Задача Дирихле. Интеграл Пуассона Уравнение Лапласа в декартовых и в полярных координатах




Скачать 89.95 Kb.
Дата03.06.2016
Размер89.95 Kb.
Тема 3

Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Задача Дирихле.

Интеграл Пуассона
Уравнение Лапласа в декартовых и в полярных координатах

Введем обозначение

u=

и рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными u=0 в некоторой ограниченной области на плоскости Oxy. Это уравнение называется уравнением Лапласа на плоскости Oxy. В этой теме нам понадобится уравнение Лапласа в новых (полярных) координатах. Пусть точка (x, y) на плоскости Oxy имеет полярные координаты (r, ).

Рис. 3.1

Если полярный полюс расположить в начале декартовых координат О,

а полярную ось совместить с положительным направлением оси Ох (Рис. 3.1), то координаты (x, y) и (r, ) будут связаны соотношениями x=rcos, y=rsin. Поэтому

По правилу дифференцирования сложной функции



Следовательно,



Используя еще раз правило дифференцирования сложной функции,

запишем:

Вычислив эти частные производные второго порядка и выразив их

через новые переменные r и , подставим их в левую часть уравнения Лапласа ( предлагается провести эти выкладки самостоятельно).

Это приведет нас к уравнению Лапласа в полярных координатах:



Гармонические функции
Пусть G — некоторая ограниченная открытая область на плоскости Oxy.

Обозначим через G границу области G. Граница области предполагается достаточно гладкой. Замкнутая область

Функция u(x, y) называется гармонической в области G, если она непрерывна в замкнутой области как функция двух переменных x, y и в открытой области G удовлетворяет уравнению Лапласа.

Отметим несколько важных свойств гармонических функций.



Свойство 1 (Принцип максимума). Гармоническая функция u(x, y), отличная от постоянной, не может в какой-нибудь внутренней точке области G принимать значение, равное наибольшему или наименьшему ее значению в области.

Свойство 2 (Теорема о среднем значении). Значение гармонической внутри некоторого круга К функции u(x, y) в центре круга К равно среднему значению функции u(x, y) в круге К.

Если К — круг с центром в начале декартовых координат радиуса R, то

по свойству 2



Свойство 3 (Теорема Лиувилля). Гармоническая на всей плоскости Oxy функция u(x, y) не может быть ограниченной сверху или снизу, если она не является постоянной.
Стационарное распределение температуры в плоской пластинке
На плоскости Oxy рассмотрим тонкую однородную пластинку (ее толщиной мы пренебрегаем), часть границы которой подогревается. В пластине возникает температурное поле, причем температура меняется при переходе от одной точки пластинки к другой и от одного момента времени к другому. Если же температурный процесс установился во времени, то температура стала зависеть только от координат x, y точки данной пластины. В этом случае мы имеем стационарное распределение температуры в данной пластинке. Введем функцию u=u(x, y) — температуру пластины в точке

(x, y). Можно показать, что функция u(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа u=0. Это уравнение имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества решений выбрать одно, будем считать, что на границе области температура u(x, y) известна:



(1)

где f(x, y) — функция, непрерывная на границе G области G.

Соотношение (1) называется краевым условием.

Значит, надо решить следующую краевую задачу:



(2)

Эта задача называется задачей Дирихле для уравнения Лапласа в области

G. Часто ее называют еще первой краевой задачей для уравнения Лапласа.

Мы теперь предположим, что пластинка G имеет форму круга с центром в начале координат радиуса R и решим задачу Дирихле в этом случае.


Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье
Поставим задачу Дирихле: найти гармоническую в круге G функцию,

которая равна некоторой известной функции на границе этого круга.

Прежде чем решать эту задачу, перейдем к полярным координатам.

Задача (2) ставится теперь так: найти гармоническую в круге G функцию

u(r, ), которая в открытом круге удовлетворят уравнению Лапласа
(3)

а на границе этого круга u(r, ) удовлетворяет краевому

условию

u(R, )=f() (4)



с известной непрерывной на окружности функцией f().

Решим поставленную краевую задачу методом Фурье. Для этого представим функцию u(r, ) как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных r, :

u(r, )=(r)Ф(). (5)

Выразим частные производные от функции u(r, ), входящие в левую часть уравнения (3), через производные функций (r) и Ф(), воспользовавшись

соотношением (5):

Придем (поскольку мы хотим, чтобы функция u(x, y) была решением уравнения (3)) к тождеству

(r)Ф()+(1/r)(r)Ф()+(1/r2)(r)Ф()0.

Перепишем это тождество в следующем виде:



Каждая из дробей, стоящих в левой и правой частях этого тождества, является величиной постоянной. Обозначим




Постоянную  нам предстоит найти. Приравняем к - сначала левую часть тождества, а затем – правую; получим уравнения

(6)

Уравнение Ф()+Ф()=0 имеет общее решение



(7)

где А и В — произвольные постоянные. По смыслу задачи функция Ф()

должна быть периодической с периодом 2. Поэтому должен быть

целым числом. Не нарушая общности, можно считать, что этот корень может принимать значения n=0, 1,2,…, так что =0, 1, 4,…, n2,… Тогда выражение (7) перепишется в виде



При n=0 Фn=A0.

(Покажите, что при <0 функция  не может быть периодической).

Второе из уравнений (6) перепишем с учетом того, что = n2:



Найдем решение этого уравнения в виде (r)=r. Показатель  нам пока не известен. Имеем Подставим выражения для функции  и ее производных в дифференциальное уравнение



получим тождество Отсюда 2-n2=0.

Это уравнение имеет бесконечное число решений

Случаи n=-1, -2,… нас не устраивают, т.к. мы ищем функцию, которая, в частности, должна быть непрерывна в данном круге. Итак, возьмем

n=rn, n=0, 1, 2,… Отсюда


Как использовать краевое условие (4)?

Как и в случае решения методом Фурье задачи о свободных поперечных колебаниях струны, составим ряд



Как и там, примем, что этот функциональный ряд сходится. Обозначим его сумму через u(r, ). Как и в теме 1, не доказывая, будем считать, что

u(r, ) (сумма бесконечного числа решений уравнения u=0) — решение уравнения u=0.Эта функция и окажется решением поставленной задачи Дирихле при тех значениях коэффициентов An и Bn , которые мы найдем, воспользовавшись краевым условием. При r=R имеем:

Таким образом, мы получили, что известная функция f() разложена в тригонометрический рад Фурье на интервале [0, 2]. Поэтому RnAn и

RnBn — коэффициенты Фурье. Значит, их можно найти по формулам

(8)
Итак, мы решили задачу Дирихле в круге. Ее решением является функция
----------------------------------------------------------------------------------------------

| (9) |

| где коэффициенты An , Bn находятся по формулам (8). |

| |


Мы сейчас, пользуясь выражениями (8) для коэффициентов, преобразуем

ряд, в виде которого представлена функция u(r, ), в интеграл по отрезку

[0, 2] от произведения функции f(), заданной на окружности r=R,

на некоторую функцию, зависящую от R, r и . Для этого нам понадобится



формула Эйлера, хорошо известная в теории функций комплексной переменной:

(10)

Прежде чем воспользоваться этой формулой, подставим значения коэффициентов из формул (8) в выражение (9) для функции u(r, ).

Получим:

(11)
Преобразуем ряд, стоящий в формуле (11) под знаком интеграла, воспользовавшись формулой Эйлера (10). Сначала положим -= и рассмотрим ряд Из формулы (10) следует, что

где через Re(ein) обозначена действительная часть комплексного числа

ein. Можно проверить, что (12)

Здесь в квадратных скобках стоит сумма ряда, каждый последующий член которого получается из предыдущего умножением на По аналогии с

равенством в области действительных чисел

в нашем случае получаем, что (13)

Сделаем, используя формулу Эйлера, следующее преобразование

где точками обозначена мнимая часть числа Имеем



(14)

Объединяя (11)-(14), получим решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге уже в виде интеграла:


Этот интеграл носит название интеграла Пуассона.

Литература та же, что и в теме 1.


Лаплас Пьер Симон (1749-1827) — французский математик. В 1766г. стал профессором Парижской военной школы. Наиболее известны его труды «Механика неба» и «Аналитическая теория вероятностей». Он показал, что закон всемирного тяготения полностью объясняет движение планет, занимался изучением колец Сатурна , теорией движения спутников Юпитера. Лаплас доказал в теории вероятностей теорему о пределах, которая теперь носит его имя. Его деятельность в области физики привела к значительному развитию экспериментальной физики.
Дирихле Петер Густав Лежён (1805-1859) — немецкий математик. В 1831г. стал профессором Берлинского университета и одновременно преподавал в военном училище.

В 1855г. приглашен в Геттингенский университет. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике. Дирихле показал большую роль анализа и теории аналитических функций для решения проблем теории чисел. Дирихле впервые дал точное доказательство сходимости рядов Фурье, известное как признак Дирихле.

)

Пуассон Симеон Дени(1781-1840) — французский физик и математик. Обучался в Политехнической школе в Париже, затем там преподавал. В 1806г. назначен почетным профессором Политехнической школы, а в 1809г.– профессором Сорбонны. В 1812г. избран членом Парижской академии наук. В 1816г. Пуассон возглавил кафедру теоретической механики Парижского университета. В 1826г. избран членом Петербургской академии наук. Он написал свыше 300 работ. Они касались, в частности, вопросов устойчивости солнечной системы, теории упругости, гидромеханики, электростатики и магнетизма. Остаются актуальными его работы по теории определенного интеграла, теории дифференциальных уравнений с частными производными и по теории вероятностей. Его «Трактат механики», отличаясь ясностью и доступностью изложения, долгое время считался лучшим учебником по механике.
Лиувилль Жозеф (1809-1882) — французский математик. Систематически исследовал разрешимость ряда задач, дав строгое определение понятию элементарной функции и квадратуры. В частности, исследовал возможность интегрирования заданной функции, алгебраической или трансцендентной, в элементарных функциях, и разрешимость в квадратурах линейного уравнения 2-го порядка. В честь Лиувилля был назван ряд математических теорем.

Эйлер Леонард (1707- 1783 — российский ученый швейцарского происхождения. Л.Эйлер — выдающийся математик XYIII столетия. Он был также известным физиком и астрономом. Его труды оказали огромное влияние на развитие этих наук. Стимулом в развитии тех или иных областей математики явились для Эйлера в значительной мере естественные науки

, в особенности механика и техника. Главное его произведение — «Введение в анализ бесконечно малых». Почти все, что в настоящее время изучается по высшей алгебре и математическому анализу, включено в этот труд. Эйлер ввел в математику обозначение чисел «e» и «»,

комплексные переменные. Эйлер был членом Петербургской академии наук и руководил кафедрой физиологии. Некоторое время он жил и работал в Берлине.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница