Тема движение заряженных частиц в полях сила Лоренца




Скачать 391.54 Kb.
страница1/3
Дата07.08.2016
Размер391.54 Kb.
  1   2   3
ТЕМА 9. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ

9.1. Сила Лоренца

Как известно, ток в металлическом проводнике представляет собой направленное движение электронов. Отсюда следует, что сила Ампера обусловлена тем, что магнитное поле действует на каждый электрон, и это действие передается всему проводнику.

Найдем силу, действующую на один электрон. Для этого в равенстве (8.2) сделаем замену :

(здесь – элементарный заряд, т.е. модуль заряда электрона). Учитывая, что вектор направлен противоположно дрейфу электронов, имеем:



.

Понятно, что произведение численно равно количеству электронов в элементе проводника длиной . Разделив на эту величину, найдем силу, действующую на один электрон:



.

Поскольку заряд частицы является алгебраической величиной, силу, действующую на нее, можно представить так:



.

Модуль этой силы (она называется магнитной силой) , где – угол между векторами и . Следовательно, если заряженная частица движется вдоль или против линий индукции, магнитная сила равна нулю. Ее вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и . Поэтому магнитная сила не совершает работу над частицей и не изменяет ее кинетическую энергию. На практике для определения направления действия магнитной силы используется правило левой руки; при этом необходимо учитывать, что заряд частицы – величина алгебраическая. Если же частица находится в магнитном и электрическом полях, то суммарная сила, действующая на нее, называется силой Лоренца:



.

Тем не менее под силой Лоренца часто подразумевают лишь ее магнитную составляющую.

Пусть заряженная частица движется в однородном магнитном поле. Как уже отмечалось, если угол между векторами и равен нулю либо 1800, скорость частицы не изменяется, ее траектория представляет собой прямую линию. Если же , модуль силы Лоренца равен , она направлена перпендикулярно векторам и . В этом случае модуль скорости частицы остается постоянным, изменяется лишь направление вектора . Иначе говоря, частица будет двигаться по окружности. Из динамического уравнения движения несложно найти ее радиус и период

обращения частицы:



.

Легко видеть, что период не зависит от скорости частицы, но определяется индукцией магнитного поля и отношением , которое называется удельным зарядом частицы.

Пусть теперь вектор скорости частицы образует с направлением линий индукции угол . В этом случае , где и – компоненты вектора , перпендикулярный и параллельный направлению движения. Понятно, что , . В соответствии с этим сила Лоренца

.

Поскольку второе слагаемое равно нулю, движение частицы можно представить как суперпозицию вращения по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, и прямолинейного перемещения вдоль силовых линий со скоростью . В итоге заряженная частица будет двигаться по спирали, ось которой направлена вдоль линий индукции. Умножив период обращения на , найдем шаг спирали, т.е. расстояние между соседними витками:



;

направление закручивания спирали определяется знаком заряда частицы.

Формулы для периода обращения и шага спирали были получены в приближении . В релятивистском случае динамическое уравнение движения частицы имеет вид:

.

Поскольку магнитная сила не изменяет модуль скорости, , и уравнение упрощается:



.

Понятно, что производная представляет собой вектор нормального ускорения. Учитывая, что векторы и сонаправлены, можно перейти к скалярному уравнению:



.

Легко видеть, что при получаются соответствующие формулы для нерелятивистского случая.

Если заряженная частица движется в неоднородном осесимметричном магнитном поле, то по мере проникновения ее в область с большей индукцией радиус спирали и шаг уменьшаются. Иначе говоря, частица движется по скручивающейся спирали, которая «навивается» на линии индукции. На этом явлении основана магнитная фокусировка пучков частиц в устройствах электронной оптики.

9.2. Магнитное взаимодействие точечных зарядов

Несложно показать, что сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, – это релятивистский эффект, обусловленный конечностью скорости распространения света. Для этого найдем силу магнитного взаимодействия двух точечных зарядов и , движущихся со скоростями и . Каждый из них создает магнитное поле, действующее на другой заряд; индукция такого поля определяется законом Био-Савара-Лапласа.

Обратимся вновь к проводнику с током. Согласно принципу суперпозиции, его магнитное поле обусловлено наложением магнитных полей всех носителей тока в проводнике. Имеем следующее:

(здесь – сила тока в элементе проводника объемом , – площадь поперечного сечения проводника, – вектор плотности тока). Для упрощения рассуждений будем считать, что ток обусловлен движением только положительно заряженных частиц. В таком случае



(здесь – заряд частицы, – их концентрация, – скорость дрейфа).

Согласно закону Био-Савара-Лапласа,

.

Сделаем здесь замену :



.

Поскольку все носители тока движутся в проводнике с одинаковой скоростью, найдем индукцию поля, создаваемого одной частицей:



. (9.1)

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , его направление по отношению к этой плоскости определяется знаком заряда (рис. 9.1 а, б). Модуль вектора равен нулю, если либо ,



Рис. 9.1


он имеет максимальное значение, если .

Магнитная сила, действующая на вторую частицу, движущуюся со скоростью в магнитном поле первой частицы:



. (9.2)

Согласно (9.1),



(9.3)

(здесь – вектор, характеризующий положение второй частицы относительно первой). Сделаем в равенстве (9.2) замену согласно (9.3):



.

Будем считать, что частицы движутся вдоль параллельных прямых, оставаясь напротив друг друга (рис.9.2). Из свойств векторного произведения следует, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка к нам, его модуль равен . Вектор направлен противоположно вектору ,



Рис. 9.2


а его модуль равен . Поэтому

, . (9.4)

Отсюда следует, что направление силы определяется знаком произведения : если заряды одноименны, магнитная сила направлена вниз, т.е. противоположно вектору . В таком случае сила , действующая на первую частицу со стороны магнитного поля второй частицы, направлена вверх. Иначе говоря, одноименно заряженные частицы, движущиеся в одну сторону, будут притягиваться друг к другу, противоположно заряженные – отталкиваться. Полагая скорости движения обеих частиц одинаковыми, находим модуль силы их магнитного взаимодействия в вакууме:



.

Модуль силы кулоновского взаимодействия этих же частиц:



.

Легко видеть, что отношение магнитной силы к электростатической равно . В электродинамике доказывается, что , где – скорость света в вакууме. Поэтому .

Таким образом, величина силы магнитного взаимодействия заряженных частиц относительно кулоновской силы зависит от соотношения и . Один из постулатов частной теории относительности гласит, что скорость света – наибольшая из всех скоростей, существующих в природе. Если же считать, что ,

.

Следовательно, магнитная сила, действующая на движущуюся заряженную

частицу – это релятивистский эффект, обусловленный конечностью скорости света.

9.3. Измерение заряда и массы электрона

Закономерности, свойственные движению заряженных частиц в магнитных и электрических полях, сыграли очень важную роль в развитии физики и техники. Ниже мы остановимся на том, как был открыт электрон – первая элементарная частица, носитель наименьшего отрицательного заряда.

В 1897 г. выдающийся английский физик Дж. Дж. Томсон занимался исследованием отклонения в электрических и магнитных полях отрицательно заряженных частиц, вылетающих из катода в тлеющем разряде. Поскольку природа этих частиц в то время была неизвестна, они получили название катодных лучей. Результаты Томсона были совершенно неожиданными: оказалось, что удельный заряд частиц не зависел от химической природы газа в разрядной трубке и от материала катода. Самое удивительное заключалось в том, что численное значение для частиц катодных лучей оказалось намного больше, чем для самого легкого иона – водорода, найденного в опытах с электролизом. Основываясь на результатах своих экспериментов, Томсон пришел к выводу, что частицы катодных лучей не могут быть ионизированными атомами газа либо вещества катода и представляют собой элементарные частицы, общие для всех веществ. Дальнейшие исследования подтвердили вывод Томсона: такое же значение имеют носители тока в металлических проводниках, отрицательно заряженные частицы, возникающие в результате радиоактивных превращений ядер, при термоэлектронной эмиссии, внешнем фотоэлектрическом эффекте, автоэлектронной эмиссии. Эти частицы, названные электронами, тождественны между собой и являются составной частью атомов и молекул всех веществ, существующих в Природе.

В том же 1897 г. Томсон впервые измерил удельный заряд электрона. Соответствующие опыты проводились с использованием трубки, в которой возбуждался тлеющий разряд (рис. 9.3). Давление газа в трубке было настолько низким, что большая часть электронов, вылетающих из катода, пролетали через отверстие в аноде, достигали конца трубки и вызывали свечение на расположенном там экране. Анод одновременно играл роль диафрагмы, поэтому размер светящегося пятна был очень мал.

Прежде чем попасть на экран, пучок проходил между горизонтально

Рис. 9.3


расположенными пластинами конденсатора. Подавая на конденсатор напряжение, можно было смещать пучок в вертикальном направлении. Разрядная трубка помещалась между полюсами электромагнита, с помощью которого можно было создавать магнитное поле, перпендикулярное электрическому полу конденсатора, которое также могло вызывать вертикальное смещение пучка. Соответствующий расчет дает, что смещение пучка под действием магнитного поля

, (9.5)

где – коэффициент, определяемый геометрией измерительной установки, – радиус окружности электрона в магнитном поле.

Измерив смещение светящегося пятна, Томсон включал дополнительно электрическое поле и подбирал его напряженность таким, чтобы пятно вернулось в то же место, где оно было до включения обоих полей. Понятно, что при этом магнитная сила уравновешивалась электрической силой:

(9.6)

Исключив из уравнений (9.5) и (9.6) скорость, получим формулу для вычисления удельного заряда электрона:



.

Томсон провел измерения с различными газами и с катодами, изготовленными из различных металлов; скорость электронов также варьировалась в два раза. Численные значения удельного заряда каждый раз получались примерно одинаковыми с погрешностью 15%. Из-за больших систематических погрешностей, которые в те времена устранить было весьма затруднительно, значение , найденное Томсоном, примерно в 2,5 раза превышает значение, принятое в настоящее время: Кл/кг.

Численные значения заряда и массы электрона впервые были измерены в 1909 г. в опытах, поставленных американским физиком Р. Милликеном. В закрытое пространство между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора вводились путем разбрызгивания мельчайшие капельки масла. При этом (при разбрызгивании) капельки электризовались, поэтому их можно было устанавливать неподвижными, подбирая напряжение на конденсаторе. Равновесие наступало при условии

. (9.7)

В последнем равенстве – заряд капельки, – напряженность электрического поля, – суммарная сила тяжести и архимедовой силы:



(9.8)

(здесь – радиус капельки, – ее плотность, – плотность воздуха). Для измерения находилась скорость равномерного падения капельки, которое в отсутствие электрического поля устанавливалось при условии равенства силы силе сопротивления воздуха:



(9.9)

(здесь – вязкость воздуха). Движение капельки наблюдалось в микроскоп; для изменения определялось время, за которое капелька проходила расстояние между двумя метками в поле зрения микроскопа. Поскольку точно зафиксировать равновесие капельки в электрическом поле оказалось довольно сложно, Милликен включал поле, под действием которого капелька медленно двигалась вверх. Установившаяся скорость подъема находилась из условия равенства электрической силы сумме сил и :



. (9.10)

Из системы уравнений (9.7)-(9.10) можно выразить величину заряда капельки (этот заряд возникал при введении капелек в конденсатор путем разбрызгивания масла):



.

Далее Милликен ионизировал воздух, облучая пространство между пластинами конденсатора рентгеновским излучением. Отдельные ионы, прилипая к капельке, изменяли ее заряд, что приводило к изменению скорости ее движения вверх. После измерения нового значения и заряда капельки межэлектродное пространство конденсатора вновь облучалось, и т.д. Таким образом было установлено, что изменения заряда капельки и сам заряд каждый раз получались целыми кратными одной и той же величины. Тем самым была доказана дискретность электрического заряда, т.е. тот факт, что в природе существуют минимальный положительный и минимальный отрицательный заряды, из которых состоит любой электрический заряд. Численное значение минимального отрицательного заряда (фактически – заряда электрона), найденное Милликеном, составляет -1,66021∙10-19 Кл; такой же по модулю минимальный положительный заряд, обозначаемый впоследствии , называется элементарным зарядом. По известному значению и заряду электрона оказалось возможным найти его массу: кг.



9.4. Эффект Холла

Этот эффект наблюдается при наличии тока в проводнике с прямоугольным сечением, помещенном в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, и заключается в возникновении разности потенциалов между противолежащими гранями проводника (рис.9.4). Опыт показывает, что модуль разности потенциалов между точками и



, (9.11)

где - постоянная Холла, – сила тока, – модуль магнитной индукции; при изменении направления вектора знак разности потенциалов изменяется.



Рис. 9.4


Пусть ток в проводнике обусловлен движением положительно заряженных частиц, например – дырками в полупроводнике. При этом сила тока , где – заряд частицы, – проекция ее скорости на ось

, - концентрация частиц, - площадь поперечного сечения проводника. Поскольку , сила тока . Под действием силы Лоренца при указанном на рис. 9.2 направлении вектора индукции носители тока будут отклоняться вверх. Поэтому на верхней грани проводника будет накапливаться избыточный положительный, на нижней грани – нескомпенсированный отрицательный заряд. В результате этого в проводнике возникнет поперечное электрическое поле, вектор напряженности которого будет направлен от верхней к нижней грани. По мере накопления разноименных зарядов напряженность этого поля будет увеличиваться до тех пор, пока не уравняются модули электрической и магнитной сил: (здесь - проекция вектора напряженности поперечного поля на ось ). Из этого равенства следует, что в установившемся режиме

. (9.12)

Поскольку напряженность поля в рассматриваемом случае изменяется только вдоль оси , . Проинтегрировав последнее равенство, найдем разность потенциалов между точками и :



.

Полагая поперечное поле однородным, имеем:



. (9.13)

Так как в рассматриваемом случае , величина разности потенциалов положительна. Если же ток в проводнике обусловлен движением отрицательно заряженных электронов, то при указанной на рис. 9.2 полярности подключения источника тока они двигаются против оси и отклоняются магнитной силой к к верхней грани. В соответствии с этим вектор напряженности поперечного электрического поля теперь направлен вдоль оси . Так как в этом случае , из уравнения (9.9) следует, что разность потенциалов отрицательна.

Модуль разности потенциалов с учетом (9.13) определяется следующим равенством: Из сопоставления его с равенством (9.11) имеем:

Поскольку , а , находим, что (здесь - модуль плотности тока, - площадь поперечного сечения проводника, - модуль заряда носителя тока, - концентрация носителей). Исключив переменную из двух последних равенств, получим: . Отсюда немедленно следует физический смысл постоянной Холла. Решив это уравнение совместно с уравнением , по измеренным значениям постоянной Холла и удельной проводимости можно найти значения концентрации и подвижности и, соответственно, сделать определенные выводы о природе носителей тока в проводнике.


  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница