Волны. Общие понятия



страница1/6
Дата16.06.2016
Размер1.68 Mb.
  1   2   3   4   5   6
Волны.

Общие понятия.
Если в каком-нибудь месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, в среде будут распространяться колебания. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Волны - изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Наиболее важные и часто встречающиеся виды волн - упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Частными случаями упругих волн являются звуковые и сейсмические волны, а электромагнитных - радиоволны, свет, рентгеновские и другие излучения.

Скорость распространения волны нельзя связывать со скоростью движения материальных частиц среды, в которой распространяется волна. Скорость волны представляет собой скорость распространения в пространстве определённой фазы колебаний. Поэтому скорость волны принято называть фазовой скоростью. Скорость волны определяется главным образом упругими свойствами среды, в которой она распространяется. От упругих свойств среды зависит и вид волны. Наиболее распространёнными являются предельные и поперечные волны.



Поперечная волна - волна, направление распространения которой ортогонально траекториям колеблющихся точек среды.

Поперечные волны возникают в средах, в которых при сдвиге какого-либо слоя возникают упругие силы (по закону Гука). Такими свойствами обладают в основном твёрдые тела.



Продольная волна - волна, направление распространения которой коллинеарно траекториям колеблющихся точек среды. Продольные волны наблюдаются в тех средах, где возникают упругие силы при сжатии или растяжении: это жидкости или газы. Продольные волны могут возникать и в твёрдых телах . Длина волны – λ, период – Т, частота – ν.

Основное свойство всех волн независимо от их природы состоит в том, что в волах осуществляется перенос энергии без переноса вещества. Перенос вещества может иметь место как побочное явление Бегущая волна (волна) - распространение возмущения в среде с некоторой определённой скоростью. Величину, служащую мерой состояния среды (перемещение, напряжение, деформацию и т.д.) в случае постоянной скорости волны можно представить в виде функции где q – пространственная координата, вдоль которой происходит распространение волны, t – время, c – постоянная скорость распространения волны.



Гармоническая волна - волна, при которой все точки среды совершают гармонические колебания. В зависимости от направления колебания частиц по отношению распространения волны различают продольные и поперечные волны.

Волновая поверхность гармонической волны - односвязная поверхность в среде, представляющая собой геометрическое место синфазно колеблющихся точек среды при гармонической бегущей волне.

Фронт волны - самая далекая (в данный момент времени) волновая поверхность, куда дошла волна к этому моменту времени. В зависимости от вида односвязной поверхности волны бывают плоские, цилиндрические и сферические.

Плоская волна - волна, фронт которой представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны.

Цилиндрическая волна - волна, фронт которой представляет собой цилиндрическую поверхность с радиусом, совпадающим с направлением распространения волны.

Сферическая волна - волна, фронт которой представляет собой сферическую поверхность с радиусом, совпадающим с направлением распространения волны.

Принцип Гюйгенса.

Для решения различных задач важно знать метод построения фронта волны в некоторый момент времени, если известен фронт волны в предыдущий момент времени, т.е. решить задачу о распространении волнового фронта. Такой метод предложил Гюйгенс. Он носит название принципа Гюйгенса.



Каждая точка среды, до которой доходит возбуждение, является в свою очередь центром вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение к этому моменту фронта действительно распространяющейся волны.






Уравнение плоской и сферической волн.

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы в любой момент времени:

Функция  должна быть периодической и относительно координат, и относительно времени. Найдем вид функции  в случае плоской волны. Предполагая, что колебания частиц среды носят гармонический характер.

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости

= 0, описываются уравнением:

 Найдём вид уравнения, описывающего

 колебания точек, лежащих в произвольной

плоскости . Для того чтобы пройти путь от

 плоскости до плоскости 

Рис.1 гармонической волне нужно время  .

Колебания частиц среды, лежащих в плоскости  будут отставать на время  от колебаний частиц, лежащих в плоскости 


Зафиксируем некоторое положение фазы гармонической волны.



Продифференцируем (1) по времени:

Отсюда:  - фазовая скорость.



Фазовая скорость - скорость распространения поверхности
равной фазы для монохроматического излучения. Монохроматическим называется излучение, которое с достаточным приближением может быть охарактеризовано одним значением частоты (длины волны, волнового числа). Введём величину  волновое число, которое является модулем волнового вектора. Волновой вектор  - вектор, направление которого совпадает с направлением распространения бегущей волны. В изотропных средах вдоль волнового вектора направлены групповая скорость и плотность потока энергии. Групповая скорость - скорость распространения характерной точки на огибающей группы волн, близких по частоте. Физический смысл - групповая скорость совпадает со скоростью

переноса энергии излучения группой волн.

; 

Здесь: λ – длинна волны,  – фазовая скорость, которая зависит от частоты.

Длина гармонической волны(длина волны) – расстояние между двумя соседними частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе)

Длина волны связана с периодом колебаний и фазовой скоростью распространения волны в данном направлении соотношением: размерность и

единица длины волны

 .

размерность и единица волнового вектора и волнового числа

[.

следовательно, уравнение плоскости гармонической волны (одномерной): , 
Уравнение сферической волны: 

Уравнение (2) для облегчения решений многих задач можно записать в другом виде, воспользовавшись формулой Эйлера: и положив 



Для волны, распространяющейся в любом направлении (случай плоской волны): .

Или

Где  - радиус – вектор,  - волновой вектор, - единичный вектор нормали к волновой поверхности.



где

направляющие косинусы.


Волновое уравнение.

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения,



которое называется:

или

где  - оператор Лапласа.

Для гармонических волн справедливо



Стоячие волны.

Если в упругой среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц этой упругой среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности - принцип суперпозиции волн.



Стоячая волна - состояние среды, при котором расположение максимумов и минимумов перемещений колеблющихся точек не меняется во времени. Стоячую волну можно рассматривать как результат наложения двух одинаковых бегущих волн, распространяющихся навстречу одна другой.

Стоячая волна - периодическое или квазипериодическое во времени синфазное колебание с характерным пространственным

распределением амплитуды - чередованием узлов и пучностей (максимумов). В линейных системах стоячая волна может быть представлена как сумма двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу. Простейший пример стоячей волны - плоская звуковая стоячая волна внутри наполненной воздухом трубы (например, органной) при закрытом (с идеально твердой стенкой) и открытом концах. Пусть две плоские волны с одинаковыми амплитудами распространяются одна в положительном направлении, другая в отрицательном направлении оси Х. пусть начальные фазы равны нулю:

Уравнения волн соответственно будут:

Найдём результирующую волну:



Здесь учтено, что:



Возникающее результирующее колебание с амплитудой  и есть стоячая волна. Амплитуда стоячей волны достигает максимального значения в точках, удовлетворяющих условию:

Отсюда  – координаты пучности стоячей волны.

Пучность колебаний (пучность) - точка среды в стоячей волне, в которой размах перемещений имеет максимум. Совокупность таких точек может образовывать линию пучности и поверхность пучности.

Амплитуда стоячей волны обращается в ноль в точках:

 - узлы волны.

Узел колебаний (узел) - неподвижная точка среды в стоячей


волне. Совокупность таких точек может образовывать узловую
линию и узловую поверхность.

Энергия волны.

Пусть волна распространяется вдоль оси  и задана уравнением:



Энергия участка среды, в котором распространяется волна, складывается из кинетической энергии  и потенциальной энергии . Пусть объем участка среды  , масса  , скорость смещения частиц  Кинетическая энергия:

 - плотность среды.





Потенциальная энергия участка упругой среды, подвергнутого деформации:

Модуль Юнга и коэффициент упругости  связаны уравнением:

Следовательно, (умножив  на ) получим:



 - объём деформированного тела.

Относительную деформацию можно представить как , где - относительное смещение частиц, отстоящих друг от друга на .



Следовательно:

Сравнивая (11) и (12) видим, что  и одновременно достигают max и min.

Полная энергия бегущей гармонической волны:



Скорость распространения волн в упругой среде:

Следовательно, полная энергия:

Энергия участка волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, квадрату частоты колебаний и плотности упругой среды, в которой распространяется эта волна.

Максвелл обобщил закон полного тока, предположив, что переменное электрическое поле, так же как и электрическое поле, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения, величина которого пропорциональна скорости изменения потока электрического смещения (электрической индукции).

где - площадь поверхности, которую пересекает поток вектора ,  - единичный вектор нормали к поверхности .

Плотность потока смещения: .

По величине и направлению равна скорости изменения электрического смещения (электрической индукции). Учитывая, что  , где - поляризованность среды (вектор поляризации), для плотности тока смещения получим выражение: (1). Уравнение (1) раскрывает «источники» тока смещения. Появление тока смещения в общем случае обусловлено двумя составляющими: величина  обусловлена изменением поляризованности среды в переменном электрическом поле (например, поворотом или смещением молекулярных диполей при изменении направления поля), величина обусловлена изменением во времени электрического поля.

Из (1) следует, что ток смещения может существовать и в вакууме, причём в этом случае слагаемое  отсутствует. Ток смещения создаёт магнитное поле такое же, как магнитное поле равного ему тока проводимости.


Система уравнений Максвелла.

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме для электромагнитного поля включает в себя:



  • Закон электромагнитной индукции



  • Закон полного тока



  • Теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля



  • Теорему Остроградского-Гаусса для магнитного поля

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:









Система уравнений Максвелла дополняется уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды. Для изотропной среды в случае макротоков, подчиняющихся закону Ома эти уравнения имеют вид: , ,


Электромагнитные волны.

Уравнение (1) в полной системе уравнений Максвелла указывает на то, что изменяющееся во времени магнитное поле является одним из возможных источников вихревого электрического поля; уравнение (2) выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися возможными источниками магнитного поля. Таким образом, из первых двух уравнений вытекают два важных вывода:



  1. Ни переменное электрическое поле, ни переменное магнитное поле не могут существовать отдельно, независимо одно от другого, т.к. одно поле неизменно порождает другое. Переменные электрическое и магнитное поля всегда существуют вместе в виде единого электромагнитного поля, при этом электрическое и магнитное поля являются компонентами электромагнитного поля. В каждой точке пространства электромагнитное поле характеризуется двумя векторами: вектором напряжённости электрического поля и вектором напряжённости магнитного поля.

  2. Формой существования электромагнитного поля является электромагнитная волна. Электромагнитное поле, возникнув в какой-либо области пространства, не остаётся локализованным в этой области, а распространяется с конечной скоростью в виде электромагнитной волны.

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в однородном диэлектрике (удельная проводимость ), не содержащих объёмных зарядов (). В этом случае всюду и всегда отсутствует ток проводимости, а наличие магнитного поля  связано лишь с существованием переменного электрического поля, обусловленного током смещения.

Для такого случая система уравнений Максвелла запишется следующим образом:







Пусть вектора зависят только от ,т.е. рассматриваем одномерную задачу.

Так как задача одномерная, то все производные по равны нулю. Следовательно, , т.е. электрическое поле в направлении распространения не меняется во времени.

(1)




Производные по равны нулю, следовательно, магнитное поле в направлении распространения не изменяется. 



(2)

Сгруппируем уравнения системы (1) и (2) в две независимые группы, связывающие - составляющие электрического поля, и  - составляющие магнитного поля,





(3)

И - составляющие электрического поля, и  - составляющие магнитного поля.



(4)

Из системы (3): меняющееся во времени электрическое поле  вызывает появление только магнитного поля , а появление переменного магнитного поля  влечет за собой появление электрического поля Следовательно: вектора  и  перпендикулярны друг другу.





Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница