Существует, это 43 и 34



Скачать 147.68 Kb.
Дата23.05.2016
Размер147.68 Kb.
7 класс
1. Существует ли двузначное число, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84? Если да – найдите все такие числа, если нет – докажите это.
Решение. Существует, это 43 и 34. Если число записано цифрами х и у, то ху(х + у) = 84. Один из множителей делится на 7. Если х + у = 14, то xy явно больше 6, что противоречит условию. Если, скажем, х = 7 или у = 7, то х + у = 12 (других делителей, больших 7, не остается) – тоже неверно. Значит, х + у = 7. Далее аккуратный перебор.
Критерии. Каждое предъявленное число – 2 балла, обоснование отсутствия других решений – до трех баллов.

2. Клетки доски 7×7 покрашены в шахматном порядке (угловая клетка – черная). Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в черный цвет?


Решение. Можно. Вариант решения (жирно выделены перекрашиваемые «доминошки»). Звездочками помечены черные клетки.


Шаг 1

*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




*




Шаг 2

*

_

_

*

*

_

*

*







*

*







*







*

*




*

*







*

*







*







*

*




*

*







*

*







*







*

*




*




Шаг 3.

*

*

*

*

*

_

*

*

*

*

*

*




*

*

*

*

*

*







*

*

*

*

*







*

*

*

*

*




*

*

*

*

*

*




*

*

*

*

*

*









Разумеется, возможны и другие варианты порядка раскрашивания.

Критерий: любая правильная цепочка раскрашиваний – 7 баллов. Только ответ – 0.

3. На острове растут 18 пальм. На них поровну кокосов. Подул ве­тер, и с некоторых пальм кокосы осыпались: с каких-то могла упасть ровно по­ловина, с каких-то – ровно треть всех кокосов, с остальных же ничего не упало. При этом со всех пальм вместе упала ров­но одна девятая часть всех кокосов. Со скольких пальм кокосы могли не упасть?


Ответ: 12, 13 или 14.

1/9 часть всех кокосов – это количество кокосов на 2 пальмах.

Как можно получить число 2, складывая только дроби ½ и ⅓?

Возможны варианты:

1) с 2 пальм упало по половине кокосов, с 3 – по трети. Тогда ответ 13.

2) с 4 пальм упало по половине кокосов, по трети не падало. Тогда ответ 14.

3) с 6 пальм упало по трети кокосов, по половине не падало. Тогда ответ 12.

Критерии. Предъявлен только ответ 13 – 3 балла, за остальные – по 2 балла.

4. Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причем каждый трактор вспахивает в день 15 га. Сколько тракторов потребуется дополнительно для того, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?
Количество тракторов может быть только делителем числа 20, т.е. 1, 2, 4, 5, 10, 20. В этих случаях тракторам потребуется соответственно 20, 10, 5, 4, 2 и 1 день для окончания работы. Разница в 6 дней возможна, только если сначала дней было 10 (для двух тракторов), а затем стало 4 (для 5 тракторов). Таким образом, потребуются 3 трактора.

Критерий: за ответ 3 с примером – не более 3 баллов.


5. Можно ли из 5 одинаковых прямоугольников с периметром 10 и сторонами, длины которых не являются целыми числами, составить один прямоугольник с периметром 22?
Можно. Достаточно взять 5 прямоугольников 3,5×1,5 и приложить их большими сторонами руг к другу.

8 класс
1. В записи 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 35 замените знаки «*» знаками «+» и «−» так, чтобы равенство стало верным


Ответ: 1 – 2 – 4 – 8 + 16 – 32 + 64

2. Квадрат 5×5 заполнен некоторыми числами (положительными и отрицательными) так, что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном столбце произведение чисел тоже отрицательно


Решение 1. Если в каждой строке произведение отрицательно, то произведение чисел во всей таблице отрицательно (находим его как произведение этих пяти произведений; перемножаем 5 отрицательных чисел, получаем отрицательное). Тогда, если бы произведение чисел в каждом столбце было бы положительным, то и произведение чисел во всей таблице тоже было бы положительным – противоречие.

Решение 2. В каждой строке нечетное число отрицательных чисел, общее число строк нечетно, значит, общее количество отрицательных чисел в квадрате нечетно. Нечетное число нельзя представить в виде суммы пяти четных чисел, значит, хотя бы в одном столбце количество отрицательных чисел нечетно.

3. Можно ли составить три несократимые дроби, произведение ко­торых равно 1, использовав в качестве числителей и знаменателей этих дробей шесть чисел из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? (Каждое число мож­но использовать один раз или не использовать вовсе)
Можно. Пример: 1/6 * 8/3 * 9/4

4. Клетки доски 7×7 покрашены в шахматном порядке (угловая клетка – белая). Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в черный цвет?


Нельзя. Первоначально белых клеток 25, черных 24. При любом перекрашивании 2 клеток разница между числом белых и числом черных клеток либо не изменяется (если красятся клетки разного цвета), либо меняется сразу на 4 (если красятся клетки одного цвета). Вначале разность между числом черных и белых клеток равнялась 24 – 25 = – 1, а должна стать 49 – 0 = 49, т.е. ей придется измениться на 50. Но 50 на 4 не делится – противоречие.

5. Три натуральных числа a, b, c подобраны так, что НОД(ab, c)=НОД(a, bc). Докажите, что после сокращения дроби a/c получится несократимая дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты с b.


Достаточно доказать, что любое простое число p, входящее в разложение на простые множители числа b, входит в разложение числа а и в разложение числа с в одинаковых (возможно, нулевых) степенях. Докажем это. Действительно, пусть, например, в разложение числа a входит больше множителей p, чем в разложение числа c. Тогда в разложение числа НОД(ab,c) число p входит с тем же показателем, что и в число с. А в НОД(а, сb) входит с большим показателем, потому что и в числе а и в числе cb больше множителей p, чем в числе с. Аналогично разбирается второй случай.

9 класс.
1. Найти все значения x и y, удовлетворяющие равенству xy + 1 = x + y.

После разложения на множители (х – 1)(у – 1) = 0 ответ очевиден.

Ответ: х = 1, у – любое или у = 1, х – любое.

2. Квадрат 7×7 заполнен некоторыми числами (положительными и отрицательными) так, что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном столбце произведение чисел тоже отрицательно.
Решение 1. Если в каждой строке произведение отрицательно, то произведение чисел во всей таблице отрицательно (находим его как произведение этих семи произведений; перемножаем 7 отрицательных чисел, получаем отрицательное). Тогда, если бы произведение чисел в каждом столбце было бы положительным, то и произведение чисел во всей таблице тоже было бы положительным – противоречие.

Решение 2. В каждой строке нечетное число отрицательных чисел, общее число строк нечетно, значит, общее количество отрицательных чисел в квадрате нечетно. Нечетное число нельзя представить в виде суммы семи четных чисел, значит, хотя бы в одном столбце количество отрицательных чисел нечетно.


3. На какое количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 207? Указать все варианты и доказать, что других нет.
Максимум – 5 (125, 50, 32). Все три числа делиться на 5 не могут (иначе их сумма делилась бы на 5); ни одно число не может делиться на 54 = 625 > 207; два числа не могут делиться оба на 53, т.к. 125 + 125 > 207.

Далее достаточно привести примеры произведений, оканчивающихся на 4, 3, 2, 1, 0 нулей. Вариантов много. К примеру:

На 4 нуля: 100, 100, 7

На 3 нуля: 100, 5, 102

На 2 нуля: 100, 99, 8

На 1 нуль: 4, 5, 198

Нет нулей: 205, 1, 1.

Комментарий: доказательство, что нулей не больше пяти – 3 балла. Пример на 5 нулей – 2 балла. За примеры для остальных вариантов – еще 2 балла.


4. На плоскости даны некоторая точка и квадрат. Могут ли расстояния от этой точки до вершин квадрата быть равными 1, 1, 2 и 3?
Нет.

а) Пусть точка О равноудалена от двух соседних вер­шин квадрата (А, В). Если она при этом не принадлежит границе квадрата, то получаем равнобедренный треугольник АОВ. Незави­симо от того, внутри квадрата она или вне квадрата, имеем равно­бедренный треугольник COD (аналогично, если О лежит на грани­це). Противоречие.

б) Пусть точка О равноудалена от двух противоположных вер­шин квадрата (А, С) и лежит внутри квадрата. Тогда она на диаго­нали BD. Значит, ВО + OD = 5 = АС. В треугольнике АСО наруше­но неравенство треугольника.

в) Пусть точка О равноудалена от двух противоположных вер­шин квадрата (А, С) и лежит вне квадрата. Тогда она на продолже­нии диагонали BD. Пусть D лежит между В и О, значит, OD = 2 и в треугольнике ADO против тупого угла D лежит меньшая сторона.

г) Если точка О равноудалена от двух противоположных вер­шин квадрата и лежит на его границе, то она совпадает с одной из вершин, что невозможно.
За рассмотрение не всех случаев расположения точки О – не более 3 баллов
5. Можно ли расставить в таблице 3×3 девять различных четырехзначных чисел так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних клетках делилась нацело на 2014?

Можно. Пример:



2014 – х

6042 + х

8056 – х

2014 + х

6042 – х

8056 + х

4028 – х

4028 + х

10070 – х

В качестве х можно взять, например, 100 (чтобы все числа остались 4-значными)

10 класс
1. В Мордоре живут эльфы и люди. От тяжелой жизни каждый десятый человек считает себя эльфом, а каждый десятый эльф считает себя человеком. Всего же каждый пятый житель Мордора считает себя эльфом. Какова доля настоящих эльфов среди населения Мордора?
Ответ: 1/8.

Пусть х – число настоящих людей, y – число настоящих эльфов. Тогда эльфами себя считают 0,1х + 0,9y = 0,2 (х + у). Решая, получим: х = 7у – людей в 7 раз больше, чем эльфов. Значит, эльфы составляют 1/8 часть всего населения Мордора.


2. Доказать, что число 55555…55555 (в записи 2015 пятерок) делится на 41.


Это число делится на 11111 = 41*271.

3. Сколько единиц можно расставить в клетках данного квадрата так, чтобы сумма чисел в каждом из рядов (горизонтальных, вертикальных и всех диагональных), оказалась не более двух? Две единицы уже стоят.



1







































































































1

Ответ: 12 (с учетом уже стоящих).

Максимальность следует из того, что в каждой из 6 горизонталей может стоять не более 2 единиц, итого – не более 12.
Пример:


1













1







1

1










1







1







1







1










1

1







1













1

Только ответ – 0.

Доказательство максимальности без примера – 2

Пример без доказательства максимальности – 4

4. Пусть около треугольника АВС описана окружность. Прямая l касается этой окружности в т. А. На сторонах АВ и АС взяты точки D и Е соответственно, так, что AD = 6, АЕ = 5, ЕС = 7 и DE || l. Найти длину отрезка BD



Углы МАВ и АСВ равны как угол между касательной и хордой и вписанный угол, опирающийся на ту же хорду. Углы МАВ и АDЕ равны как внутренние накрест лежащие. Значит, треугольники АDЕ и АСВ подобны (угол А у них общий). Имеем:

AD : AC = AE : AB,

6 : 12 = 5 : (6 + ВD),

BD = 4.
5. Известно, что и Какое наименьшее значение может принимать сумма

Ответ: 50.

Из условия следует, что

Равенство достигается, например, при


Пример без доказательства минимальности – 2 балла.

11 класс
1. Доказать, что число 55555…55555 (в записи 2015 пятерок) делится на 271.

Это число делится на 11111 = 41*271

2. Найти все тройки целых чисел a, b, c таких, что


Выделим полные квадраты:

Так как числа a, b, c целые, то один из квадратов равен 1, остальные – нулю.

Перебором получаем все ответы:

(1, –2, 2), (1, –2, 4), (1, –1, 3), (1, –3, 3), (2, –2, 3), (0, –2, 3).

3. Найти все значения параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы одно целое решение.

Достаточно построить график левой части


Тогда это уравнение имеет целочисленные решения только при а = ±1 и а = ±3

4. В равнобедренном треугольнике угол АВС = 100º, ВР – биссектриса. Доказать, что АР + РВ = ВС.

Так как угол ВАС тупой, то АВ и ВС – боковые стороны, углы АВС и АСВ равны 40º, АВР и РВС – по 20º. Возьмем на стороне ВС точку М такую, что ВМ = ВР. В равнобедренном треугольнике ВМР углы при основаниях равны 80º. Сумма углов ВАР и РМВ равна 180º, то есть четырехугольник АВМР – вписанный. Хорды АР и РМ равны, так как равны опирающиеся на них вписанные углы. Треугольник РМС равнобедренный (в нем угол СРМ = 180º – ВРМ – АРВ = 180º – 80º – 60º = 40º), РМ = МС = АР, откуда и следует условие задачи.


5. Для заданного простого числа р найти все пары целых чисел x, y, для которых выполняется равенство p(x + y) = ху (III.37.12)
Хотя бы одно из чисел х, у делится на р. Пусть х = kp, k – целое. Тогда Так как числа k и k – 1 взаимно простые, то p делится на k – 1. Но так как число p простое, то k – 1 может равняться только 1, –1, p и –р. Рассмотрев 4 случая (k = 2, 0, 1 + р, 1 – р) и не забыв про симметричный вариант, когда у делится на p , получим 6 решений:

(0; 0), (2р, 2р), (р + 1, р(р + 1) ), (р(р + 1), р + 1), (р – 1, р(1 – р) ), (р(1 – р), р – 1).


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница