Методические рекомендации учителю по организации занятий с учащимися с использованием разработанных материалов



страница1/7
Дата29.07.2016
Размер1.07 Mb.
ТипРеферат
  1   2   3   4   5   6   7

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Классическая гимназия №2»

г. Тынды Амурской области


Подготовка учащихся

основной и старшей школ к участию

в олимпиадах

по математике
(учебно-методическое пособие)


Составила:

Купцова Раиса Владимировна,

учитель математики

высшей категории

МОУ «Классическая гимназия №2»


Тында

2011 г


Содержание


Введение……………………………………………………………………….
1. История возникновения олимпиадного движения……………………

2. Методические рекомендации учителю по организации занятий с учащимися с использованием разработанных материалов……………

3. Использование нестандартных задач на уроках, как основа подготовки к олимпиадам по математике………………………………..

4. Психолого-педагогическая подготовка детей к олимпиаде, основные принципы разработки заданий олимпиады.............................

5. Гимназические олимпиады.........................................................................

Гимназическая олимпиада №1………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №2………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №3………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №4………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №5………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №6………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №7………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №8………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №9………………………………………………..

Гимназическая олимпиада №10……………………………………………….

Гимназическая олимпиада №11……………………………………………….

Гимназическая олимпиада №12……………………………………………….
6. Диагностические карточки……………………………………………….

7. Задачи с решениями……………………………………………………….

Игры. Игры – шутки……………………………………………………………

Игры. Симметричные стратегии………………………………………………

Разные задачи…………………………………………………………………..

Делимость и остатки…………………………………………………………..

Логические задачи ……………………………………………………………..


Ответы и указания……………………………………………………………
Литература…………………………………………………………………….

Приложение 1. Медали и премии за выдающиеся научные достижения…

Приложение 2. Список ресурсов для подготовки к олимпиаде по математике……………………………………………………………………...

4
6
10
19
22
24

25

26



27

28

29



30

31

32



33

34

35


36
44

45

47



49

51
59


62

63

65




В
3
ВЕДЕНИЕ


Математика,

если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину, но и несравненную красоту.

Бертранд Рассел.
Сегодня, в век информационного общества без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека и для жизни в этом обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

Одной из наиболее значимых форм повышенной математической подготовки являются математические олимпиады. Математические олимпиады школьников в России имеют большую историю и традицию. Большой вклад в становление и развитие олимпиадного движения в России внесли такие ученые и педагоги, как П.С. Александров, М.И. Башмаков, И.М. Гельфанд, Г.И. Глейзер, Б.В. Гнеденко, Б.Н. Делоне, Г.В. Дорофеев, а также: Г.И. Зубелевич, А.Н. Колмогоров, Н.Н. Константинов, Г.Г. Левитас, Л.А. Люстерник, А.И. Маркушевич, И.С. Петраков, Д. Пойа, В.Н. Русанов, С.Л. Соболев, В.А. Тартаковский, Г.А. Тоноян и др.

Значительно продвинулось развитие олимпиад благодаря использованию новых информационных и коммуникационных технологий. Так, широкую известность в школах России через Интернет получили Международный конкурс-игра «Кенгуру. Математика для всех» (М.И. Башмаков), дистанционная олимпиада «Эйдос» (А.В. Хуторской), Московский интеллектуальный марафон, турниры Архимеда, математические бои, турниры городов и др.

Актуальность и выбор темы обусловлены той важной ролью, которая объективно принадлежит математическим олимпиадам в деле выявления учащихся, проявляющих склонности и способности к занятиям математикой, в совершенствовании методики подготовки и форм работы по повышению уровня математических знаний учащихся в школе.

Разработка учебно-методического пособия «Подготовка учащихся основной и старшей школ к участию в олимпиадах по математике» помогает в достижении цели: создать ориентационную и мотивационную основу для осознанной подготовки учащихся к олимпиадам, помочь учителю организовать деятельность учащихся по решению задач с учетом индивидуальных особенностей и уровня подготовки.

Достижение этой цели предполагается путем знакомства учащихся с материалом задач разного типа и уровня сложности и их решениями. В итоге, всем учащимся, интересующимся математикой, предоставляется широкое поле деятельности, на котором каждый ученик сможет подобрать задачи для себя, а задачи более сложные будут разобраны при совместной работе в группе или на занятиях математического кружка с помощью учителя.


4

Исходя из цели, поставила перед собой следующие задачи: оказать помощь в воспитании культуры математического мышления, способствовать повышению интереса к предмету и накоплению определенного запаса математических фактов и сведений, умений и навыков, приобретаемых в основном курсе математики; пригласить школьников войти в мощный поток человеческой мысли и познакомить их с историей возникновения олимпиадного движения, с медалями и премиями за выдающиеся научные достижения, а также помочь учащимся получить рекомендации в плане подготовки к олимпиадам. В сборнике есть методические рекомендации и для учителей-предметников, и для руководителей кружков, занимающихся подготовкой учащихся к олимпиадам по математике.

В процессе подготовки учащиеся непосредственно работают по диагностическим карточкам, которые позволяют учителю определить, на каком уровне подготовки находится тот или иной ученик. Диагностические карточки состоят из задач среднего и повышенного уровня сложности и составлены таким образом, чтобы облегчить работу учителю или учащемуся в плане подборки задач по определенной тематике.

Пособие содержит около 250 разнообразных задач. В него включены задачи для математических олимпиад 9 – 11 классов и задачи на делимость и остатки, логические задачи, игры – шутки, игры – симметричные стратегии, разные задачи для 5 – 8 классов. К одним заданиям сразу приводятся ответы, к другим лишь советы, которые помогут найти решение.


5


1. История возникновения олимпиадного движения


Состязания по решению математических задач в той или иной форме существуют с давних времен. Достаточно вспомнить состоявшийся в 1535 году знаменитый математический поединок между Фиоре и Тартальей, при подготовке к которому последний вывел формулу для решения кубических уравнений. Среди европейских математиков того времени было принято предлагать коллегам «задачи на размышление». Это играло ту же роль, что заявление о каких-либо математических результатах, такую роль сейчас играют научные публикации. Однако практически все математические состязания и поединки в то время носили спонтанный характер.

Заочные конкурсы по решению задач в России начали проводиться с 1886 года, с того же года в Румынии проводятся очные математические конкурсы для выпускников лицеев. А в 1894 году в Венгрии по инициативе Венгерского математического общества и известного физика Лорана Этвёша состоялась и первая математическая олимпиада для выпускников гимназий. Лауреатами венгерских математических олимпиад впоследствии становились всемирно известные математики: Липот Фейер, Теодор фон Карман, Альфред Хаар, Марсель Риис, Габор Сеге.

В нашей стране крупная математическая олимпиада в современной форме впервые была проведена в Ленинграде в 1934 году. Произошло это во многом благодаря усилиям Б.Н.Делоне, О.К.Житомирского, В.А.Тартаковского, Д.К. Фадеева и Г.М. Фихтенгольца. Проводилась она в то время в несколько этапов (открытый заочный, после него – письменный очный этап и завершающий очный этап), причем, только для старшеклассников. Позже, в 1939 году, в олимпиаде стали участвовать и 9-классники, а с 1940 года – 8-классники.

С
6


ередина 30-х годов XX в. В СССР почетом и славой окружены летчики и геологи, строители и металлурги… А ученые, например математики? У всех на устах имя академика Отто Юльевича Шмидта, но мало кто знал, что он – выдающийся алгебраист. Руководитель полярных экспедиций? Да. Но математик? Профессия ученого, тем более в такой отнюдь не романтической области, как математика, была малопривлекательной. На математико-механический факультет Ленинградского (ныне Санкт-Петербургского) и механико-математический факультет Московского университетов подавали заявления лишь 20 – 30 абитуриентов в год, а выпускники шли работать в школы. Кто же будет преподавать математику будущим инженерам, геодезистам, штурманам учителям? Кто продолжит славу всемирно известных петербургской и московской математических школ? Первый шаг к их решению сделал член-корреспондент Академии наук Борис Николаевич Делоне. В 1934 г. он пригласил ленинградских школьников на математическую олимпиаду – соревнование в решении нестандартно сформулированных задач повышенной сложности.

Причем помимо соревнований читались воскресные лекции по математике, работал математический кружок при Московском университете. Его вели студенты, аспиранты и молодые преподаватели.

После окончания Великой отечественной войны математические олимпиады школьников стали проводиться в Тбилиси, Киеве, Смоленске и других городах. В 60-е годы движение математических олимпиад возглавил выдающийся математик, академик Израиль Моисеевич Гельфанд. Чтобы привлечь как можно больше школьников, организовывались заочные олимпиады. Устраивались районные и областные математические олимпиады, а с 1965 года начала проводиться Всероссийская олимпиада. Она состояла из нескольких туров: школьные, районные, областные олимпиады и заключительный тур.

С течением времени регламент олимпиады менялся. С 1970 по 1991 она была всесоюзной. Количество участников за это период уменьшилось с 800 до 150. Всероссийская олимпиада проводится в 5 этапов: 1) школьные олимпиады; 2) районные; 3) областные (краевые, республиканские); 4) зональные и 5) заключительный этап.

По результатам заключительного этапа формируется команда на Международную математическую олимпиаду. Международная математическая олимпиада (ММО) стала проводиться с 1958 г. по инициативе Румынии. Сейчас количество стран участниц приближается к ста. Продолжительность международной олимпиады – два дня, в каждый из которых конкурсантам предлагают 3 задачи. На их решение отводится 4,5 часа. Трижды ММО проводилась в Москве. Команды России, а в свое время и команды СССР, на ММО всегда занимают почетное место в первой пятерке призеров.

Если в период зарождения и становления движения олимпиады по математике организовывались преимущественно с целью отбора наиболее способной молодежи в вузы страны, то сегодня они предстают как мероприятие государственное, охватывающее миллионы учащихся, и проводимое ежегодно по всей стране под руководством центрального оргкомитета. Ни в одной стране мира олимпиадное движение не достигло подобного размаха, не стало столь массовым. Популярность олимпиад свидетельствует о том интересе, который вызывают у учащихся математические соревнования, и показывает, что в наше время олимпиады являются важным средством развития математических способностей учащихся, в определенном смысле, подводящем итоги работы педагогических коллективов в области повышения уровня математического развития учащихся.


7
Существенный вклад в становление и развитие олимпиадного движения внесли такие ученые и педагоги, как: П.С. Александров, Л.Д. Глейзер, Б.Н. Делоне, В.Ф. Каган, А.Н. Колмогоров, Л.А. Люстерник, А.И. Маркушевич, И.С. Петраков, Д. Пойа, В.И. Смирнов, С.Л. Соболев, В.А. Тартаковский, Г.А. Тоноян, Г.М. Фихтенгольц, СИ. Шварцбурд, Л.Г. Шнирельман и др.

После 90-х гг., кроме проводимой всероссийской олимпиады школьников, в жизнь школ входят новые формы олимпиад, конкурсов, турниров, организаторами которых являются высшие учебные заведения, институты, центры математического образования. Большую роль в распространении данных конкурсов сыграли публикации в научно-популярных и научно-методических журналах «Квант» и «Математика в школе», пособиях для внеклассной работы. Например, стали популярны такие соревнования, как «Турниры городов», «Интеллектуальные марафоны», «Математические бои» и др. Также широкую известность таким конкурсам, особенно к началу XXI века, принесли стремительно развивающиеся новые информационные и коммуникационные технологии. В частности в российском секторе Интернет большую популярность приобрела конкурс-игра «Кенгуру. Математика для всех», которая проводится Институтом продуктивного образования (г. Санкт-Петербург), руководимым академиком РАО М.И. Башмаковым. Сайт «Конкурса-игры «Кенгуру» расположен по адресу http://vvww.kenguru.sp.ru//.

Этот конкурс имеет массовый охват учащихся со 2 по 11 класс, проводится по всей стране и привлекает своей доступностью. Он стал доступным способом общения на разном уровне - от школьного класса до национального региона. В начале 80-х годов П. Холлоран, профессор математики из Сиднея, решил организовать новый тип игры-конкурса для австралийских школьников: вопросник с выбором предложенных ответов, проверяемый компьютером. Тысячи школьников могли участвовать в конкурсе одновременно. Успех австралийского национального математического конкурса был огромен. В 1991 г. два французских математика решили провести эту игру во Франции, назвав ее «Кенгуру» в честь своих австралийских друзей. Первая игра собрала 120 000 учеников колледжей, а позже конкурс охватил также школьников и лицеистов. 21 европейская страна объединилась под эгидой ассоциации «Кенгуру без границ». Эта международная ассоциация объединяет участников из многих стран. Целью ассоциации является широкое распространение общей математической культуры и, в частности организация конкурса-игры, проводимой в один и тот же день во всех странах-участницах. Например, в 2003 г. конкурс проводился 20 марта. В «Кенгуру - 2003» участвовало около двух миллионов учащихся из 28 стран, почти 560 000 школьников из 71 региона Р.Ф.

Е
8
жегодно количество участников конкурса по России увеличивается, а начинался конкурс с 300 человек в 1994 г. в Санкт-Петербурге. География конкурса охватывает практически все регионы России. Если в первые годы в нем принимали участие только школьники Санкт-Петербурга и Ленинградской области, то в 2003 г. - 71 регион (г. Москва, Тульская, Астраханская, Тверская, Кемеровская, Новосибирская области, Ямало-Ненецкий, Ханты-Мансийский АО, Республики Татарстан, Башкортостан, Саха (Якутия) и т.д.). Конкурс проводится непосредственно в школе. Участникам вручаются заранее полученные от оргкомитета задания, содержащие 30 задач, где каждая задача сопровождается пятью вариантами ответа. На всю работу дается 1 час 15 минут. Затем листы с ответами и данными участника сдаются и направляются в оргкомитет (г. Санкт-Петербург) для проверки и обработки.

Тридцать задач конкурса разделены на три части:

10 - наиболее легких задач, оцениваемых в 3 балла каждая. Трехбалльные задачи подбираются так, чтобы каждый участник конкурса мог решить хотя бы несколько из них. Эти задачи не требуют специальной подготовки, они по силам каждому, кто внимательно прочитает условие.

10 - потруднее, оцениваемых в 4 балла. Эти задачи рассчитаны на то, чтобы школьные отличники и «хорошисты» могли проявить себя, эти задачи заметно сложнее трехбалльных и часто приближены к школьной программе.
10 - наиболее трудных, за решение которых дается 5 баллов. Эти задачи составляются так, чтобы даже наиболее подготовленным ребятам было о чем подумать. Для их решения надо проявить и смекалку, и умение рассуждать, и наблюдательность.
Таким образом, участник конкурса может максимально набрать 120 баллов. После проверки каждая школа, принявшая участие в конкурсе, получает ведомость с указанием полученных баллов и места каждого ученика в общем списке. При этом результаты выступления учащихся подводятся отдельно по школе, городу, республике, России.

Связь организаторов со школами-участниками, в большинстве своем

осуществляется через Интернет. Конкурс-игра «Кенгуру. Математика для всех» способствует популяризации математики и повышению интереса к ней среди учащихся. При подборе задач для этого конкурса организаторы придерживаются двух принципов: решение задач должно доставлять удовольствие; «Кенгуру» - хоть и не очень жесткое, но все-таки соревнование, поэтому побеждать должны наиболее способные и подготовленные. Большое преимущество данного конкурса - оперативная связь между организаторами и участниками.

Также успехом пользуется дистанционная эвристическая олимпиада «Эйдос» [http://www.eidos.ru/olymp/]. Организаторы: А.В. Хуторской и Центр «Эйдос». В отличие от традиционных олимпиад на эвристических олимпиадах ученики соревнуются в способности сочинять, изобретать, открывать новое, предлагать собственные версии, конструировать модели, создавать закономерности. Для того чтобы стать участником олимпиады необходимо иметь электронную почту и выход в Интернет для участия и ознакомления с материалами предыдущих олимпиад. Данная олимпиада может быть предметной или метапредметной, т.е. выходящей за рамки отдельных дисциплин. Дистанционная олимпиада позволяет развивать умения исследовать объекты и генерировать идеи в конкретной образовательной области и выражать мысли в письменной и графической формах, оперировать информацией по теме с помощью компьютерных средств. Как правило, в эвристической олимпиаде 4-5 заданий, которые называются номинациями. Участником олимпиады может стать любой ученик или группа учеников с 1 по 11 классы.


9

2.Методические рекомендации учителю по организации занятий с учащимися с использованием разработанных материалов.


В настоящее время роль предметных олимпиад возросла в связи с введением ЕГЭ и новыми правилами поступления в вузы. Успешно выступившие на олимпиадах школьники имеют преимущества при поступлении в престижные вузы страны и своего региона, что в свою очередь повышает статус олимпиадного движения.

Решить олимпиадную задачу по математике – это значит решить задачу повышенной трудности, нестандартную как по формулировке, так и по методам решения. Оценка метода решения задачи с позиции традиционности (нестандартности) во многом субъективна. Насколько непривычен для учащегося предложенный прием, настолько он и нестандартен, а самая высокая степень нестандартности идеи – это полная ее неожиданность.

Как показала практика, наибольшие затруднения у учащихся вызывают геометрические задачи. При этом можно утверждать, что именно геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одаренных школьников.

Данные методические рекомендации адресованы учителю-предметнику (особенно молодому специалисту) по организации подготовки учащихся к олимпиадам по математике. В процессе подготовки учитель имеет возможность наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, ее прикладную направленность.



Рассмотрим вариативность использования задач в сборнике.
I. Представленный (практический) материал состоит из 12 «Гимназических олимпиад», 21 диагностической карточки и задач с решениями, которые интересны учащимся любых классов. Каждая «Гимназическая олимпиада» состоит из 11 – 14 задач различной тематики и различного уровня сложности. Из заданий любой олимпиады можно составить 1-2 варианта олимпиадных заданий по усмотрению учителя, в зависимости от цели занятий, состава аудитории (ее подготовленности, возраста, уровня мотивации участников, сроков подготовки). Количество заданий также выбирает учитель.

10


Рассмотрим на примере заданий «Гимназической олимпиады № 2»:

  1. Доказать тождество: .

  2. Вычислить:  .

  3. Доказать, что уравнение x4 – 5x3 – 4x2 – 7x + 4 = 0 не имеет

отрицательных корней.

  1. Построить график функции 

  2. Разложить на множители: n4 + n2 + 1.

  3. Решить уравнение: .

  4. Доказать: + … +  .

  5. Доказать, что разность четырехзначного числа и числа записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться 2003.

  6. Футбольный турнир проходил в один круг. За победу давали 3 очка, за

ничью – одно очко, за поражение 0 очков. Могло ли так случиться, что

команда, занявшая 1 место при старой системе подсчета очков (победа

– 2 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0) была бы последней?


  1. Доказать, что если стороны прямоугольного треугольника составляют

арифметическую прогрессию, то ее разность равна радиусу вписанной

окружности в этот треугольник.



  1. Кусок сплава меди с оловом массой в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?

  2. Решить систему уравнений:



 






  1. В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть 5 уроков: алгебра, русский язык, литература, география и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если уроки русского языка и литературы должны стоять рядом, а урок физкультуры – последним?







Из всех задач составим вариант школьной олимпиадной работы

для учащихся 9 класса.

11

9 класс (максимально – 23 балла)



  1. Доказать, что разность четырехзначного числа и числа записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться 2003 (3балла).

  2. Решить уравнение: (4 балла).

  3. Футбольный турнир проходил в один круг. За победу давали 3 очка, за ничью – одно очко, за поражение 0 очков. Могло ли так случиться, что команда, занявшая 1 место при старой системе подсчета очков (победа – 2 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0) была бы последней? (5 баллов).

  4. Доказать, что если стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то ее разность равна радиусу вписанной окружности в этот треугольник (5 баллов).

  5. В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть 5 уроков: алгебра, русский язык, литература, география и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если уроки русского языка и литературы должны стоять рядом, а урок физкультуры – последним? (5 баллов).


Также можно составить вариант олимпиадной работы из нескольких «Гимназических олимпиад» (выборочно, в зависимости от возраста учащихся и их подготовленности).
II. Усвоение учебного материала через последовательное решение задач происходит в едином процессе приобретения новых знаний и их немедленного применения, что способствует развитию познавательной самостоятельности и творческой активности учащихся.

Карточки с заданиями составлены по определенной тематике, с разным уровнем сложности: одна звездочка – * и две звездочки − **. Они помогают проводить диагностику учащихся по усвоению материала и отработке умений и навыков, приобретаемых при решении олимпиадных задач, и осуществлять контроль за уровнем подготовки каждого члена кружка. Среди олимпиадных задач трудно провести разделение на более простые и сложные задачи и учащиеся сначала решают задачи с одной звездочкой – средний уровень сложности, а затем с двумя звездочками – высокий уровень сложности. Трудные задачи рассматриваются совместно с группой учащихся или под руководством учителя.
Работа по диагностическим карточкам поможет учителю отобрать задания, которые:

  1. не использовались при прохождении определенной темы по математике;

  2. можно систематизировать по общему способу их решения и представить в виде модели (знаковой, геометрической, диаграммы, алгоритма действий);

  3. выходящие за рамки изучаемых понятий по годам обучения, но возможность нахождения способов их решения прогнозируется из зоны ближайшего развития учащихся, посещающих кружок;

  4. з
    12
    адания, требующие нестандартного подхода к их решению.

Остановимся на каждом пункте отдельно, для этого рассмотрим тему «Решение уравнений», которая встречается в любом классе в программе по математике для общеобразовательных учреждений на примере диагностических карточек №16, №17, №18, №21.

Поставим перед собой задачу научить учащихся решать уравнения, содержащие несколько модулей. Рассмотрим уравнение из карточки №16



.

(1 – 2) Это уравнение не использовалось при прохождении данной темы, его можно систематизировать по общему способу решения и представить в виде модели (алгоритма действий). В ходе использования моделирования нецелесообразно предлагать детям модель в готовом виде. Модель всегда есть результат некоторого этапа исследования. Поэтому, сначала нужно рассмотреть уравнение с одним модулем и решить его с помощью определения модуля, затем с 2 модулями. Перебрать все варианты, а затем с 3 модулями и дети замечают, что этот способ приводит их к нерациональному решению. И тогда у учащихся возникают трудности, и известная модель не позволяет быстро решить задачу, нужно конструировать новый вид модели, что является основой для устойчивой мотивации дальнейшей деятельности. Существенные признаки, зафиксированные в новой модели, становятся наглядными для учащихся тогда, когда эти признаки, были выделены самими детьми в их собственном действии, т.е. когда они сами участвовали в создании модели.

Построение модели часто не под силу одному ученику, поэтому такую работу целесообразно проводить в группах или под руководством учителя. После создания модели, в котором принимали участие все члены кружка, уравнение решается методом интервалов, итак:



Карточка №16. Решить уравнение





  1. Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуля:

x – 1 = 0 x – 2 = 0 х - 3 = 0

x = 1 x = 2 x = 3

  1. Рассмотрим полученные промежутки:

х < 1 1 ≤ х < 2 2 ≤ х < 3 х > 3


1 2 3


3. Определим знаки выражений на промежутках

а) - + + +

б) - - + +

в) - - - +

4. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков:

а) х < 1 ,

(1 – х) +2 (х – 2) – 3 (х - 3) = 4; решений нет


б) 1 ≤ х < 2


13


(х – 1) + 2 (х – 2) – 3 (х - 3) = 4; 1 ≤ х < 2

в) 2 ≤ х < 3

(х – 1) - 2 (х – 2) – 3 (х - 3) = 4; решений нет



г) х > 3

(х – 1) - 2 (х – 2) + 3 (х - 3) = 4; х = 2.


Ответ: [ 1; 2 ] U{ 5 } .
Итак, мы создали модель (алгоритм) решения уравнения со знаком модуля методом интервалов.

Перенесем теперь этот алгоритм на уравнение №1 из карточки №18 и рассмотрим, как работает модель на иррациональном уравнении, итак:



Карточка №18. Решить уравнение

 = 2

Решение. Представим подкоренные выражения в виде квадрата разности

двух выражений, тогда



 

Применим тождество: , тогда наше уравнение примет вид:




Введем новую переменную: пусть  = t, где t ≥ 0, тогда

 и по известному алгоритму решим его методом

интервалов, получим t ≥ 2, тогда  ≥ 2,, учитывая ОДЗ получим ответ: x ≥ 5.



(3) Сделаем еще один шаг вперед и рассмотрим задание, выходящее за рамки программы 9 - 11 классов, но возможность нахождения способа его решения прогнозируется из зоны ближайшего развития учащихся, посещающих кружок. Карточка №21, задание №4. Это задание С3 из вариантов ЕГЭ.
Решить уравнение , где  – параметр.
Решение.

1) Критические точки: x = - 3 и х =1.


2) x < – 3 – 3 < х < 1 х ≥ 1

– 3 1

3) – + +


– – +

4) Решим данное неравенство на каждом из промежутков.



x < – 3, x < – 3,

а) – x3 + xа = 4   .


14
Найдем, при каких значениях а, уравнение на данном промежутке будет иметь корень .

Решим неравенство: Ответ: 



– 3 < х < 1, – 3 < х < 1, Решений нет.

б) x + 3 + xа = 4  х = 1.



х ≥ 1, х ≥ 1,

в) x + 3 – x + а = 4  х = 1. При а



Ответ: 
Данное уравнение можно решить и при другой постановке вопроса: Найти число корней уравнения при всех значениях параметра 

Ответ: 2 корня при – 1 < а < 1, 1 корень при а  1 и при а  1.
Для отработки навыков решения уравнений, содержащих модуль и параметр, можно решить следующие уравнения:



  1. Решите уравнение 

  2. Для каждого значения  найти число корней уравнения: ,  

.

Как мы видим, при решении уравнения с модулем и параметром, нам опять пригодился метод интервалов (значит, модель работает).

Разобравшись и проанализировав то многообразие текстовых задач, которое есть в школьном курсе математики (включая и нестандартные задачи), можно классифицировать модели, которыми может пользоваться учащийся. Для различных исследований в математике разработаны методы теории графов, теории вероятностей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, аксиоматический метод, методы исследования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д. Начиная с 5 класса, учащиеся вполне могут моделировать комбинаторные и логические задачи, задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, графов, уравнений, задачи на измерение величин.

(4) Осталось выбрать уравнение, которое решается нестандартным способом, хотя все олимпиадные задания – это задания с нестандартной формулировкой и нестандартным решением. Это может быть любое уравнение, которое может подобрать учитель из диагностических карточек. Например, карточка № 17, задание 1.

Решить уравнение

**



Р
15
ешение.
Область определения уравнения:  , , , 

У ученика, приступающего к решению данного уравнения, возникает желание найти общий знаменатель, но это приведет к большим преобразованиям и нерациональному решению. Можно вспомнить простой пример: , тогда для общего случая имеем:  =  (легко доказывается). Тогда уравнение имеет вид:  = 2,  = 2, , . Ответ: 

К нестандартным уравнениям можно также отнести и уравнение вида:

** (вынести х и ввести новую переменную)



Ответ: ; 5 (Идея довольно проста, но как догадаться?)
Следующим этапом работы по диагностическим карточкам может быть подборка заданий по определенной тематике, например:


  • делимость;

  • иррациональные уравнения и неравенства;

  • текстовые задачи;

  • планиметрия, задачи на доказательство;

  • задания на доказательство неравенств;

  • задания по теории чисел;

  • тригонометрия (уравнения, неравенства, задачи на доказательство);

  • задачи, решаемые на координатной плоскости;

  • упрощение алгебраических выражений;

  • разные задачи и т. д.


Рассмотрим тему: « Делимость».

Задачи по данной теме на олимпиадах встречаются довольно часто, поэтому эту тему обязательно нужно включить в план работы кружка. Для решения задач на делимость необходимо знать следующий теоретический материал:



Основные свойства делимости целых чисел:

1. Если а кратно b и b кратно с, то а кратно с.

2. Если каждое из чисел a1, … , an кратно с, то для любых целых чисел

r1, … , rn число (r1 a1 + … + rn an) кратно с.



  1. Для любых целых чисел a и b ≠ 0 существует единственная пара чисел q и r таких, что a = bq + r и 0 ≤ r < | b |. Число q называется неполным частным, а число r остатком от деления a на b.

4. Числа a и b называются сравнимыми по модулю m(обозначается ab(mod

m)), если они имеют одинаковые остатки при делении на m.



5. ab(mod m) тогда и только тогда, когда ab делится на m.

6. (Основная теорема арифметики) Каждое натуральное число, большее 1,

раскладывается в произведение простых сомножителей, причем


16
единственным образом, с точностью до порядка сомножителей.


  1. Если натуральные числа p и q взаимно просты (т. е не имеют общих делителей, отличных от 1), то a делится на pq тогда и только тогда, когда а делится и на р и на q.


Задачи, отмеченные знаком (○) обязательны для изучения.

1(○). Доказать, что а) число  делится на 9; б) число 

делится на 11.

2(○). Доказать, что произведение

а) 3-х последовательных натуральных чисел делится на 6;

б) 4-х последовательных натуральных чисел делится на 24.;

3(○). Доказать, что при любом натуральном n

а) число n(n2 + 5) делится на 6;

б) n5 - 5n3 + 4n делится на 120;

в) n2 + 3n + 5 не делится на 121.

4(○). Доказать, что если p и q – простые числа, большие 3, то p2 – q2

делится на 24.

5(○). Дано: 56а = 65b. Доказать, что (а + b) – составное число.

6(○). Доказать, что при любом натуральном n число n3 + 3n2 + 5n +3

делится на 3.

7. Монетный двор наладил чеканку монет достоинством 2 рубля и

5 рублей. Сможет ли монетный двор выдать сумму 2001 рубль?

Какие суммы не сможет выдать монетный двор?

8. Из числа 2001 вычли сумму его цифр. С получившимся числом

проделали тоже самое и так далее, пока не получилось

однозначное число. Определить это число.
ВЫВОД:
Вариативность использования данного комплекта «Гимназических олимпиад» дает возможность учителю:


  1. Составить вариант школьной олимпиадной работы из любой

«Гимназической олимпиады» для определенного класса;


  1. составить вариант школьной олимпиады из нескольких «Гимназических олимпиад» (выборочно, в зависимости от возраста учащихся и их

подготовленности);


  1. производить подборку заданий по определенной тематике;




  1. использовать данный материал во внеклассной работе при проведении

математических турниров, математических регат и т. д;


  1. проводить диагностику учащихся по усвоению материала и отработке умений и

навыков, приобретаемых при решении олимпиадных задач;

  1. о
    17
    существлять контроль за уровнем подготовки каждого члена кружка.


Олимпиадные задания школьного (гимназического) этапа составляются на основе программ по математике для общеобразовательных учреждений, тематика которых входит в программу школьных кружков (факультативов).

Ниже приведены темы, которые можно использовать при составлении вариантов заданий. Ежегодно можно менять рекомендуемую тематику заданий, сохраняя в целом структуру варианта.






Класс




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница