Лекции 7 Простейшие задачи квантовой механики



Скачать 161.14 Kb.
Дата01.08.2016
Размер161.14 Kb.
ТипЛекции

Лекции 7-9. Простейшие задачи квантовой механики



Содержание





  1. Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка.

  2. Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле.

  3. Квантовый гармонический осциллятор.

  4. Частица в потенциальной яме.

  5. Туннельный эффект.

  6. Два типа туннельных эффектов.

  7. Примеры туннельных переходов второго типа.




  1. Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка

Рассмотрим движение квантовой частицы в отсутствие силового поля, т.е. при . Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний (для одномерного движения)



(1)

можно записать в виде



. (2)

Подстановка (2) в (1) приводит к следующему выражению для энергии частицы: . Значит, энергетический спектр свободной квантовой частицы непрерывен и ограничен снизу: .

Вычисляем плотность вероятности нахождения частицы в данной точке:

.

Последнее равенство означает, что свободная частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства, т.е. она равномерно размазана по всему пространству. Поэтому интеграл нормировки волновой функции оказывается расходящимся:

.

Возникшее затруднение устраняется, если считать, что движение частицы происходит лишь в области , где - очень большое, но конечное число. На волновую функцию накладываем условие периодичности (циклическое граничное условие) , означающее, что точки на оси , отстоящие друг от друга на , эквивалентны. Подставляя в условие периодичности выражение (2) для волновой функции, получаем уравнение



,

решение которого имеет вид:



. (3)

Согласно (3), импульс и энергия свободной частицы принимают лишь избранные значения, т.е. квантуются: . Так как ширина области, в которой происходит движение частицы (основная область), очень велика, то получается квазинепрерывный спектр энергии – расстояние между уровнями энергии очень мало. Из условия нормировки вычисляем постоянную нормировки волновой функции: .

Число квантовых состояний, импульсы которых лежат в интервале , а координата лежит в области , определим с помощью формулы (3):

.

Аналогично определяем число квантовых состояний и , соответствующих движению частицы вдоль координатных осей и . Полное число квантовых состояний, приходящихся на интервал в пространстве импульсов и на объем , составляет (в случае трехмерного движения):



, (4)

где .

Правая часть равенства (4) представляет собой отношение объема области фазового пространства, в которой происходит движение частицы, к объему некоторой области фазового пространства, которая называется фазовой ячейкой. Последнюю естественно интерпретировать как такую область, которая приходится на одно квантовое состояние свободной частицы (при трехмерном движении). Напомним, что в классической механике одному состоянию частицы соответствует точка в фазовом пространстве. Как видим, в квантовой механике на одно квантовое состояние приходится целая область фазового пространства объемом . Очевидно, эта особенность квантового состояния обусловлена тем, что квантовая частица подчиняется корпускулярно-волновому дуализму.


  1. Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле

Пусть на частицу с зарядом действует электрическое поле с напряженностью . Если , то потенциал поля можно взять в виде . Тогда потенциальная энергия частицы составит:



.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний с энергией в одномерном случае запишем в виде:



. (5)

Так как при (), то ясно, что система обладает непрерывным спектром энергии. Движение финитно со стороны , поскольку при , и инфинитно со стороны .

В уравнение (5) входит много параметров - . Перейдем к такой новой переменной , чтобы запись уравнения максимально упростилась. Новую переменную определим равенством: . Уравнение (5) приобретает вид:

(6)

Выбирая постоянную в виде



,

получим уравнение



. (7)

Решение этого уравнения, конечное при всех значениях , выражается через функцию Эйри :



(8)

Волновая функция подчиняется следующему условию нормировки ():



. (9)

Уравнение (5) можно решить и другим способом. Разложим волновую функцию в интеграл Фурье:



.

Подстановка этого разложения в (5) даёт:



.

Выполняя интегрирование по частям в том слагаемом, который содержит производную , находим:



,

где - волновая функция в импульсном представлении. Отсюда получаем уравнение



. (10)

Его решение выражается через элементарные функции:




3. Квантовый гармонический осциллятор
В классической механике полная энергия осциллятора дается формулой

,

где - масса частицы, - собственная частота осциллятора. Выполняя здесь замену , получаем оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:



. (11)

Введём безразмерную величину



, (12)

подобрав параметр так, чтобы уравнение (11) свелось к следующему:



(13)

Конечные, непрерывные и однозначные решения уравнения (13) имеются лишь при . Отсюда получаем спектр энергии:



. (14)

Согласно (14), энергетический спектр состоит из набора эквидистантных уровней: . В основном состоянии энергия частицы составляет .

Собственные функции даются формулой:

, (15)

где - полином Эрмита, . Нормировочный множитель выбран здесь так, чтобы выполнялось условие .

Приведём -функции для нескольких состояний:

,

,

.

Как видно из приведенных формул, число узлов волновой функции совпадает с квантовым числом . Напомним, что узел – это точка конечной части плоскости, в которой - функция обращается в нуль.

Сравним полученные результаты с картиной движения классического осциллятора.

Решение классического уравнения движения гармонического осциллятора с частотой ,



можно записать в виде:



(16)

где - амплитуда колебаний, - начальная фаза. Из выражения для полной энергии частицы, совершающей осцилляции по закону (16),



,

определим амплитуду колебаний: . Если полная энергия равна энергии основного состояния (см. (14)), то



.

Значит, величина (см.(13)) имеет следующий смысл: это амплитуда колебаний классического осциллятора, энергия которого равна энергии основного состояния квантового осциллятора. Классический осциллятор с полной энергией совершает колебания, оставаясь в области , где точки являются точками поворота. Квантовая же частица в основном состоянии с ненулевой вероятностью может оказаться и вне области , как это видно из функции распределения квантовой частицы в основном состоянии (см. рис.).




Рис. Пунктирная кривая изображает потенциальную энергию гармонического осциллятора , сплошная – функцию распределения квантовой частицы , заштрихованные участки под функцией распределения отвечают областям и , которые являются классически недоступными.
Вычислим вероятность нахождения классической частицы в области . Очевидно, что эта вероятность пропорциональна времени , в течение которого частица проходит расстояние . Если - период колебаний, то указанная вероятность выражается формулой , - скорость частицы. Выразим как функцию координаты (см. формулу (16)):

.

Учитывая приведенные выше формулы, получаем искомую величину (при ):



. (17)

Соответствующее квантовое выражение для вероятности нахождения частицы в интервале имеет вид (считаем, что частица находится в состоянии ):



. (18)

Как видно из (17) и (18), различие между классическим и квантовым выражениями очень велико (см. рис.).



Рис. Заштрихованные участки изображают области, в которых движение классической частицы запрещено.
Отметим, что по классической теории наименьшая энергия осциллятора . Это значит, что частица покоится на дне потенциальной ямы. Квантовая же частица в основном состоянии обладает энергией . Это энергия нулевых колебаний.

Осциллятор описывает поведение частиц, совершающих малые колебания относительно положения равновесия. Примеры: атомы в молекуле, в твёрдом теле. Наличие нулевых колебаний атомов доказывают опыты по рассеянию света кристаллами. Рассеяние света обусловлено колебаниями атомов. Согласно классической теории, по мере уменьшения абсолютной температуры амплитуда колебаний должна уменьшаться и соответственно должна уменьшатся интенсивность рассеянного света. Но опыт показывает, что интенсивность рассеянного света стремится к некоторой величине при . Это значит, что колебания атомов не прекращаются и при . Это и есть нулевые колебания.


4. Частица в потенциальной яме
Рассмотрим движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме:

где - ширина ямы. Очевидно, что при спектр энергии дискретный, а при - непрерывный, с двукратным вырождением (- энергия частицы).

Рассмотрим вначале случай , т.е. случай ямы с бесконечно высокими стенками.

Так как частица не может проникнуть в область с , то при и при (вероятность нахождения частицы там равна нулю). Из условия непрерывности - функции следует, что волновая функция обращается в нуль и на стенках ямы:



. (19)

Уравнение Шредингера приводим к виду:



.

Получаем уравнение гармонических колебаний, общее решение которого можно записать так:



(20)

С помощью условия (19) выводим:



Случай () отвечает тривиальному решению: .

Итак, волновое число принимает квантованные значения: при этом квантуется и энергия: . Минимальное значение энергии составляет ; это энергия основного состояния. Значит, квантовая частица, в отличие от классической, не может находиться в состоянии покоя на дне потенциальной ямы. В состоянии с наименьшей энергией она обладает импульсом и, следовательно, совершает колебания (нулевые колебания). Частица обладает дискретным энергетическим спектром, и расстояние между уровнями энергии возрастает с увеличением квантового числа : .

С помощью полученных решений можно проверить соотношение неопределенностей для координаты и импульса. Очевидно, что неопределенности импульса и координаты частицы можно записать в виде:



.

Отсюда следует соотношение неопределенностей:



.

Теперь рассмотрим частицу в потенциальной яме конечной глубины. Если , то волновая функция оказывается отличной от нуля и вне области потенциальной ямы. Нужно решать два уравнения:



(21)

На границах должны выполняться условия непрерывности функций и , а при решение уравнения должно оставаться конечным.

При введем обозначение: . Уравнение движения вне потенциальной ямы принимает вид: . Его общее решение дается формулой: . При , из условия конечности волновой функции при , получаем: , т.е. . Аналогично при выводим: , т.е. . Следовательно, плотность вероятности нахождения частицы в области при можно записать в виде:

, . (22)

Согласно (22), вероятность нахождения частицы экспоненциально затухает вглубь области стенок барьера с . Величина имеет следующий физический смысл: это то расстояние, на котором вероятность прохождения частицы вглубь барьера уменьшается в раз. Для классической частицы с область вне ямы запрещена. Поэтому величина называется глубиной проникновения частицы в классически недоступную область.

Согласно (21), в области уравнение движения можно представить в виде:

. (23)

Общее решение этого уравнения дается равенством



.

Таким образом, в области волновая функция частицы осциллирует, а в областях и при - экспоненциально затухает при .


5. Туннельный эффект
Рассмотрим потенциальный барьер высотой в области , на который падают свободные частицы.

Имеются три области – области I и III, в которых , и область II, в которой . Рассмотрим частицы с энергией . В классической механике так как (- кинетическая энергия частицы). Значит, классическая частица не может проникнуть вглубь барьера. Точка является точкой поворота: столкнувшись с барьером, частица отражается и летит в обратном направлении. Если , то классическая частица беспрепятственно проходит область II над барьером.

Итак, для классической частицы барьер не создаёт никаких преград, если , и является непроницаемым, если .

Поведение квантовой частицы совершенно иное.

В областях I и III движение частицы является свободным:

.

В области II движение описывается уравнением



.

Решения в различных областях запишутся следующим образом:



(24)

Составляющие и описывают волны, падающие на барьер, и отражённые от барьера волны, - прошедшая сквозь барьер волна. Эти функции нужно подчинить условиям непрерывности вместе с первой производной в точках :



Подставляя в последние равенства выражения (24), получаем систему уравнений



Решив эту систему уравнений, можно выразить амплитуду прошедшей волны через амплитуды падающей и отраженной волн.

Как решить эту систему? Исключаем из первых двух:

.

Затем исключаем из двух других:



.

Получаем, таким образом, систему двух уравнений для и . С помощью последнего уравнения выражаем через ,



,

и затем подставляем в первое:



.

Выразив и через амплитуду падающей волны , можно теперь с помощью приведенной выше системы уравнений выразить амплитуду прошедшей волны через амплитуду падающей: .

Воспользуемся формулой для плотности потока вероятности:

.

Вычислим плотности потока падающей и прошедшей волн:



и отношение плотности потока прошедшей к плотности потока падающей волн:



. (25)

Величина называется коэффициентом прохождения частицы сквозь барьер (или коэффициентом прозрачности барьера), а величина - коэффициентом отражения от барьера. В силу постоянства потока вероятности вдоль оси () величины и связаны между собой равенством: . В самом деле, вычислим плотность потока вероятности в состояниях и (24):



.

Отсюда, учитывая равенство , выводим: .

Неравенство означает, что квантовая частица способна проходить сквозь барьер. Это явление называется туннельным эффектом.

Расчёт показывает, что



(26)

где - глубина проникновения в классически недоступную область (см. (22)), . Из (26) следует, что при . Следовательно, туннельный эффект - чисто квантовое явление. Величина зависит от : чем шире барьер, тем меньше коэффициент прозрачности барьера.

Приведем численную оценку. При получаем:

Если же положить , то при той же величине величина возрастет на 8 порядков и коэффициент прохождения будет практически равен нулю.


6. Два типа туннельных эффектов
В предыдущем разделе мы рассмотрели свободные электроны, падающие на барьер. При этом оказалось, что , т.е. эти величины не зависят от координат. Поэтому

,

т.е. при прохождении свободного электрона сквозь барьер не возникает источников или стоков вектора . Прохождение свободного электрона сквозь барьер будем называть туннельным эффектом первого типа. В силу уравнения непрерывности , в этом случае . Значит, туннельный эффект первого типа - это стационарный процесс, состоящий в том, что свободные электроны перемещаются из одной области пространства в другую, разделённые потенциальным барьером конечной ширины.

Рассмотрим теперь случай, когда на барьер падают электроны, локализованные в области потенциальной ямы.


Пусть - объём ямы, - поверхность, ограничивающая область внутри ямы. Вычислим поток частиц, вырываемых из ямы. По теореме Остроградского-Гаусса

Тут мы воспользовались уравнением непрерывности. В правой части – изменение числа частиц в области ямы в единицу времени. Таким образом, частицу можно вырвать из ямы лишь в том случае, если имеются источники или стоки вектора внутри ямы. Такой туннельный переход называется туннелированием второго типа. Это существенно нестационарный процесс - процесс вырывания частиц из потенциальной ямы.


7. Примеры туннельных переходов второго типа
Рассмотрим кусок металла, занимающий область вдоль оси :

Электроны не вылетают из металла, так как металл представляет для них потенциальную яму. При электроны заполняют все уровни, от нижайшего в потенциальной яме до уровня с энергией (уровень Ферми). Чтобы вызвать эмиссию электронов, нужно металл облучить светом с частотой , удовлетворяющей условию: ( - работа выхода электрона из металла). Такие фотоны вырывают электроны из металла.

Но эмиссию можно вызвать и с помощью электрического поля. Приложим к металлу электрическое поле , направленное к поверхности образца. Потенциал поля возьмем в виде тогда. Потенциальная энергия электрона составляет: . Полная потенциальная энергия правее потенциальной ямы изображена на рис.:

Для электронов в металле возникает барьер конечной ширины. Поэтому вероятность просачивания электрона саквозь барьер отлична от нуля. Это явление называется холодной эмиссией электронов из металла в электрическом поле.

Рассмотрим теперь атом водорода. Потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра, , изображается на графике в виде кулоновской потенциальной ямы:

Как видно из графика, ширина потенциального барьера для электрона в связанном состоянии бесконечно велика. Это обеспечивает стабильность атома.

Если облучать атом светом с частотой где - энергия основного состояния, то возможен квантовый переход электрона из основного состояния с энергией в состояние непрерывного спектра – атом ионизируется.

Существует и другой механизм ионизации атома. Поместим атом в однородное электрическое поле. Пусть оно направлено против оси :



При наложении электрического поля высота барьера слева увеличилась, а справа -уменьшилась. Справа получился барьер конечной ширины. Значит, электроны под действием электрического поля могут вылететь из атома. Это явление называется автоионизацией атома в электрическом поле.

Явление автоионизации можно наблюдать так: предположим, что мы наблюдаем спектральную линию, обусловленную переходом электрона в атоме:

Затем прикладываем электрическое поле . Возникает барьер конечной ширины. При этом с увеличением напряженности поля ширина барьера уменьшается и возрастает прозрачность барьера. В достаточно сильном электрическом поле электрон, находящийся на уровне , с большей вероятностью пройдёт сквозь барьер, чем перейдёт в состояние . Благодаря этому, интенсивность спектральной линии будет уменьшаться, пока, наконец, линия совсем не исчезнет в достаточно сильном электрическом поле.


Контрольные вопросы


  1. Что является причиной квантования энергии свободной квантовой частицы?

  2. Что такое фазовая ячейка? Каков ее объем?

  3. В чем состоит различие между классическим и квантовым состояниями с точки зрения фазового пространства?

  4. Финитным или инфинитным является движение заряженной частицы в однородном электрическом поле? Почему?

  5. Каким является энергетический спектр частицы в однородном электрическом поле - дискретным или непрерывным?

  6. Что такое квантовый гармонический осциллятор?

  7. Каков энергетический спектр гармонического осциллятора?

  8. Чему равна энергия гармонического осциллятора в основном состоянии?

  9. Чему равно расстояние между уровнями энергии гармонического осциллятора?

  10. Может ли квантовая частица покоиться на дне потенциальной ямы?

  11. Что такое нулевые колебания?

  12. Что такое классически запрещенная область? Может ли квантовая частица проникнуть в классически запрещенную область?

  13. Как определяется глубина проникновения квантовой частицы в классически запрещенную область?

  14. Чему равна вероятность прилипания частицы к стенке бесконечно глубокой потенциальной ямы?

  15. Как ведет себя волновая функция частицы в потенциальной яме а) бесконечно глубокой? б) конечной глубины?

  16. Что такое туннельный эффект?

  17. Как ведет себя квантовая частица при падении на потенциальный барьер, если энергия частицы превышает высоту барьера?

  18. Что такое коэффициент прозрачности барьера? Как он зависит от ширины барьера?

  19. Что представляет собой туннельный эффект второго типа?

  20. Чем отличается туннельный эффект второго типа от туннельного эффекта первого типа?

  21. Что такое холодная эмиссия электронов и автоионизация атома в электрическом поле?



Каталог: oleynik


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница