Вопросы по курсу "Функциональный анализ"




Скачать 190.85 Kb.
Дата13.07.2016
Размер190.85 Kb.

Функциональный анализ. FAQ Страница из

Вопросы по курсу "Функциональный анализ"


Ответы на вопросы.

 Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su, http://alex.motor.ru)

Литература:

[1]. А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

[2]. А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа.

[3]. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе.


1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой


[1] стр. 73

Точка x0 называется предельной для множества Е, если любая ее окрестность содержит по меньшей мере одну точку x из E, отличную от x0. Если xoE, но не является предельной точкой, то она называется изолированной точкой E. Множество E' всех предельных точек Е называется производным множеством для Е. Если любая предельная точка Е принадлежит этому множеству (E'E), то множество Е называется замкнутым. Если E=E', то множество Е называется совершенным. Множество [E]=E+E' называется замыканием E. Точка x0 называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность x0, полностью лежащая в E. Множество Е называется открытым, если все его точки внутренние.



Теорема. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарное непересекающихся интервалов (при этом рассматриваются также "бесконечные" интервалы).

Следствие. Всякое замкнутое множество получается из прямой выбрасыванием конечного или счетного числа интервалов.

2. Внешняя мера и ее свойства


[1] стр. 293.

Определение. Внешней мерой*(A) множества А называется нижняя грань меры элементарных множеств, включающих множество А.

Свойства внешней меры.

1. (E1  E2 ) *(E1)  *(E2) (монотонность)

2. (E = Ek, kN)  (*(E)  *(Ek))

3. ((E1,E2)>0)  (*(E1E2) = *(E1)+*(E2))

3. Измеримые множества


[1] стр. 295.

Определение. Множество А называется измеримым по Лебегу, если для любого  > 0 найдется такое элементарное множество B, что *(A  B) < . Функция *, рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой .

4. Измеримость открытого множества, объединения счетного числа измеримых множеств, измеримость замкнутого множества.
5. Измеримость дополнения, пересечения счетного числа множеств


[1] стр. 295.

Теорема. Любое открытое множество измеримо, причем его мера равна сумме мер непересекающихся составляющих его интервалов.

Теорема. Дополнение измеримого множества измеримо.

Это следует из равенства (E\A)  (E\B) = A  B.



Теорема. Сумма и пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримые множества.

Теорема. Любое замкнутое множество измеримо.

6. Счетная аддитивность меры


[1] стр. 299.

Теорема (счетная аддитивность меры). Если {An} - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и A - объединение этих множеств, то (A)= (An).

Множество, представимое в виде пересечения конечного или счетного числа открытых множеств, называют множеством типа G. Множество, представимое в виде объединения конечного или счетного числа замкнутых множеств, называют множеством типа F.



Теорема. Если множество E измеримо, то существует множество E1 типа F и множество E2 типа G, такие, что E1EE2 и |E1|=|E2|=|E|.

7. Измеримые функции и их свойства


[1] стр. 323.

Определение. Пусть X и Y - два произвольных множества и в этих множествах выбраны системы подмножеств SX и SY соответственно. Функция f:XY называется (SX,SY)-измеримой, если для любого подмножества АSY его прообраз содержится в SX : f -1(A) SX.

Теорема. Суперпозиция измеримых функций измерима.

Теорема. Измеримость действительной функции f(x) эквивалентна измеримости любого из множеств {x | f(x) < c}, {x | f(x) > c}, {x | f(x)c}, {x | f(x)c} при любом сR.

Теорема. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций измеримы. Частное измеримых функций f и g измеримо, при условии, что g  0.

Определение. Говорят, что некоторое свойство A(x) выполнено почти всюду на E, если множество точек x', где A(x') не выполнено, имеет меру 0.

Определение. Функции f и g, заданные на измеримом множестве Е, называются эквивалентными, если {x | f(x)g(x)}. Иначе говоря, функции эквивалентны, если они равна на Е почти всюду.

Теорема. Если функция g измерима, а f ~ g, то функция f также измерима.

8. Измеримость предела измеримых функций


[1] стр. 326.

Теорема. Предел f(x) сходящейся при каждом xX последовательности fn(x) измеримых функций измерим.

9. Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и почти всюду


[1] стр. 330.

Определение. Говорят, что последовательность измеримых функций fn(x) сходится по мере к функции f(x), если для любого >0:

{x | f(x) - fn(x)  }  0 при n  .



Теорема (Лебег). Если последовательность измеримых на Е функций {fn(x)} сходится почти всюду на Е к некоторой предельной функции f(x), то она сходится к той же самой предельной функции по мере.

Теорема (Рисс). Пусть последовательность измеримых функций {fn(x)} сходится по мере к f(x). Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к f(x) почти всюду.

10. Интеграл Лебега. Свойства верхних и нижних сумм. Интегрируемость по Риману и Лебегу


[1] стр. 334.

Определение. Измеримая функция f(x) называется простой, если она принимает не более чем счетное число значений.

Теорема. Функция f(x), принимающая не более чем счетное число значений {yn} измерима  все множества An = {x | f(x) = yn} измеримы.

Теорема. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых функций.

Определение. Интегралом Лебега по множеству А от простой функции f(x) называется сумма ряда

I =  yn (An) , где An = {xA | f(x) = yn}.

Если данный ряд абсолютно сходится, то функция f(x) называется интегрируемой или суммируемой по мере  на множестве А.

Теорема. Если функция f(x) интегрируема на некотором отрезке [a;b] по Риману, то она также интегрируема и по Лебегу, причем интеграл Лебега равен интегралу Римана.

11. Свойства интеграла Лебега. Интегрируемость по Лебегу измеримой и
ограниченной функции


[1], стр. 339

Утверждение. Пусть функции рассматриваются на некотором множестве А. Тогда

  • I[1] = (A)

  • I[k f(x)] = k I[f(x)]

  • I[f(x) + g(x)] = I[f(x)] + I[g(x)] (аддитивность)

Причем из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой.

Утверждение (монотонность). Если интегрируемая на множестве А функция неотрицательна: f(x)  0, то I[f(x)]  0.

Утверждение. Если функции f(x) и g(x) эквивалентны, то I[f(x)] = I[g(x)], причем оба интеграла либо существуют, либо не существуют одновременно.

Утверждение. Если функция g(x) интегрируема на А и почти всюду | f(x) |  g(x), то f также интегрируема на А.

Утверждение. Интегралы I[f(x)] и I[|f(x)|] существуют или не существуют одновременно.

Теорема. Всякая ограниченная и измеримая на множестве конечной меры функция интегрируема на этом множестве.

12. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции




13. Счетная аддитивность интеграла Лебега


[1] стр. 341

Теорема. Если A= An, множества Аi попарно не пересекаются и ряд

сходится, то функция f интегрируема на А и



.

14. Интеграл Лебега от произвольной неограниченной функции




15. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла


[1] стр. 345

Теорема (абсолютная непрерывность). Если функция f(x) интегрируема на множестве А, то для каждого >0 найдется такое ()>0, что

для всякого измеримого e  A, такого что (e) < .

Теорема (Лебег). Если последовательность {fn(x)} на А сходится к f и при всех n:

|fn(x)|  g(x),

где g(x) интегрируема на А, то функция f(x) также интегрируема на А и

16. Теоремы Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла


Теорема (Леви). Пусть {fn(x)} - последовательность интегрируемых на множестве А функций, причем fn(x)fn+1(x) (т.е. при любом x последовательность неубывает), а интегралы этих функций ограничены в совокупности: | I[fn(x)] |  M. Тогда почти всюду на А последовательность {fn(x)} сходится к некоторой функции f(x), интегрируемой на А, причем I[fn(x)]  I[f(x)].

Теорема (Фату). Пусть {fn(x)} - последовательность неотрицательных интегрируемых на множестве А функций, сходится к некоторой функции f(x) почти всюду, а для интегралов выполнено неравенство I[fn(x)]  K. Тогда функция f интегрируема на A, причем возможен предельный переход в неравенстве: I[f(x)]  K.

17. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Лебегу
ограниченной функции


Теорема (Лебег). Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируема по Лебегу на множестве E  чтобы она была измерима на E.

18. Теорема Фубини


Теорема (Фубини). Интеграл от интегрируемой на D=[a;b]x[c;d] функции двух переменных f(x,y) может быть сведен к повторному:

.

19. Классы Lр. Неравенства Гельдера и Минковского


Определение. Функции f(x) , для которых функция |f(x)|p измерима и интегрируема на E, составляют линейное пространство Lp(E). В пространстве Lp вводится норма:

|| f ||p = .



Утверждение. Для функций f  Lp, g  Lq (1/p+1/q=1,p>1,q>1) выполняется неравество Гельдера:

.

Утверждение. Для функций f,g  Lp (p1) выполняется неравенство Минковского:


20. Полнота пространства Lр.


Теорема. Для измеримого множества E и p1 пространство Lp(E) является полным.

21. Плотность непрерывных функций в Lр.


Теорема. Для любого измеримого ограниченного множества ER, множество C(E) непрерывных функций, заданных на E, плотно в Lp(E).

22. Непрерывность в метрике Lр.


Теорема. Для любого измеримого ограниченного множества ER, любая функция fLp(E) непрерывна по норме пространства L, т.е.

 =()>0: ||f(x+h) - f(x)||Lp <  при |h| < .


23. Нормированные пространства. Основные определения и простейшие свойства


Нормированным пространством называется линейное векторное пространство с нормой. Последовательность {xn} в нормированном пространстве X сходится к x сильно (по норме), если || xn - x ||  0.

Полное нормированное пространство называется банаховым (или B-пространством). Примеры банаховых пространств: Rn, C[a;b], Cm[a;b], Lp(E), lp.



Оператор A:XY называется непрерывным в точке xX, если для любой последовательности {xn}, сильно сходящейся x, последовательность {yn=Axn} сильно сходится к элементу y = Ax.

Теорема. Если линейный оператор непрерывен в какой-либо точке x0 пространства X, то он непрерывен на всем пространстве X.

24. Линейные ограниченные операторы


Линейный оператор A:XY называется ограниченным, если существует постоянная M>0, такая что ||Ax||Y  M||x||X. Наименьшая константа M, удовлетворяющая этому неравенству называется нормой оператора А: ||A|| = M.

Теорема. Ограниченность линейного оператора эквивалентна его непрерывности.

25. Теорема о том, что пространство операторов {A:ХY} банахово, если Y -банахово


Утверждение. Множество линейных операторов L={A:ХY} c нормой ||A||, является нормированным линейным пространством.

Теорема. Если пространство Y - банахово, а X - произвольное линейное нормированное, то пространство операторов L={A:ХY} является банаховым.

Следствие. Сопряженное пространство X*={G:XR} всегда банахово, т.к. R банахово.

26. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия


Теорема (Банах-Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности). Пусть X,Y - банаховы пространства, а {An} - последовательность операторов из L={A:ХY}. Если для любого xX последовательность ||Anx|| ограничена, то последовательность ||A­n|| также ограничена.

27. Теорема Неймана об обратном операторе (I-А)-1


Обратным к оператору А:XY называется оператор A-1 , такой, что (Ax = y)  (A-1y = x). Оператор, для которого (на всем Y) существует обратный, называется обратимым. Оператор, обратный к линейному, также является линейным.

Теорема. Пусть А:XY - линейный ограниченный оператор. Если существует постоянная m>0, такая что ||Ax||  m||x|| для xX, то для А существует ограниченный обратный оператор A-1.

Теорема (Нейман). Пусть на пространстве X задан линейный оператор A:XX, причем ||A||=q<1. Тогда (I - A) имеет ограниченный обратный оператор (I - А)-1.

28. Теорема Банаха об обратном операторе


[1] стр. 259.

Теорема. Пусть линейный ограниченный оператор А: EE1 задает взаимно однозначное соотвествие пространств E и E1. Тогда существует ограниченнй обратный оператор (A-1).

Определение. Множество X, представимое в виде суммы конечного или счетного числа нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории. Все остальные множества называются множествами второй категории.

Лемма (Бэр). Всякое полное множество есть множество второй категории.

Лемма. Пусть на банаховом пространстве X определен линейный оператор A:XY. Определим систему множеств Xn={xX | ||Ax||  n||x||}. Тогда пространство X есть объединение множеств Xn, причем среди этих множеств найдется хотя бы одно, всюду плотное в X.

29. Теорема Хана-Банаха и ее следствия


Теорема (Хан-Банах). Пусть p - однородно-выпуклый функционал, определенный на линейном пространстве L над R, и пусть L0 - линейное подпространство в L. Если f0 - линейный функционал на L0, подчиненный p, т.е. на L0 выполнено неравенство || f0(x) ||  p(x), то f0 может быть продолжен до линейного функционала, подчиненного f на всем L.

30. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах


[1], стр. 215.

В гильбертовом пространстве H: G(x) = (g,x), gH.



Теорема (Ф. Рисс). В пространстве C[a;b] всякий непрерывный линейный функционал представляется в виде F(f) = , где (x) - функция с ограниченным изменением.

В пространстве lp : F(x) = , где f={fn}lq (1/q+1/p=1).

В пространстве Lp[a;b]: F(f) = , где h(t)Lq (1/q+1/p=1).

31. Слабая сходимость


Последовательность {xn} элементов линейного топологического пространства E называется слабо сходящейся к x0, если для любого непрерывного функционала g(x):ER последовательность {g(xn)} сходится к g(x0).

Утверждение. Если последовательность слабо сходится, то она ограничена.

Утверждение. Всякая сильно сходящаяся последовательность сходится и слабо.

Теорема. Последовательность {xn} из пространства X сходится сильно  последовательность {f(xn)} сходится равномерно на единичном шаре в X*, т.е. на множестве функционалов f , таких что ||f||  1.

32. Гильбертовы пространства, основные определения и свойства


Евклидовым называется линейное вектороное пространство со скалярным произведением. Скалярное произведение задает евклидову норму: || x || = (x, x)1/2.

Два вектора называются ортогональными (xy), если (x,y) = 0.

Полное бесконечномерное евклидово пространство H называется гильбертовым.

Примеры: l2, L2.



Утверждение. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны между собой, и изоморфны пространству l2.

Неравенство Коши. | (x,y) |  || x ||  || y ||.

Равенство параллелограмма. ||x + y||2 + ||x - y||2 = 2(||x||2 + ||y||2).

Утверждение. Норма удовлетворяет равенству параллелограмма  ее можно задать с помощью скалярного произведения.

Теорема. Замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве содержит один и только один элемент с минимальной нормой.

33. Теорема Б.Леви о прямой сумме подпространств


Теорема (Леви). Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство L. Каждый элемент xH может быть единственным образом представлен в виде x = y + z, где yL, а zx, т.е. zL. При этом ||x - y|| = min {||x - u||, uL}.

Таким образом, H = LL.


34. Теорема Рисса-Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве


Теорема. Всякий линейный функционал G в гильбертовом пространстве H записывается в виде скалярного произведения: G(h) =(g,h), где g - фиксированный вектор из H, однозначно определяемый функционалом G, причем ||g||=||G||.

35. Ортонормированные системы, полнота и замкнутость


Подпространством, порожденным системой векторов {n}, называется наименьшее (по включению) подпространство, содержащее {n}. Система элементов {n} евклидова пространства E называется полной, если не существует ненулевого элемента x, ортогонального всем элементам {n}, т.е. если {(n: xn)  (x=0)}. Эта система называется замкнутой, если порожденное {n} замкнутое подпространство есть все E.

Система векторов {n} в евклидовом пространстве R называется ортонормированной, если (i,j) = ij. Если система {n} при этом полна, то она называется ортонормированным базисом в R.



Утверждение. В сепарабельном евклидовом пространстве всякая ортогонормированная система не более чем счетна.

Утверждение. Всякую ЛНЗ систему векторов можно перевести в ортонормированную с помощью процедуры Шмидта.

Утверждение. В гильбертовом пространстве полнота системы векторов эквивалентна ее замкнутости.

36. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля


Пусть {k} - ортонормированная система векторов в гильбертовом пространстве H, a f - произвольный вектор. Числа ck=(f, k) называются коэффициентами Фурье, а ряд ckk называется рядом Фурье для f.

Утверждение. Коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенству Бесселя: . Если система {k} при этом является полной, то это неравенство переходит в равенство Парсеваля, а ряд Фурье сходится к элементу f.

37. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве


Теорема. В сепарабельном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

38. Изометрия и изоморфизм сепарабельного гильбертового пространства




39. Теорема Рисса-Фишера


Теорема. Пусть {n} - произвольная ортонормированная система в полном евклидовом пространстве H и пусть числа {ci} таковы, что ряд сходится. Тогда существует такой вектор f  H , что ck=(f , k), а || f ||2 = .

40. Сопряженный оператор и его свойства


Сопряженным для оператора A:XY называется оператор A*:Y*X*, такой, что равенство G(Ax) = [A*G](x) выполняется для любого функционала GY* и любого xX.

Примеры. Для оператора A=||aij|| в Rn, сопряженный есть A*=||aji||. В произволном гильбертовом пространстве: (g,Ax)=(A*g,x).



Теорема. Оператор A*, сопряженный к ограниченному линейному оператору A, также является ограниченным линейным, причем ||A*|| = ||A||.

41. Вполне непрерывные операторы и их свойства


[1] cтр. 272.

Линейный оператор A:XY (X,Y - банаховы пространства) называется вполне непрерывным (или компактным), если всякое ограниченное множество он переводит в предкомпактное.



Примеры.

1) Оператор, переводящий банахово пространство в некоторое конечное подпространство компактен.

2) Оператор A, определенный на пространстве l2 следующим образом:A(x1,x2,…,xn,…)=(x1, x2/2,…,xn/n,…) - компактен.

3) В пространстве C[a;b] важный класс компактных операторов образуют операторы, представимые в виде Ax = y(s) = (функия K(s,t) ограничена, а ее точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных кривых).

4) Единичный оператор I в бесконечномерном банаховом пространстве не является компактным.

Теорема. Компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

Теорема. Оператор, сопряженный к компактному, компактен.

Теорема. Если оператор А компактен, а оператор B ограничен, то операторы AB и BA компактны.

42. Слабая компактность гильбертового пространства


Теорема. В сепарабельном гильбертовом пространстве из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

43. Теория Фредгольма уравнения (I-А)*х = f, А - вполне непрерывный оператор. Подготовительные леммы.


Уравнение Фредгольма второго рода:

или x = Ax + f.

(Оператор A:L2 L2 называется оператором Фредгольма.) При этом f,x L2[a;b], а функция K, называемая ядром уравнения, принадлежит классу L2 на квадрате a t, s  b.

Уравнение Фредгольма можно переписать в виде Lx = f, где L=(I - A) - компактный оператор. Если f  0, уравнение называется однородным.

Лемма. [Im(L)]= Im(L), т.е. Im(L) является закнутым подпространством.

Лемма. Гильбертово пространство H представляется в виде прямой ортогональной суммы: H = Ker(L)  Im(L*), H = Im(L)  Ker(L*).

Обозначим O = {0}.



Лемма. (Ker(L) = O)  (Im(L) = H); (Ker(L*) = O)  (Im(L*) = H).

Лемма. (Im(L) = H)  (Ker(L) = O); (Im(L*) = H)  (Ker(L*) = O).

44. Три теоремы Фредгольма


Теорема I. Неоднородное уравнение Lx = f разрешимо  правая часть f ортогональна любому решению неоднородного уравнения Lx = 0, т.е. f  Ker(L).

Теорема II (альтернавтива Фредгольма). Либо неоднородное уравнение имеет единственное решение при любой правой части, либо однородное уравнение имеет ненулевое решение.

Теорема III. Однородное уравнение Lx = 0 и сопряженное однородное уравнение L*y = 0 имеют одинаковое и конечное число линейно независимых решений.

45. Спектральная теория линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Спектр, резольвента, их свойства. Тождества Гильберта, функции от оператора


Пусть на банаховом пространстве X задан линейный оператор A:XX. Резольвентным множеством для A называется множество (A)C чисел  (регулярных значений), для которых оператор (A-I)-1 (резольвента А) определен на всем А и ограничен. Спектром A называется множество (A) = C\(A). Число  называется собственным значением A, если Ker(A-I)O, а всякий ненулевой вектор x из Ker(A-I) называется собственным вектором, отвечающим данному .

Теорема. Резольвентное множество оператора открыто, а спектр замкнут.

Теорема. Спектр оператора А ограничен: sup |(A)| = r  A, где величина r, называемая спектральным радиусом оператора, определяется как r = . Если ||>r, то резольвента как операторная функция разлагается в ряд Лорана: R(,A) = .

Тождество Гильберта. Пусть , (A). Тогда R(,A) - R(,A) = (-)R(,A)R(,A).

Обозначим через F(A) - множество операторных функций, аналитичных (т.е. разлогающихся в ряд Лорана) в окрестности (A).



Теорема. Для любых двух аналитичных операторных функций f, gF(A), любых двух чисел ,  C:

1) аналитичны их линейная комбинация и суперпозиция: f + g F(A), f gF(A);



2) если ряд f() = kk сходится в некоторой окрестности (A), то f(A) = kAk .

46. Спектральная теория вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве


Пусть A:HH - вполне непрерывный (компактный) оператор на гильбертовом пространстве H.

Теорема. Число 0 входит в спектр A.

Теорема. Ненулевые элементы спектра A являются собственными значениями конечной кратности.

Теорема. При любом >0 оператор А имеет лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающим собственным значениям, по модулю превосходящим .

Теорема. 0 - единственная возможная предельная точка спектра А.

47. Спектральная теория самосопряженных операторов


Пусть оператор A:HH в гильбертовом пространстве H является самомопряженным, т.е. (Ax,y)= (x,Ay) для любых двух векторов x, y.

Теорема. (А - самосопряженный)  (||A|| = ).

Теорема. (А - самосопряженный)  (величина (Ax,x) является действительным числом при любом x)

Теорема. Собственные вектора, отвечающие различным собственным значениям А, ортогональны.

48. Спектральная теория вполне непрерывных самосопряженных операторов. Существование собственных значений


Пусть А - самосопряженный оператор. Обозначим m(A) = , M(A) = .

Теорема. Спектр (A) компактного самосопряженного оператора А лежит на отрезке [m(A);M(A)] .

Теорема. Самосопряженный компактный оператор имеет хотя бы одно собственное значение, равное его норме:  = ||A||.

49. Теорема Гильберта-Шмидта, формула Шмидта


Обозначим через ek нормированный собственный вектор, отвечающий собственному значению k.

Теорема (Гильберт-Шмидт). Пусть А - компактный, самосопряженный оператор. Тогда для любого xIm(A) справедливо представление в виде сильно сходящегося ряда Фурье = x.


 Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница