Министерство экономического



страница4/4
Дата06.06.2016
Размер0.92 Mb.
ТипПояснительная записка
1   2   3   4

Этапы решения


4.1. (1 балл) Привести задачу к стандартному виду и к виду, удобному для графического анализа (прямые ограничения представлены в форме функциональных)

Стандартный вид задачи Вид задачи, удобный для графического анализа

4.2. (2 балла) Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции
4.3. (1 балл) Обосновать существование или отсутствие решения задачи


4.4. (1 балл) Является ли данная задача задачей выпуклого программирования? Ответ обосновать и подтвердить расчетами.

4.5. (1 балл) Вычислить градиенты целевой функции и всех функций, описывающих ограничения
4.6. (1 балл) Найти точки, в которых не выполняется условие Якоби, или обосновать их отсутствие

4.7. (4 балла) Найти графически все точки, в которых выполняются условия Куна-Таккера (изобразить направления градиентов на рисунке из п.4.2 и обозначить их), вычислить их координаты и выписать разложения градиента целевой функции по градиентам функций, описывающих активные ограничения
Точка

(координаты)Разложение (без вычисления коэффициентов)



    1. (2 балла) На основании известных Вам необходимых или достаточных условий (а где невозможно, – на основе графического анализа) сделать вывод о наличии или отсутствии локального максимума во всех угловых точках, а также в других точках, в которых выполняется условие Куна-Таккера

ТочкаНаличие локального максимума (+),

отсутствие (–)
4.9. (4 балла) С помощью функции Лагранжа проверить аналитически выполнение условий Куна-Таккера в точке (3;0)
а) Выписать функцию Лагранжа для данной задачи (1 балл)
б) Выписать систему условий Куна-Таккера для задачи с двумя переменными и и двумя функциональными ограничениями, используя символ функции Лагранжа (1 балл)

в) Выписать систему условий Куна-Таккера для заданной точки, решить ее и сделать вывод

(2 балла)

Указать верный вывод: Условие Куна-Таккера выполняется

Условие Куна-Таккера не выполняется




4.10. Найти (с обоснованием) глобальный максимум (1 балл)
Обоснование

Оценка: не заполнять!

Экзаменационная работа

Задача 1. (7 баллов). Некий гражданин хочет извлечь доход из имеющейся у него суммы в 100 тыс. руб. Он рассматривает три возможности – положить все деньги в банк на срочный вклад, или вложить их в инвестиционный фонд, или приобрести на них акции. Доход от этих действий, однако, не во всех случаях известен заранее, поскольку зависит от мировой цены на нефть. В то время как банк гарантирует 5 % годовых при любых ценах на нефть, доход от вложений в инвестиционный фонд зависит от этих цен: при высоких ценах он составит 25 % от вложенной суммы за год, при средних ценах составит 15 % за год, а при низких ценах будут иметь место потери, которые составят 10 %. В случае приобретения акций, доходы составят 40 % за год при высоких ценах на нефть и 1 % при средних ценах, а при низких ценах на нефть будут иметь место потери в 20 %. Найти максимальную гарантированную оценку прибыли и гарантирующее решение, а также наилучшие решения по критериям Байеса-Лапласа (равной вероятности), Гурвича, Сэвиджа (минимизации сожалений).
  1. Этапы решения


1 балл 1.1. Формализация задачи

Обозначив возможные решения через x1, x2 и x3, а возможные значения неопределенности через ξ1, ξ2 и ξ3, составить матрицу доходов (платежную матрицу) aij= f(xi, ξj)


ξ1ξ2ξ3x1x2x3

общая формула

результат

2 балла 1.2. Дать определения максимального гарантированного результата и гарантирующего решения для матрицы доходов общего вида (f(xi, ξj) = aij, i = 1,…n; j = 1,…m), а также найти такой результат и такое решение для матрицы п. 1.1.


= =
= =

общая формула

результат

1 балл 1.3. Дать определение наилучшего решения по критерию Байеса-Лапласа и найти такое решение для матрицы п. 1.1.


= =
= =

1 балл 1.4. Дать определение наилучшего решения по критерию Гурвича и найти такое решение с параметром для матрицы п. 1.1.

общая формула

результат


= =
= =
2 балла 1.5. Дать определения наилучшего решения по критерию Сэвиджа и найти такое решение для матрицы п. 1.1.

результат


общая формула


= =
= =

Итоговая оценка:


(не заполнять!!!)

Задача 2. (8 баллов).

Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы bj, j=1,2, которых точно известны. Планирование производства осуществляется в условиях неопределенности – неточно известны удельные затраты сырья , j=1,2, i=1,2,..,5, а также цены продукции, i=1,2,..,5. Для неопределенных параметров известны диапазоны их возможных значений (см. таблицу). Требуется построить план производства , который был бы выполним при любых значениях неопределенных параметров и обеспечивал максимум гарантированной оценки дохода в условиях, когда информация о связях между неопределенными параметрами отсутствует.


Объемы производства bj - запасы сырья – удельные затраты сырья 10,8 - 11,8 - 25 - 62,5 - 32,8 - 34 000 – удельные затраты сырья 20,7 - 16 - 71,7 - 210 - 124 - 52 000 – цены продукции4 - 514 - 1512 - 1318 - 2015 - 16
  1. Этапы решения



1 балл 2.1. Сведение к детерминированной задаче линейного программирования

1 балл 2.2. Запись двойственной задачи
4 балла 2.3. Графическое решение двойственной задачи
2 балла 2.4. Решение прямой задачи (с обоснованием и проверкой оптимальности)

Ответ: = ; = .
Итоговая оценка:
(не заполнять!!!)

Задача 3. (10 баллов).

В задаче двухкритериальной максимизации множество допустимых решений задается неравенствами и , а критерии заданы соотношениями . Отклонение от целевого множества задается функцией



.

ЛПР задал целевую точку =(3,4). Требуется:

- найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку ;

- изобразить целевое множество G;

- изобразить линии уровня функции ; графически решить задачу нахождения достижимой точки , дающей минимум отклонения от целевого множества;

- аналитически записать задачу минимизации отклонения от целевой точки в виде задачи линейного программирования.


  1. Этапы решения


1 балл 3.1. Изобразить множество допустимых решений и найти его вершины.

Вершины множества допустимых решений:




3 балла 3.2. Найти образы вершин в пространстве критериев; найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку z*.

Вершины множества достижимых критериальных векторов:




Множество достижимых критериальных векторов, его паретова граница P(Z) и идеальная точка z*









4 балла 3.3. Изобразить целевое множество G, линии уровня функции и множество Z; графически решить задачу нахождения достижимой критериальной точки , дающей минимум отклонения от целевого множества.


2 балла 3.4. Аналитически записать задачу минимизации отклонения от целевого множества как задачу линейного программирования в стандартном виде, используя только переменные , и вспомогательную переменную
Задача линейного программирования

в стандартном виде

Итоговая оценка:

(не заполнять!!!)
Задача 4. (11 баллов).

Рассматривается задача двухкритериальной максимизации



на множестве допустимых решений :

Найти парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев

Решить рассматриваемую задачу как задачу нелинейного программирования путем проверки выполнения условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений (рассмотреть различные наборы активных ограничений до нахождения решения).



  1. Этапы решения


2 балла 4.1. Записать задачу нелинейного программирования для рассматриваемой проблемы в стандартном виде.


2 балла 4.2. Обосновать существование решения задачи и возможность его нахождения с использованием условий Куна-Таккера


1 балл 4.3. Переформулировать задачу из п. 4.1 в виде, удобном для использования условий Куна-Таккера в градиентной форме (в том числе, дать имена ограничениям)

1 балл 4.4. Выписать условия Куна-Таккера в градиентной форме в общем (буквенном) виде, описав словами смысл вводимых обозначений.


5 баллов 4.5. Проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений; найти решение рассматриваемой задачи.

1 балл а) выписать градиенты целевой функции и ограничений рассматриваемой задачи
4 балла б) найти точку, удовлетворяющую условиям Куна-Таккера (провести проверку различных наборов активных ограничений, постепенно увеличивая число активных ограничений до нахождения решения)

№ п/пИмена активных

ограниченийУсловия Куна-Таккера в градиентной форме для данного количества активных ограниченийВыполнены ли условия Куна-Таккера (выписать точки и найти значения коэффициентов разложения градиентов в этих точках в случае выполнения)

Вычисления:

Решение задачи: x*= φ(F1(x(*)), F2(x(*)))= *=

Итоговая оценка:



(не заполнять!!!)

Задача 5. (14 баллов).

Фирма вырабатывает план замены однотипного оборудования. Планирование производится на T=5 лет вперед, после чего фирма прекращает существование, распродав оборудование по остаточной стоимости. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (с 1 по 7 января), причем частичная замена оборудования невозможна (т.е. или менять все, или не менять ничего). Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет p = 9 миллионов рублей. После замены старое оборудование продается по остаточной стоимости. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании, эксплуатировавшемся до этого t лет, , определяется формулой миллионов рублей. Остаточная стоимость определяется формулой миллионов рублей, где t – срок эксплуатации. В начальный момент времени имеется оборудование, прослужившее 2 года.

С помощью метода динамического программирования определить план замены оборудования, максимизирующий суммарную прибыль от производственной деятельности с учетом затрат на оборудование и дохода от его продажи.

  1. Этапы решения


3 балла 5.1. Составить математическую модель задачи, используя следующие обозначения:

– номер года из планируемого периода, ,5 (при – это и номер шага);

– возраст оборудования в начале года (до его возможной замены), ;

– решение, принимаемое на -м шаге ( – не заменять оборудование в начале шага, – заменить оборудование в начале шага), ;

– прибыль фирмы, получаемая на -м шаге, , ;

– уравнение перехода.
а) 1 балл Записать уравнение перехода для состояния процесса






б) 1 балл Записать выражения для функции прибыли на -м шаге и в конце процесса






=

в) 1 балл Выписать полностью математическую модель задачи оптимизации (целевую функцию в терминах , направление и аргументы оптимизации, ограничения, выражения для всех используемых переменных)


5 баллов 5.2. Выписать систему уравнений Беллмана для данной задачи, используя следующие обозначения для функции Беллмана:

- максимальная прибыль, которую можно получить, начиная с -го шага до конца процесса, если в начале -го шага система находится в состоянии ;

а) 4 балла Основное рекуррентное уравнение




б) 1 балл Терминальное (конечное) условие



6 баллов 5.3. Решить систему уравнений Беллмана
5 баллов Основная таблица решение системы



Ответ: номер года замены оборудования: ;

максимальная прибыль:



1 балл Проверка (для каждого варианта решений):

012345

Итоговая оценка:



(не заполнять!!!)


Каталог: data -> 170
data -> Кандидат искусствоведения, доцент Е. Ю. Хлопина Примерные темы курсовых работ на 2014-2015 уч гг
data -> Курс: Примерные темы курсовых работ на 2015–2016 уч гг
data -> Пояснительная записка к рабочей программе по учебному предмету «Мировая художественная культура» в средней общеобразовательной школе (11 класс)
data -> Ответ. 14 пакетов
data -> Материалы по обоснованию проекта
data -> Учителя по формированию читательской грамотности в начальной школе
data -> Особенности машинной арифметики. Представление чисел в ЭВМ
data -> Товар из распродажи наложенным платежом неотправляется


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница