Алексеева Маргарита Михайловна



Скачать 132.85 Kb.
Дата07.07.2016
Размер132.85 Kb.
Алексеева Маргарита Михайловна

104-116-566

Квадратные и другие виды

уравнений.

(Элементы истории и

практического применения.)

Приложение №1

Действие первое


Гера ходит по комнате и учит теоремы Пифагора и Виета.

Читает:

- Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение свободному члену. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.



Пытается повторить без книжки:

- Сумма корней приведенного. Интересно, а куда его привели? Квадратного. А почему не круглого? Уравнения равно гипотенузе взятой с противоположным знаком, а произведение квадрату катетов. Нет, не то. И кто придумал эти корни, уравнения, квадраты? Вот бы мне волшебную палочку!



Берет ручку, которая лежит на столе машет, воображая себя волшебником.

Пусть не будет!…



На Гер с громким криком бросается кот, который все это время сидел на стуле:

- Молчи хозяин! Я не хочу, чтобы моя миска стала точкой на координатной прямой! Я хочу, чтобы у нее была форма, а у молока объем! И чем больше, тем лучше!



Гера:

- С каких пор ты разговаривать начал?



Кот Пифагор:

- Это неважно! Я может в своих прошлых жизнях у Евклида, Виета и Ферма котом работал! Но это неважно, даже из тебя человека сделать можно!



Гера:

- Да я и так человек. И в твоей помощи, между прочим, не нуждаюсь!



Подруга кота (кошка Гипа):

- Да какой же он человек, когда простых вещей не понимает!

Не слушай его дорогой!

Гера:

- А ты кто такая? Чего раскомандовалась?



Подруга кота (кошка Гипа):

- Я любимая кошка твоего Пифагора. Гипотенузой зовут. Можно просто Гипа. Правда, красиво!



Гера:

- Разговорилась тут! А ну брысь!



Кот сзади надевает на голову Герою странную шапку, Герой замирает. Кот и его подруга сажают Героя на стул.

Кот:

- Ты мою Гипочку не обижай! Она умница, хорошо истории рассказывает!

Ты ее послушай, может, человеком станешь!

Да, ребята, а вы не бойтесь, ничего с ним не случилось. Эта шапка не простая, а кибернетическая. Кто ее одевает, тот информацию лучше запоминает.


Действие второе.

Кот:

- Итак, хозяин готов, можно звать Шишка - компьютерного и начинать!



Гипа:

- В некотором царстве, в некотором государстве жили уравнения!

Линейные, квадратные, кубические, n-ой степени. Многие из них были определенными, но еще больше было неопределенных.

Появляются Шишок и напевает:

- Вот уравнения, все тут как тут;

Они играют с нами в салки - уравнялки;

Разделят, вычтут и «Х» найдут;

Проверку сделают, и будет все в порядке!



Кот:

- Привет, проходи, рассаживайся и рассказывай.



Шишок :..

- Это линейное уравнение или уравнение первой степени. Оно имет вид: ах+в=0. И чтобы найти Х нужно «-в» поделить на «а». Вот вам пример. Пусть, а=3, в=5, тогда х=-5/3.



Гера:

- А, что делать, если а=0, ведь делить на 0 нельзя.



Шишок:

- Какой ты дотошный. Тогда возможны два случая - либо корней нет, если «в» не равно 0, либо корней бесконечно много, если «а» и «в»=0.



Гера:

- Простейшее уравнение, а столько мороки.



Гипа:

- Я надеюсь, все знают, что в жизни задачи, которые решаются с помощью линейных уравнений встречаются очень часто.



Пифагор:

По первой формуле можно найти время, которое необходимо учителю, чтобы дойти до ученика, играющего с мобильником.



Шишок:

По второй - массу дров, необходимую чтобы сварить суп на костре.



Пифагор:

По третьей - плотность любой вещи, как это сделал Архимед для царской короны.



Гипа:

- Это лишь некоторые примеры линейных зависимостей.



Шишок:

- А это квадратное уравнение, оно имет вид: . Его обычно решают по формуле, где дискриминант или различитель. Если «D» больше нуля, то у уравнения два корня, если «D» равно «0», то у уравнения и один корень, и если «D» меньше «0», то у уравнения совсем нет корней,.



Гипа:

С необходимостью решать уравнения второй степени люди столкнулись, когда им пришлось решать задачи по нахождению площадей земельных участков.



Кот:

- Короче, это задачи типа – «какого размера должен быть коврик, чтобы я на нем уместился?»



Шишок:

- Квадратные уравнения умели решать вавилоняне за 2 тысячелетия до н.э.. Правила решения в вавилонских текстах, совпадают с современными. Однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этих правил?



Кот:

- Как неизвестно? Это же я их научил!


Гипа:

- Ври, ври дорогой, но не завирайся! Продолжайте, многоуважаемый Шишок!



Шишок:

- Решением квадратных уравнений занимались арабский математик аль Хорезми в 8 в н.э., Леонардо Фибоначчи в 13 веке, Франсуа Виет в 16 веке. Но эти ученые совершенно не признавали отрицательных корней уравнения!



Кот:

- Еще бы! Ведь у коврика не бывает отрицательной длины.



Гипа:

- Впервые учитывать отрицательные корни стали итальянские математики Николо Тарталья, Джероламо Кардано. Но лишь в 17 веке, благодаря трудам Рене Декарта, Исаака Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.



Шишок:

- А это кубическое уравнение, оно имеет вид: . Решать его значительно сложнее квадратного.

Формулы для его решения открыли в середине 16 века Николо Тарталья, Джероламо Кардано. Они приводили уравнение к виду: , а потом решали по формуле

.

Гера:

- Как хорошо, что ее не учат в школе!



Шишок:

- А вот уравнение степени выше третей.





Гера:

- Что, что? Дайте мне очки!



Шишок:

- Решать его еще труднее. Первым решил уравнение четвертой степени Людовико Феррари в 16 веке.

В 1732 году свой особый способ нашел для уравнения четвертой степени Леонард Эйлер,

Гипа:

-А вот для общих уравнений со степенями выше четвертой формулы найти нельзя. И это доказал в 1824 году норвежский математик Нильс Генрих Абель.



Гера:

- Ура! Спасибо Генриху Абелю! Нет решения - нет проблемы!



Шишок:

- Однако многие частные виды таких уравнений могут быть решены алгебраически, и помогает в этом ЭВМ.



Кот:

- И от ЭВМ бывает польза!



Гипа:.

-А вот неопределенное уравнение. В нем больше, чем одна переменная. И у него может быть бесконечно много корней.



Гера::

- Да сколько хочешь! Все равно решать не буду!



Шишок:

- Неопределенное уравнение часто решают в целых числах. Простейшие уравнения первой степени, выглядят как: . Их умел решать еще в 3 веке н. э. Диофант- александрийский математик. Поэтому эти уравнения и носят его имя.



Гера:

- Диофант, Диофант, что-то знакомое!



Гипа:

- А полностью задачу о нахождении решения неопределенных уравнений второй степени нашел в 1766 году французский математик Жозеф Луи Лагранж.

Уравнения же третий степени с двумя неизвестными до сих пор до конца не исследованы.

Гера:

- Неужели это так трудно?



Шишок:

- Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик Пьер Ферма высказал в середине 17 веке предположение, что для любого натурального числа n, большего 2, уравнение не имеет решения в натуральных числах.



Кот:

- А я знаю, это Великая теорема Ферма. Он записал ее на полях «Арифметики» Диофанта.



Гера:

- Странное совпадение.



Гипа:

- Доказательство этого утверждения для n=3 и n=4 было найдено Леонардом Эйлером. Попытки доказательства теоремы Ферма привели к возникновению и развитию нового отдела математики – алгебраической теории чисел.



Гера:

- И что Великая теорема Ферма до сих пор не доказана?



Пифагор:

- Нет, теорема была полностью доказана в 1995 году. Это сделали английские математики Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор. Они потратили на это более 10 лет. Их доказательство Великой теоремы Ферма заняло более 100 страниц печатного текста и производилось методами современной математики, которыми не располагал Пьер Ферма.



Гера:

- Вот это да!



Гипа:

- Если в уравнение xn+yn=zn вместо n поставить два, то получится…



Гера:

- Теорема Пифагора!



Кот

- Умница хозяин. Давай поговорим о ней.


Действие третье.

Гипа:

- Существует легенда, что Пифагор пожертвовал в дар богам, ниспославшим на него доказательство этой великой теоремы сто быков.



Гера:

- Неправда! Нам в школе говорили, что это доказательство было известно задолго до Пифагора.



Кот:

- Твои учителя, безусловно, правы. Пифагор жил приблизительно в 5в до нашей эры. А эта теорема была известна в разных уголках земного шара за 500 и более лет до этого.



Шишок:

- Доказательств у теоремы Пифагора много. То, которое изучается сейчас в школе, одно из самых простых. А вот в средние века не было таких удобных символов и приходилось доказывать эту теорему геометрически.



Гипа:.

- В то время ее называли ослиный мост или мост убогих. Так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной подготовки, бежали от геометрии.



Шишок:

- Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них непроходимым мостом.



Гера:

- Не хочу быть ослом!



Кот:

- В те времена ученики, также как и теперь, рисовали на партах. Посмотрите, какие они делали карикатуры на теорему Пифагора.



Гера:

- Дайте мне карандаш, я нарисую лучше!



Гипа:

- А теперь о серьезном!

Если искать гипотенузу треугольника с катетами по единице, то получается отрезок, квадрат которого равен двум или .

Кот:

- Конечно, его можно отложить на координатной прямой.



Гипа:

- Отложить то можно, а вот поставить ему в соответствие число во времена Пифагора было нельзя!



Гера:

- Это что же получается, точка на оси есть, а координаты у нее нет?



Гипа:

- Именно так!

В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин. Таких, отношение между которыми, невозможно выразить никакими целыми и дробными числами.

Шишок:

- Пифагорийцы не знали других чисел, кроме целых и дробных, то есть рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена таким числом.



Гипа:

- Этот факт привел пифагорийцев в большое смущение. Ведь в основе их философии лежало понятие числа, как основе всех вещей и явлений природы. И вот эта великая основа – число – оказалось не в состоянии выразить длину простого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата!



Шишок:

- Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорийцы долго его держали в строгой тайне.



Кот:

- Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения.



Шишок:

- Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии всей античной математики. Узнав, что существуют величины, которые не выражаются рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками.




Гипа:

- Вплоть до 15-16 века несоизмеримые величины не признавались за числа. Их называли «алогос». Что означало «невыразимый словами» или словами, которые переводятся как «глухой» или «немой».



Шишок:

- Сейчас эти числа называют иррациональными, в отличие от рациональных, которые можно представить в виде отношения. Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел и обозначаются буквой R.



Кот:

- Большой вклад в развитие понятия числа внесли Декарт и Ньютон.



Герой:

- Знаю, знаю! В Декартовых координатах нас заставляют чертить графики, а Ньютона мы по физике проходили. На него еще яблоко упало!



Кот:

- И кто говорит детям такую чепуху?


Действие четвертое

Гипа:.

- Продолжим.

Если потребуется разделить отрезок (АВ=а) на две части так, чтобы отношение данного отрезка (АВ) к его большей части (АД=x) было равно отношению его большей части (АД) к меньшей (ДВ=a-x), то мы получим «золотое сечение», или пропорцию: .

Гера:

- Знаю, знаю. Я смотрел «Код Да Винчи». Симпатичный детективчик!



Шишок:

- Из этой пропорции имеем уравнение:. Оно имеет положительный корень:

Опираясь на теорему Пифагора, подкоренное выражение можно рассматривать как гипотенузу треугольника с катетами «а и а/2».

Гипа:

- Нужная нам пропорция выглядит так: АВ:АД=АД:ДВ, если отрезок АВ принять за единицу, то АД=0,618… и ДВ=0,382. Приближенно 0,618…=5/8.



Шишок:

- Знаменитый архитектор Ле Корбюзье обозначил отношение золотого сечения знаком -«фи». Он нашел это отношение во многих пропорциях человеческой фигуры и часто применял при проектировании зданий.



Кот:

- Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение длины к ширине, близкое к числу 0,618.



Шишок:

- Рассматривая положение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).



Гера:

- Я и не думал, что «золотое сечение» связано с теоремой Пифагора и решением квадратных уравнений. Интересно, а есть еще задачи связанные с квадратными уравнениями и корнями?



Кот:

- Таких задач много, все перечислять не имеет смысла. Гипочка расскажи ему про формулу Герона и об удвоении куба.



Гера:

- Формулу Герона я видел. Я даже знаю, что она была установлена величайшем математиком древности - Архимедом в третьем веке до нашей эры. Герон же Александрийский жил века на два позже.



Кот:

- Про жизнь Герона вообще мало что известно. Нет точных дат его рождения и смерти, зато хорошо известны его труды по геодезии и практическому применению геометрии. Кстати, а что такое «Р»?.



Гера:

- Это полупериметр, а «а ,в, с» стороны треугольника.




Гипа: .

- Замечательно! А теперь слушай про удвоение куба.

Так называлась одна из классических задач древнегреческой математики.

Задача состоит в построении куба, имеющего объем вдвое больший объема данного куба. Если обозначить через «а» ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должна удовлетворять уравнению х3=2а3. Значит

х=

Гера:

- Что значит эта запись?



Гипа:

- Это корень не второй, а третьей степени. Но об этом потом.



Шишок:

- Задача об удвоении куба носит также название «Делосской задачи» из-за следующей легенды. На острове Делос в Эгейском море распространилась эпидемия чумы. Когда жители обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы.



Кот:

- Они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона».



Шишок:

- Сначала они посчитали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше старого жертвенника.



Гипа:

- Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объем не в 2 раза, а в 8 раз.



Шишок:

- Чума еще больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…».



Гера:

- Бедные Делосцы, они, наверное, все вымерли.



Кот:

- Об этом история умалчивает.



Гера:

- А, что кроме геометрических задач корни и квадратные уравнения нигде не применяются?



Кот:

- Что ты! Наш мир так многообразен и сложен, что приходится решать не только квадратные уравнения, но и показательные, тригонометрические, логарифмические, дифференциальные…



Гера:

- Диффери что?



Кот:

- Дифференциальные, но сегодня мы о них говорить не будем.



Гера:

- Спасибо. Расскажите лучше о квадратных уравнениях в физике и других науках.



Гипа:

- Начнем с известных явлений. Про закон всемирного тяготения слышал?



Герой:

- Да!


Шишок:

- Он выражается формулой: , где F- сила притяжения между телами, f- постоянная тяготения, m1,m2 - массы двух тел, R - расстояние между ними. По этому закону можно рассчитать первую и вторую космические скорости. Первая космическая 7,92 км/сек, вторая - 11,2 км/сек, третья - 16,7 км/сек.

Гера:

- Кажется, я про это где-то слышал.



Гипа:

- Теперь от закона тяготения перейдем к закону Кулона.



Шишок:

- Он описывает взаимодействия электрических зарядов, имеет вид очень похожий на закон тяготения , где q1 ,q2- величины электрических зарядов, а R - расстояние между ними, к- коэффициент пропорциональности.



Гера:

- Действительно они очень похожи!



Кот:

- А теперь перейдем к оптике.



Шишок:

- Яркость источника света рассчитывается по формуле , где B-яркость источника света, S-площадь линз или зеркал оптической системы, E – освещенность (поток лучистой энергии, падающий за секунду на единицу площади освещаемой поверхности), l - расстояние до источника.



Кот:

- В этой формуле содержится глубокий физический смысл: освещенность на большом расстоянии не зависит от размеров источника света.



Гипа:

- От оптики к самолетостроению!



Шишок:

- Величина подъемной силы самолета зависит от площади крыла S, плотности воздуха и коэффициента Cy, который сам зависит от формы крыла и угла атаки.



Гера:

- Симпатичная формула.



Кот:

- Есть не менее красивые.



Шишок:

- Полное сопротивление в цепи переменного тока рассчитывают по формуле:, где R - активное сопротивление, - реактивное сопротивление.



Гипа:

- А прогиб балки, заделанной с двух сторон, считается по формуле:

Какой степени это уравнение?

Гера:

- Четвертой. А что такое Q,I,E? И вообще, что такое балка?



Кот:

- Во, дает! Что такое балка не знает! Ты потолок на даче видел? Так вот доски на потолке, это пример закрепленной с двух сторон балки. А если балку закрепить с одной стороны то получится…



Гера:

- Трамплин или балкон.



Гипа

- Балкон больше похож на плиту, но это не важно.

Q-сила, I-момент инерции, E-модуль Юнга. Что это такое, я сейчас рассказывать не буду. Спросишь у своей учительницы по физике. Главное, что такой, казалось бы, простой и понятный процесс описывается уравнением четвертой степени.

Кот:

- Ну и на последок. Давай покажем ему формулу Эйнштейна, которая связывает скорость света и массу тела?



Гипа:

- Конечно дорогой. Вот она



Гера:

- Так значит чем больше скорость тела, тем больше его инертные свойства.



Кот:

- Славу богу, что эта зависимость работает при больших скоростях, а то бы я мышей ловить не смог.



Гера:

- Конечно, ты и так 8 кило весишь. Но это к слову. А мне интересно знать всегда ли люди применяли сегодняшние наши знаки для обозначения корня и степеней?



Кот:

- Умница у меня хозяин. Наконец-то ему что - то интересно стало.



Гипа:

- Можно шапку снимать. Ну а что касается обозначений, то конечно они изменялись.



Шишок:

- Начиная с 13 века итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.

В скорописи квадратный корень заменяли точкой впереди числа, перешедшей в символ .

Гипа:

- Корень четвертой степени обозначали так, а третьей так. Вероятно, из этих обозначений впоследствии образовался знак , близкий к современному знаку корня, но без верхней черты.



Шишок:

-В 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой. Однако его запись несколько отличалась от современной. Современный знак корня окончательно вошел во всеобщее употребление лишь в начале 18 века.



Гера:

- Как хорошо, что мы живем в наше время. Как бы трудно нам пришлось, если бы мы учились в средние века, а еще хуже во времена Пифагора.



Кот:

- Так что учи теорему Виета и теорему Пифагора и все будет в порядке.



Гера:

- А я, кажется, уже выучил.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение свободному члену. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Кот :

- Наконец-то!



Гипа :

Теперь можно перейти на кошачий язык и поспать немножко!

А то, что-то мы очень устали! Налей-ка нам хозяин молочка в мисочку!

Шишок:

До встречи!



Кот и Гипа:

Мяу!


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница