В. В. Вавилов (Москва) Из семидесяти пяти лет жизни 11 лет и 23 дня, вместе со своим студенческим другом Бенуа Кла­пейроном, замечательный французский математик, физик и инженер Габриэль Ламе (1795 1870) в самом




Скачать 208.47 Kb.
Дата02.04.2016
Размер208.47 Kb.
Габриэль Ламе

В.В. Вавилов (Москва)

Из семидесяти пяти лет жизни 11 лет и 23 дня, вместе со своим студенческим другом Бенуа Кла­пейроном, замечательный французский математик, физик и инженер Габриэль Ламе (1795 — 1870) в самом расцвете творческих сил работал в России (1820 — 1831), где стал членом-корреспон­дентом Петербургской Академии наук (затем Берлин­ской и Туринской, а также действительным членом Парижской Академии наук по секции геометрии), прошел путь от майора до полковника, награжден орденами Владимира 4-й степени, орденом Анны 2-й степени и алмазным знаком этого ордена, орденом Станислава 3-й степени (кроме того, ему был вручен бриллиантовый перстень, он награждался годовым окладом, ему объявляли монаршее благоволение). И все эти отличия получены не за ратные подвиги на поле брани, а за выдающиеся научные достижения и про­фессорскую педагогическую деятельность в России. Интересно, кстати, отметить, что последний указанный выше орден он получил по итогам своей научной командировки в Англию после предоставления отчета о ней, который содержал два рукописных тома убо­ристого текста и 80 чертежей с комментариями и назывался "Наблюдения, относящиеся к инженерному искусству, собранные во время путешествия в Англию, совершенного по приказу Николая I летом 1830 года полковником Габриэлем Ламе". Здесь все удивитель­но, но, видимо, другого такого случая нет, чтобы людей награждали орденами по итогам научных ко­мандировок.

Дожить до двухсот лет нелегко, и это под силу немногим, действительно талантливым людям. Одни утверждали, что как математик он является "слишком практиком", а другие считали, что он слишком много уделял внимания теоретическим построениям и иссле­дованиям. Так, например, король математики Ф. Гаусс называл Ламе самым известным французским мате­матиком его поколения; его биограф и известный ученый Ж. Бертран говорил, что он был выдающимся инженером. Круг его интересов был широк и разно­образен. Так, по приглашению французского архитек­тора Огюста Монферрана, бывшего на придворной службе у Александра I, Ламе участвовал в проведении расчетов и проектировании Исаакиевского собора (вме­сте с Клапейроном) и Александровской колонны в честь победы России над Наполеоном в Петербурге. В результате этой работы и были заложены основы теории расчета сводов, которые и по сей день используются в строительной механике. Говоря о строительных проектах, нельзя не отметить, что Ламе и Клапейрону были поручены проекты мостов через Москву-реку, Яузу, а также Лугу в Ямбурге, что они, с присущей им добросовестностью и тщательностью, и выполнили; правда, эти висячие мосты так и не были построены, но не по их вине.

В одной статье невозможно рассказать об осново­полагающих трудах Ламе по математической теории упругости и математической физики, строительной и прикладной механике, теории сопротивления матери­алов, о его вкладе в дифференциальную геометрию, о его знаменитых учебниках по физике и теории уп­ругости, о работах по проектированию и строительству железных дорог в России и во Франции и о многом другом (см. [1]). Здесь мы остановимся только на его школьных и студенческих годах и последующей пре­подавательской деятельности, на его взглядах на про­блемы образования и некоторых результатах матема­тических исследований.

С шестилетнего возраста юный Габриэль учился в Парижском аристократическом лицее Людовика Великого, который имел к тому времени уже два с половиной века опыта работы и был лучшим во Фран­ции. Кстати, одновременно с ним в лицее учился Эжен Делакруа, ставший известным художником. Лицей славился своими хорошими традициями, и на театраль­ные постановки в нем собиралась знатная публика. Там были введены разнообразные награды за успешную учебу и участие в ежемесячных различных конкурсах среди учащихся. Наибольшее внимание в лицее уде­лялось преподаванию математики, латыни (иностран­ного языка), французского языка и рисования, а также воспитанию чувства дружбы, взаимопомощи и ответ­ственности. Во время учебы (экстерном) в лицее он познакомился с прекрасной книгой A.M. Лежандра по геометрии, что в значительной мере повлияло на его дальнейшее образование.

В 18 лет он закончил лицей, еще год готовился к поступлению и в 1814 г., успешно сдав (третьим по списку) вступительные экзамены, поступил в Политех­ническую школу, школу инженерного образования нового типа, которой не было аналогов в Европе и в Америке. Ее учебный план содержал только матема­тические дисциплины (математический анализ, приме­нение анализа к геометрии, механика, начертательная геометрия, черчение). В основе главной идеи созда­ния такой школы лежало положение о том, что раз­личные отрасли техники и промышленности требуют практически одинаковой подготовки по математике, механике, физике и химии, а также уверенность в том, что студент с такой подготовкой успешно овладеет в дальнейшем необходимыми знаниями в любой специ­альной области. В Политехнической школе, как писал Ф. Клейн [2], "все меры строгости, воздействия на честолюбие, окрыляемое перспективой блестящей жизненной будущности, привлекались... для того, что­бы заставить учащегося до крайности напрягать свои силы. Знания вколачиваются в голову до полного ов­ладения предметом". Александр I по поводу этой школы отметил, что "это самое лучшее учреждение, созданное человеком" [I].

Ламе учился в Политехнической школ в очень не­спокойное время — после сокрушительного пораже­ния в войне 1812 г. против России, в период рестав­рации Бурбонов (1814 — 1815, 1895 — 1830) и во время возвращения на короткий срок Наполеона с острова Эльбы в 1815 г. Все военные и политические передряги, безусловно, приводят к волнениям, протес­там, демонстрациям, митингам, различным запретам, ограничениям и т.д. Студенчество, естественно, не оставалось в стороне, и вследствие этого в 1816 г. школа была закрыта, а студенты распущены по домам. На декрет о закрытии школы Ламе выразил протест в своей первой печатной работе об истории Политех­нической школы и в защиту её будущего. Брошюру, конечно, немедленно изъяли. Школа была закрыта около года, и в этот период Ламе пришлось самосто­ятельно зарабатывать на хлеб; он начал давать частные уроки математики и очень быстро становится извест­ным репетитором.

Именно в этот период он начал активно заниматься математикой и выполнил свою первую научную рабо­ту. По сложившейся традиции для получения полного инженерного образования выпускники Политехничес­кой школы, срок обучения в которой был два года, должны были поступать в высшие технические училища. После того как в январе 1817 г. Политехническая школа была открыта для занятий, Ламе сдал достаточно сложные выпускные экзамены (первым в списке по результатам) и поступил в Горную школу, в которой он учился потом три года. Принцип, положенный в основу системы вступительных экзаменов (и который сохранился до настоящего времени) предписывал, что "экзаменатор должен быть уверен в интеллигентности кандидата", т.е. он должен был обращать внимание не на заучивание предмета, а на его глубокое понимание. В период обучения в Политехнической и Горной школах Ламе познакомился с видными учеными-математиками (С. Ф. Лакруа, Д. Ф. Араго, С.Д. Пуассоном, Ш.Ф. Би­не, Л. Пуансо и др.) и их системой преподавания. А также, в лице своего однокурсника Бенуа Клапейрона, обрел друга и соратника, с которым они вместе в 1821 г. после окончания Горной школы поехали в Россию.

Приезд Ламе и Клапейрона на работу в Россию состоялся на основании приглашения с российской сто­роны, в которой в то время не топько не хватало специалистов по подготовке инженеров высокой ква­лификации, но и вообще уровень образования был крайне низким. Александр I вместе со своим непре­менным Советом и специальным Негласным кабинетом (который, что интересно, сразу после его создания был назван знатью "якобинской шайкой") были сильно озабочены проблемами просвещения (см. [4]). Пред­принимались попытки создания единой системы про­свещения, было создано Министерство народного просвещения, открыты новые университеты, лицеи и специальные высшие школы. Так, в 1810 г., не без влияния успешного развития инженерно-строительного образования во Франции, в Петербурге были открыты Корпус инженеров путей сообщения и Институт Кор­пуса инженеров путей сообщения. Институт готовил инженеров для Корпуса и выпускал своих питомцев с воинским званием поручика, которые, работая в Кор­пусе, уже могли и дальше продвигаться по военной лестнице; так был решен вопрос о привлечении к техническому образованию дворян.

Согласно указу Александра I, Ламе и Клапейрон были направлены "в Корпус инженеров путей сообще­ния майорами с помещением их профессорами мате­матики в институт сего корпуса, с жалованием, по званию сему положенным, со дня вступления их в отправление оных должностей с 7 сентября 1820 года". Ламе во время работы в Институте корпуса (где его называли Гаврило Францевич) читал курсы лекций по математическому анализу, аналитической геометрии, физике, астрономии, теоретическом и прикладной механике, прикладной химии, — в то время не было четкого разделения предметов между профессорами. Репетиторы (ныне ассистенты), которые вели практи­ческие занятия, обязаны были присутствовать на лек­циях, чтобы более точно реализовывать читаемые курсы. Лекции и практические занятия Ламе проводил на французском языке, так как русский язык он знал плохо.

О Ламе как преподавателе сохранились некоторые свидетельства. Так, двоюродный брат известного поэта А.И. Дельвиг в своих воспоминаниях о годах учебы в Институте Корпуса путей сообщения (ныне Институт инженеров железнодорожного транспорта, а ранее Институт путей сообщения) пишет, что "Ламе был человек положительный, глубоко ученый, приятной наружности и изящных форм; читал лекции красноре­чиво и твердо знал, что читал". Ж. Бертран позднее отмечал, что "Ламе в слабой степени обладал специальными качествами преподавателя, глубина его уроков портила ясность. Однако учащиеся его уважали и любили". Видимо, оценивая себя критически как лектора. Ламе ко многим лекциям в Институте готовил литографические записи, которые раздавались всем слушателям перед началом лекции; впоследствии во Франции он такие записки готовил уже ко всем своим лекциям. Другой причиной раздачи таких литографи­ческих листков являлось также то, что это позволяло значительно ускорить чтение лекции, так как не было особой нужды проводить все вычисления на доске, и слушатели могли более вдумчиво и внимательно следить за ходом рассуждений. Ламе был одним из первых, кто начал использовать такую систему, а потом уже в Парижском университете, а сейчас всюду, этот метод стали использовать многие лекторы.

Научная и педагогическая работа у Ламе были свя­заны воедино, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что названия его научных работ включались в экзаменационные вопросы как по математике, так и по другим дисциплинам; кроме того, он постоянно подчеркивал неразрывную связь математических дис­циплин между совой и связь чистой и прикладной ма­тематики в своих учебниках и научных статьях. Ламе глубоко понимал роль учебника в процессе обучения. Первый его учебник был написан с П. Базеном по интегральному исчислению, и эту тяжелую работу он выполнил по собственному желанию. Впоследствии этот учебник был переведен на русский язык и стал одним из первых русских учебников для высших тех­нических учебных заведений. О тщательности и педа­гогической добросовестности при подготовке этой книги говорит письмо Ламе, датированное 2 декабря 1826 г., в котором он выражает сомнение по поводу доказательства теоремы Тейлора в учебнике П. Базена и предлагает свое более короткое доказательство. Это письмо было обнаружено только в 1911 г., и было рассказано о нем математиком и кораблестроителем А.Н. Крыловым на Совете института путей сообщения; в частности, он советовал напечатать эту записку в трудах института "как память об одном из знаменитей­ших его деятелей и как пример той утонченной тща­тельности, с которой Ламе относился к делу препода­вания".

В период работы над этим учебником Ламе стал свидетелем Декабрьского восстания и жестокой рас­правы над его участниками; в частности, над бывшими выпускниками Института братьями С. И. и М. И. Мура­вьевыми-Апостолами и инженером Корпуса инжене­ров Г.С. Батеньковым. Отрицательное отношение нового царя Николая I к Институту выражалось в том, что все его преподаватели и воспитанники дважды (до и после восстания) должны были давать подписку о том, что они не принадлежат ни к каким тайным обществам. На них заводились "кондуитные списки", жизнь стала полностью регламентированной и всякое нарушение строго наказывалось. Об этом рассказывает также А. И. Дельвиг: "Император Николай I и великий князь Михаил Павлович очень не любили инженеров путей сообщения, а вследствие этого и заведение, служив­шее их рассадником. Эта нелюбовь основывалась на том мнении, что из института выходят ученые, следо­вательно, вольнодумцы". Все это не способствовало нормальной творческой деятельности в институте. И не надо забывать, что лозунги декабристов в значитель­ной мере совпадали с лозунгами Французской рево­люции, с последствиями которой был хорошо знаком Ламе. Видимо, сказанное явилось главной причиной того, что в сентябре 1831 г. Ламе и Клапейрон подали заявление об отставке и в этом же году вернулись во Францию.

После Июльской революции 1830 г., после того как Карл X отрекся от престола и бежал в Англию и во Франции наступил так называемый период Июльской монархии (1830 — 1848), когда королем был провоз­глашен герцог Луи Филипп Орлеанский, Ламе и Кла­пейрон возвращаются во Францию и приступают к бурной инженерной деятельности по проектированию, планированию и строительству железных дорог во Франции; они, например, соруководили строительст­вом первой железной дороги Париж — Сен-Жермен. Вскоре Ламе оставил инженерную службу и в 1832 г. стал профессором Политехнической школы и заведовал кафедрой физики до 1844 г., затем стал экзаменато­ром этой же школы, а с 1848 г. начал читать лекции в Сорбонне. Ж. Бертран отмечал, что получить ему кафедру физики стало возможным только благодаря прекрасным его работам в России в области матема­тической теории упругости.

Революция 1848 г. практически ничего не изменила в жизни университета. Но вскоре после прихода к власти Наполеона III (период Второй Империи: 1852 — 1870) университет перестал быть автономным и стал государственным учреждением. В это же время Ламе, используя свой опыт работы в Петербурге, размышляет вместе с Клапейроном над проблемой создания спе­циальных школ для будущих руководителей промыш­ленного производства, чему он и Клапейрон посвятили книгу "План общей и специальных школ для сельского хозяйства, мануфактурной промышленности, торговли и управления". В этой книге продумано все глубоко и детально: система вступительных экзаменов, учебные планы, методика преподавания, места расположения школ и т.д. Ламе также откликнулся на события 1848 г., которые предвещали рост темпов индустриального развития, брошюрой "Эскиз трактата о республике".

Большой педагогический опыт работы в России и во Франции позволил Ламе создать еще пять учебников: "Курс физики" в двух томах (1836 — 1837), "Лекции по теории упругости твердых теп" (1852), "Лекции о функциях, обратных трансцендентным, и изотермичес­ких поверхностях" (1857), "Лекции по криволинейным координатам и их различным приложениям" (1859), "Лекции по аналитической теории тепла" (1861). Все эти книги, представлявшие собой новые страницы в преподавании соответствующих дисциплин, были напи­саны очень тщательно, доступно, логично, ясно и поэ­тому долгое время служили популярными учебными пособиями. Они были переведены также на иностран­ные языки.

Свое научное завещание Ламе изложил во вводной лекции к курсу математической физики, который он читал в Сорбонне в 1861 г. На этой лекции присутст­вовал Н.Д. Брашман, один из инициаторов создания Московского математического общества, который рассказал следующее: "Зная высокое достоинство теории и философски-научного взгляда высокопочтимого профессора, многие, в том числе и я, ожидали с любопытством его вступительной лекции. Приглашая меня на эту лекцию, г. Ламе сказал мне: "Вы хорошо сделаете, если будете на моей вступительной лекции, потому что в ней Вы услышите мое научное завещание; может быть, я не успею закончить начатые мною труды". Действительно, живость слова и мыслей, из­ложенных в этой лекции, возбудила в высшей степени внимание и одобрение всех присутствующих, между которыми были члены Парижской Академии наук, многие профессора и другие ученые.

Многие желали, чтобы вступительная лекция г. Ламе была напечатана на французском языке; но пока он, соглашаясь на мою просьбу, разрешил ее печатание только в России и передал с этой целью собственно­ручно им написанную лекцию". (Она была опублико­вана в России в 1862 г. и во Франции — в 1865 г.)

Эта лекция посвящена, в частности, размышлениям о путях развития науки вообще, о методике препода­вания и изучения фундаментальных дисциплин. Ламе был убежден, что каждый человек обладает способ­ностями, достаточными для изучения математики, однако они не проявляются из-за недостатков при обучении. Для того чтобы готовить настоящих иссле­дователей и профессиональных математиков, на его взгляд:

"1) Необходимо устранить навсегда разделение наук на чистую и прикладную математику. Первая теперь уже не существует. Арифметика в высшей степени практична; сама теория чисел находит свои лучшие теоремы в учениях о колебаниях. Геометрия и меха­ника суть две отрасли математической физики, иссле­дующие два различных свойства материи — простран­ство и движение. Алгебра и дифференциальное исчис­ление суть только неизбежные и нераздельные ору­дия, которыми открываются самые общие законы изучаемых явлений. Интегральное исчисление, если его излагать как отдельное целое, будет бессмыслицей: каждый успех его имеет единственное начало свое в каком-нибудь приложении.

2) Излагать все отделы каждой науки свойственными им изобретательными методами, тщательно остерегаясь исключительного употребления косвенных мето­дов или простых аналитических поверок, признаваемых более строгими, но совершенно бесплодных".

Далее Ламе пишет о том, что не надо учить при помощи общих доказательств — каждое открытие имеет свой собственный метод и тем интересно. В частности, в геометрии, по его мнению, "все теоремы нужно излагать в форме конкретных задач, устранив все косвенные доказательства и доказательства от противного. Не надо отделять науку от ее приложе­ний" — это не только абстрактный тезис; как мы увидим ниже, он им руководствовался при выборе практически всех своих математических исследований. Многие из этих положений звучат очень современно (см. [5]). Цитированная вводная лекция была последней публикацией Габриэля Ламе.

Остановимся немного подробнее на результатах математических исследований Г. Ламе, при этом дадим наши собственные условные названия его исследовани­ям и укажем год их публикации.

1. (Девять точек, 1816 г.). В первой своей научной публикации, которая была выполнена в период закры­тия правительством Политехнической школы, Ламе изучал кривые и поверхности второго порядка и нашел аналитические условия того, когда а) три кривые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке; б) три поверхности пересекаются по одной кривой; в) четыре поверхности пересекаются в одной точке. Продолжая эту работу во время вынужденного пропуска занятий, он написал книгу, объемом в 124 страницы, где он не только продолжает эти свои ис­следования, но и с другой стороны продолжает тема­тику, идущую от Блеза Паскаля — он при помощи методов начертательной (проективной) геометрии изучает возможные определения и построения поверх­ностей второго порядка при условии, что задано до­статочное количество их точек.

Эта тема не могла не увлечь молодого Ламе, осо­бенно если учесть, что знаменитая теорема Паскаля о шестиугольнике, вписанном в кривую второго поряд­ка, была доказана Паскалем в 16-летнем возрасте. Эти исследования высоко ценили знаменитые геометры Ж. Понселе (1788 — 1867) и М. Шаль (1793 — 1880). Ж. Понселе в предисловии к своей знаменитой книге выделял Ламе, как своего предшественника в иссле­дованиях. М. Шаль отмечал, что в развитии теории поверхностей второго порядка важную роль играет общая связь между десятью точками поверхности. Но для нахождения такой связи полезно заняться поверх­ностями второго порядка, подчиненными девяти усло­виям. А этим вопросом и занимался Ламе, он "опре­делил элементы, достаточные для построения поверх­ности второго порядка, которая должна пройти через девять точек".

Кроме того, эти исследования привели к изучению софокусных поверхностей второго порядка в простран­стве — эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов. Каждая из этих поверхностей в отдель­ности заполняет пространство непрерывно и однознач­но таким образом, что через каждую точку простран­ства проходит ровно по одной поверхности указанного типа. Эти поверхности в точке пространства пересека­ются ортогонально, т.е. в этой точке касательные плоскости к этим поверхностям взаимно перпендику­лярны. Именно на этом пути и возникли у Ламе идеи и методы введения криволинейных (эллиптических) координат и впоследствии их эффективные приложения к конкретным задачам математической физики. Закан­чивая свои "Лекции по криволинейным координатам", он пишет: "Без изобретения прямоугольных координат алгебра осталась бы на той же точке, где Диофант и его последователи ее оставили, и мы не имели бы ни исчисления бесконечно малых, ни аналитической меха­ники. Без введения сферических координат небесная механика была бы абсолютно невозможна. Без эллип­тических координат знаменитые геометры не могли бы решить многочисленные вопросы, важные в этой тео­рии... Наступило царствование криволинейных коорди­нат, так как только они могут помочь приступить к рассмотрению новых вопросов во всей их общности". Отдавая дань именно этим исследованиям Ламе, автор истории Политехнической школы рядом с его портре­том написал следующие слова: "Один из лучших ма­тематических гениев нашего времени, изобретатель криволинейных координат". К теме этих двух своих работ Ламе возвращался потом несколько раз, но главное ее осмысление было проведено им именно в этих двух первых его научных исследованиях.

2. (Веревочный многоугольник, 1823 — 1827 г). Теория веревочного многоугольника впервые была отчетливо сформулирована и изложена голландским инженером Симоном Стевиным в работе 1605 г. Французский ученый Пьер Вариньон (1654 — 1722) развил эту теорию. Ламе и Клапейрон впервые применили теорию веревочного многоугольника к инженерному делу и к расчету висячих мостов, чем способствовали становле­нию строительной и прикладной механики как науки. Теория веревочного многоугольника — это графичес­кий способ построения равнодействующей нескольких сил, лежащих в одной плоскости, а более точно — это алгебра и геометрия скользящих векторов (графостатика).

Впервые необходимость в этой теории возникла у Ламе и Клапейрона в связи с расчетами по устройству свода Исаакиевского собора, а затем при расчете проектов цепных мостов через Москву-реку, Яузу и Лугу в Ямбурге. И главная их заслуга состоит в том, что они при довольно сложных расчетах конкретных проектов (и на конкретной местности) продемонстри­ровали тесную связь между теорией и практикой. После публикации соответствующих работ во Франции эта технология вычислений становится популярной, а ярким ее пропагандистом является Ж. Понселе.

3. (Циркуль и линейка, 1826 г.). В тот же период, когда Ламе и Клапейрон занимались расчетами, свя­занными с проектированием висячих мостов, выходят в свет две работы, которые сейчас можно отнести к элементарной геометрии. Первая из этих работ при­надлежит Ламе и связана со строительством шоссейной дороги Петербург — Москва; в ней (аналитически и геометрически) решается следующая задача: "Меж­ду двумя пересекающимися прямыми провести пря­мую данной длины таким образом, чтобы продолже­ние сей прямой проходило через точку, которой положение известно, к двум данным прямым". Само название этой работы показывает, что ее основное содержание составляет аналитическое решение постав­ленной задачи, хотя в этой работе имеется и геомет­рическое решение — построение нужного отрезка при помощи циркуля и линейки, которое оказывается значительно проще и красивее. Однако для составле­ния таблиц, которые необходимы при расчетах обшир­ных и различных проектов, без формул обойтись трудно и поэтому дается два решения этой задачи. Кроме того, в этой же работе рассматриваются приближен­ные методы построения при помощи циркуля и линейки для решения задач о делении дуги на три равные части, о построении правильного 14-угольника и задача о проведении нормали через заданную точку плоскос­ти к данному эллипсу.

4. (Центр масс, 1827 г.). В совместной работе, также посвященной работам по проек­тированию дороги Петербург — Москва, Ламе и Клапейрон используют метод, родоначальником которого следует считать Архимеда, обнаружившего возможность доказывать геометрические теоремы при помощи центра масс (в частности, так была доказана теорема о пересечении медиан треугольника). В рассматриваемой работе решается следующая задача: нужно найти место для строительства завода по переработке руды, извлечен­ной из разных рудников, так чтобы стоимость ее перевозки, в совокупности, была наименьшей. Сейчас такие задачи решаются методами теории линейного программирования, и поэтому можно считать, что Ламе и Клапейрон были предшественниками в становлении этой теории.

Интересно решалась эта задача. На деревянную доску наносилась топографическая карта местности и к тем точкам, которые соответствуют рудникам, подвешива­лись блоки. К одному концу нити, перевешенной через каждый блок, подвешивают массу, пропорциональную реально перевозимому грузу, другие концы нити прикрепляют к маленькому подвижному кольцу. Точ­ка, около которой остановится кольцо, и определяет искомое местоположение завода. Конечно, этот ме­тод не является точным, но дает довольно хорошие практические результаты. В этом весь Ламе — он всегда нацелен на решение прикладных задач, но ис­пользует при этом глубокие теоретические разработ­ки. Для трех точек эта задача рассматривалась еще П. Ферма, и ответом к ней служит точка, из которой стороны соответствующего треугольника видны под равными углами.

В этой же работе Ламе и Клапейрон рассматривают постановку задачи в общей формулировке, когда нужно строить не один, а несколько заводов. Оценить ее сложность можно на одной задаче с интересной фа­булой из книги Г. Кокстера "Введение в геометрию": "Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной в одну милю. Жители хотят соединить деревни системой дорог, но имеющихся у них мате­риалов достаточно для сооружений только 6,1 миль дорог. Как они должны поступить?" Предлагае­мый ответ к этой задаче состоит в том, что они долж­ны соединить кратчайшим путем две пары деревень с центром квадрата (использовать две точки Ферма). Однако доказать, что эта система дорог одновремен­но является и самой экономной, не так-то просто; решение же аналогичной задачи для произвольного расположения четырех деревень является крайне тя­желой задачей.

Любопытно, что в том же 1827 г. вышла в свет книга "Барицентрическое исчисление" немецкого математи­ка А.Ф. Мебиуса (1790 — 1858), ученика Гаусса, в которой он ввел и систематически изучал барицентри­ческие координаты ("бари" в переводе с греческого означает "тяжелый"; поэтому "барицентр" — центр тяжести), с помощью которых ему удалось изложить проективную геометрию. Идеи носились в воздухе, и Ламе, безусловно, их не только впитывал, но и при­менял в различных практических задачах строительной механики.

5. (Комбинаторная задача, 1838 г.). В небольшой своей работе Ламе рассмотрел задачу о нахождении числа способов разделить выпуклый многоугольник на треугольники при помощи диагоналей, если никакие три из них не пересекаются в одной точке. В коммен­тарии к статье редактор журнала Ж. Лиувиль указал
на то, что он обращался ко многим математикам с этой задачей, но они ее не решили; "Ламе был более счастливым; я ничего не знаю о других авторах, ко­торые получили бы решение перед ним, такое же элегантное". Сейчас эта задача фигурирует во многих учебниках и книгах по элементарной математике, осо­бенно тогда, когда нужно продемонстрировать приме­нение принципа математической индукции в геомет­рии; при этом ссылки на первоисточник со временем затерялись и указания на авторство Ламе отсутствуют.

6. (Эффективность алгоритма Евклида, 1844). Видимо, нет ни одного математика, который бы не занимался проблематикой теории чисел, так как простота поста­новок многих задач здесь является предельной — они понятны всем, кто имеет хоть малейший интерес к математическим исследованиям. Не обошел стороной проблемы теории чисел и Ламе, который по этой тематике опубликовал в 1840 — 1847 гг. шесть статей. Не придерживаясь хронологии, расскажем в этом пункте об анализе алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел с точки зрения его эффективности. Его результат, кото­рый сейчас носит название теоремы Ламе, гласит, что число операций последовательных делений в алгорит­ме Евклида для нахождения НОД (а; Ь), а>Ь, меньше 5р, где р — число цифр в десятичной записи числа Ь.

При доказательстве этой теоремы Ламе использовал свойства чисел Фибоначчи; кроме этого он опублико­вал отдельные статьи, где исследовал другие свойства последовательности Фибоначчи и ряда чисел Фарея.

7. (Большая теорема Ферма, 1839 г.). В наследство от величайшего математика П. Ферма (1608 — 1665) человечеству, в частности, осталась проблема, кото­рая сейчас называется "Большая теорема Ферма" (также "Великая", "Последняя", "Знаменитая" и т.д.), утверждающая, что не существует отличных от нуля целых чисел х, у и z, для которых имеет место ра­венство



хп + упп, п>2.

При n=2 такие числа существуют; например, х=3, у=4, z=5 и все пифагоровы тройки чисел. В бумагах Ферма было найдено доказательство этой теоремы при n=4. Что касается общего случая, то Ферма лишь написал на полях книги Диофанта "Арифметика", что он нашел "поистине замечательное доказательство" этого утверждения, но "поля слишком малы, чтобы его уместить".

Простота формулировки проблемы, описанная ин­трига привлекала внимание многих математиков. На протяжении более чем трех веков были обнаружены вполне элементарные доказательства только самого Ферма для n=4 и одного частного случая (так назы­ваемом первый случай теоремы Ферма) для некото­рых простых чисел n. Все остальные полученные ре­зультаты требовали серьезного математического ап­парата. Вот наиболее важные моменты в попытках штурма теоремы Ферма:

1768 г. — Л. Эйлер доказал теорему для n=3;

1823 г. — А. Лежандр опубликовал свои результаты и результаты, полученные Софи Жермен, для первого случая теоремы Ферма (т.е. когда n — простое и когда ни одно из чисел х, у, z не делится на n);

1825 г. — Л. Дирихле и А. Лежандр опубликовали полное решение для n=5;

1839 г. — Г. Ламе дал доказательство для случая n=7 и, тем самым, для всех n, кратных 7 и неделимых на 3 и 5 (сюда включается случай n=14, который раньше при помощи искусственного приема получил Л. Дирихле, но который не распространялся на случай n=7);

1858 г. — Э. Куммер получил доказательство для n=37, 59 и 67. Это подвело итог его собственных исследований (на тот момент) и всех предшественни­ков, который означал, что для всех n<100 теорема Ферма была доказана.

В то время, когда в 1831 г. Ламе вернулся во Францию, атаки на теорему Ферма производились многими и с разных сторон (кроме названных выше, О. Кошм, А. Лебег и др.), и он не мог оставаться в стороне. Любопытно отметить, что в том же номере журнала, где опубликовал свой результат Ламе, на ту же самую тему была опубликована и статья Лебега (случай па=7), но Ламе нашел ошибку в его рассуж­дениях, и Лебег с ней согласился: "Возражения Ламе глубокие... К счастью, я признаю, что можно легко завершить мое доказательство". Сам Ламе также не избежал ошибок в поисках всех простых чисел п >2 (а этого достаточно для полного доказа­тельства). Однако Лиувиль сразу обнаружил серьез­ный пробел, заключающийся в том, что Ламе без доказательства предположил, что основная теорема арифметики о разложении чисел на простые множи­тели без изменения переносится на аналогичные раз­ложения не в кольце целых чисел, а в кольцах алгеб­раических чисел специального вида. Тот факт, что раз­ложение таких чисел на "простые" множители может быть неоднозначным, и более тонкие исследования этого вопроса (Э. Куммер, Р. Дедекинд и др.) привели к созданию мощной современной теории алгебраических чисел. Все это произошло при участии Ламе; при этом правильные и ошибочно "доказанные" результа­ты все шли в дело.

В заключение еще раз подчеркнем, что в стороне от обсуждения остались фундаментальные и основjполагающие исследования Ламе по теории упругости, сопротивлению материалов и задачам математической физики. Для знакомства с этими страницами творчес­кой жизни Г. Ламе можно обратиться к добротно написанной книге [1], где имеется довольно обширная библиография.



ЛИТЕРАТУРА

  1. Воронина ММ. Габриэль Ламе. Л.: Наука, 1987.

  2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.
    М.; Л.: ГИТТЛ, 1937.

  3. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико-
    математическая школа при МГУ. М.: Знание, 1981.

  4. Заичкин ИЛ., Почкарвв И.Н. Русская история: От Ека­
    терины Великой до Александра II. М.: Мысль, 1994.

  5. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподава­
    ние. М.: Наука, 1980.




Павлова О. А., с. , 02.04.2016


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница