называются элементами множества.

Следовательно, элементами множества называются изучаемые нами объекты, объединённые в это множество.

Очевидно, мы встречаемся с множествами, отличающимися друг от друга природой элементов.

Поэтому, можно говорить о множестве людей, живущих в данном городе, о множестве треугольников, расположенных на плоскости, о множестве слов, помещенных на страницах данной книги, о множестве атомов водорода в Солнце, о множестве плодовых деревьях во всех садах земного шара, о множестве натуральных чисел и т. д.

Итак, множество представляется нам множественностью, мыслимой как единство.

Заметим, что понятие множества не имеет определения, т. к. оно является понятием элементарным, первичным.

В дальнейшем, как множества, так и их элементы мы чаще всего будем обозначать буквами.

Факт принадлежности элемента a множеству М будем обозначать записью вида: aM.

В дальнейшем мы будем предполагать, что для любого элемента из фиксированного множества M имеет место только одно штатное суждение: или .

Если же элемент b не принадлежит множеству M , то будем писать: bM.






    1. Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница