Министерство экономического



страница1/4
Дата06.06.2016
Размер0.92 Mb.
ТипПояснительная записка
  1   2   3   4

  • Министерство экономического


развития и торговли Министерство образования
  1. Российской Федерации Российской Федерации




  1. Государственный университет-

  2. Высшая школа экономики
  3. Факультет Экономики




  • Программа дисциплины

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ


для направления 080100.62 – Экономика
подготовки бакалавра

Авторы: д.ф.-м.н., профессор А. В.Лотов, д.т.н., профессор В.В.Подиновский,

к.ф.-м.н., с.н.с. А.В.Соколов

  • Рекомендовано секцией УМС Одобрена на заседании

  • Математические и статистические кафедры высшей математики


методы в экономике на факультете экономики
  1. Председатель Зав. кафедрой

__________А.С.Шведов __________Ф.Т.Алескеров

“___” __________ 200_ г. “___” _____ _____ 200_ г.



  • Утверждена УС

  • ______________

Ученый секретарь

_________________

“___” __________ 200_ г.

Москва


  1. Пояснительная записка


Требования к студентам: Учебная дисциплина “Методы оптимальных решений” (2-3-й модули учебного плана 2-го курса факультета экономики) опирается на предшествующие ей дисциплины “Математический анализ” и “Линейная алгебра” (1-4 модули учебного плана 1-го курса).
Аннотация: Учебная дисциплина вводит студентов в математическую проблематику, связанную с целенаправленной деятельностью человека и коллективов людей в экономике и других областях деятельности. Материал дисциплины включает методологию построения математических моделей ситуаций принятия решений и основные методы корректного анализа вариантов решений в условиях многокритериальности, риска и неопределенности. Дисциплина имеет прикладную направленность: теоретический материал иллюстрируется достаточно доступными примерами и задачами, имеющими, как правило, экономический характер. Материалы дисциплины найдут свое конкретное применение в общепрофессиональных и специальных дисциплинах факультета экономики, посвященных микро- и макроэкономике, государственному управлению и экономике общественного сектора, фондовому рынку и финансовому менеджменту, институциональной экономике и ряду других научных областей. Поэтому дисциплина является важной составляющей системы фундаментальной подготовки современного экономиста, а также обеспечивает ему профессиональную мобильность.

Программа курса предусматривает лекции (30 часов), семинарские и практические занятия (30 часов).

В самостоятельную работу студента входит освоение теоретического материала и выполнение домашнего задания.
Учебная задача дисциплины:

В результате изучения дисциплины студент должен:



  1. знать основные принципы и математические методы анализа решений;

  2. уметь выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей;

  3. иметь представление о проблематике и перспективах развития теории принятия решений как одного из важнейших направлений, связанных с созданием и внедрением новых информационных технологий.


Формы контроля знаний студентов:

  1. текущий контроль: письменная аудиторная контрольная работа в конце 2-го модуля (60 мин.) и домашнее задание, выполненное с использованием вычислительной техники;

  2. итоговый контроль: письменный экзамен (письменная контрольная работа) в конце 3-го модуля (120 мин.)

  3. итоговая оценка K по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма

K =0,3 К + 0,2 Д +0,5 Е

10-балльных оценок за контрольную работу К, домашнюю работу Д и экзамен Е с округлением до целого числа баллов. При округлении учитывается работа студента на семинарах. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:



  • 0 ≤ К ≤ 3 - неудовлетворительно,

  • 4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,

  • 6 ≤ К 7 - хорошо,

  • 8 ≤ К ≤10 -отлично.



II. Тематический план учебной дисциплины
№ Наименование темы Всего часовАудиторные часыСамосто-ятельная работаЛекцииСем.и практ. занятия1.Введение. Математические модели и оптимизация в экономике 62222.Задача нелинейного программирования 2688103.Задача линейного программирования 2055104.Оптимизация в условиях неопределенности 1844105.Основные понятия многокритериальной оптимизации185586.Оптимизация динамических систем 20668Итого108303048

Базовый учебник

  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002.

  1. Основная литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Высшая школа, 2001.

  1. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: Изд. БЕК, 2002.

  2. Токарев В.В., Соколов А.В. Методы оптимальных решений (ридер).


III. Содержание программы
Тема I. Введение. Математические модели и оптимизация в экономике. Общее представление о статической задаче оптимизации

Математические модели в экономике. Примеры: модели поведения потребителя и планирования производства в фирме. Пример использования оптимизации для идентификации параметров математической модели.

Использование математических моделей для описания поведения экономических агентов. Рациональное поведение. Использование оптимизации как способа описания рационального поведения. Принятие экономических решений. Теория оптимизации и методы выбора экономических решений. Применение оптимизации в системах поддержки принятия решений.

Основные представления о статической задаче оптимизации. Инструментальные переменные и параметры математической модели. Допустимое множество. Критерий выбора решения и целевая функция. Линии уровня целевой функции. Формулировка детерминированной статической задачи оптимизации. Неопределенность в параметрах и ее влияние на решение.

Глобальный максимум и локальные максимумы. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса). Причины отсутствия оптимального решения. Максимумы во внутренних и граничных точках допустимого множества.

Основная литература.


  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. (гл. 1-2)

Дополнительная литература.

  1. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.

  2. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Издательство «Наука», 1984.

  3. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: Изд. БЕК, 2002.

Тема II. Задача нелинейного программирования

Общая задача нелинейного программирования (НЛП). Задача НЛП и классическая задача условной оптимизации. Условия Куна-Таккера в геометрической форме как необходимые условия локальной оптимальности. Условие дополняющей нежесткости. Условия Куна-Таккера в алгебраической форме. Функция Лагранжа для задачи НЛП. Седловая точка функции Лагранжа. Достаточное условие оптимальности в общей задаче НЛП.

Выпуклые задачи оптимизации. Основные понятия геометрии многомерного линейного пространства. Выпуклые множества. Примеры выпуклых множеств. Опорная гиперплоскость. Разделяющая гиперплоскость. Теорема об отделимости выпуклых множеств. Выпуклые и вогнутые функции. Строгая выпуклость. Надграфик выпуклой функции. Условия выпуклости и вогнутости функций. Свойства выпуклых функций. Теоремы о локальном максимуме в выпуклом случае.

Формулировка выпуклой задачи НЛП. Теорема Куна-Таккера. Условия Куна-Таккера как необходимые и достаточные условия оптимальности. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Зависимость решения от параметров.

Основная литература.


  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. (гл. 4)

Дополнительная литература.

  1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Издательство «Факториал», 2001.

  2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

  3. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд. БГУ, 1975.

  4. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.Н. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

  5. Соколов А.В. ,Токарев В.В. Методы оптимальных решений (ридер).

Тема III. Задача линейного программирования

Формулировка задачи линейного программирования (ЛП). Примеры задач ЛП. Стандартная (нормальная) и каноническая формы представления задачи ЛП и сведение к ним.

Свойства допустимого множества и оптимального решения в задаче ЛП. Основные представления о методах решения задач ЛП, основанных на направленном переборе вершин (симплекс-метод и др.).

Функция Лагранжа и условия Куна-Таккера в задаче ЛП. Двойственные задачи линейного программирования. Теоремы двойственности. Интерпретация двойственных переменных. Анализ чувствительности оптимального решения к параметрам задачи линейного программирования.

Некоторые специальные задачи линейного программирования (транспортная, производственно-транспортная и т.д.).



Основная литература.

  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. (гл. 5)

  2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. (гл. 3)

Дополнительная литература.

  1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд. БГУ, 1975.

  2. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: Изд. БЕК, 2002.

  3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Изд. ДЕЛО, 2003.


Компьютерные методы оптимизации

Градиентные методы в задаче безусловной оптимизации. Метод Ньютона. Методы штрафных функций в задачах линейного и нелинейного программирования. Линейное программирование в среде MS Excel.

Основные представления о методах оптимизации в невыпуклом случае. Целочисленные задачи линейного программирования.

Основная литература.


  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. (гл. 4, 5)

  2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. (гл. 3).

Дополнительная литература.

  1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Издательство «Факториал», 2001.

  2. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.Н. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

  3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

  4. Fletcher R. (2000) Practical methods of Optimization. Wiley.

  5. Rardin R.L. (1997) Optimization in Operations Research. Prentice Hall.

  6. Walsey L.A. (1998) Integer Programming. Wiley.

Тема IV. Оптимизация в условиях неопределенности

Задача выбора решений в условиях неопределенности. Критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип гарантированного результата, критерий Гурвица, критерий Байеса-Лапласа, критерий Сэвиджа). Применение принципа гарантированного результата в задачах экономического планирования. Множество допустимых гарантирующих программ. Наилучшая гарантирующая программа.

Принятие решение при случайных параметрах. Вероятностная информация о параметрах. Принятие решений на основе математического ожидания. Случайность и риск. Учет склонности к риску.



Основная литература.

1. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. СПб.: Лань, 2000. (гл. 8, 9)



Дополнительная литература.

1. Райфа Г. Анализ решений. М.: Наука, 1977.

2. Clemen, R.T. (1996) Making Hard Decisions. Belmont: Duxbury Press.

Тема V. Основные понятия многокритериальной оптимизации

Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации. Пример: задача поиска разумных экономических решений с учетом экологических факторов. Множество достижимых критериальных векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница. Теорема Куна-Таккера в выпуклых задачах многокритериальной оптимизации.

Понятие лица, принимающего решение. Основные типы методов решения задач многокритериальной оптимизации. Методы аппроксимации паретовой границы.



Основная литература.

  1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. (гл. 2, § 6)

Дополнительная литература.

  1. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2000.

  2. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Издательство «Наука», 1984.

  3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

  4. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992.

  5. Lotov A.V., Bushenkov V.A., and Kamenev G.K. (2004) Interactive Decision Maps. Approximation and Visualization of Pareto Frontier. Kluwer Academic Publishers.

  6. Miettinen K. (1999) Nonlinear multi-objective optimization. Kluwer Academic Publishers.

Тема VI. Оптимизация динамических систем

Динамические задачи оптимизации. Примеры: простейшая динамическая модель производства и задача поиска оптимальной производственной программы. Многошаговые и непрерывные модели. Управление и переменная состояния в динамических моделях. Задание критерия в динамических задачах оптимизации. Принципы построения динамического управления: построение программной траектории и использование обратной связи. Задача построения программной траектории как задача математического программирования (в конечномерном или бесконечномерном пространстве).

Динамическое программирование в многошаговых задачах оптимизации. Принцип оптимальности. Функция Беллмана. Уравнение Беллмана в многошаговых задачах оптимизации. Решение задач динамического программирования.



Основная литература.

  1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. (гл. 11-13)

  2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. (гл. 4)

Дополнительная литература.

  1. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969.

  2. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.

  3. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд. БГУ, 1975.

  4. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

  5. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: Изд. БЕК, 2002.

  6. Kamien, M.I., Schwarz, N.L. (1981) Dynamic optimization. The calculus of variations and optimal control in economics and management. New York: Elsevier.

  7. Bryson A.E. (2002) Applied linear optimal control: examples and algorithms. Cambridge Univ. Press.

  8. Denardo E.V. (2003) Dynamic Programming: Models and Applications. Dover Publ.


IV. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Теоретические вопросы

Тема I

  1. Что такое инструментальные переменные и параметры математической модели? В чем состоит их отличие?

  2. Что такое допустимое множество?

  3. Что такое критерий оптимизации и целевая функция?

  4. Что такое линии уровня целевой функции?

  5. Дайте формулировку детерминированной статической задачи оптимизации.

  6. Назовите причины неопределенности в параметрах математической модели и объясните ее влияние на решение.

  7. Приведите примеры использования математических моделей для описания поведения экономических агентов.

  8. Что такое рациональное поведение с точки зрения теории оптимизации?

  9. Как методы оптимизации используются при принятии экономических решений?

  10. Расскажите об использовании оптимизации в задачах идентификации параметров математических моделей.

  11. Что такое глобальный максимум критерия и оптимальное решение?

  12. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса).

  13. Назовите причины отсутствия оптимального решения.

  14. Что такое локальный максимум?

Тема II

  1. Сформулируйте общую задачу нелинейного программирования.

  2. Сформулируйте необходимое условие локального максимума в общей задаче нелинейного программирования.

  3. Что такое функция Лагранжа?

  4. Дайте определение седловой точки функции Лагранжа.

  5. Сформулируйте и докажите достаточное условие оптимальности с помощью функции Лагранжа.

  6. Сформулируйте условие дополняющей нежесткости и дайте его экономическую интерпретацию.

  7. Дайте определение выпуклого множества.

  8. Какие свойства имеют выпуклые множества?

  9. Дайте определение опорной гиперплоскости.

  10. Дайте определение разделяющей гиперплоскости.

  11. Сформулируйте и проиллюстрируйте теорему об отделимости выпуклых множеств.

  12. Сформулируйте понятие выпуклой и вогнутой функций.

  13. Что такое строгая выпуклость функции?

  14. Что такое надграфик функции? Какими свойствами обладает надграфик выпуклой функции?

  15. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции.

  16. Какие свойства имеют выпуклые функции?

  17. Сформулируйте выпуклую задачу нелинейного программирования.

  18. Сформулируйте теорему о глобальном максимуме в выпуклом случае.

  19. Приведите содержательный пример выпуклой задачи нелинейного программирования.

  20. Сформулируйте теорему Куна-Таккера.

  21. Дайте экономическую интерпретацию множителей Лагранжа.

  22. Как решения выпуклой задачи оптимизации зависят от параметров?


Тема III

  1. Сформулируйте задачу линейного программирования.

  2. Приведите содержательные примеры задачи линейного программирования.

  3. Что такое нормальная (стандартная) и каноническая формы задачи линейного программирования?

  4. Какие свойства имеет допустимое множество задачи линейного программирования?

  5. Какие свойства имеет оптимальное решение в задаче линейного программирования?

  6. Как выглядят функция Лагранжа и условия Куна-Таккера в задаче линейного программирования?

  7. Сформулируйте двойственную задачу линейного программирования.

  8. Сформулируйте теоремы двойственности в задаче линейного программирования.

  9. Дайте интерпретацию двойственных переменных в задаче линейного программирования.

  10. Расскажите об анализе чувствительности в задаче линейного программирования.

  11. Примените графический метод для решения конкретной задачи линейного программирования.

  12. В чем состоят методы решения задач линейного программирования, основанные на направленном переборе вершин (симплекс-метод и др.)?

  13. Какие возможности предоставляет среда MS Excel для решения задач линейного программирования?

  14. В чем состоят градиентные методы решения задачи безусловной оптимизации?

  15. Как штрафные функции используются при поиске решения выпуклой задачи нелинейного программирования?

  16. Расскажите о методах решения задач линейного программирования, основанных на применении штрафных функций.


Тема IV

53. Сформулируйте задачу выбора решений в условиях неопределенности.



  1. Назовите и сформулируйте критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип гарантированного результата, критерий Гурвица, критерий Байеса-Лапласа, критерий Сэвиджа).

  2. Как определяется множество допустимых гарантирующих программ?

  3. Что такое наилучшая гарантирующая программа?

  4. Как используется вероятностная информация о параметрах в задачах принятия решений при случайных параметрах.

  5. В чем состоит принятие решений на основе математического ожидания?

  6. Как учитывается склонность к риску?


Тема V

  1. Сформулируйте постановку задачи многокритериальной оптимизации.

  2. Что такое множество достижимых критериальных векторов?

  3. Дайте определение доминирования и оптимальности по Парето.

  4. Что такое эффективные решения и паретова граница.

  5. Назовите основные подходы к построению методов поиска решений в задачах многокритериальной оптимизации.


Тема VI

  1. Приведите примеры многошаговых систем в экономике.

  2. В чем состоят особенности динамических задач оптимизации?

  3. Приведите примеры динамической задачи оптимизации.

  4. Что такое многошаговые динамические модели?

  5. Что такое непрерывные динамические модели?

  6. Что такое управление и переменная состояния в динамических моделях?

  7. Приведите примеры задания критерия в динамических задачах оптимизации.

  8. В чем состоит метод динамического программирования в многошаговых задачах оптимизации?

  9. Сформулируйте принцип оптимальности и запишите уравнение Беллмана.

  10. Как задача оптимизации многошаговой системы сводится к задаче математического программирования?


Рекомендации по использованию информационных технологий:

При выполнении домашнего задания, посвященного решению задачи линейного программирования, требуется использовать компьютерную программу, которая позволяет проводить анализ чувствительности. В частности, рекомендуется использовать оптимизатор MS Excel.



Упражнения по курсу

«Методы оптимальных решений»
1. Основные понятия
1. Изобразить линии уровня следующих функций для указанных констант С. Рассчитать величину градиента в общем виде и найти его значения в указанных точках . Изобразить найденные градиенты в виде векторов, исходящих из заданных точек.

а) при С = 0 ; 1; 4, M1 = (1;–2), M2 = (2; –2), M3 = (–1; –2);

б) при С = 0; 1; –1, M1 = (0;0), M2 = (0;1), M3 = (1;1), M4 = (–1; –1), M5 = (1; –1);

в) при С = 0; 5; –5, M1 = (0;0), M2 = (1;1), M3 = (–1; –1);

г) при С = 0; 1; –1, M1 = (0;0), M2 = ( ;2), M3 = (π ; –1).
2. Найти градиент и производную по направлению заданной функции в точке . Для задачи а) изобразить вектор и градиент заданной функции в указанной точке.

Указание: все векторы следует изображать исходящими из заданной точки .

а) ; ; ;

б) ; ; ; ;

в) , М (2;1;0), .

3. В следующих задачах изобразить множество допустимых решений и проверить выполнение условий теоремы Вейерштрасса о существовании глобального максимума. Если теорема Вейерштрасса не применима, указать, какие условия не выполняются. Определить, существует ли решение задачи.
а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

4. Прибыль некоторой фирмы, производящей единственный товар, задается функцией



f (p, x )= p x g(x),

где p – цена товара, устанавливаемая фирмой, x –количество проданного товара, зависящее от цены, g(x) – затраты на производство и транспортировку товара, которые будем считать пропорциональными x с некоторым положительным коэффициентом c. Заранее известно, что p pmin > 0, где pmin -- заданное число.

Рассмотрите описанные ниже ситуации и составьте их математические модели. Изобразите графики функций x(p) и f(p, x(p)). Выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса? Существует ли цена, являющаяся решением задачи максимизации прибыли фирмы? Если решение не существует, назовите причину этого.

а) Фирма является монополистом, причем объем продаж x определяется функцией x(p)= b/p, где b>0.

б) Фирма выходит с произведенным товаром на рынок, на котором есть такая установившаяся цена p0, что

p0 > c pmin. Пусть объем продаж фирмы определяется назначаемой ею ценой p следующим образом

x = 0 при p > p0;

x = 0.1 b/p0 при p = p0;

x = b/p при pmin p < p0.

в) В случае зависимости продаж от цены, описанной в ситуации б), фирма решила, что цена на ее продукцию должна быть строго меньше p0.

г) Пусть в случае зависимости продаж от цены, описанной в ситуации б), имеет место pminp0<c, а фирма не может существовать при неположительной прибыли.

д) Пусть в случае зависимости продаж от цены, описанной в ситуации б), имеет место pminp0<c, а фирма не может производить товар при отрицательной прибыли.


5. Найти все локальные экстремумы следующих функций. Существует ли глобальный экстремум данной функции на всем множестве ее определения? Если да, найти его. Ответ обосновать.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .


6. Методом Лагранжа найти локальные условные экстремумы следующих функций. Определить, выполняются ли в данных задачах условия теоремы Вейерштрасса. Найти глобальные экстремумы, если они существуют, или обосновать их отсутствие. Оценить, насколько изменятся значения функций в точках экстремума, если константы в правых частях условий связи увеличатся на 0,01.

а) при условии ;

б) при ;

в) при .

7. Фирма получила заказ на производство 2700 деталей по цене 10 тыс. рублей за штуку. Для выполнения заказа требуются ресурсы двух видов А и В. При полном расходовании х единиц ресурса А и у единиц ресурса В можно изготовить деталей. Рыночная цена единицы ресурса А составляет 1 тыс. рублей, единицы ресурса В – 27 тыс. рублей. Определить оптимальный план приобретения ресурсов (т.е. величины х и у) и прибыль от выполнения заказа. Оценить, насколько изменится прибыль при оптимальном приобретении ресурсов, если размер заказа увеличится на одну деталь. Издержками считать затраты на приобретение ресурсов.

8. Предприятие производит продукцию двух видов: А и В. Производство х единиц продукции вида А обходится предприятию в тыс. рублей, а производство у единиц продукции вида В – в тыс. рублей. Цена единицы продукции вида А на рынке составляет 4 тыс. рублей, а продукции вида В - 2 тыс. рублей. Определить оптимальный план производства (т.е. найти оптимальные значения х и у) и прибыль при условии, что предприятие затратило на приобретение ресурсов для производства указанных видов продукции 2340 тыс. рублей. Оценить, насколько изменится прибыль при оптимальном планировании производства, если затраты увеличить на 1 тыс. рублей. Издержками считать затраты на производство.


2. Нелинейное программирование
1. Следующие задачи нелинейного программирования:

а) Привести к стандартному и унифицированному виду (прямые ограничения представлены в виде функциональных).

б) Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции. Определить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения?

в) Вычислить и изобразить на рисунке направления градиентов целевой функции и функций, описывающих активные ограничения, в указанных и угловых точках.

г) На рисунке проверить выполнение условий Якоби и Куна-Таккера в указанных и угловых точках.

д) В точках, где выполняются условия Якоби и Куна-Таккера, разложить градиент целевой функции по градиентам функций, задающих активные ограничения в этих точках, и найти множители Лагранжа.

е) Изобразить линии уровня целевой функции и проверить наличие или отсутствие в этих точках локального и глобального максимумов.

ж) Оценить графически, существуют ли еще точки, в которых выполняются условия Куна-Таккера, и найти эти точки. Определить (графически) наличие или отсутствие локального максимума в них.

1) , (3/4; 1/4); (1/2; 1/4);
2) , (0;1), (2;3);

3) ; 4) ; 5) ; 6) .


2. Определить с обоснованием, являются ли множества, заданные указанными ограничениями, выпуклыми и изобразить их.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .
3. Определить, будут ли выпуклы (вогнуты) заданные функции на заданных множествах.

а) функция на E2;

б) функция на E2;

в) функция на E2;

г) функция на E2;

д) функция на множестве = ;

е) функция на квадрате с вершинами ;

ж) функция на множестве ;

з) функция на прямоугольнике с вершинами {(0;0),(1;0),(0;4),(1;4)};

и) функция на прямоугольнике с вершинами

{(1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1)}.
4. Являются ли следующие задачи задачами выпуклого программирования? Ответ обосновать.

а) при ;

б) при ;

в) при ;

г) при ;

д) при ;

е) при ;

ж) при ;

з) при .
5. В следующих задачах нелинейного программирования выполнить следующие задания и ответить на вопросы:

а) Привести задачу к стандартному и унифицированному виду (прямые ограничения представлены в виде функциональных).

б) Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции. Определить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения?

в) Является ли данная задача задачей выпуклого программирования?

г) Возможно ли применение теоремы Куна-Таккера в данной задаче? Почему?

д) Рассматривая различные наборы активных ограничений, увеличивая их количество, начиная с нуля, аналитически найти точку, в которой выполняются условия Куна-Таккера. Указать такую точку и продемонстрировать выполнение условий Куна-Таккера на рисунке.


1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

6. Фирма производит два вида товаров: А и В. Для производства единиц товара А и единиц товара В требуется заранее приобрести кг сырья. Из-за ограничений на объем склада количество сырья не должно превышать 2100 кг. Доход от реализации единицы товара А составляет $2000, а от реализации единицы товара В – $1000. Определить план выпуска, максимизирующий доход. Оценить, на сколько изменится доход, если объем склада увеличить на 1 кг.
7. Решить задачу

а) при , x1≥0, x2 0, x3 0;

б) при , x1≥0, x2 0, x3 0;

в) при , x1≥0, x2 0, x3 0.

При этом:


  1. Проверить, выполняется ли для данной задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса;

  2. Проверить, является ли данная задача задачей выпуклого программирования;

  3. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера (необходимость и достаточность) в данной задаче;

  4. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования на основе проверки выполнения условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений;

  5. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера в алгебраической форме с использованием функции Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в решении, найденном в предыдущем пункте.



  1. Фирма производит продукцию трех видов: A, B, C. Для ее изготовления используются оборудование и трудовые ресурсы. Для изготовления единицы продукции A требуется одна единица оборудования в течение одного часа и два человеко-часа трудовых ресурсов, для изготовления единицы продукции B – две единицы оборудования в течение одного часа и один человеко-час трудовых ресурсов, продукции C – одна единица оборудования в течение одного часа и 3 человеко-часа. Прибыль от реализации продукции A и B пропорциональна ее количеству с коэффициентом пропорциональности $10 и $6 соответственно, а вида C – квадратному корню из ее количества с коэффициентом пропорциональности $440. В настоящее время фирма располагает 1210 часами работы оборудования и 2420 человеко-часами трудовых ресурсов в месяц. Определить план выпуска, максимизирующий прибыль. Проанализировать чувствительность максимальной прибыли к константам ограничений на ресурсы.


3. Линейное программирование
1. Привести задачи линейного программирования к стандартной и канонической формам:

а) ; б) ; в) .

2. Составить задачи линейного программирования для следующих проблем и решить графически:

а) Озеро можно заселить двумя видами рыб: А и В. В озере имеется два вида пищи: Р1 и Р2. Средние потребности в пище рыбы вида А составляют 0,5 ед. корма Р1 и 1,5 ед. корма Р2 на 1 кг рыбы в день. Потребности в пище рыбы вида В составляют 2 ед. корма Р1 и 1 ед. корма Р2 на 1 кг рыбы в день. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. Р1 и 900 ед. Р2. Каковы должны быть массы отдельных видов рыб для того, чтобы максимизировать общую массу рыбы в озере?


б) Имеется 2 вида кормов А и B, которые можно купить по ценам $8 и $10 за килограмм. В одном килограмме корма А содержится 50 г питательного вещества М и 100 г питательного вещества N. Для корма В соответствующие цифры составляют 100 г и 50 г. Сколько требуется закупить кормов А и B, чтобы общее количество питательных веществ М и N составляло не менее 4 кг и 5 кг соответственно, а расходы были минимальны? Вычислить минимальные расходы.
в) Фабрика по производству мороженого может выпускать два сорта мороженого: молочное и сливочное. При производстве мороженого используют три вида сырья: молоко, дешевые наполнители и дорогие наполнители, запасы которых составляют 5 т, 3 т и 5,7 т соответственно. Известны удельные затраты сырья для каждого из сортов и цены продукции. Для молочного мороженого они составляют 0,5 кг,0,1 кг и 0,4 на 1 кг мороженого, а для сливочного – 0,2 кг, 0,3 и 0,5 кг на 1 кг мороженого. Цена молочного мороженого составляет 200 рублей за 1 кг, а сливочного – 300 рублей за 1 кг. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода, и найти оптимальный доход.
3. Составить математические задачи оптимизации для следующих проблем и решить их. Дать интерпретацию оптимальных значений двойственных переменных. Провести анализ чувствительности оптимального значение критерия по отношению к изменениям объемов используемого сырья. Найти пределы, в которых данные значения двойственных переменных могут быть использованы для расчета влияния изменения объемов сырья.
а) Имеется два вида сырья: S1 и S2 в количествах 800 и 1400 кг. Можно изготовить три вида продукции: Р1, Р2 и Р3. Затраты сырья на кг продукции составляют соответственно: 4;2;5 и 2;6;5. Цена готовых изделий: $8; $14; $10. При планировании максимизируется доход.
б) На заводе имеется запас олова и свинца в объеме 3 тонн и 5 тонн соответственно. Из этих металлов завод может изготовить три вида сплавов этих металлов: с содержанием олова 20 %, 30 % и 50 %. Сплав первого вида завод может реализовать по цене $80 за кг, второго – $140, третьего – $200. Составить план производства, максимизирующий доход, и вычислить этот доход.
в) Фирма по производству творожной пасты может выпускать два сорта пасты, используя три вида сырья – молоко, наполнители и специальные добавки. Затраты молока на килограмм пасты первого вида составляют 0.1 кг, а второго вида – 0.5 кг. Затраты наполнителей на килограмм пасты первого вида составляют 0.2 кг, а второго вида – 0.1 кг. Наконец, затраты добавок на килограмм пасты первого вида составляют 0.1 кг, а при производстве второго вида пасты не используются. Запасы молока составляют 350 кг, наполнителей – 160 кг, добавок – 60 кг. Цена 1 кг первого вида пасты составляет 200 рублей, а второго вида – 300 рублей. Найти план производства, максимизирующий доход от продажи творожной пасты, и соответствующее значение дохода. Записать двойственную задачу, найти ее решение и дать интерпретацию двойственным переменным. Провести анализ чувствительности к малым изменениям запасов.

4. При каких значениях параметра задача линейного программирования

а) не имеет решений; б) имеет единственное решение; в) имеет бесконечное множество решений? Найти эти решения.
5. Для каждой из следующих задач ЛП перейти к двойственной задаче, решить ее графически и найти решение исходной задачи.

а) ; б) .


4. Оптимизация в условиях неопределенности

1. Гарантирующее планирование производства

а) Предприятие планирует выпуск продукции на следующий год. Производственные возможности предприятия позволяют выпускать продукцию трех видов: А, В и С. Для производства этих видов продукции предприятию требуется закупить сырье, стоимость единицы которого в следующем году прогнозируется в интервале от 0,8 до 1 тыс. руб.. На закупку сырья предприятие может истратить не более 770 тыс. рублей. На производство единицы продукции вида А требуется от 70 до 80 единиц сырья, вида В – от 40 до 50 единиц, вида С – от 15 до 20 единиц. Производственные мощности предприятия ограничены 550 единицами, причем на производство единицы продукции указанных видов требуется 40, 80 и 120 единиц соответственно. Прогнозируемая цена выпускаемой продукции колеблется в пределах [320; 350], [400; 430], [240; 280] тыс.руб.соответственно.

Составить оптимальный план выпуска продукции, гарантирующий максимально возможную прибыль в предположении независимости неопределенных факторов, и значение этой прибыли. Издержками считать затраты на сырье.


б) Завод планирует в следующем году выпуск трансформаторов трех видов: А, В и С. На один трансформатор вида А расходуется от 2,7 до 3 кг трансформаторного железа и от 2,8 до 3 кг проволоки., вида В – от 5,8 до 6 кг трансформаторного железа и 4 кг проволоки, вида С – от 1,9 до 2 кг трансформаторного железа и от 2,8 до 3 кг проволоки. Завод планирует закупить 500 кг трансформаторного железа и 600 кг проволоки. Прогнозируемая цена 1 кг трансформаторного железа – от 1,8 до 2 долларов, проволоки – от 1,3 до 1,5 долларов. Рыночная цена трансформаторов вида А прогнозируется в пределах от $15 до $18, вида В – от $22 до $25, вида С - от $13 до $15. Определить оптимальный план выпуска трансформаторов, гарантирующий максимальную прибыль в предположении независимости неопределенных факторов, а также значение этой прибыли.

2. Выбор стратегии управления фирмой в условиях неопределенности

2.1. Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов будущей ситуации, причем не известно какой из прогнозов реализуется. Вероятность реализации прогноза также не известна. Величины прибыли при реализации каждого из прогнозов приведены в таблице. Найти наилучшие стратегии по критериям максимакса, Байеса-Лапласа, Гурвича, Сэвиджа, а также наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантированную оценку прибыли.


а)

СтратегияПрогноз 15– 10– 5 589 4109 668 – 579 4520б)


СтратегияПрогноз 79– 50 444 – 789 – 10630 – 521 51– 10

2.2. Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов будущей ситуации: – пессимистический, – средний, – оптимистический. Оценки прибыли приведены в таблице, где за единицу измерения принят максимально возможный объем прибыли в благоприятной ситуации. Условная величина означает недопустимость стратегии в ситуации , т.е. множество допустимых управлений зависит от : .

Требуется написать общие формулы для выбора рациональных стратегий и оценок прибыли для перечисленных ниже вариантов априорной информированности о будущей ситуации.

1) : будущая ситуация известна точно (детерминированное, или идеальное решение);




  1. : известно только множество будущих ситуаций (какой из прогнозов реализуется и с какой вероятностью, – не известно):

а) выделить множество гарантированно допустимых недоминируемых стратегий;

б) найти наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантирующую оценку прибыли ;

в) проверить, есть ли в задаче седловая точка;

г) найти в (из k = 2) стратегию , ближайшую к идеальному решению из k = 1 по мини-максному критерию для относительных отклонений ;



  1. k = 3 : известно множество будущих ситуаций и вероятности их реализации:

а) на множестве (из k = 2) найти стратегию , доставляющую максимум математическому ожиданию прибыли ;

б) на множестве (из k = 2) найти оптимальные вероятностно-гарантирующие стратегии , доставляющие максимум нижней оценке прибыли , справедливой с заданной надежностью ; для этого:

– построить множества с достаточной вероятностной мерой:

– вычислить гарантированные оценки прибыли на подмножествах для стратегий при заданном ;

– найти максимальную гарантированную оценку прибыли , указать стратегию , обеспечивающую этот максимум при заданном .
а)

СтратегияПрогноз 0,10,30,5 0,20,8 0,30,6 0,20,40,8 0,21 0,10,50,9 , .


б)

СтратегияПрогноз 0,30,50,7 0,10,30,8 0,20,40,6 0,10,6 0,4 0,7 0,61 , .

3. Отыскание наилучшего решения в условиях вероятностной неопределенности

Небольшая нефтяная фирма ведет разведывательное бурение нефтяных участков. Относительно некоторого участка она может принять одно из трех решений: а) не бурить; б) бурить; в) бурить с предварительной сейсмической разведкой. В первом случае доход равен нулю, во втором с вероятностями p1, p2 и p3 могут встретиться три исхода: пустая скважина (доход за вычетом затрат на бурение равен минус 700 тыс. руб.), бедная скважина (500 тыс. руб.), богатая скважина (2000 тыс. руб.). Предварительная сейсмическая разведка не дает точного прогноза результатов бурения, она лишь уточняет прогноз. При этом вероятности получения плохого, среднего и хорошего прогнозов при сейсмической разведке равны pпл, pср и pхор соответственно. В случае плохого прогноза вероятности трех исходов (пустая, бедная и богатая скважины) равны p1пл, p2пл и p3пл, в случае среднего прогноза – p1ср, p2ср и p3ср, а в случае хорошего прогноза – p1хор, p2хор и p3хор. Стоимость предварительной сейсмической разведки составляет 100 тыс. руб. Построить дерево решений и найти решение, наилучшее с точки зрения максимизации математического ожидания дохода с учетом затрат на бурение и сейсмическую разведку. Вероятности заданы:

а) p1=0.5, p2 = 0.3 и p3 = 0.2; pпл = 0.41, pср = 0.35 и pхор = 0.24; p1пл =0.73, p2пл =0.22 и p3пл = 0.05;

p1ср = 0.43, p2ср = 0.34 и p3ср = 0.23; p1хор = 0.21; p2хор = 0.375 и p3хор = 0.415.

б) p1=0.6, p2 = 0.3 и p3 = 0.1; pпл = 0.5, pср = 0.2 и pхор = 0.3; p1пл =0.8, p2пл =0.2 и p3пл = 0.0;



p1ср = 0.5, p2ср = 0.5 и p3ср = 0.0; p1хор = 0.33; p2хор = 0.33 и p3хор = 0.34.

5. Многокритериальная оптимизация

1. Пользуясь определением доминирования по Парето и возможностью изобразить на плоскости совокупность критериальных векторов, выделить Парето-эффективное множество решений из конечного множества допустимых решений , каждое из которых оценивается по двум максимизируемым критериям, то есть :

а) , , , , , , , , ;

б) , , , , , , , , .


2. Пользуясь определением доминирования по Парето, выделить Парето-эффективное множество решений из конечного множества допустимых решений , каждое из которых оценивается по трем максимизируемым критериям, то есть :

а) , , , ;

б) , , , .

3. Пусть в задаче многокритериальной максимизации множество достижимых критериальных векторов Z уже построено. Выделить паретову границу множества Z и указать идеальную точку z*. При каких значениях максимизация свертки , где , позволяет выделить вершины и ребра ?

а) ,
б) .

4. В следующих задачах линейной многокритериальной максимизации с двумя переменными и двумя критериями изобразить множество допустимых решений, построить и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, выделить его паретову границу и указать идеальную точку z*. Найти Парето-эффективное множество в пространстве решений:

а) и ;

б) и .


5. В задаче многокритериальной максимизации с двумя критериями множество допустимых решений X является многогранником, а критерии – линейны. Пусть задано целевое множество G ={( , ): , }. Сформулировать задачу целевого программирования при условии, что отклонение от целевого множества задается функцией . Изобразить множества Z и P(Z), целевое множество G, идеальную точку z*, линии уровня и графически решить задачу целевого программирования. Записать задачу целевого программирования в виде задачи линейного программирования.
а) , , , , .

б) , , , , .


6. Потребитель, имеющий сумму денег , решает, в каких объемах и купить на рынке товары двух видов. Запасы товаров на рынке ограничены: и , цены известны потребителю: и .

От своей покупки потребитель хочет получить побольше полезности: , но при этом истратить поменьше денег: .

Требуется определить Парето-эффективные объемы покупок , решив задачу однокритериальной оптимизации с параметром С: по при с использованием условий Куна-Таккера.
7. Рассматривается задача двухкритериальной максимизации

на множестве допустимых решений :



Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев





6. Оптимизация динамических систем

1. Путешественник должен добраться из пункта А в пункт Б, посетив по дороге несколько промежуточных пунктов:

а) на первом этапе путешественник может добраться из пункта А до одного из промежуточных пунктов 1, 2, 3 или 4, причем расстояния до этих пунктов равны 450, 250, 350 и 500 км соответственно;

б) на втором этапе путешественник должен добраться из выбранного им пункта 1, 2, 3 или 4 до одного из промежуточных пунктов 5, 6, 7 или 8. Расстояние от пункта 1 до пункта 5 равно 400 км, до пункта 6 – 350 км, а в пункты 7 или 8 из пункта 1 дороги нет. Расстояние от пункта 2 до пункта 5 равно 500 км, до пункта 6 – 450 км, до пункта 7 – 500 км, а в пункт 8 из пункта 2 дороги нет. Расстояние от пункта 3 до пункта 6 равно 450 км, до пункта 7 – 400 км, до пункта 8 – 400 км, а в пункт 5 из пункта 3 дороги нет. Наконец, расстояние от пункта 4 до пункта 7 равно 400 км, до пункта 8 – 300 км, а в пункты 5 или 6 из пункта 4 дороги нет;

в) на третьем этапе путешественник должен добраться из выбранного им пункта 5, 6, 7 или 8 до одного из промежуточных пунктов 9 или 10. Расстояние от пункта 5 до пункта 9 равно 400 км, а в пункт 10 из пункта 5 дороги нет. Расстояние от пункта 6 до пункта 9 равно 350 км, до пункта 10 – 450 км. Расстояние от пункта 7 до пункта 9 равно 550 км, до пункта 10 – 350 км. Наконец, расстояние от пункта 8 до пункта 10 равно 300 км, а в пункт 9 из пункта 8 дороги нет.

г) на четвертом этапе путешественник должен добраться из выбранного им пункта 9 или 10 до конечного пункта Б. Расстояние от пункта 9 до пункта Б равно 500 км. Расстояние от пункта 10 до пункта Б равно 400 км.

Найти кратчайший маршрут, применив метод динамического программирования (то есть, выписав уравнение Беллмана и решив его).

2. Финансово-промышленная группа выделяет 4 миллиона рублей для инвестирования трех предприятий. Ожидается, что на i-м предприятии инвестированные средства хi принесут прибыль в размере Fi(хi) миллионов рублей, i=1,2,3. Предполагается, что сумма денег, вложенных в одно предприятие, может принимать только целочисленные значения, т.е. .

Определить максимальную суммарную прибыль и оптимальное распределение инвестиций между предприятиями. Решить задачу методом динамического программирования.


XF1F2F3



0000

11,521,7

222,12,4

32,52,32,7

433,53,2

XF1F2F3

0000

10,50,60,8

211,11,2

31,51,51,3

421,71,5
а))

б))


а))

3. Фирма вырабатывает план замены однотипного оборудования. Планирование производится на 7 лет вперед, после чего фирма прекращает существование, распродав оборудование по остаточной стоимости. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически моментально), причем частичная замена оборудования невозможна (т.е. или менять все, или не менять ничего). Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет p миллионов рублей. После замены старое оборудование продается по остаточной стоимости. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании, эксплуатировавшемся до этого t лет, , определяется формулой миллионов рублей. Остаточная стоимость определяется формулой миллионов рублей.

Определить план замены оборудования, максимизирующий суммарную прибыль от производственной деятельности с учетом затрат на оборудование и дохода от его продажи, при условии, что в начальный момент времени имеется оборудование, прослужившее 1 год.

а) p=9 миллионов рублей;

б) p=17 миллионов рублей.

4. Динамика фирмы описывается моделью (в безразмерных переменных)



Kt+1 =Kt + (1 ut) δ Kt , K0 = 1,

Ct+1 = Ct + ut δ Kt , C0 = 0,

где t = 0,1,2,…, T-1. В этой модели



Kt – стоимость основных фондов к началу периода [t, t+1];

Ct – суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода [t, t+1];

ut – доля дивидендов в период [t, t+1] в прибыли фирмы, которая считается равной δ Kt, где δ – заданный постоянный параметр.

Величина ut является управлением в модели, причем 0 ≤ ut ≤ 1, t=0,1,2,…,T-1.

Пользуясь методом динамического программирования, построить оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период времени [0, T], то есть СT.

а) δ = 0.6; T = 4;

б) δ = 0.4; T = 4.

Домашняя работа на тему

«Линейные оптимизационные модели и линейное программирование»


  1. Каталог: data -> 170
    data -> Кандидат искусствоведения, доцент Е. Ю. Хлопина Примерные темы курсовых работ на 2014-2015 уч гг
    data -> Курс: Примерные темы курсовых работ на 2015–2016 уч гг
    data -> Пояснительная записка к рабочей программе по учебному предмету «Мировая художественная культура» в средней общеобразовательной школе (11 класс)
    data -> Ответ. 14 пакетов
    data -> Материалы по обоснованию проекта
    data -> Учителя по формированию читательской грамотности в начальной школе
    data -> Особенности машинной арифметики. Представление чисел в ЭВМ
    data -> Товар из распродажи наложенным платежом неотправляется


    Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница