«вписанная и описанная окружности»




Скачать 33.75 Kb.
Дата05.06.2016
Размер33.75 Kb.
ТЕМА: «ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ»

Вписанная окружность

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон.



В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.



Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны:

AB + CD = BC + AD.



Описанная окружность

Окружность описана около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.



Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.



Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны:

A + C = B + D.






Пример 1. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, если его катеты равны 24 и 10 см.

Дано: АВС – п/уг.;

АВ – гипотенуза;

АС = 24 см;

ВС = 10 см;

Окр. (О; r) – опис-я.




Найти: r - ?

Решение:

1) Если С – прямой, т. С лежит на окружности (треугольник вписанный)  АСВ – вписанный, опирается на полуокружность АВ (Следствие 2 из теоремы о вписанном угле)  АВ (гипотенуза) – диаметр описанной окружности  О  АВ, радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы;

2) АВС – прямоугольный, С – прямой, по теореме Пифагора:

АВ2 = АС2 + ВС2 = 576 + 100 = 676;

АВ = 26 (см);

3) r = AB = 13 (см).

Ответ: r = 13 см.



Пример 2. По данным рисунка найдите радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Дано: АВС – р/б;

АС – основ-е;

ВН – высота;

Окр. (О; r) – впис.;

АВ = 13 см;

АС = 10 см.





Найти: r - ?

Решение:

1) АВС – р/б, АС – основание, ВН – высота  ВН – биссектриса (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию)  О  ВН (центр вписанной в треугольник окружности);

2) Пусть ОН  АС, ОК, ON – радиусы вписанной окружности  ON  ВС, OK  АВ (радиусы, проведённые в точку касания, по свойству касательной), ОН = ON = OK;

3) АВС – р/б, АС – основание, ВН – высота  ВН – медиана (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию)  АН = НС = 5 см;

4) АВН – прямоугольный, по теореме Пифагора: АВ2 = ВН2 + АН2;

169 = ВН2 + 25;

ВН = 12 (см).

5) AK = AH = 5 см (свойство отрезков касательных)  ВК = 13 – 5 = 8 (см);

6) ОВК – прямоугольный (OK  АВ), ОК = OH  BO = BH – OH = 12–ОК;

По теореме Пифагора:

ВО2 = ОК2 + ВК2;

(12 – ОК)2 = ОК2 + 64;

144 – 24ОК + ОК2 = ОК2 + 64;

80 = 24ОК

ОК = (см).

Ответ: радиус вписанной окружности - см.


Пример 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием АВ = 6, если расстояние от центра описанной окружности до АВ равно 4.

Дано: АВС – р/б;

АВ – основ-е;

CD – высота;

Окр. (О; r) – опис-я.;

АВ = 6;

OD = 4.




Найти: SABC - ?

Решение:

1) СD – высота, проведённая к основанию равнобедренного АВС  СD – серединный перпендикуляр к АВ  О  CD;

2) О – центр описанной около равнобедренного АВС окружности  АО = СО = ВО – радиусы описанной окружности;

3) AOD – прямоугольный (CD – высота), AD = . По теореме Пифагора:

АО2 = AD2 + DO2 = 9 + 16 = 25;

AO = 5;

4) СD = OD + CO = 4 + 5 = 9;

5) .

Ответ: .


Пример 4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если боковая сторона трапеции 10 см, меньшее основание равно 4 см.

Дано: ABCD – р/б трап.;

BC, AD – основания;

Окр. (О; r) – впис.;

ВС = 4 см;

АВ = 10 см.




Найти: r - ?

Решение.

1) ABCD – р/б трап-я, ВС, AD – основания; Окр.(О; r) – впис-я  ОР = ОН = ОМ = ON = r, ОР  ВС, ОН  АD, ONAB, OMCD (по свойству касательной), РН – высота трапеции;

2) Окр.(О, r) – вписанная  АВ + СD = BC + AD (свойство четырёхугольника, в который вписана окружность);

20 = 4 + AD; AD = 16.



3) Проведем ВК, СЕ – высоты трапеции. АВК = CDE (прямоугольные, по гипотенузе (АВ = CD) и острому углу (А = D))  AK = ED.

ВСЕК – прямоугольник  ВС = ЕК = 4 (см);

АК = ED = (AD – EK) : 2 = (16 – 4) : 2 = 6 (см).

По теореме Пифагора (АВК):

АВ2 = АК2 + ВК2;

100 = 36 + ВК2;

ВК2 = 64;

ВК = 8 (см).



4) ВК = РН = 8 см, ОР = ОН = 4 см.

Ответ: радиус вписанной окружности – 4 см.

Задачи для самостоятельного решения:








База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница