Практикум по учебной дисциплине «Математические методы в программировании»



страница1/2
Дата06.06.2016
Размер0.7 Mb.
ТипПрактикум
  1   2


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
ГБОУ СПО «Ставропольский региональный колледж вычислительной техники и электроники»

ПРАКТИКУМ

по учебной дисциплине

«Математические методы в программировании»

Специальность: 09.02.03 (230115) Программирование в компьютерных системах

Ставрополь, 2014

Составитель: Т.В. Давыдова, преподаватель математики высшей категории

Рецензент: А.А. Скорынина, преподаватель профессионального цикла высшей категории

Настоящее учебное пособие представляет собой сборник практических работ по учебной дисциплине «Математические методы в программировании». Сборник содержит краткий теоретический материал по теме «Линейное программирование», примеры решения задач и индивидуальные задания.

Пособие предназначено для обучающихся СПО по специальности 09.02.03 (230115) Программирование в компьютерных системах.

Содержание


  1. Введение

  2. Практическая работа №1

  3. Практическая работа №2

  4. Практическая работа №3

  5. Практическая работа №4

  6. Практическая работа №5

  7. Практическая работа №6

  8. Практическая работа №7

  9. Список рекомендуемой литературы


Введение

Линейное программирование - раздел дисциплины «Математические методы в программировании», который изучает теорию и методы поиска лучших вариантов планирования хозяйственной деятельности человека как на одном определенном предприятии, так и в некоторой отрасли. Лучшие варианты – это те, при которых достигается максимальная производительность труда, минимум себестоимости, максимальная прибыль, минимум использования ресурсов и т.д. С точки зрения математики – это класс оптимизационных задач. Основным инструментом при их решении является математическое моделирование. Математические модели большинства экономических задач относятся к классу задач линейного программирования (ЗЛП). Любая ЗЛП, приведенная к канонической форме, может быть решена с помощью универсального алгоритма – симплекс-метода. Однако, ручной счет по данному методу – достаточно трудоемкий процесс. Изучив алгоритмы «ручного» решения задач линейного программирования, полезно познакомиться и со способом упростить этот процесс. Ясно, что чем сложнее задача, чем больше в ней переменных и условий, тем утомительнее и дольше ее решать. В таких случаях удобно использовать программу Microsoft Excel.

Изучение дисциплины «Математические методы в программировании» включает не только теоретическую подготовку в области математики, но и овладение навыками построения математических моделей, знания компьютерных технологий, подходов и методов к решению задач. Тем самым в процессе изучения предмета, как одной из важных его составляющих обучающемуся необходимо приобрести практические навыки по постановке задачи, переводу ее на математический язык, освоить и понять ее решение различными методами.

Настоящий сборник как раз и ориентирован на получение практических навыков в изучении дисциплины «Математические методы в программировании». В пособии каждая практическая работа сопровождается краткими теоретическими сведениями, подробным разбором решения задачи и перечнем заданий для самостоятельного решения.

В результате выполнения практических работ по теме «Линейное программирование» обучающийся должен уметь:


  • составлять простейшие математические модели задач, возникающих в практической деятельности людей;

  • решать задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом;

  • находить оптимальное решение транспортной задачи методом

потенциалов;

  • решать задачи линейного программирования с помощью Microsoft Excel.


Практическая работа №1 (2 часа)

Тема: Построение простейших математических моделей

Цель работы: научиться составлять простейшие математические модели задач, возникающих в практической деятельности людей.

1. Теоретические сведения

1.1. Общая постановка задачи линейного программирования

В общем виде оптимизационная задача записывается следующим образом:



,

где U-область допустимых значений переменных

F(х)-целевая функция.

Задача линейного программирования имеет вид:



где - коэффициенты задачи линейного программирования.

При этом система линейных уравнений и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи U, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция F(х) называется целевой функцией или критерием эффективности.

1.2. Задачи на построение математической модели задач линейного программирования

Математическая модель – это система математических соотношений, приближено, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

Построение экономико-математических моделей задач линейного программирования рассмотрим на конкретном примере.

Задача: Предприятие производит два вида продукции - и , которая поступает в продажу. Для производства продукции используется два вида ресурсов - A и B. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 10 и 15 единиц соответственно. Расход сырья на единицу каждой продукции приведен в таблице 1.1.

Таблица 1.1.



Ресурсы

Расходы сырья на 1ед. продукции

Запас сырья, ед.





A

1

2

10

B

3

2

15

Известно также, что суточный спрос на продукцию никогда не превышает спроса на продукцию более, чем на 2 ед., а спрос на продукцию никогда не превышает 3 ед. в сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны: 4 денежные единицы для и 5 денежных единиц для.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был бы максимальным?



Решение:

Для построения математической модели необходимо идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Обозначим через количество единиц продукции , а через - соответственно количество единиц продукции , которые производят предприятия. Так как производство продукции ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, и количество изготавливаемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

Доход от реализации единиц продукции и единиц продукции составит

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение.
2. Индивидуальные задания

Запишите математическую модель для следующих задач:

Задача 1. Для выпуска четырёх видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице.

Тип ресурсов

Нормы затрат ресурсов на единицу продукции

Наличие ресурсов

1

2

3

4

Сырьё

3

5

2

4

60

Рабочее время

20

10

20

15

200

Оборудование

5

10

4

5

100

Прибыль на единицу продукции

30

25

10



15




Необходимо определить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая прибыль выпускаемой продукции была максимальной.

Задача 2. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить определённое количество питательных веществ, содержащихся в фруктах (см. таблицу).


Вещества


Содержание питательных веществ

Нормы потребления

Яблоки

Смородина

Клубника

Р1

3

2

1

30

Р2

1

2

4

40

Р3

0

5

0

60

Р4

0

1

1

70

Р5

2

4

1

50

Цена, руб. за 1 кг

30

40

60




Определите, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача. Стоимость покупки должна быть минимальной.

Задача 3. Известно, что содержание трёх питательных веществ А, В, С в рационе должно быть не менее 80, 60 и 30 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном кг каждого из видов продуктов приведено в таблице.

Питательные вещества

Количество единиц питательных веществ

1

2

3

А

1

4

3

В

2

4

2

С

2

1

3

Цена за 1кг продукции

10

12

8

Определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.

Задача 4. Составьте дешёвый вариант 1 т кормовой смеси в соответствии с требованиями, представленными в таблице.

Питательные вещества

Содержание вещества, %

Содержание питательных веществ, т

Люцерновая мука

Сухая барда

Рыбная мука

Соевый шрот

Белок

Не менее 35

17

25

60

45

Жиры

Не менее 1,5

2

5

7

0,5

Клетчатка

Не более 8

25

3

1

6,5

Стоимость1т, руб




70

90

150

100

В результате выполнения заданий в отчет записать:



  • математическую модель задачи;

  • сделать вывод;

  • ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

1. В каком виде можно представить задачу линейного программирования?

2. Какому условию должны удовлетворять значения переменных?

3. Что выражает целевая функция?

4. Понятие математической модели.

5. Классификация математических моделей.

6. Принципы построения математических моделей.
Практическая работа №2 (2 часа)

Тема: Решение задач линейного программирования графическим способом

Цель работы: научиться решать задачи линейного программирования графическим способом, используя геометрическую интерпретацию ЗЛП.

1. Теоретические сведения

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования (ЗЛП) и применяется для решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами. Он хорошо иллюстрирует основные принципы поиска решения ЗЛП и анализа устойчивости этого решения.

Рассмотрим графический метод решения на примере следующей задачи.

Задача: Максимизируйте функцию при ограничениях:

х1, х2≥0



Решение:

Каждое из неравенств системы ограничений геометрически определяет полуплоскость. Пересечение этих полуплоскостей задает область допустимых решений планов ЗЛП.

В общем случае такая область представляет собой одну из следующих фигур: выпуклый многоугольник, неограниченная многоугольная область, луч, отрезок, точка или пустая область.

Для построения данной области необходимо начертить граничные прямые по уравнениям системы ограничений, в которых неравенства заменяются равенствами.

х1+3х2=14 – прямая 1;

1+2х2=26 – прямая 2;

х12=5 – прямая 3;

х2=4 – прямая 4.

Неравенства х12≥0 означают, что область решения будет расположена в первой четверти координатной плоскости.

Пример построения такой области для решаемой задачи приведен на рис.1.


c:\documents and settings\sazkazi\мои документы\мои рисунки\2010-01-24\save0002.bmp

рис.1


На рисунке номер прямой определяет порядковый номер ограничения. Латинскими буквами обозначены точки пересечения прямых. Таким образом, заштрихованная на рис.1 область OABCDE будет областью допустимых решений, определенной ограничениями задачи. Крайние точки полученной выпуклой многогранной области будут соответствовать допустимым базисным решениям задачи.

Для нахождения оптимального плана сначала определяют направление максимального возрастания значения целевой функции. Для этого находят вектор градиента G, координатами которого являются коэффициенты целевой функции. Для данного примера он имеет значение G=(3,3). Прямая, идущая в направлении градиента, также обозначена на рисунке буквой G.

Для определения оптимального решения необходимо построить прямую, перпендикулярную линии градиента и перемещать ее параллельно вдоль линии градиента до самой удаленной точки области. Такие прямые, перемещаемые вдоль линии градиента являются не чем иным, как линиями уровня плоскости. Если решается задача поиска максимума, то линии уровня перемещаются в направлении возрастания градиента до поиска самой удаленной точки области ограничений. В случае поиска минимума - линии перемещаются в направлении, противоположном возрастанию градиента до самой удаленной точки. На рисунке показана линия уровня F, определяющая оптимальную точку C, в которой значение целевой функции достигает своего максимума.

Зная, какая точка задает оптимальное решение, можно точно вычислить ее координаты. Для данного примера точка C находится на пересечении прямых 1 и 2. Записав систему уравнений этих прямых, определяем координаты точки пересечения:



В результате получаем х1=5, х2=3. Подставляя найденный результат в целевую функцию, имеем искомое оптимальное значение .



Ответ:
2. Индивидуальные задания

Решить графически задачу линейного программирования:

Задача 1.

Максимизируйте функцию Z=2х1+3х2 при ограничениях:



х1≥0, х2≥0.



Задача 2.

Максимизируйте функцию Z=3х1-3х2 при ограничениях:



х1≥0, х2≥0.



Задача 3.

Максимизируйте функцию Z=3х1+4х2 при ограничениях:




Задача 4.

Максимизируйте функцию Z=х1+2х2 при ограничениях:




Задача 5.

Максимизируйте функцию Z=х12 при ограничениях:




Задача 6.

Максимизируйте функцию Z=2х12 при ограничениях:



х1≥0, х2≥0.


В отчёте представить:

  • графическую интерпретацию задачи;

  • полное описание хода решения задачи;

  • полный ответ;

  • ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

  1. В каком случае возможно применение графического метода решения задач линейного программирования?

  2. Что необходимо сделать, чтобы определить точные координаты точек экстремума?

  3. Что является решением ЗЛП, если в системе ограничений встречается знак неравенства (например, в условиях неотрицательности)?

  4. В какой полуплоскости расположено множество решений системы ограничений ЗЛП?


Практическая работа №3 (2 часа)

Тема: Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Цель работы: научиться использовать симплекс-метод для решения задач линейного программирования.

1. Теоретические сведения

Симплекс-метод является наиболее распространенным универсальным методом, который может быть применен для решения любых задач линейного программирования как вручную, так и с помощью ЭВМ.

Идея метода состоит в последовательном продвижении по базисам опорных планов задачи, т.е. в последовательном улучшении планов задачи по определенному критерию до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Для решения ЗЛП необходимо выполнить следующие процедуры:



  • привести математическую модель задачи к каноническому виду;

  • определить начальное допустимое базисное решение задачи;

  • ввести в исходную симплекс-таблицу параметры, соответствующие начальному базисному решению.


Алгоритм симплекс-метода

1. После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой.



2. Исходную расширенную систему заносим в первую симплексную таблицу (таблица 1).

Таблица 1

Базис

Свобод-

Переменные

Оценочное




ный член

х1

х2

х3

х4

х5

х6

отношение

х4

b1

а11

а12

а13

а14

а15

а16




х5

b2

а21

а22

а23

а24

а25

а26




х6

b3

а31

а32

а33

а34

а35

а36




F

с0

1

2

3

4

5

6






Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых при расчете наибольшего возможного значения переменной. Далее таблица преобразуется по определенным правилам.

3. Проверяем выполнение критерия оптимальности при решении задачи на максимум — наличие в последней строке отрицательных коэффициентов. Если таких нет, то решение оптимально, достигнут max F = с0 (в левом нижнем углу таблицы), основные переменные принимают значения bi (второй столбец), основные переменные равны 0, т.е. получаем оптимальное базисное решение.

4. Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент ci< 0 в последней строке определяет разрешающий столбец s.

Составляем оценочные отношения по следующим правилам:

1) ∞ если bj и ais имеют разные знаки;

2) ∞, если bj = 0 и ais < 0;

3) ∞, если аij = 0;

4) 0, если bj = 0 и ais > 0;

5) {|bi|aij|}, если bi и аij имеют одинаковые знаки.

Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума (Fmax = ∞). Если минимум конечен, то выбираем строку, на которой он достигается (любую, если их несколько), и называем ее разрешающей строкой. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент ags.



5. Переходим к следующей таблице по правилам:

а) в левом столбце записываем новый базис: вместо основной


переменной xqпеременную хs;

б) в столбцах, соответствующих основным переменным, проставляем нули и единицы: 1 — против "своей" основной переменной, 0 — против "чужой" основной переменной;

в) новую строку с номером q получаем из старой делением на
разрешающий элемент aqs;

г) все остальные элементы вычисляем по правилу прямо-


угольника:




Далее переходим к п.3 алгоритма. Процесс вычисления заканчивается, когда найдено оптимальное решение, либо когда функция буде неограниченной на области допустимых решений.



Задача: Максимизировать функцию при ограничениях:

.

Решение: Расширенная система задачи имеет вид:

Линейную функцию представим в виде Заполняем первую симплексную таблицу. Последняя строка заполняется коэффициентами линейной функции.



Базис

Свобод-

Переменные

Оценочное




ный член

х1

х2

х3

х4

х5

х6

отношение

х3

18

1

3

1

0

0

0

18/3

х4

16

2

1

0

1

0

0

16

х5

5

0

1

0

0

1

0

5 ←

х6

21

3

0

0

0

0

1



F

0

-2

-3

0

0

0

0




В соответствии с п.3 алгоритма проверяем критерий оптимальности. В последней строке имеются отрицательные коэффициенты. Выбираем из них наибольший по модулю (—3); второй столбец разрешающий, переменная х2 перейдет в основные. В соответствии с п.4 находим оценочные отношения и выбираем min {18/3; 16; 5; ∞}= 5. Третья строка является разрешающей (отмечена горизонтальной стрелкой). На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент а32 = 1.

Строим вторую таблицу по правилам п. 5 алгоритма:

а) в новом базисе основные переменные: х3, х4, х2, х6

б) расставляем нули и единицы; например, в клетке, соответст-
вующей основной переменной х3 по столбцу и строке, ставим 1, а
в клетке, соответствующей переменной х3 по строке, а
основной переменной х2 — по столбцу, ставим 0 и т.п. В послед-
ней строке против всех основных переменных ставим 0. Третья
строка получается делением на разрешающий элемент а32 = 1.
Остальные клетки заполняем по правилу прямоугольника. На-
пример:

Получим вторую симплексную таблицу:



Базис

Свобод-

Переменные

Оценочное




ный член

х1

х2

х3

х4

х5

х6

отношение

х3

3

1

0

1

0

-3

0

3 ←

х4

11

2

0

0

1

-1

0

11/2

х2

5

0

1

0

0

1

0



х6

21

3

0

0

0

0

1

7

F

15

-2

0

0

0

3

0




Критерий оптимальности вновь не выполнен. Теперь первый столбец разрешающий; х1 переходит в основные, min{3/l; 11/2; ∞; 7}= 3; первая строка разрешающая, а11 — разрешающий элемент.



Новая симплексная таблица примет вид:

Базис

Свобод-

Переменные

Оценочное




ный член

х1

х2

х3

х4

х5

х6

отношение

x1

3

1

0

1

0

-3

0



х4

5

0

0

-2

1

5

0

5/5 ←

х2

5

0

1

0

0

1

0

5/1

х6

12

0

0

-3

0

9

1

12/9

F

21

0

0

2

0

-3

0




И на этот раз критерий оптимальности не выполнен; пятый столбец и вторая строка разрешающие, 5 — разрешающий элемент.




Базис

Свободный член

Переменные

Оценочное отношение







х1

х2

х3

х4

х5

х6




x1

6

1

0

-1/5

3/5

0

0




х5

1

0

0

-2/5

1/5

1

0




х2

4

0

1

2/5

-1/5

0

0




х6

3

0

0

3/5

-9/5

0

1




F

24

0

0

4/5

3/5

0

0



Критерий оптимальности выполнен, значит Fmax = 24, оптимальное базисное решение (6; 4; 0; 0; 1; 3).

Ответ: Fmax = 24, х1=6, х2=4.
2. Индивидуальные задания

Решить задачу линейного программирования симплекс-методом:

Задача 1. Z= 2х12→max при ограничениях:

12≤6,

1+2х2≤5,

х12≤8,

х1, х2≥0.

Задача 2. Z= 5х12→max при ограничениях:

-3х12≤6,

х12≤10,

х1-4х2≤4,

х1, х2≥0.

Задача 3. Z= 2х1-6х2→max при ограничениях:

х12≥2,

1+2х2≤4,

х1+2х2≤8,

х1, х2≥0.

Задача 4. Z= 2х12→min при ограничениях:

х12≥4,

1+2х2≤2,

х1+2х2≤10,

х1, х2≥0.

Задача 5. Z= 3х1+3х2→max при ограничениях:

1+3х2≤15,

1+6х2≤12,

1≤6,

2≤4,

х1, х2≥0.



Задача 6. Z= 3х1+4х2→min при ограничениях:

1+6х2≥36,

1+8х2≥32,

1≥2,

х1, х2≥0.
В отчёте представить:


  • построение расширенной системы;

  • полное описание хода решения задачи с помощью симплекс-таблиц;

  • полный ответ;

  • ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

  1. В каком случае ЗЛП называется канонической?

  2. Какие методы применяют для решения 3ЛП?

  3. В чём заключается сущность симплекс-метода?

  4. Чем может быть вызвана неразрешимость задачи?


Практическая работа №4 (2 часа)

Тема: Решение задач линейного программирования с помощью Microsoft Excel

Цель работы: научиться использовать возможности табличного процессора

Excel для решения задач линейного программирования.



Оборудование: компьютер, пакет Microsoft Office
1. Теоретические сведения

1.1. Инструкция по использованию Microsoft Excel для решения задач

линейного программирования

Электронные таблицы MS Excel содержат в своем составе специализированные средства, которые позволяют решать большинство типовых практических задач оптимизации.

При решении оптимизационных задач обучающийся должен иметь представление об основах математического моделирования и уметь составлять оптимизационные математические модели. Кроме того, от обучающегося требуется знание основных методов математического программирования и навыки практической работы с пакетом MS Office.

Для того, чтобы решить задачу ЛП в табличном процессоре Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия:



1. Ввести условие задачи:

а) создать экранную форму для ввода условия задачи:

· переменных,

· целевой функции (ЦФ),

· ограничений,

· граничных условий;

б) ввести исходные данные в экранную форму:

· коэффициенты целевой функции,

· коэффициенты при переменных в ограничениях;

· правые части ограничений;

в) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:

· формулу для расчета целевой функции,

· формулы для расчета значений левых частей ограничений;

г) задать целевую функцию (в окне «Поиск решения»):

· целевую ячейку;

· направление оптимизации целевой функции;

д) ввести ограничения и граничные условия (в окне «Поиск решения»):

· ячейки со значениями переменных;

· граничные условия для допустимых значений переменных;

· соотношения между правыми и левыми частями ограничений;



2. Решить задачу:

a) установить параметры решения задачи (в окне «Поиск решения»);

б) запустить задачу на решение (в окне «Поиск решения»);

в) выбрать формат вывода решения (в окне «Результаты поиска решения»).

Рассмотрим подробно использование MS Excel на примере решения следующей задачи.

1.2. Задача об использовании сырья

Небольшая фабрика изготавливает два вида красок: для наружных (Е) и внутренних (I) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 тонну соответствующих красок приведены в таблице:



Исходный продукт

Расход исходных продуктов (в тоннах) на 1 тонну краски

Максимально возможный запас продукта, тонн

краска Е

краска I

А

1

2

6

В

2

1

8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает величину спроса на краску Е более, чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 тонн в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. у.е. для краски Е, 2 тыс. у.е. для краски I.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение:

Пусть х1, х2 – планируемый к производству суточный объём производства краски Е и I соответственно (в тоннах). Тогда целевая функция математической модели будет выражать суммарную прибыль от реализации краски обоих видов, а система ограничений – производственные и маркетинговые ограничения, накладываемые на переменные модели.

Таким образом, математическая модель данной задачи будет иметь вид:

F(x1, x2)=3x1+2x2→max при ограничениях:



Подготовим лист Excel к использованию процедуры «Поиск решения»:



  1. в ячейках C2:D2 записываются наименования переменных модели (в общем случае количество ячеек в данном диапазоне равно количеству переменных в соответствующей математической модели);

  2. ячейки C3:D3 резервируются для значений переменных модели, которые будут найдены после выполнения процедуры «Поиск решения»;

  3. в ячейках C4:D4 записывают коэффициенты при переменных модели в целевой функции модели F(x1, х2);

  4. в ячейки C6:D9 (число строк диапазона равно количеству ограничений в системе ограничений математической модели, число столбцов – числу переменных) заносим матрицу коэффициентов при переменных x1 и х2 в системе ограничений модели;

  5. в ячейках G6:G9 записаны правые части системы ограничений модели;

  6. ячейка Е4 (целевая ячейка) резервируется для вычисления оптимального значения целевой функции модели.

Для рассматриваемого примера лист Excel будет иметь вид (рис. 1):

Рис. 1 Представление исходных данных в таблицах Excel



После занесения исходных данных на лист Excel в целевую ячейку Е4 записывают формулу: СУММПРОИЗВ($C$3:$D$3;C4:D4), которую затем копируют с модификацией в ячейки Е6:Е9 (результат представлен на рис. 2):



Каталог: upload -> 2014
2014 -> «Матрицы и определители» для студентов специальностей
2014 -> Учебно-методическое пособие для бакалавров и специалистов технического вуза Нижний Новгород Издательство фбоу впо «вгавт» 2013 удк п 21
2014 -> Интегрированный урок физика, математика, биология тема урока «Звуковые волны»
2014 -> Контрольные вопросы по освоению курса, терминологический словарь. Для студентам вузов и ссузов, начинающих преподавателей, а также всех интересующихся вопросами культуры
2014 -> 1. Характеристика жанров советской хоровой литературы Массовая песня в 1920-1930 годы ст
2014 -> Урока по дисциплине «Литература (по пьесе А. Н. Островского
2014 -> Краеведение


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница