Экзаменационные вопросы по курсу «Уравнения математической физики»



Скачать 31.74 Kb.
Дата04.08.2016
Размер31.74 Kb.
ТипЗадача
Экзаменационные вопросы по курсу «Уравнения математической физики» .

Лектор Тищенко М.М., группы А4-01,02,03,04,05. Весна 2009-2010 г.


  1. Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономные системы. Первые интегралы автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла. Общий интеграл системы. Функциональная зависимость.

  2. Первые интегралы автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла. Теорема о существовании n-1 независимого интеграла и о зависимости любой системы из n первых интегралов.

  3. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Способы нахождения первых интегралов. Примеры.

  4. Неавтономные нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведение к автономной системе. Первые интегралы неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла.

  5. Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка и соответствующая ему система обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее решение.

  6. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

  7. Квазилинейное уравнение. Квазилинейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка и соответствующая ему система обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее решение. Задача Коши.

  8. Понятие функционала. Непрерывность функционала. Понятие линейного функционала. Вариация функционала. Примеры функционалов. Необходимое условие экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления.

  9. Задача нахождения экстремума для простейшего функционала с закрепленными концами. Уравнение Эйлера.

  10. Уравнение Эйлера. Задача о брахистохроне.

  11. Уравнение Эйлера. Задача о наименьшей поверхности вращения.

  12. Задача нахождения экстремума для функционала с высшими производными. Уравнение Эйлера-Пуассона

  13. Задача нахождения экстремума для функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных (с закрепленными концами).

  14. Задача нахождения экстремума для функционала, зависящего от функции нескольких переменных.



  15. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

  16. Приведение к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами.

  17. Приведение к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами (двумерный случай). Преобразование коэффициентов при вторых производных при произвольной замене переменных.

  18. Приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами гиперболического типа.

  19. Приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами параболического типа.

  20. Приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами эллиптического типа.

  21. Вывод основных уравнений математической физики и постановка краевых задач. Виды граничных условий. Понятие корректно поставленной задачи. Корректность по Адамару. Уравнение колебаний струны.

  22. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Общее решение. Формула Даламбера.

  23. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера. Интерпретация на фазовой плоскости. Характеристический треугольник. Области влияния начальных условий.

  24. Решение первой краевой задачи для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Представление решения в виде суммы решений более простых задач.

  25. Решение второй краевой задачи для волнового уравнения на полуограниченной прямой.

  26. Метод Фурье разделения переменных в уравнениях колебаний и теплопроводности. Задача Штурма-Лиувилля.

  27. Задача Штурма-Лиувилля. Основные свойства собственных функций и собственных значений. Теорема Стеклова (без доказательства).

  28. Метод Фурье разделения переменных на примере уравнения колебаний с условием закрепления на обоих концах.

  29. Метод Фурье разделения переменных на примере уравнения теплопрводности с условием закрепления на левом конце и свободого конца для x = L.

  30. Уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач.

  31. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Функция Грина.

  32. Уравнение теплопроводности на полуограниченной прямой.

  33. Уравнение эллиптического типа. Уравнения Лапласа и Пуассона.

  34. Формулы Грина. Свойства гармонических функций.

  35. Формулировка задач Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница