Н. Э. Баумана c. А. Воронов, А. А. Ширшов, С. В. Яресько Расчет на прочность и жесткость стержневых систем при изгибе с использованием mathcad часть Статически определимые балки. Методические указания



Дата02.04.2016
Размер0.52 Mb.
ТипМетодические указания
  • МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ


им. Н.Э. БАУМАНА

C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько




Часть 1. Статически определимые балки.
Методические указания к выполнению домашних заданий по курсам

«Сопротивление материалов» и «Прикладная механика»

Под редакцией В.Г. Лешковцева

Москва

Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана



2009

УДК 539.41

Авторы:

Воронов Сергей Александрович



Ширшов Анатолий Артемович

Яресько Сергей Васильевич


Рецензент Зябликов Владимир Михайлович, канд. техн. наук, кафедра РК-3, доцент
Рекомендовано к изданию на заседании методической комиссии НУК РК.
C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько
Аннотация

Изложены приемы использования пакета программ «MATHCAD» в операционной системе Microsoft Windows применительно к расчетам на прочность и жесткость стержневых систем постоянной и переменной жесткости при изгибе при произвольной нагрузке. В приложении приведен текст рабочих страниц «MATHCAD» для рассмотренных примеров.

Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курсы «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика».

Илл. 15, Табл.1, Библиогр.2.



  • Введение.


Традиционно при расчетах стержневых систем на прочность и жесткость широко применяют графоаналитические методы. Наглядность эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений неоспорима. При расчетах на прочность и жесткость прямолинейных стержней при прямом изгибе (балок) ограничиваются, как правило, эпюрами для перерезывающих сил и изгибающих моментов. По последней изображают качественно форму изогнутой оси балки, основываясь на соответствии знаков изгибающего момента и кривизны изогнутой оси. Перемещения же определяют для балок постоянной жесткости в заданных дискретных точках, используя для этих целей, как правило, графоаналитический метод вычисления интегралов Мора.

Широкое распространение современной вычислительной техники (ПЭВМ) позволяет более эффективно использовать аналитические методы в сочетании с графическими возможностями ПЭВМ. В частности, для расчета на прочность и жесткость прямолинейных стержней при прямом изгибе может быть использован метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. При этом нет принципиальной разницы между расчетом балок постоянной или переменной жесткости, статически определимых или статически неопределимых.

Целью настоящего методического пособия является ознакомление с пакетом программ «MATHCAD» в операционной системе Microsoft Windows применительно к расчетам на прочность и жесткость стержневых систем постоянной и переменной жесткости при изгибе при произвольной нагрузке. В первой части рассмотрены статически определимые балки. Во второй части рассмотрены статически неопределимые балки на жестких и упругих опорах, а также криволинейные плоские рамы.

  • Общие положения.


Изгибом называют такой вид нагружения, при котором внутренние силовые факторы – нормальная сила и крутящий момент в поперечном сечении равны нулю. При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении действуют перерезывающая сила , и изгибающий момент . положительные направления внешних сил q, F и M, а также внутренних силовых факторов , показаны на рис.1.

Выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента в каком либо сечении рациональнее всего получать, используя метод сечений. С этой целью балку разрезают (мысленно) в выбранном сечении на две части и, рассматривая равновесие любой части, получают выражения для и . Отметим, что с целью уменьшения вероятности ошибки, желательно составлять уравнения равновесия таким образом, чтобы каждое содержало только одну неизвестную – , или .

При «ручном» расчете балку разделяют на участки, в пределах которого внешнюю нагрузка постоянна или меняется монотонно. Используя метод сечений, на каждом участке получают выражения для и . При этом для каждого участка можно выбирать свою систему координат. Заметим, что поскольку и связаны с внешними силами дифференциальными зависимостями, приведенными в учебниках по сопротивлению материалов (например [1]):

, , (0.1)

то после получения выражений для и полезно провести их проверку, используя зависимости (0.1).

Перемещения балки при изгибе определяются углом поворота поперечного сечения и прогибом – вертикальным перемещением. Их положительные направления показаны на рис.1. Прогиб и угол поворота связаны между собой и внутренними силовыми факторами. Между ними имеют место дифференциальные зависимости:

; ; (0.2)

После интегрирования согласно зависимостям (0.2) получаем выражения для перемещений на каждом участке:



= Сi + , = Di +СiZi + .

Проинтегрировав выражения для и на каждом из на п участков, имеем 2п постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимо решать систему из 2п алгебраических уравнений. Более простое решение получаем, составляя единые для всей балки выражения для и с использованием функции Хевисайда . функция Хевисайда – разрывная функция, определяемая следующим образом :



, причем, .

В этом случае при известном выражении изгибающего момента для всей балки условия стыковки между участками выполняются автоматически и тогда после интегрирования необходимо определять всего две постоянных (для статически определимой балки) из условий закрепления балки.

Рассмотрим это более подробно на примере балки, показанной на рис.2. слева изображена консольная балка на двух опорах, а справа та же балка после замены отброшенных связей их реакциями. Заметим, что в балках реакция горизонтальной связи всегда равна нулю, поскольку нет внешних сил приложенных в горизонтальном направлении, а по определению изгиб – это вид нагружения, при котором нормальная сила в поперечном сечении отсутствует.

По условиям нагружения балку разделяем на три участка, в пределах каждого из которых внешние нагрузки монотонны. Для определения внутренних сил на этих участках достаточно двух уравнений статики. Предпочтительно определять перерезывающие силы , рассматривая сумму проекций всех сил на ось Y, а изгибающий момент (где i – номер участка), рассматривая сумму моментов относительно оси Х, проходящей через точку k, совпадающую с центром тяжести текущего сечения (см. рис.3). В этом случае и определяют независимо друг от друга, что уменьшает вероятность ошибки. Составим выражения для внутренних сил на каждом участке таким образом, чтобы на каждом следующем они отличались бы от предыдущего только добавление новых слагаемых за счет появления новых сил на текущем участке. Начало координат помещаем на левом торце. Для удобства изобразим отсеченную (левую часть) балки с приложенными внешними силами и внутренними силовыми факторами (рис.3).

Первый участок:

= 0 ;

;

Второй участок:



= 0 ;

;

Третий участок:



= 0 ;

+ .

Для того чтобы и включали полностью и распределенная нагрузка должна быть продлена до текущего сечения (правого конца балки) и уравновешена распределенной нагрузкой обратного знака, начинающейся в том сечении, в котором заканчивается заданная распределенная нагрузка. Используя функцию Хевисайда, объединим все три пары выражений для внутренних сил. Тогда



, (0.3)

+ . (0.4)

таким образом, для получения единых выражений и для всей балки, с учетом показанного на рис.1 правила знаков, необходимо поместить начало координат на левом торце и рассмотреть равновесие части балки, лежащей слева от текущего сечения на последнем участке, как это показано на нижней схеме рис.3. Как видно из приведенных выше выражений перерезывающая сила в текущем сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных слева от текущего сечения, при этом направленные вверх силы входят с положительным знаком. Изгибающий момент в текущем сечении равен сумме моментов всех сил, расположенных слева от текущего сечения, при этом силы, создающие момент по часовой стрелке относительно оси Х, проходящей через точку k, входят с положительным знаком.

Для балки постоянного сечения непосредственным интегрированием дифференциальных зависимостей (0.2) могут быть получены выражения для угла поворота и вертикального перемещения поперечного сечения:



+

+ ; (0.5)



+

+ . (0.6)



постоянные интегрирования С и D имеют строго определенный физический смысл:

С – угол поворота в начале координат и D – прогиб в начале координат. Если левый торец балки оперт, то постоянная D = 0, а постоянную С определяем из условия равенства нулю прогиба на правой опоре; если же левый торец заделан, то обе постоянные равны нулю.

По выражениям (3), (4) строим эпюры и , а по выражению (6) – форму изогнутой оси балки или, иначе говоря, эпюру прогибов.



Расчет на прочность балки постоянной жесткости.

Условие прочности при изгибе для пластичных материалов имеет вид



= , (0.7)

где – момент сопротивления сечения, – момент инерции сечения,



– расстояние от центральной оси до наиболее удаленной точки сечения,

– нормативный коэффициент запаса.

Определение геометрических характеристик подробно изложено в учебниках по Сопротивлению материалов (например [1]).



расчет по допускаемым перемещениям (расчет на жесткость).

Расчет на жесткость сводится к определению угловых и линейных перемещений. угловые перемещения определяют, как правило, над опорами и на консольном торце. Среди линейных перемещений наибольший интерес представляет максимальное (по модулю) перемещение . При расчете без использования вычислительных средств определение максимального перемещения требует довольно громоздких вычислений. Действительно, в силу дифференциального соотношения (0.2) для вычисления необходимо найти сечение, в котором обращается в ноль угол поворота – производная от прогиба, а для этого для балки постоянной жесткости требуется решить уравнение третей или четвертой степени при наличии распределенной нагрузки (постоянной или изменяющейся по линейному закону).



Примеры

Пример 1.

Провести поверочный расчет на прочность и жесткость заданной балки (рис.1.1) постоянного прямоугольного поперечного сечения. При вычислениях принять q = 10кН/м, l = 0,6м, , размеры сечения В = 40 мм, Н = 80 мм, Е = 200 ГПа, = 200 МПа: 10 мм.


Решение.

1. получение уравнений для , , и .

1.1. Определение реакций связей. Схема балки, освобожденной от связей, с реакциями опор RA и RB показана на рис.1.2.



рассмотрим ее равновесие. Составим два уравнения статики:

а) сумма моментов всех сил относительно оси Х, проходящей через точку А (или В):



, → .

б) сумма проекций всех сил на ось Y: = , → .



Проверка. Составим новое уравнение статики так, чтобы в него входили обе найденные реакции, например , т.е. реакции найдены правильно.

1.2. Определение внутренних силовых факторов с использованием метода сечений. Начало координат помещаем на левом торце. Разрезаем балку на третьем участке и рассматриваем равновесие левой части. Распределенную нагрузку продолжаем до текущего сечения и уравновешиваем, как это показано на рис.1.3.

Запишем выражение для перерезывающей силы. Реакция и уравновешивающая распределенная нагрузка входят в это выражение со знаком «+», а заданная распределенная нагрузка и сосредоточенная сила – со знаком «–»:

. (1.1)

Запишем далее выражение для изгибающего момента. Составляем сумму моментов всех сил относительно оси х, проходящей через точку k (рис.1.3), учитывая приведенное выше правило знаков:



+ . (1.2)

Интегрируем это выражение два раза для получения зависимостей угла поворота и прогиба от координаты и :



, (1.3)

. (1.4)

Постоянная D равна нулю, так как начало координат помещено на опоре. Напомним: постоянная D – прогиб в начале координат, а постоянная С – угол поворота в начале координат.

2. Расчет на прочность. По уравнениям (1.1) и (1.2) строим эпюры и . Они показаны на рис.1.4. Максимальный изгибающий момент действует на втором участке в том сечении, в котором перерезывающая сила обращается в ноль в силу дифференциальных соотношений (0.1). Из уравнения (1.1) определяем координату этого сечения Z = 4/3l и по уравнению (1.2) находим максимальный изгибающий момент . Подсчитываем момент сопротивления сечения мм3 и вычисляем

максимальные напряжения по условию прочности (0.7): = = = 159 МПа. Полученное напряжение меньше допускаемого, т.е. условие прочности выполнено.

3. Расчет на жесткость. Для определения перемещений необходимо определить постоянную С из условия отсутствия прогиба на правой опоре, т.е. . Из уравнения (1.4) устанавливаем: . Для определения точной координаты сечения , в котором перемещение имеет максимальное (по модулю) значение, необходимо, чтобы в этом сечении угол поворота был равен нулю. Предположим, что максимальный прогиб имеет место на втором участке, где . Приравняв правую часть нулю, получаем кубическое уравнение 3x3-12x2-18x+41=0. Решение этого уравнения дает = 1,415l. Из уравнения (1.4) получаем = 6,05 мм, т.е. условие жесткости выполнено.

Заметим, что расчет на жесткость без использования вычислительной техники оказывается достаточно громоздким. Значительно меньше затрат времени требуется для построения эпюр , , графика функции и проведения расчетов на прочность и жесткость при использовании компьютерной техники и доступного программного обеспечения, например пакет программ «MATHCAD» в операционной системе Microsoft Windows, широко используемый для несложных математических расчетов. При этом возможно использование любой версии программы «MATHCAD», или подобных пакетов программ (Mapple, MATLAB, Mathematika и т.д.).

Рассмотрим особенности работы с «MATHCAD».

Чтобы открыть «MATHCAD» щелкнем дважды левой кнопкой мыши по соответствующей иконке. Откроется новая рабочая страница (без названия), в левом верхнем углу которой расположен красный крестик, указывающий место ввода какой-либо информации (текст, число, функция). Его можно перемещать клавишами «Cursor key» или же поместить в нужном месте рабочей страницы, подведя курсор к этому месту и щелкнув мышью.

При вводе поясняющих надписей на русском языке (поясняющий текст) можно выбрать в главном меню окно «Вставка» и щелкнуть левой кнопкой мыши, в результате чего откроется падающее меню, в котором нужно выбрать строку «Область текста» и вновь щелкнуть мышью. То же самое можно сделать, одновременно нажав клавиши «Shift» + «“». В окне «Шрифт» можно выбрать нужный тип и размер шрифта.

При работе клавиатуру необходимо переключить на латиницу.

Для определения какой-либо величины (число, функция) необходимо ввести двоеточие; результат на экране выглядит как двоеточие, сопровождаемое знаком равенства «:=», это – символ присваивания. Разделителем в десятичных дробях является точка. Неправильно введенные команды или символы высвечиваются на экране красным цветом. Поскольку в «MATHCAD» индексная переменная соответствует элементу массива, то для ввода символьного индекса, например x в записи Mх , необходимо после основного символа (M) ввести точку, а затем символ индекса (х). Для ввода греческих букв необходимо открыть окно «Greek» с греческим алфавитом, выбрав строку «Грек» в подменю «Панели инструментов» в падающем меню «Вид», либо подвести курсор к иконке «αβ» на панели инструментов и щелкнуть мышью. Напомним, что функция Хевисайда в «MATHCAD» обозначена как (Φ – греческая прописная фи).

Заметим, что, поскольку символы «l» и «1» плохо различимы, то для обозначения длины будем использовать символ «L». Для удобства работы с «MATHCAD» введем безразмерные величины. Обозначим: , , , , , , , .

В безразмерном виде выражения для внутренних сил и перемещений будут иметь вид:

; (1.5)

+ . (1.6)

+ ; (1.7)

+ . (1.8)

Эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов строим, используя графические возможности «MATHCAD». для построения графика какой-либо функции необходимо определить функцию , задать пределы изменения аргумента z и шаг для вычисления значений функции. Затем поместить в нужном месте рабочей страницы, выбранном для размещения графика, указатель (красный крестик). Выбрать из падающего меню Вставка подменю График или же открыть окно «Graph», активировав иконку (щелкнув по ней левой кнопкой мыши) с изображение графика в декартовых координатах. Активировав в окне «Graph» соответствующую иконку, получаем пустой график с двумя полями ввода. в левое поле необходимо ввести символ функции , а в нижнее – аргумент z. Если на одном графике предполагается разместить несколько функций, то при вводе они разделяются запятой.

Размеры графика можно увеличить, подведя курсор к меткам, расположенным на середине правой или нижней сторон прямоугольного окна, обрамляющего график, и в его правом нижнем углу. Для редактирования графика необходимо ввести мышку в поле графика и дважды щелкнуть левой кнопкой – появляется окно редактирования, содержащее четыре подменю. Подменю «Оси Х-Y» позволяет ввести сетку (строка «Вспом. линии»); числовые значения функции и аргумента сетки (строка «Нумерация»); изменять шаг сетки (строка «Авто сетка»). Для активации необходимо щелкнуть мышкой в соответствующем квадратном поле, расположенном справа от надписи. Шаг сетки по осям координат может быть изменен, для этого необходимо убрать «галочку» около строки «Авто сетка», при этом активируется окно «Размер сетки», в которое нужно ввести нужную цифру, определяющую число интервалов по оси. При выборе диапазона изменения функции и шага сетки желательно использовать целые числа, либо кратные 0.1, 0.25, 0.5. При активации графика слева от оси «Y» и ниже оси «Х» высвечиваются цифры, определяющие диапазон изменения функции и аргумента.

Подменю «Трассировки» позволяет выбрать тип линий их толщину и цвет. Первая колонка указывает номер линии в соответствии с ее положением слева от поля графика. Для выбора линии нужно подвести курсор к соответствующей строке. Третья колонка позволяет выбрать тип линий, четвертая – цвет и пятая – толщину. Для выбора достаточно щелкнуть левой кнопкой мышки по галочке под соответствующей колонкой. Открывается список с указанием соответственно либо типа линии, либо цвета, либо толщины линии в пикселях.



Определение экстремума функции. Экстремум какой-либо функции f(x) может быть найден двумя способами: непосредственно по графику этой функции либо из уравнения . Активировав график (щелкнув левой кнопкой мыши в любом месте поля графика), открываем окно «Формат» и подводим курсор к строке «График»: откроется подменю, в котором нужно активировать строку «Трассировка». Откроется окно «X-Y Trace». Подведя курсор к любой точке графика функции f(x) и щелкнув левой кнопкой мыши, в окнах «X-Value» и «Y-Value» увидим координаты этой точки.

В силу дифференциальных соотношений (0.1) и (0.2) экстремум на эпюре соответствует нулевым значениям , а экстремум на эпюре – нулевым значениям . Для определения координаты, соответствующей экстремальному значению f(x), используем функцию root(f’(x),x), которая возвращает значение аргумента х, удовлетворяющего условию . перед обращением к функции root необходимо задать начальное приближение для отыскиваемой переменной х.

Ниже приведены пояснения к рабочей странице «MATHCAD», приведенной в приложении.

«1. Пример 1 Балка постоянного сечения» - Название задачи.

«2. Размеры [мм]; Нагрузка [Н/мм], Модуль упругости [МПа], Допускаемые напряжение [МПа], и перемещение [мм Исходные данные: длина балки, размеры сечения, интенсивность распределенной нагрузки.

«3. Реакции ra, rb».– значения реакций.

«4. Выражения для qy(z), mx(z), tz(z), vz(z)» – Формулы (1.5) – (1.8).

«5. Эпюры qy(z) и mx(z)». Задан диапазон (0 < z <3) и шаг (0.01) изменения аргумента. Для выделения нуля на оси Z (ноль функции ) в левое поле введена константа, обозначенная «zero». На графике установлен диапазон изменения перерезывающей силы от -1 до 2.5 с шагом 0.5, поэтому «Размер сетки» по оси Y = 7. На графике диапазон изменения изгибающего момента от -0,5 до 2.0 с шагом 0.5, поэтому «Размер сетки» по оси Y = 5.

«5.1. Определение экстремума mx(z)». на эпюре видно, что обращается в ноль при . Принимаем это значение в качестве начального приближения. Обозначив через zm искомое значение корня уравнения = 0, устанавливаем, что zm = 1.333 и определяем значение максимального безразмерного изгибающего момента .

«6. Расчет на прочность, геометрические характеристики сечения». Вначале записываем выражения для момента инерции Ix и моментa сопротивления Wx. Затем получаем их значения (для справки) соответственно в мм4 и мм3.

«Максимальные напряжения МПа» переходя к размерным величинам, вычисляем максимальное напряжение в МПа.



«7. Расчет на жесткость, определение максимального прогиба».

«7.1. Определение постоянной С (угол поворота сечения на левой опоре. Решаем уравнение (1.8), используя функцию root, Начальное значение корня принимаем равным нулю.

«7.2. Форма упругой линии балки» – Строим график функции по аналогии с эпюрами qy(z) и mx(z).



«7.3. Определение максимального прогиба» – проводим аналогично определению максимального момента.

«7.4. Вычисление максимального прогиба» переходя к размерным величинам, вычисляем максимальный прогиб.
Пример 2.

Для заданной расчетной схемы балки постоянного поперечного сечения требуется:

– построить эпюры перерезывающих сил Qy и изгибающих моментов Mx для исходного положения правой опоры;

– минимизировать значение |Mx|max, варьируя положение правой опоры в пределах от -l до +l от начального положения;

– определить из условия прочности допускаемую нагрузку для а) начального и б) оптимизированного положения правой опоры.

При расчетах принять l = 0,5м; Т = 420 МПа, [n] = 1,4.



Решение.

в рассматриваемой задаче требуется определить допускаемую нагрузку для заданного положения правой опоры и для заранее неизвестного ее положения, определяемого из условия максимума допускаемой нагрузки на балку. Поскольку первый случай (фиксированное положение опоры) является частным случаем второго, то рациональнее получить выражения для реакций связей RA и RB и внутренних силовых факторов и сразу для второго случая. При этом реакции RA и RB представим в виде функций от неизвестного расстояния между опорами za, а перерезывающую силу и изгибающий момент в виде функции двух переменных – независимой переменной z и расстояния между опорами za.

1. Определение реакций связей. Схема балки с реакциями отброшенных связей RA и RB и смещенной правой опорой показана на рис.2.2. рассмотрим ее равновесие. Составим два уравнения статики: а) сумму моментов всех сил относительно оси Х, проходящей через точку А: ; б) сумму проекций всех сил на ось Y: = = . Откуда следует:

; = . (2.1)

2. Определение внутренних силовых факторов и . Начало координат помещаем на левом торце. Текущее сечение выбираем на последнем участке. Отсеченная левая часть балки с приложенными внешними силами и внутренними силовыми факторами показана на рис.2.3. Распределенную нагрузку, как и в примере 1, продляем до текущего сечения и уравновешиваем распределенной нагрузкой обратного знака.

Используя уравнения равновесия, составляем выражения для внутренних силовых факторов и :

, (2.2)

+ . (2.3)



построим эпюры и для исходного положения правой опоры, т.е. при = . Из (2.1) следует, что RA = и RB = . Эпюры показаны на рис.2.4. Перерезывающая сила обращается в ноль в двух сечениях: на первом участке при и на втором при .

3. Определение смещенного положения правой опоры. Как следует из эпюры максимальный изгибающий момент = 0,347 ql2, а минимальный изгибающий момент = -0,500 ql2. при смещении опоры вправо размер ZA возрастает, реакция уменьшается, реакция увеличивается и, как следствие, возрастает максимальный положительный изгибающий момент. и уменьшается (по модулю) минимальный отрицательный изгибающий момент . Искомое положение опоры будет достигнуто тогда когда будет выполнено равенство = , которое с учетом знаков можно записать в виде



+ . (2.4)

В рассматриваемом примере находится в пределах первого участка в сечении , а – в сечении над опорой, т.е. при . В соответствии с формулой (2.2) перерезывающая сила на первом участке . Приравняв нулю это выражение, определяем координату = . Поэтому равенство (2.4) с использованием (2.3) принимает вид:



= 0. (2.5)

подставив в это равенство выражение для , получаем после довольно громоздких преобразований кубическое уравнение , корень которого, имеющий физический смысл (по условию ), = . Эпюры и для смещенного положения правой опоры показаны на рис.2.5. Заметим, что значения (по модулю) максимального и минимального изгибающих моментов отличаются на единицу в третьей значащей цифре, что вполне допустимо. Это следствие округления значения .

Допускаемую нагрузку определяем из условия прочности (0.7). Рассмотрим определение момента сопротивления сложного сечения. Разобьем заданное сечение на три элементарных фигуры: два треугольника 1, прямоугольник 2 и полукруг 3 (рис.2.6). Исходную ось «Т» проведем по границе между прямоугольником 2 и полукругом. Ордината центра тяжести всей фигуры , где i – число элементарных фигур, – статический момент элементарной фигуры относительно оси Т; – ордината центра тяжести элементарной фигуры в системе координат Y T; через ti обозначены центральные оси элементарных фигур; Аi – площадь элементарной фигуры. Момент инерции всей фигуры , где – момент инерции элементарной фигуры относительно оси Т, Момент сопротивления , где – ордината точки, наиболее удаленной от центральной оси.



Вычисление момента сопротивления сечения начнем с определения ординаты центра тяжести всей фигуры . Ординаты центров тяжести элементарных фигур и их площади соответственно равны: = 30 мм, = 10 мм, = – = – 17,0 мм; А1 = 300 мм2, А2 = 2000 мм2, А3 = = 2510 мм2. Статические моменты элементарных фигур = 9 103 мм3, = 2 104 мм3, = = –4,27 104 мм3. Следовательно = –4,67 103/5,11 103 = – 2,94 мм. Моменты инерции элементарных фигур относительно оси Т:

= = 2,85 105 мм4, = = 1,6 105 мм4, = 10,05 105 мм4. Главный центральный момент инерции = 1,70 106 мм4. Точки В наиболее удалены от центральной оси, т.е. = 52,9 мм и = 3,21 104 мм3.

Вычисление допускаемой нагрузки. Обозначим допускаемую нагрузку для исходного положения опоры через q1, а для смещенного через q2. В соответствии с эпюрами рис. 2.4 и 2.5 для исходного положения опоры = 0,347, а для смещенного = 0,420. На основании равенства (0.7) получаем q1 = 77,0 кН/м, а q2= 91,5 кН/м.

Пояснения рабочей страницы «MATHCAD» для Примера 2.

«II.1. Проектировочный расчет балки постоянного сечения (перемещение опоры)» – Название задачи.

«2. Размеры [мм]:» – длина балки, размеры сечения;

«Предел текучести [МПа,

«Нормативный коэффициент запаса» нормативный коэффициент запаса .

«3. Реакции опор» – формулы (2.1) в безразмерном виде: ;

«4. Выражения для qy и mx» – формулы (2.2), (2.3) в безразмерном виде:

;

+ .

«5. Эпюры qy(z) и mx(z) при а=3». Задан диапазон (0 < z <4) и шаг (0.01) изменения аргумента. Для выделения нуля на оси Z (ноль функции ) в левое поле введена константа, обозначенная «zero». На графике установлен диапазон изменения перерезывающей силы от -1,5 до 1 с шагом 0,5. На графике диапазон изменения изгибающего момента от -0,6 до 0,4 с шагом 0,2. «Размер сетки» по оси Y на обеих графиках – 5.

После эпюр при помощи функции «root» определены координаты zm1 и zm2 экстремальных значений изгибающих моментом mx(zm1,3) и mx(zm2,3) на первом и втором участках соответственно и вычислены их значения. Кроме этого вычислено значение момента в сечении z = 3 mx(3,3).



«6. Определение положения правой опоры». При помощи функции «root» решено уравнение (2.5), приведенное к безразмерному виду: = 0, при начальном значении корня ах = 3. Выведено значение корня (для справки).

«7. Эпюры qy(z) и mx(z) при а=3.159» – на эпюре диапазон изменения изгибающего момента от -0,5 до 0,5 с шагом 0,5. «Размер сетки» – 4. Вычислены максимальные (по модулю) моменты.

«8. Определение момента сопротивления сечения».

«9. Определение допускаемой нагрузки»

Пример 3.

Для заданной балки (рис.3.1) постоянного поперечного сечения (балка двутавровая по ГОСТ 8239-хх) требуется:

1.1 построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов;

1.2 определить (в общем виде) прогиб и угол поворота левого торца балки и прогиб в среднем сечении;

1.3 из расчета на прочность определить размер поперечного сечения.

Вычислить значения перемещений (для найденного поперечного сечения), приняв l = 1 м, q = 15 кН/м, E = 200 ГПа, =200 МПа.

2.1 спроектировать балку, масса которой не превышает заданного значения (94 кг), используя балку двутавровую высотой не более 160 мм, с усиливающими накладками толщиной t и длиной lx, удовлетворяющую условию прочности и условию жесткости 5,0 мм. Материал накладок – сталь, плотность ρ = 7,8 103 кг/м3.

2.2 установить диапазон допустимых значений размеров t и lx .



Решение.

1.1 Определение реакций. Обозначим реакцию левой опоры через RA и правой через RB . Записав сумму моментов всех сил относительно правой опоры, находим . Затем, записав сумму моментов всех сил относительно левой опоры, находим . Сумму проекций всех сил используем для проверки.

Начало координат помещаем на левом торце. Текущее сечение выбираем на последнем участке и составляем выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента по аналогии с тем, как это было сделано в примерах 1 и 2:

, (3.1)

. (3.2)

Эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов показаны на рис.3.2.

1.2. Определение углового и линейного перемещений. Дважды проинтегрируем выражение (3.2):



, (3.3)



. (3.4)



Определение постоянных C и D. Поскольку начало координат помещено на незакрепленном торце балки, то постоянные C (угол поворота в начале координат) и D (прогиб в начале координат) – неизвестны. Их определяем из решения системы двух уравнений, являющейся следствием граничных условий V(0,5l) = 0 и V(3,5l) = 0 (условия равенства нулю прогиба на опорах):

(3.5)

Решив систему, устанавливаем: ; . Далее по формуле (3.4) определяем прогиб в среднем сечении



V(2l) = = – 1,20 .

1.3. расчет на прочность. Из условия прочности (0.7) определяем требуемый момент сопротивления двутавра: = = 1,125 105 мм3. По сортаменту (Приложение к учебнику) подбираем двутавр, момент сопротивления которого превышает вычисленное значение. Выбираем двутавр №18, у которого мм3 и мм4.

Теперь, зная значение момента инерции поперечного сечения, вычисляем прогиб в среднем сечении в мм: V(2l) = – 6,96 мм. Прогиб в среднем сечении, не являясь максимальным (по модулю), превышает допускаемое значение. К тому же высота двутавра (180 мм) больше допускаемой по условию. Поэтому для выполнения условий прочности и жесткости и ограничения по высоте двутавра выбираем двутавр №16 ( мм4, масса – 18,9 кг/м) и подберем размеры накладок t и Lx.

2.1 Подбор размеров накладок Lx и t. Балка с накладками – это балка переменного сечения. В этом случае дифференциальные соотношения (0.2) принимают вид:



= С + , = D +С Z + .

Получим выражение для момента инерции сечения двутавра с накладками Iх и для момента сопротивления Wх. Обозначим момент инерции двутавра через , а его высоту и ширину полки через Hd и B соответственно (ширина накладки равна ширине полки). У двутавра №16 Hd = 160 мм, B = 81 мм. Тогда момент инерции усиленного накладками поперечного сечения



.

Решение подобной задачи «вручную», т.е. без применения вычислительной техники, не может быть предложено студентам из-за слишком большого объема однообразных вычислений. Поэтому рассмотрим решение примера 3 с использованием «MATHCAD».

Представим уравнения (3.1) – (3.4) в безразмерной форме, сохранив те же обозначения, что и в первых примерах:

; (3.6)

. (3.7)

Угол поворота и перемещение представим в виде функций координаты z и констант C и D.

; (3.8)



. (3.9)

Система уравнений (3.5) выглядит более компактно:

; . (3.10)

Выражения для угла поворота и перемещения для балки переменной жесткости в безразмерном виде будут иметь вид:



, . (3.11)

Здесь – отношение момента инерции сечения с накладками к моменту инерции двутавра ; – коэффициент, переводящий безразмерный угол поворота в размерный. Естественно, при каждом изменении размеров накладок постоянные интегрирования С и D необходимо определять заново. Граничные условия запишем следующим образом:



= 0, = 0, (3.12)

где , .

Для ускорения процесса подбора размеров накладки может быть рекомендован следующий алгоритм.

Алгоритм подбора размеров накладок. Выбираем размер двутавра. Если условию прочности удовлетворяет двутавр №10, №12 или №14, то сначала проверяем возможность использования двутавра большего размера без накладок, т.е. №12, №14 или №16 соответственно. Если при этом выполняются условия жесткости и масса не превышает допускаемого значения, то на этом расчет заканчиваем. Если же масса превышает допускаемое значение, то для дальнейших расчетов выбираем двутавр исходного размера и задаем произвольно либо длину накладок , либо их толщину t.

Поскольку по условию масса балки М не может превышать допускаемого значения , то должно выполняться условие M = md + 2B Lx t ρ . Это условие удобно представить в виде ≤ ( md)/ (2B ρ). В рассматриваемом примере



16140 мм2. (3.13)

Задаем длину накладок (с точностью до 20 мм), например мм. Тогда толщина накладок не должна быть больше 8,07 мм. Округляем в меньшую сторону с точностью до 1 мм, т.е. берем t = 8 мм. После этого определяем постоянные интегрирования С и D, решая систему уравнений (3.12), строим форму изогнутой оси (график функции ) и определяем максимальный прогиб. Получаем 5,16 мм, – условие жесткости не выполняется, т.к. > 5,0 мм. Изменяем толщину накладки на 1 мм и одновременно изменяем , используя неравенство (3.13): Принимаем t = 7 мм и =2300 мм. Снова находим постоянные интегрирования С и D, строим форму изогнутой оси и определяем максимальный прогиб = 5,53 мм. Прогиб возрастает, значит, толщину накладок нужно увеличивать, а не уменьшать. Принимаем t = 9 мм и =1790 мм. Получаем = 4,99 мм. Условие жесткости выполнено. В противном случае необходимо продолжить до тех пор, пока оно не будет выполнено.

2.2. Определение диапазона допустимых значений размеров t и

Увеличиваем толщину прокладок с шагом 1 мм, уменьшая согласно (3.13) до достижения максимальным прогибом значения, превышающего допускаемое. При t = 14 мм и =1150 мм получаем = 5,06 мм. Т.е. диапазон допустимых значений Lx составляет 1790 1240 мм и t 9 13 мм соответственно. Результаты вычислений прогиба при пошаговом изменении толщины приведены в таблице 1. Здесь же для контроля выведены значения массы балки с накладками.

Таблица 1. Результаты вычислений прогиба

№ шага12345678t мм891011121314Lx мм2000179016101460134012401150fmax мм5,1654,9934.9194,9254,954.9985,06M кг93,8293,9693,9493,8993,9292,9793,94Отметим, что при повторном изменении значений постоянных С и D автоматически изменяются форма изогнутой оси баки и значение максимального прогиба.

В заключение проведена проверка выполнения условия прочности. Вычисленные максимальные напряжения (170 МПа) оказались меньше допускаемых.

В рассматриваемом примере в отличие от предыдущих необходимо решать систему двух алгебраических уравнений. Для решения системы алгебраических уравнений в «MATHCAD» необходимо:

а) задать начальные значения для всех неизвестных (MATHCAD решает уравнения итерационным методом);

б) напечатать ключевое слово «Given»;

в) ввести уравнения, между правой и левой частями уравнений должен стоять символ «=» (для его ввода используйте «[Ctrl]=»);

г) ввести выражение, содержащее функцию «Find», она возвращает найденное решение.

При печати «Given» и «Find» можно использовать шрифт любого размера, любой стиль, прописные и строчные буквы.

Для определения перемещений можно воспользоваться непосредственно равенствами (3.11). Однако для построения формы упругой линии необходимо будет вычислить интеграл в большом количестве точек, определяемом встроенной программой автоматически, что требует довольно много машинного времени. А так как по условию необходимо подобрать размеры накладки, т.е. повторять эти операции многократно, то такой путь неудобен. Можно значительно сократить время решения, используя простейший способ численного интегрирования – метод трапеций.

Подынтегральную функцию в (3.11) обозначим через mxt(z). Разбиваем балку на j-1 интервал и вычислим вспомогательные функции θtj = и vtj = в j точках, т.е. создаем одномерные массивы θt, ft (вспомогательный массив) и vt. В примере балка разбита на 400 интервалов. После этого строим график функции vtЧКL (упругую линию). Поскольку максимальный по модулю прогиб – отрицателен, то для его определения сначала находим минимальный элемент массива vt, используя функцию min. Затем вычисляем максимальный по модулю прогиб fmax.

Приведем пояснения к рабочей странице «MATHCAD», приведенной в Приложении.



Ш Решение балки переменного сечения» – Название задачи.

«1. Размеры [мм]:» Исходные данные: длина балки,

«Нагрузка [Н/мм]:» интенсивность распределенной нагрузки, «Модуль упругости [МПа]

«Допускаемые напряжение [МПа] и перемещение [мм]:»

«Максимальная масса [кг]

«2. Реакции ra, rb» – значения реакций (безразмерные)

«3. Выражения для qy(z), mx(z), tz(z), vz(z)» –формулы (3.5 – 3.8). Поскольку формулы (3.6) – (3.8) длинные, то для переноса использована команда «сложение с переносом» – «Ctrl+Enter».



«4. Эпюры qy(z) и mx(z)» – В отличие от примеров 1 и 2 оба графика построены в одном поле, причем, график изображен линией двойной толщины.

«5. Расчет на прочность, выбор двутавра» –Из условия прочности (0.7) определен требуемый минимальный момент сопротивления . Далее по сортаменту (Приложение к учебнику) выбран двутавр, момент сопротивления которого превышает вычисленное значение . Подходит двутавр №18 (Wx = 143 см3, Ix = 1,29 103 см4).

«6. Расчет на жесткость, определение прогиба в среднем сечении»

«6.1. Определение постоянных С и–решение системы двух уравнений. Начальные значения C и D обозначены через xc и x.Для справки выведены их конечные значения.

«6.2. Прогиб в среднем сечении, мм» вычислено значение прогиба в мм.

«6.3. Форма упругой линии балки» – Приведен график безразмерной функции .

«7. Расчет балки переменного сечения».

«7.1 Определение характеристик поперечного сечения» – представление геометрических характеристик в виде функций толщины накладки. Так как согласно условию максимальная высота двутавра – 160 мм, то берем двутавр №16. Из сортамента берем необходимые характеристики: момент инерции =873 см4 , высоту двутавра Hd = 160 мм, ширину полки B = 81 мм и массу двутавра длиной 4 м – md = 75,6 кг.

«7.2 Определение Lx t» – Вычислено произведение = 1.614 104 мм2. В рабочей странице приведены значения = 1790 мм и t = 9 мм, удовлетворяющие условию жесткости. Для справки выведено выражение для момента инерции сечения с накладками.

«7.3. Определение постоянных С и – вычисление вспомогательных интегралов J1 и J2. Решение системы (3.12).

«7.4. Определение перемещений. Форма упругой линии балки» вычисление массивов функций θt, ft и vt. На графике приведена форма упругой линии балки с накладками (двойная толщина) и для сравнения дана форма упругой линии балки без накладок, сечение которой – двутавр №18.

«7.5. Вычисление максимальных напряжений» – вычислены максимальные напряжения во всех точках. Из полученного массива выбрано максимальное напряжение и вычислено его значение в МПа.

Приложение.

Пример 1.


Пример 2

Пример 3.

Список литературы

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2000.

2.


Оглавление

Введение 3

Общие положения 4

Примеры 7

Пример 1 7

Пример 2 12

Пример 3 17

Приложение 24



Список литературы 31


Каталог: dat
dat -> Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки «Журналистика»
dat -> Тайна черной жемчужины
dat -> Кандидат искусствоведения, доцент Е. Ю. Хлопина Примерные темы курсовых работ на 2014-2015 уч гг
dat -> Курс: Примерные темы курсовых работ на 2015–2016 уч гг
dat -> Пояснительная записка к рабочей программе по учебному предмету «Мировая художественная культура» в средней общеобразовательной школе (11 класс)
dat -> Ответ. 14 пакетов
dat -> Материалы по обоснованию проекта
dat -> Учителя по формированию читательской грамотности в начальной школе
dat -> Особенности машинной арифметики. Представление чисел в ЭВМ
dat -> Товар из распродажи наложенным платежом неотправляется


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница