Закон больших чисел




Скачать 28.89 Kb.
Дата23.07.2016
Размер28.89 Kb.

Глава 5. Закон больших чисел.


Математические законы теории вероятностей получены на основе закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Наличие этих закономерностей связано либо с большим числом испытаний, либо с большим числом связанных между собою явлений.

При большом числе случайных явлений их средний результат перестает быть случайным и может прогнозироваться с большой степенью определенности. Именно, устойчивость средних характеристик представляет собой содержание закона больших чисел.



5.1. Лемма и неравенство Чебышева.

Рассмотрим случайную величину X, принимающую только неотрицательные значения и имеющую математическое ожидание . Тогда лемма Чебышева утверждает, что для любого положительного числа А верно неравенство



(5.1.1).

Так как события и противоположны, то



(5.1.2).

Пример 5.1.1. Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 20 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 50 тыс. руб., равна . оцените число вкладов этого банка.

Решение. Пусть X – размер случайно взятого вклада, а n – число вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада (тыс. руб.). Согласно неравенству (5.1.2)



.

Так как по условию , то и . Таким образом, число вкладчиков не более 2000.

Если случайная величина Х имеет математическое ожидание , и дисперсию , то справедливо неравенство Чебышева.

, (5.1.3) утверждающее, что вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания ограничена сверху.

Неравенство Чебышева можно записать в форме



, (5.1.4).

В форме (5.1.3) оно устанавливает верхнюю границу, а в форме (5.1.4) – нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.



Пример 5.1.2. Вероятность выхода стандартной детали 0,96. Оценить вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 70 до 90.

Решение. Так как - число бракованных деталей, имеет биномиальное распределение и - вероятность брака, то и .

Так как интервал симметричен относительно , то . Для оценки этой вероятности используем (5.1.14).

Тогда .



Пример 5.1.3. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более . ( - среднеквадратическое отклонение).

Решение. Учитывая, что , то по формуле (5.1.4)



.

Напомним, что для нормального распределенной случайной величины нижняя граница вероятности равна 0,9973. Таким образом, правило применимо для большинства случайных величин.



5.2. Теория Чебышева.

Рассмотрим случайную величину . Пусть над этой величиной производится независимых испытаний, в каждом из которых она может принять значения .

Совокупность ее возможных значений представляет собой набор независимых и одинаково распределенных случайных величин. Рассмотрим среднее арифметическое этих величин:

, где , .

Как следует из теоремы Чебышева, при достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к , т.е. для любого



(5.2.1).

Теорема Чебышева следует из неравенства Чебышева, применимого к случайной величине Y:



(5.2.2) или, замещая , , имеем

. (5.2.3)

Теорема Чебышева обобщается на случай независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями:



, ,…, .

Тогда


, (5.2.4), где .

Теорема Чебышева в форме (5.2.3) и (5.2.4) имеет большое практическое значение в теории измерений.



Пример 5.2.1. Сколько надо провести измерений данной величины. чтобы с вероятностью 0,9 гарантировать отклонение средней арифметической измерений от истинного значения не более, чем на 3, если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 6?

Решение. Пусть - результат того измерения и для любого .

Необходимо найти , при котором

.

По условию и . Тогда, используя (5.2.4), получим



.

Откуда . Следовательно, потребуется не менее 28 измерений.





База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница