1. Найти сумму чисел 1-2+3-4+5-6+…+2013-2014 и 1+2-3+4-5+6-…-2013+2014



Скачать 180.47 Kb.
Дата12.06.2016
Размер180.47 Kb.
7 класс
1. Найти сумму чисел 1-2+3-4+5-6+…+2013-2014 и 1+2-3+4-5+6-…-2013+2014.

2. Сколько существует натуральных чисел таких, что произведение всех цифр такого числа, умноженное на их количество, равно 2014?

3. На отрезке AB длиной 24 см поставлены точки С и D так, что они оказались серединами некоторых из получившихся отрезков. Найти AC. Указать все возможные варианты.

4. На складе 25 белых стеклянных чашек и 35 чёрных фарфоровых. Каждая стеклянная чашка при падении разбивается на 17 осколков, а каждая фарфоровая - на 18 осколков. Сторож перекрасил несколько стеклянных чашек в черный цвет, а несколько фарфоровых - в белый, после чего случайно разбил все чашки, уронив их. Могло ли образоваться одинаковое количество черных и белых осколков? Ответ обосновать.

5. Миша покрасил все целые числа в несколько цветов так, что числа, разность которых является простым числом, покрашены в различные цвета. Какое наименьшее число цветов могло быть использовано Мишей? Ответ обоснуйте.


8 класс

1. Действительные числа x, y, z (отличные от нуля) удовлетворяют равенству: . Найдите все возможные значения, которые может принимать выражение:

2. На сколько нулей оканчивается число, равное значению выражения:

Ответ обоснуйте.

3. В пятиугольнике ABCDE все стороны - равные : AB=BC=CD=DE=EA. Доказать, что биссектрисы углов С и E и серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекаются в одной точке.

4. По кругу выписано 100 чисел. Сумма любых семи из них, стоящих подряд, не менее пяти. Может ли сумма всех чисел равняться а) 71? б) 72?

5. Как в клетках доски 88 расставить 12 единиц и 52 нуля так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 23 была положительна.


9 класс
1. Найдите последнюю цифру числа .

2. Известно, что и

Найдите а) ; б) .

3. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна произведению 2014·2015?

4. - квадратичная функция (и - целые числа). Известно, что и . Докажите, что для всех из отрезка

5. Точка лежит вне окружности . и - касательные к окружности ( и принадлежат ). Через точки и проведена вторая окружность с центром в точке . На дуге окружности , находящейся внутри окружности , взяли произвольную точку . Прямая пересекает второй раз окружность в точке , а прямая - в точке . Докажите, что - диаметр окружности .

6. Даны 126 различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 2014. Для каждой пары этих чисел вычислили разность большего и меньшего. Докажите, что среди этих разностей имеется по крайней мере

а) четыре равных;

б) пять равных.


10 класс
1. Найдите последнюю цифру числа .

2. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна произведению 2014·2015?

3.Решите систему уравнений

4. При каком наименьшем натуральном k квадратичный трехчлен с натуральными коэффициентами p и q имеет два различных положительных корня меньших 1?

5. Точка лежит вне окружности . и - касательные к окружности ( и принадлежат ). Через точки и проведена вторая окружность с центром в точке . На дуге окружности , находящейся внутри окружности , взяли произвольную точку . Прямая пересекает второй раз окружность в точке , а прямая - в точке . Докажите, что - диаметр окружности .

6. Треугольник A содержится в выпуклом четырехугольнике B. Пусть S(A) и S(B) — площади этих многоугольников, а P(A) и P(B) — их периметры. Доказать, что . Замечание: фигура называется выпуклой, если с каждой парой точек она содержит и отрезок их соединяющий.


11 класс

1. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна произведению 2014·2015?

2. Сравните числа и .

3. Найдите такое целое число n, что для любого целого k≠2013, число кратно .

4. Целые числа a>0, b и c таковы, что квадратный трехчлен имеет два корня большие 1. Докажите, что квадратный трехчлен будет иметь два различных корня.

5. Какое наибольшее число клеток можно закрасить на доске 66 так, чтобы никакие четыре закрашенные клетки не могли бы своими центрами образовывать прямоугольник, со сторонами параллельными сторонам доски.

6. Можно ли разбить пространство на кубики с целочисленными ребрами, так чтобы среди всех их ребер не нашлось более 324 одинаковых? Ответ обосновать.

7 класс

Решения


1. Ответ: 2.

Заметим, что для каждого слагаемого первой суммы, кроме 1, есть противоположное слагаемое во второй сумме. Сумма противоположных чисел равна 0. Значит, общая сумма равна 1+1=2.



Критерии проверки:

Приведен правильный ответ с обоснованием:7 баллов.

Приведен неправильный ответ, с правильной идеей обоснования: 2 балла.

Приведен только правильный ответ: 1 балл.

2. Ответ: 1008.

Решение. Число 2014 делится только на цифры 1 и 2, поэтому в записи числа могут встречаться только цифры 1 и 2. Причём, цифра 2 - только один раз. Если в записи числа - одни 1, то всего их 2014, и такое число одно. Если есть двойка, то цифр 1007, и двойка может быть на любом месте, и таких чисел 1007. Отсюда ответ.

3. Ответ: AC может быть равно 6 см, 8 см, 12 см, 16см, 18 см.

1) С - середина АВ. Возможны два случая: D середина AC или D середина BC, в каждом из них AC=12 см.

2) D - середина АВ. Возможны два случая: C середина AD или С середина BD; в первом случае AC=6 см, а во втором - AC=18 см.



3) D - середина АС и С - середина BD. В этом случае AC=16 см.



4) D - середина BС и С - середина AD. В этом случае AC=8 см.





Критерии проверки:

Приведен правильный ответ и сделаны все необходимые рисунки:7 баллов.

Приведено 4 ответа с обоснованием:4 балла.

Приведено 3 ответа с обоснованием:2 балла.

Приведен только правильный ответ и нет обоснований: 1 балл.

4. Ответ: не могло.

Предположим, что черных и белых осколков оказалось поровну. Пусть x – количество стеклянных чашек, покрашенных в чёрный цвет, а y – количество фарфоровых чашек, покрашенных в белый цвет. Тогда черных осколков всего 17x+18(35–y), а белых 17(25–x)+18y. Должно выполняться равенство
17x+18(35–y)= 17(25–x)+18y, или 18(35–2y)=17(25–2x). Равенство невозможно, так как слева чётное число, а справа нечётное.

5. Ответ: 4 цвета.

Оценка. Рассмотрим числа 1, 3, 6, 8. Разность любых двух из них простое число, это значит, что все они должны быть различных цветов и цветов нужно не менее четырёх.

Пример. В первый цвет красим числа вида 4k, во второй цвет красим числа вида 4k+1, в третий цвет красим числа вида 4k+2, в четвертый цвет красим числа вида 4k+3 (k – целое число). Разность любых двух одного цвета кратна 4 и не может быть простым числом.



.

8 класс

Решения


1. Ответ: 3.

Решение. Преобразуем выражение =

.

Используя условие и полученные из него формулы и , получим:



.

.

2. Ответ: на 93 нуля.





Первый множитель оканчивается на 93 нуля, а второй не оканчивается нулём (он оканчивается четвёркой).



Критерии проверки:

Приведены верное решение и верный ответ: 7 баллов.

В выкладках допущена вычислительная ошибка, из-за чего ответ неверный: 3 балла.

Приведён только верный ответ: 2 балла.

3. Решение. В равнобедренных треугольниках AED и DCB биссектрисы углов E и C являются высотами и медианами этих треугольников и, значит, лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам AD и BD. Серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABD, пересекаются в одной точке. Значит, утверждение задачи доказано.

4.Ответ: а) не может. б) может.

а) так как сумма любых семи - не менее 5, то найдутся два соседних числа, сумма которых не менее 2∙4/7>1. Оставшиеся числа, кроме этих двух, разобьем на 14 групп соседних по 7 штук. Их сумма не менее 14∙5=70. Значит, сумма всех ста чисел больше 71.

б) занумеруем все числа по кругу от 1 до 100. Положим равными нулю те числа, у которых номер кратен семи и те числа, которые дают в остатке 6 при делении на 7. Остальные равны 1. Так как 100=147+2, то нулю будут равны 142=28 чисел. Сумма всех чисел равна 72, а сумма любых семи подряд равна 5 и, значит, не меньше 5.

..

5. Ответ: можно.



Пример приведён на рисунке. В пустых клетках нули.

9 класс

Решения

1. Найдите последнюю цифру числа .

Решение: Последняя цифры степеней определяются возведением последних чисел оснований. Поэтому последняя цифра числа 20152015 равна 5. Последние цифры степеней 4 периодичны с периодом 2. У нечетных степеней 4, у четных 6. У степеней 3 повторение через 4: 3, 9, 7, 1. Так как при делении на 4 2013 дает в остатке 1, то последняя цифра у последнего числа будет 3. Итог:

Рекомендации по проверке.

Ответ без обоснования – 0 баллов.

2. Известно, что и

Найдите

а) ;

б) .

Решение.



.





.

.

Рекомендации по проверке.

Найдено : 3 баллa.

Найдено : +4 балла.

3. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 2014·2015?

Решение. 2014·2015 дает при делении на 3 остаток 2.

Число при делении на 3 дает такой же остаток, что и сумма его цифр. Но квадрат натурального числа не может при делении на 3 остаток 2:

делится на 3;

при делении на 3 дает остаток 1;

при делении на 3 дает остаток 1.

Значит, такого натурального числа не существует.

4. - квадратичная функция (и - целые числа). Известно, что и . Докажите, что для всех из отрезка

Решение. Докажем методом от противного. Пусть существует такое, что . Тогда абсцисса вершины параболы , и квадратный трехчлен имеет корни и (корни могут совпадать).

- нечетное.



Разность нечетного и четного числа не может принадлежать промежутку . Противоречие.

Рекомендации по проверке.

Доказана нечетность m: +1 балл.

Доказано, что : +2 балла.

5. Точка лежит вне окружности . и - касательные к окружности ( и принадлежат ). Через точки и проведена вторая окружность с центром в точке . На дуге окружности , находящейся внутри окружности , взяли произвольную точку . Прямая пересекает второй раз окружность в точке , а прямая - в точке . Докажите, что - диаметр окружности .

Решение. Пусть . Тогда .

Из .

С другой стороны, - угол между касательной и секущей окружности . Следовательно, .

Из

Следовательно, - диаметр окружности .



6. Даны 126 различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 2014. Для каждой пары этих чисел вычислили разность большего и меньшего. Докажите, что среди этих разностей имеется по крайней мере

а) четыре равных;

б) пять равных.

Решение.

а) Всего можно составить пар чисел. Разности могут быть равны любому числу от 1 до 2013.

(ост. 1836). Значит, найдется по крайней мере 4 равных.

б) Обозначим числа в порядке возрастания:

.

Предположим, что среди модулей разностей этих чисел нет пяти равных.

Тогда

.Оценим снизу. По предположению среди разностей не более четырех равны 1, не более четырех равны 2, …, не более четырех равны 31. Следовательно,

Получим

Противоречие.

10 класс

Решения

1. Найдите последнюю цифру числа .

Решение: Последняя цифры степеней определяются возведением последних чисел оснований. Поэтому последняя цифра числа 20152015 равна 5. Последние цифры степеней 4 периодичны с периодом 2. У нечетных степеней 4, у четных 6. У степеней 3 повторение через 4: 3, 9, 7, 1. Так как при делении на 4 2013 дает в остатке 1, то последняя цифра у последнего числа будет 3. Итог:

2. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 2014·2015?

Решение. 2014·2015 дает при делении на 3 остаток 2.

Число при делении на 3 дает такой же остаток, что и сумма его цифр. Но квадрат натурального числа не может при делении на 3 остаток 2:

делится на 3;

при делении на 3 дает остаток 1;

при делении на 3 дает остаток 1.

Значит, такого натурального числа не существует.

3. Решите систему уравнений



Решение. Функция монотонно возрастающая на всей числовой прямой как сумма двух монотонно возрастающих функций и . Поэтому из первого уравнения имеем . Равенство можно получить также разложением на множители выражения. Поскольку , то . Подставляя во второе уравнение системы , получим . Ответ.

4. При каком наименьшем натуральном k квадратичный трехчлен

с натуральными коэффициентами p и q имеет два

различных положительных корня меньших 1?

Решение. Сначала оценим коэффициент снизу. Пусть корни квадратичного трехчлена, тогда , из условия расположения корней и вытекает, что и . Так как , то .

Далее воспользуемся оценкой справедливой для всех . В нашем случае , откуда получаем . Следовательно, . Таким образом, получена оценка снизу. Покажем точность оценки, для этого достаточно построить пример с :

5. Точка лежит вне окружности . и - касательные к окружности ( и принадлежат ). Через точки и проведена вторая окружность с центром в точке . На дуге окружности , находящейся внутри окружности , взяли произвольную точку . Прямая пересекает второй раз окружность в точке , а прямая - в точке . Докажите, что - диаметр окружности .

Решение. Пусть . Тогда .

Из .

С другой стороны, - угол между касательной и секущей окружности . Следовательно, .

Из

Следовательно, - диаметр окружности .



6. Треугольник A содержится внутри выпуклого многоугольника B. Пусть S(A) и S(B) — площади, а P(A) и P(B) периметры этих фигур. Доказать, что .

Решение. Впишем в треугольник A окружность радиуса R=2S(A)/P(A)с центром в точке O . Теперь соединим центр O круга с вершинами m-угольника B. Тогда m-угольник B разобьётся на треугольники с площадями hibi/2, где hi — расстояние от точки O до i-й стороны, а bi — длина i-й стороны m-угольника B. Так как hiR, то 2S(B) = h1b1 + h2b2+…+ hmbm< R (b1 + b2+…+ bm )=RP(B).

Откуда получаем R=2S(A)/P(A)<2 S(B)/P(B).

11 класс

Решения

1. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 2014·2015?

Решение. 2014·2015 дает при делении на 3 остаток 2.Число при делении на 3 дает такой же остаток, что и сумма его цифр. Но квадрат натурального числа не может при делении на 3 остаток 2: делится на 3; при делении на 3 дает остаток 1; при делении на 3 дает остаток 1.Значит, такого натурального числа не существует.

2. Сравните числа и . Ответ: > .
Решение:

Заметим, что >0. Так как выполняются следующие неравенства 3,14<<3,15, , , то , а значит .


3. Найдите такое целое число n, что для любого целого k≠2013, число кратно .

Ответ: .

Решение.

Обозначим через t=, тогда . Если возвести в степень 2014 число , то получим сумму слагаемых, каждое из которых содержит множитель tm (для некоторого m=1,…,2014) за исключением , тогда получим , где S– целое число, значит для любого целого t. Это возможно лишь тогда, когда .


4. Целые числа a>0, b и c таковы, что квадратный трехчлен имеет два корня большие 1. Докажите, что квадратный трехчлен будет иметь два различных корня.
Решение.

Пусть x1 и x2 нули функции f(x), тогда по теореме Виета имеем:



, а так как x1>1, x2>1 и a>0, то . Получаем, что . Заметим, что так как x1>1, x2>1, то , а так как a, b и c целые, то получаем, что , то есть .

Найдем



, а так как , то это означает, что квадратный трехчлен имеет два корня.

5. Какое наибольшее число клеток можно закрасить на доске 66 так, чтобы нельзя было выбрать четыре закрашенные клетки таким образом, чтобы центры этих клеток образовывали прямоугольник, стороны которого параллельны сторонам доски.

Решение.

Пусть можно закрасить n клеток. Обозначим через x1, x2,… x6 количество закрашенных клеток в 1,2,…6 столбцах соответственно, тогда x1+ x2+…+ x6=n. Подсчитаем количество пар клеток в столбцах, которые могут образовывать стороны искомого прямоугольника. В первом столбце их , аналогично в остальных . Тогда всего таких пар



. Каждой такой паре соответствует пара строк, в которых они лежат, а всего таких пар . Тогда если , то двум различным парам закрашенных клеток в разных столбцах будет соответствовать одна и та же пара строк и найденные четыре клетки будут образовывать искомый прямоугольник. Значит , решая неравенство получаем, что . Для n=16 можно раскрасить следующим образом:













































































































6. Можно ли разбить пространство на кубики с целочисленными ребрами, так чтобы среди всех их ребер не нашлось более 324 одинаковых? Ответ обосновать.



Решение.

Шаг 1: Построим составной куб из 27 кубиков с ребрами равными 1.

Шаг 2: Данный составной куб с ребром равным 3 обложим вокруг 26 кубами такого же размера, образуя составной куб со стороной 32=9.

Продолжим процесс.

Шаг n: Получим составной куб со стороной 3n.

Если ввести декартову систему координат, то вершины будут иметь координаты (3n/2; 3n/2; 3n/2). Для каждой точки пространства найдется n, для которого точка будет находиться внутри куба. Следовательно, пространство разложиться на кубы, при этом на первом шаге ребер у 27 кубиков будет 27×12=324. При n=2 добавляются 26 кубиков с ребрами длины 3, т.е. 26×12=312< 324. На шаге n, образуется 312 новых ребер длины 3n-1.


c:\users\елена генадьевна\desktop\картинка-математика.jpg

Всероссийская олимпиада школьников по математике

(муниципальный этап)

2014-2015 учебный год
Каталог: wp-content -> uploads -> 2014
2014 -> "Сапсан" Авиационное и радиоэлектронное оборудование планера
2014 -> Руководство по летной эксплуатации Планера л-13 «Бланик» содержание предисловие 3 подготовка к взлету 3
2014 -> Учебный курс. Конструкция и эксплуатация планера л-13 «Бланик» Тема №1 «Общая характеристика и основные данные планера» Общая характеристика и основные данные планеров
2014 -> Виктор гончаренко
2014 -> Авиационно-технический спортивный клуб "Сапсан" Эксплуатация серийных планеров


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница