Экономико-математические модели и методы



страница1/7
Дата06.06.2016
Размер0.62 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7
Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Костромской государственный технологический университет

Т.В. Пыханова, С.Ф. Катержина



ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ


Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов специальностей 080105, 080107, 080109, 080504 очной и заочной форм обучения

Кострома


КГТУ

2008
УДК 519.8 (075)

П958

Рецензенты:


д.п.н., зав. кафедрой математического анализа ЯГПУ, профессор Е.И.Смирнов;

д.э.н., зав кафедрой математических методов в экономике КГУ им. Н.А.Некрасова, профессор Е.М. Скаржинская;


к.э.н., старший преподаватель кафедры математических методов в экономике КГУ им. Н.А.Некрасова А.С. Илюхина.
Пыханова Т.В. Экономико-математические модели и методы : учеб. пособие / Т.В. Пыханова, С.Ф. Катержина. – Кострома: Изд-во Костром. гос. технол. ун-та, 2008. – 41 с.

ISBN


Пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта и учебному плану по дисциплине «Математика» и рекомендуется для студентов специальностей 080105, 080107, 080109 и 080504 очной и заочной форм обучения для аудиторной и самостоятельной работы.

© Костромской государственный технологический университет, 2008




ОГЛАВЛЕНИЕ




Список рекомендуемой литературы………………………………………………………….......41
  • ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ КАК ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а алгебраическую форму решения задачи, т.е. дает не формулу, выражающую окончательный результат, а указывает вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи.

Предметом математического программирования (МП) является разработка методов отыскания экстремального – максимального или минимального значения функции нескольких переменных при наличии ограничений на переменные:

; (1)

. (2)
При рассмотрении задач МП различают 2 этапа:


  • постановка задачи;

  • решение задачи.

Система математических отношений между параметрами объекта, которые достоверно описывает поведение реального объекта, называется математической моделью.

Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы:



  • выбор переменных задачи;

  • составление системы ограничений;

  • выбор целевой функции.

Задача линейного программирования соответствует случаю, когда левые части функции (1) и ограничений (2) – линейные функции от x1, x2, , xn .

Переменными задачи называются величины x1, x2, , xn , которые полностью характеризуют экономический процесс.

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым и удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из экономических или физических условий (ограниченность ресурсов, положительность переменных и т. п.).

Функция, подлежащая максимизации (или минимизации), называется целевой.

Общей задачей линейного программирования (ЗЛП) называется задача, которая состоит в определении максимального или минимального значения функции



(3)

при условиях



(4)


(5)

(6) где – заданные постоянные величины и .

Задача ЛП называется стандартной или симметричной, если она состоит в определении max (min) значения функции (3) при условиях (4) и (6).

Задача ЛП называется канонической или основной, если она состоит в определении максимального значения функции (3) при условиях (5) и (6).



  1. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными вида:



;

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального решения. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решений линейного неравенства является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая ,соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух координатных полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решений всех неравенств системы ограничений.
АЛГОРИТМ


  1. Построить множество допустимых решений. В общем случае оно представляет собой выпуклый многоугольник. Если ограничения в задаче несовместны, множество допустимых решений является пустым множеством, а задача поиска экстремума не имеет смысла.

  2. Найти градиент целевой функции , построить его.

  3. Провести линию уровня целевой функции, перпендикулярную градиенту.

  4. Перемещать линию уровня параллельно самой себе в направлении , найти точку , в которой f достигает максимума (минимума).

  5. Найти координаты , решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке оптимума, вычислить .

В случае непустого множества допустимых решений возможны три типовых ситуации:



  1. задача имеет единственное решение (линия уровня касается множества допустимых решений в одной точке);

  2. задача имеет бесконечное множество решений (линия уровня касается множества допустимых решений вдоль стороны многоугольника);

  3. задача не имеет решения (множество допустимых решений не ограничено).


Пример 1. Решить задачу линейного программирования
;

Решение. Построим множество допустимых решений. Нумеруем ограничения задачи. В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую , соответствующую ограничению (1). Находим, какая из двух полуплоскостей является областью решений неравенства. Так, прямая (1) не проходит через начало координат, подставляем координаты точки О (0, 0) в первое ограничение . Получаем верное строгое неравенство 0 > -2. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений. Аналогично строим прямые (2) – (4).
Рис. 1.
Нашли , провели линию уровня функции, перпендикулярно градиенту, передвигаем ее параллельно самой себе в направлении . Эта прямая проходит через точку Х* пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2). Определяем координаты точки Х*, решая систему . Получаем Х*(1, 3). Вычисляем .

Ответ: при Х* = (1, 3).



Задача линейного программирования не всегда задается в виде математической модели. Пример составления математической модели рассмотрен на примере транспортной задачи (п. 3).




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница