Ведерников Виктор Александрович, профессор кафедры высшей математики и методики преподавания математики /В. А. Ведерников/ рабочая программа дисциплины




Дата07.07.2016
Размер134 Kb.
Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

Институт математики, информатики и естественных наук

Кафедра высшей математики и методики преподавания математики




РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Направление подготовки



01.06.01 Математика и механика
Направленность (профиль)

Математическая логика, алгебра и теория чисел

Москва

2015

Рабочая программа дисциплины составлена в соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 01.06.01 – Математика и механика;, утвержденным приказами Министерства образования и науки Российской Федерации от «30» июля 2014 г. № 866.




Разработчики:
Ведерников Виктор Александрович, профессор кафедры высшей математики и методики преподавания математики __________________/В.А. Ведерников/
Рабочая программа дисциплины одобрена на заседании кафедры высшей математики и методики преподавания математики

Протокол № ____________ от __________________________________


Заведующий кафедрой ______________________/П.В. Семенов/


СОГЛАСОВАНО:

Заведующий выпускающей кафедрой _____________________________
Рабочая программа дисциплины утверждена ученым советом института математики, информатики и естественных наук
Протокол №____________ от_____________________________________

Директор института_____________________________ С.Г. Григорьев




1. Цели и задачи освоения дисциплины:

Сформировать у аспирантов математическую культуру и подготовить их к изучению литературы по различным направлениям математической логики, алгебры и теории чисел. Рассмотреть основные алгебраические системы, а также некоторые классы алгебр: многообразия, формации и классы Фиттинга. Сформировать у аспирантов прочные знания по основам теории алгебраических систем и выработать навыки решения исследовательских задач. Познакомить аспирантов с открытыми проблемами в математической логике, алгебре и теории чисел.


2. Место дисциплины в структуре ОП:

Дисциплина «Математическая логика, алгебра и теория чисел » относится к Вариативной части цикла 1 обязательных дисциплин (Б1.В.ОД.4).


3. Требования к результатам освоения дисциплины:

способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерированию новых идей при решении исследовательских и практических задач, в том числе в междисциплинарных областях (УК-1)

способность проектировать и осуществлять комплексные исследования, в том числе междисциплинарные, на основе целостного системного научного мировоззрения с использованием знаний в области истории и философии науки (УК-2)

способностью самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием современных методов исследования и информационно-коммуникационных технологий (ОПК-1)

владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания (ПК-2)

способен ориентироваться в информационном потоке, использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности (ПК-3)

имеет представления о значимости математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; о границах применимости математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе (ПК-4)
В результате изучения дисциплины аспирант должен:

знать:

– понятия аксиоматической теории, правила вывода, основные законы математической

логики;

– алгебраической системы, алгебры, модели;



– подалгебры, критерий подалгебры, идеала, фактор-алгебры;

понятие тождества, многообразия алгебр и вербального идеала;

– понятие свободной алгебры и свободной алгебры многообразия;

– понятия гомоморфизма, эндоморфизма и автоморфизма групп;

– понятие декартова произведения алгебр, теорему Биркгофа.;

понятия нильпотентной, разрешимой и сверхразрешимой групп, их основные свойства;

– понятие формации и проектора алгебр, их сопряженность в конечной разрешимой

группе;


– понятие класса Фиттинга и инъектора алгебр, их сопряженность в конечной разрешимой

группе;


– понятия модулярной, дистрибутивной и булевой решеток;

– решетки подгрупп конечной группы;

– теорему Стоуна о булевых алгебрах;

– квадратичный закон взаимности;

– первообразные корни и индексы;

– неравенства Чебышева для функции π(x);

– дзета-функцию Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел;

– характеры и L-функции.

– теорему Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
уметь:

– проверять является ли множество с заданными на нем операциями полугруппой,

группой, кольцом, полем, алгеброй над полем;

– применять критерий подалгебры;

– уметь находить подгруппы, подкольца, подполя;

– строить диаграммы решеток подгрупп, нормальных подгрупп;

– приводить примеры многообразий групп;

– проверять, является ли подгруппа нормальной;

– строить фактор-группу по некоторой нормальной подгруппе;

– находить подгруппы Фраттини и Фиттинга в конечной группе;

– находить центр конечной группы;

– находить показатель числа по простому модулю и строить группы Шмидта;

– находить первообразные корни по простому модулю;

– применять – квадратичный закон взаимности;



владеть:

– методами общей алгебры;

– методами структурной теории групп и их классов;

методами теории решеток;

– методами классической теории чисел.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единицы (216 часов).




Тема

Общая трудоемкость

Самостоятельная работа

Всего

аудиторных часов



Лекции часов

Практические и семинарские занятия часов

1

Модуль 1.

42

30

12

6

6

2

Модуль 2.

48

40

18

8

10

3

Модуль 3.

44

30

14

8

6

4

Модуль 4

46

36

10

6

4

5

Форма промежуточной аттестации – экзамен

36













6

Итого за семестр

(часов)


216

(6 зач. ед.)

126

54

28

26


5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ И ЕЕ РАЗДЕЛЫ
Модуль 1. Алгебраические системы, алгебры, модели. Полугруппы.

Решетки.

Отношения и алгебраические операции на множестве. Понятия алгебры, модели и алгебраической системы. Примеры. Группоид, полугруппа и моноид. Теорема об изоморфном вложении полугруппы Р в полугруппу всех преобразований множества Р1, полученного из Р присоединением не более чем одного элемента. Отношения эквивалентности и порядка. Частично упорядоченные и линейно упорядоченные множества (чум и лум). Минимальные, максимальные, наименьший, наибольший элементы в чум.

Решетки (структуры) как чум, и как алгебра. Диаграмма решетки. Модулярные и дистрибутивные решетки. Булевы алгебры. Примеры.

Модуль 2. Элементы теории групп.
Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Теорема Кэли. (Обзор) Классы сопряженных элементов и подгрупп группы. Нормализатор и централизатор непустого подмножества в группе. Центр группы. Формула классов. Конечные p-группы. Теорема о нетривиальности центра неединичной р-группы. Произведение подгрупп. Тождество Дедекинда. Решетки подгрупп.

Прямое произведение групп. Коммутант группы. Определения нильпотентной и разрешимой групп. Теорема Силова (существование). Строение конечных абелевых групп. Примеры. Простая группа. Простота группы An при n>4. Неразрешимость группы Sn при n>4. Краткий обзор по классификации конечных простых групп (ККПГ).


Модуль 3. Элементы теории колец и модулей.

Определение кольца, Основные свойства. Примеры. Лиево кольцо. Связь ассоциативного кольца, с лиевым кольцом. Область целостности. Поле частных. Идеал кольца. Теорема о гомоморфизме колец. Прямая сумма колец. Евклидовы кольца. Понятие модуля над кольцом. Подмодуль. Фактормодуль. Гомоморфизм модулей. Прямые суммы модулей. Модули над евклидовыми кольцами. Следствия для (конечных) абелевых групп. Цикличность конечной подгруппы мультипликативной группы поля.


Модуль 4. Элементы теории полей.

Поле. Подполе. Характеристика поля. Расширение поля. Примеры. Алгебраические расширения. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Поле разложения многочлена. Эндоморфизм Фробениуса поля характеристики р.


Существование и единственность (с точностью до изоморфизма) поля порядка pn. Существование неприводимого многочлена степени n над полем Zp для любого натурального числа n.
Компетенции обучающегося, формируемые в процессе освоения дисциплины (дисциплинарного модуля)


Наименование дисциплинарного модуля

Количество часов/зачетных единиц

Формируемые компетенции

Общее количество компетенций

Модуль 1. Алгебраические системы, алгебры, модели. Полугруппы. Решетки.


42/1,16

УК-1, УК-2

ОПК-1

ПК-2, ПК-3, ПК-4

6

Модуль 2. Элементы теории групп.


48/1,33

УК-1, УК-2

ОПК-1

ПК-2, ПК-3, ПК-4

6

Модуль 3. Элементы теории колец и модулей.


44/1,22

УК-1, УК-2

ОПК-1

ПК-2, ПК-3, ПК-4

6

Модуль 4. Элементы теории полей.


46/1,27

УК-1, УК-2

ОПК-1

ПК-2, ПК-3, ПК-4

6

Экзамен

36/1

УК-1, УК-2

ОПК-1

ПК-2, ПК-3, ПК-4

6


Методические рекомендации преподавателям по дисциплине
ПЛАН ЛЕКЦИЙ, ПРАКТИЧЕСКИХ И СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ
Модуль 1. Алгебраические системы, алгебры, модели. Полугруппы.

Решетки.
Лекция 1. Отношения и алгебраические операции на множестве. Понятия алгебры, модели и алгебраической системы. Примеры. Группоид, полугруппа и моноид. Теорема об изоморфном вложении полугруппы Р в полугруппу всех преобразований множества Р1, полученного из Р присоединением не более одного элемента.

Лекция 2. Отношения эквивалентности и порядка. Частично упорядоченные и линейно упорядоченные множества (чум и лум). Минимальные, максимальные, наименьший, наибольший элементы в чум. Решетка (структура) как чум, и как алгебра. Диаграммы решеток.

Лекция 3. Модулярные и дистрибутивные решетки. Критерии модулярности и дистрибутивности решеток. Булевы решетки. Булевы алгебры.

Практические и семинарские занятия.





  1. Бинарные операции и их свойства. Бинарные отношения и их свойства. Представление бинарных отношений ориентированными графами (орграфами). Отношения эквивалентности и порядка.

  2. Частично упорядоченные и линейно упорядоченные множества (чум и лум). Минимальные, максимальные, наименьший, наибольший элементы в чум.

Решетки (структуры) как чум, и как алгебра. Диаграммы решеток.

  1. Модулярные и дистрибутивные решетки. Критерии модулярности и дистрибутивности решеток. Булевы решетки. Булевы алгебры.



Модуль 2. Элементы теории групп.

Лекция 4. Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Классы сопряженных элементов и подгрупп группы. Нормализатор и централизатор непустого подмножества в группе.

Лекция 5. Центр группы. Формула классов. Конечные p-группы. Теорема о нетривиальности центра неединичной р-группы. Прямое произведение групп. Коммутант группы.

Лекция 6. Строение конечных абелевых групп. Определения нильпотентной и разрешимой групп. Теорема Силова. Примеры.

Лекция 7. Простая группа. Простота группы An при n>4. Неразрешимость группы Sn при n>4. Краткий обзор по классификации конечных простых групп (ККПГ).

Практические и семинарские занятия.


  1. Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы. Теорема Лагранжа. Группы подстановок. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Циклические группы.

  2. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Гомоморфные образы, максимальные, минимальные подгруппы, минимальные нормальные подгруппы групп: S3, A4, S4. Решетки всех (нормальных) подгрупп группы и их диаграммы.

  3. Теорема Кэли об изоморфном вложении группы G в симметрическую группу всех биективных преобразований множества G. Применения теорем Силова.

  4. Нильпотентные группы и их основные свойства. Разрешимые группы и их основные свойства.

Простые группы. Примеры. Классификация конечных простых групп

(ККПГ).


Модуль 3. Элементы теории колец и модулей.

Лекция 8. Определение кольца. Основные свойства. Примеры. Лиево кольцо. Связь ассоциативного кольца, с лиевым кольцом.

Лекция 9. Идеал кольца. Теорема о гомоморфизме колец. Прямая сумма колец. Евклидовы кольца.

Лекция 10. Понятие модуля над кольцом. Подмодуль. Фактормодуль. Гомомор-физм модулей. Прямые суммы модулей.

Лекция 11. Модули над евклидовыми кольцами.



Практические и семинарские занятия.

8. Определение кольца, Основные свойства. Примеры. Лиево кольцо.

Связь ассоциативного кольца, с лиевым кольцом. Область целостности.

Поле частных.

9. Идеал кольца. Теорема о гомоморфизме колец. Прямая сумма колец.

Евклидовы кольца. Теория делимости в евклидовых кольцах. [1], c. 115- 121.

10. Понятие модуля над кольцом. Подмодуль. Фактормодуль.

Гомоморфизм модулей. Прямые суммы модулей.

11. Модули над евклидовыми кольцами. Следствия для (конечных)

абелевых групп. Цикличность конечной подгруппы

мультипликативной группы поля.

Модуль 4. Элементы теории полей.

Лекция 12. Поле. Подполе. Характеристика поля. Расширение поля. Примеры. Алгебраические расширения. Минимальный многочлен алгебраического элемента.

Лекция 13. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Поле разложения многочлена. Эндоморфизм Фробениуса поля характеристики р.

Лекция 14. Существование и единственность (с точностью до изоморфизма) поля порядка pn. Существование неприводимого многочлена степени n над полем Zp для любого натурального числа n.

Практические и семинарские занятия.

12. Поле. Подполе. Характеристика поля. Расширение поля. Простое расширение поля. Конечное и алгебраическое расширение поля. Алгебраические и трансцендентные числа. Минимальный многочлен

алгебраического элемента. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

13. Поле разложения многочлена. Неприводимые полиномы над полем Zp. Разложение многочленов 2-3 степеней в произведение неприводимых множителей над Zp. Построение конечных полей.




Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (дисциплинарного модуля):

а) Основная литература




  1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.: Факториал, 1999.

  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

  3. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: ГИФМЛ, 1962.

  4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970.

  5. Постников М.М. Теория Галуа. – М.: ФМ, 1963.

б) Дополнительная литература




  1. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.

  2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией А.И.Кострикина. – М.: Наука, 1987.

  3. Крылов П.А., Туганбаев А.А., Чехлов А.Р. Упражнения по группам, кольцам и полям. – Томск, 2008.

  4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

  5. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн.: Вышэйшая школа, 1982.

в) программное обеспечение

стандартные программы MS Office
г) информационно-справочные и поисковые системы:

Электронная библиотека Российской государственной библиотеки (РГБ) http://elibrary.rsl.ru/

Портал gosuslugi.ru

Поисковый сервис – google.com

Поисковый сервис – yandex.ru

On-line курсы: https://www.coursera.org/

Единое окно доступа к оборазовательным ресурсам http://window.edu.ru/
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Аспирантам, участвующим в научно-исследовательской работе, может быть предоставлена возможность использования компьютерного и лабораторного оборудования кафедр и научных подразделений Университета.

Аудитория, оснащенная следующей техникой:



ноутбук, видеопроектор, экран, информационные носители с иллюстративными аудио- и видеозаписями.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница