Анализу. 2009 год



Скачать 21.83 Kb.
Дата13.07.2016
Размер21.83 Kb.
ТипПрограмма
Программа экзамена по математическому анализу.


2009 год. Осень. Вечерники III курс. Челкак Д.С.


  1. Системы множеств. Определения: кольцо, σ-кольцо, алгебра, σ-алгебра. Полукольцо, свойства (разложение на атомы, прямое произведение).

  2. Объем и мера. Простейшие свойства (монотонность, полуаддитивность).
    Лемма о непрерывности меры.

  3. Теорема о кольце, порожденном полукольцом. Продолжение объема или меры с полукольца на порожденное им кольцо.

  4. Внешняя мера. Определение, основной пример построения внешней меры при помощи покрытий (с доказательством).

  5. Теорема о мере (на хорошо разбивающих мн-вах), порожденной внешней мерой.

  6. Теорема Каратеодори о продолжении меры с полукольца (без единственности).

  7. Меры Лебега-Силтьеса на прямой. Мера Лебега.

  8. Определения: борелевская σ-алгебра, измеримые отображения. Критерий измеримости отображения.

  9. Свойства измеримых функций (измеримость различных конструкций, основанных на измеримых функциях).

  10. Интеграл Лебега для ограниченных функций в пространстве конечной меры: определение, теорема существования.

  11. Интеграл Лебега для ограниченных функций в пространстве конечной меры: свойства (линейность, монотонность, счетная аддитивность).

  12. Сходимость почти всюду и сходимость по мере. Лемма Лебега (о выборе подпосл-ти, сходящейся почти всюду из посл-ти, сходящейся по мере).

  13. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла для ограниченных функций и пространства конечной меры.

  14. Интеграл Лебега для произвольных измеримых функций и σ-конечных мер: определение, лемма об аппроксимации измеримых функций простыми.

  15. Свойства интеграла Лебега от неотрицательных функций – I:

монотонность относительно неравенств, выполняющихся μ-почти всюду.

  1. Свойства интеграла Лебега от неотрицательных функций – II:

лемма Беппо Леви (предельный переход для монотонно возрастающей посл-ти).

  1. Свойства интеграла Лебега от неотрицательных функций – III:

линейность, счетная аддитивность.

  1. Перенос свойств интеграла Лебега на суммируемые функции.

  2. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.

  3. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла – I: теорема Беппо Леви.

  4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла – II: теорема Фату.

  5. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла – III: теорема Лебега.

  6. Лемма о монотонном классе.

  7. Построение прямого произведения мер (существование).

  8. Единственность продолжения меры с полукольца.

  9. Теорема Фубини для неотрицательных функций (теорема Тоннели).

  10. Теорема Фубини для суммируемых функций.

  11. Мера Лебега в Rn. Пополнение меры.

  12. Теорема о замене переменной в кратном интеграле – I: сведение к неравенству для меры образа измеримого множества и интеграла от якобиана по нему.

  13. Теорема о замене переменной в кратном интеграле – II: доказательство оценки меры образа измеримого множества через интеграл якобиана.

  14. Критерий Каратеодори борелевской регулярности внешней меры.

  15. Мера и размерность Хаусдорфа.

Каталог: ~dchelkak -> Notes


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница