Творческое наследие выдающегося математика члена-корреспондента ан ссср, академика ан грузии Андрея Васильевича Бицадзе




Скачать 96.46 Kb.
Дата20.03.2016
Размер96.46 Kb.
Творческое наследие выдающегося математика

члена-корреспондента АН СССР, академика АН Грузии

Андрея Васильевича Бицадзе

Андрею Васильевичу Бицадзе принадлежат первоклассные научные достижения по теории краевых задач для эллиптических уравнений и систем, по теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов, по теории гиперболических систем, по теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, по теории нелокальных краевых задач, а также по теории квазилинейных уравнений и систем в частных производных, моделирующих многие явления, возникающие в естествознании, физике и технике.

В данном докладе мы приводим обзор основных трудов А.Б.Бицадзе в процессе их развития его учениками и последователями.

Фундаментальный вклад внесен А. В. Бицадзе в теорию эллиптических систем. Для эллиптической системы на плоскости он доказал фредгольмовость задачи Дирихле, нётеровость задачи Пуанкаре и получил формулу для индекса задачи Пуанкаре.

В 1948 г. А. В. Бицадзе опубликовал замечательную работу, в которой впервые было обнаружено, что, в отличие от одного уравнения в случае системы уравнений, требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нётеровости задачи Дирихле (как при наличии, так и при отсутствии у соответствующего характеристического уравнения кратных корней). Им построен пример равномерно эллиптической системы (называемой в настоящее время системой А.В.Бицадзе):

, (1)

для которой задача Дирихле не является ни фредгольмовой, ни нетеровой, так как соответствующая однородная задача имеет бесконечное число линейно независимых решений.

После этого примера в своих работах М.И. Вишик и Л. Гординг ввели понятие сильно эллиптичной системы. А А.В. Бицадзе также ввел условие слабой связности эллиптической системы, обеспечивающее для этой системы фредгольмовость задачи Дирихле, нётеровость задачи Пуанкаре и нормальную разрешимость по Хаусдорфу общей краевой задачи. В настоящее время это направление успешно развивается А.П. Солдатовым и его учениками.

В дальнейшем, в работах Н.Е. Товмасяна было показано влияние младших членов системы Бицадзе на фредгольмовость задачи Дирихле с потерей гладкости решения. А несколько лет назад Н.Е. Товмасян, А.П. Солдатов и Т.Ш. Кальменов - Ж.А. Токибетов привели примеры корректной нелокальной граничной задачи для системы Бицадзе.

На сегодняшний день изучение систем типа Бицадзе полностью еще не завершено. Так, например, требуется изучение систем типа Бицадзе в неограниченных областях, нахождение условий компактности ее резольвенты.

А. В. Бицадзе принадлежат выдающиеся результаты по теории уравнений смешанного и составного типов. Принципиальное значение имеет обнаруженная им некорректность постановки задачи Дирихле в областях, где рассматриваемое уравнение является уравнением смешанного типа, и отыскание первых корректных постановок краевых задач при наличии замкнутых линий изменения типа в двумерных областях, а также корректных постановок краевых задач для модельных уравнений смешанного типа в многомерных областях.

Именем Лаврентьева - Бицадзе названа простая модель уравнения смешанного типа:

(2)

Пусть - конечная область, ограниченная при гладкой кривой , а при характеристиками уравнения (2).



Задача Трикоми: Найти регулярное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию

. (3)

Для доказательства единственности решения задачи (2)-(3) А.В. Бицадзе применил новый принцип экстремума, и методом теории функций комплексного переменного вопрос существования решения задачи свел к решению сингулярного интегрального уравнения типа Карлемана.

Эта задача имеет также замечательное обобщение на случай более сложных уравнений и в боле сложных областях. Пусть - конечная область, ограниченная при гладкой кривой , а при кривой и характеристикой уравнения:

(4)



Задача М. (Задача Бицадзе) Найти регулярное решение уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям

. (5)

Отметим, что принцип экстремума для задачи (4)-(5) не проходит. Поэтому при доказательстве единственности гладкого решения (даже при ) придется налагать некоторое условие либо на кривую , либо на не характеристическую кривую . Задачу на снятие этих ограничений Андрей Васильевич Бицадзе ставил любому начинающему способному ученику, а через некоторое время, как правило, ставил ему другую задачу. Только А.П. Солдатову (в случае ) методом алгебры сингулярных операторов со сдвигом удалось снять почти все ограничения на .

Выдающийся математик XX века К.О. Фридрихс впервые заметил, что формально- сопряженной задачей к задаче М является задача Дирихле. Однако, как показано А.В. Бицадзе, задача Дирихле в классе

некорректна. В связи с этим К.О. Фридрихс поставил проблему: Найти истинную сопряженную задачу к задаче М (Задаче А.В. Бицадзе). Эта проблема была решена в начале 90-х годов прошлого столетия М.А. Садыбековым. Он показал, что сопряженной задачей к задаче М является задача Дирихле с негладкой областью определения. А именно, решение задачи Дирихле следует искать не в классе непрерывных, а в классе ограниченных функций. Тем самым, впервые установлено, что у исходной задачи М два граничных условия: , а у сопряженной, как показал М.А. Садыбеков, -три: . Такой факт имеет место и для обобщенной задачи Дарбу для одномерного волнового уравнения. Причем в этом случае наглядно, на простых примерах, можно убедиться в этом.

До настоящего времени все краевые задачи для уравнения (4) изучены для случаев, когда кривая оканчивается дугами нормальной кривой

.

Естественно, надо изучить задачи и для общих контуров . Это является существенной, не простой задачей и мы ожидаем ее решения в ближайшие десятилетия.

В июле 1971 г. по решению Президиума АН СССР А. В. Бицадзе был переведен в Москву на должность заведующего отделом дифференциальных уравнений в частных производных Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. В этот период им, совместно с академиком АН СССР В.А. Ильиным, был поставлена спектральная задача Трикоми:

, (6)

В 1976 году на основании нового принципа максимума Кальменову Т.Ш. впервые удалось доказать, что существует по крайней мере одно собственное значение задачи Трикоми (6). Академик РАН Е.И. Моисеев установил сектор, где отсутствует спектр задачи, а профессору С.М. Пономареву для уравнения



удалось построить систему корневых векторов полную в и в , но неполную в . К сожалению, до сих пор остается неизвестным, существуют ли другие (кроме построенных С.М. Пономаревым) собственные функции задачи.

До сих пор спектральная задача Трикоми остается проблемой для современных математиков. Ей посвящены многочисленные работы учеников и последователей А.В.Бицадзе. Одним из наиболее актуальных вопросов в этом направлении является вопрос о полноте в системы корневых функций задачи Трикоми.

Хотя А.В.Бицадзе и не имеет опубликованных работ по спектральной теории, его заслуженно можно считать одним из ее основоположников. До середины 60-х годов ХХ века считалось, что нелокальные задачи являются чисто теоретическими и не возникают в практике. В связи с этим получила развитие лишь теория самосопряженных краевых задач для дифференциальных уравнений. Однако, после построенной А.В. Бицадзе совместно с А.А. Самарским в 1969 году модели практической задачи, называемой сегодня задачей Бицадзе-Самарского, получила бурное развитие теория нелокальных краевых задач.

Наиболее существенным вкладом в спектральную теорию нелокальных краевых задач является цикл работ академика РАН В.А. Ильина, выполненных им, начиная с 1975 года. Под влиянием его работ появилось большое количество публикаций, посвященных вопросам базисности корневых функций нелокальных краевых задач.

Метод Т.Ш.Кальменова доказательства существования одного собственного значения в дальнейшем был обобщен на различные классы дифференциальных операторов. К сожалению, долгое время не удалось доказать существование другой собственной функции кроме первой для спектральных задач. В связи с этими исследованиями возникла проблема: Существует ли регулярная краевая задача для некоторого дифференциального уравнения, имеющая лишь конечное число собственных значений?

В 2008 году Кальменов Т.Ш. и Сураган Д. доказали, что спектр любой регулярной краевой задачи для произвольного дифференциального уравнения либо пуст, либо бесконечен. Тем самим, бесконечность спектра спектральной задачи (6) была доказана.

Не каждому ученому суждено иметь два именных общезначимых уравнения под своим именем. Скорее Всевышний наградил А.В. Бицадзе за его талант и преданность математике. К сожалению, его научные заслуги оценены не в должной мере из-за околонаучных руководителей и их “всезнаек”.

А.В. Бицадзе также предложил изучить корректные краевые задачи с параллельными линиями вырождения

. (7)

А.М. Нахушев изучил аналог задачи Трикоми для уравнения (7) и построил в этом направлении стройную теорию. М.М. Зайнулабидов, по предложению А.В. Бицадзе, изучил краевую задачу для уравнения с перпендикулярными линиями вырождения



(8)

А.Б. Базарбековым были изучены задачи для уравнения смешанного типа с замкнутыми линиями вырождения.

В работе А.В. Бицадзе и М.С. Салахитдинова изучены корректные краевые задачи для уравнения смешанно-составного типа

. (9)

Полная классификация двумерного уравнения третьего и четвертого порядков с постоянными коэффициентами была дана Джураевым Т.Д. и его учениками.

А.В. Бицадзе также изучены корректные краевые задачи для уравнения

(10)

где вырождается и тип и порядок уравнения.

Большой интерес представляют исследования А.В.Бицадзе классических задач Дарбу и Гурса для гиперболических уравнений и систем второго порядка. А. В. Бицадзе впервые обнаружил, что наличие у гиперболического уравнения параболического вырождения вызывает некорректность в постановке классических задач. Он установил, что даже такая классическая задача, как характеристическая задача Гурса, оказывается, вообще говоря, некорректно поставленной для гиперболической системы второго порядка (даже при отсутствии у нее параболического вырождения), при этом оказывают влияние коэффициенты системы при младших производных. Это направление получило дальнейшее развитие в работах Харибегашвили С.С. и других.
Нелинейные задачи для гиперболических и уравнений смешанного типа рассматривались в работах Гвазава Д., Врагова В.Н. и их учеников.

Для постановки корректных задач для уравнения гиперболического и уравнения смешанного типов, А.М. Нахушевым построена теория краевых задач со смешением для двумерного гиперболического и уравнения смешанного типов, которая получила весьма широкое признание всеми специалистами в этой области и имеет глубокое развитие.

А.В. Бицадзе с А.М. Нахушевым изучили корректную постановку многомерной краевой задачи для гиперболического уравнения и уравнения смешанного типа. Им найден следующий многомерный аналог принципа Асгейрсона:

, (11)

где - значения функции на вершине корпуса , а - ограниченный оператор на значениях функции на характеристическом конусе. С помощью этого принципа найдены новые корректные краевые задачи, как для гиперболических, так и для уравнений смешанного типов.

Пусть , где

Многомерная локальная краевая задача Бицадзе. Найти в регулярное решение уравнение

, (12)

удовлетворяющее условию

(13)

Сильная разрешимость этой многомерной локальной краевой задачи для уравнения с младшими коэффициентами исследовалась в работах А.В. Бицадзе, А.М. Нахушева, В.П. Диденко, В.Н. Врагова. Методом симметрий Кальменов Т.Ш. получил решение рассматриваемой модельной задачи в явном виде.

Большой вклад внес А. В. Бицадзе в теорию многомерных сингулярных интегральных уравнений, увязав эту теорию с фундаментальными задачами теории уравнений в частных производных (такими, как многомерная задача с наклонной производной и др.). Исследование А.В. Бицадзе по задачам с наклонной производной для эллиптических уравнений были развиты в работах академика Ш.А. Алимова, профессора А.И. Янушаускаса и их учеников.

Задача Бицадзе-Самарского первоначально построенная авторами для эллиптических уравнений второго порядка, в настоящее время изучена для параболических, гиперболических и уравнений смешанного типов. Абстрактные обобщения задачи Бицадзе-Самарского в виде корректного сужения максимального дифференциального оператора в банаховых пространствах даны М. Отелбаевым и его учениками. Полнота системы корневых векторов задачи Бицадзе-Самарского доказана для эллиптических уравнений Т.Ш. Кальменовым.

Большой цикл работ Андрея Васильевича посвящен отысканию классов точных решений и выяснению структурных свойств решений широкого класса квазилинейных уравнений и систем в частных производных, моделирующих многие физические явления и включающих в себя уравнения Максвелла — Эйнштейна, уравнения ферромагнетизма, уравнения калибровочных полей и другие. Так для класса нелинейных систем уравнений

(14)

А.В. Бицадзе установил, что если совокупности функций является решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений



,

то соотношения в которых - общее решение линейного уравнения в частных производных



,

дают класс точных решений систем (14).



Большой интерес имеют и работы А. В. Бицадзе, опубликованные в 80-х годах ХХ века, и посвященные установлению связи между решениями задач Дирихле и Неймана для гармонических функций в областях специального вида, а также исследованию интегральных уравнений Фредгольма первого рода со слабыми сингулярностями (с ядрами Неймана).



База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница