Случайные величины § Случайные величины. Функция распределения



Дата09.01.2019
Размер318 Kb.
ТипГлава




Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 6. Случайные величины. Функция распределения.

Величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение, какое именно, неизвестно, называется случайной величиной (СВ).

Приведем примеры случайных величин:

– число выпавших очков, при бросании игральной кости;

– число появлений события A в n испытаниях по схеме Бернулли;

– число, равное времени безотказной работы двигателя определенной марки;

– ошибка измерений.

Случайную величину можно рассматривать, как совокупность случайных чисел, причем каждое число ставится в соответствие элементарному исходу. Иными словами, случайная величина есть числовая функция, заданная на пространстве элементарных исходов.

Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их возможные значения маленькими x, y, z,… (последние откладываются на числовой оси). Все случайные величины делят на два больших класса: дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется такая величина, возможные значения которой представляют собой счетное множество, конечное или бесконечное (на числовой оси – это отдельные изолированные точки).

Так, число очков, выпадающие при бросании игральной кости, число появлений события A в n испытаниях, число дефектных деталей в различных партиях являются дискретными случайными величинами.



Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая случайная величина, возможные значения которой представляют собой несчетное множество, т.е. полностью заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный.

Примерами непрерывных случайных величин являются:

– время безотказной работы двигателя;

– погрешность измерений;

– отклонение по дальности от цели при стрельбе из орудия.

Одной из основных характеристик случайной величины является ее закон распределения.



Законом распределения называют любое правило, позволяющее находить либо вероятности отдельных значений дискретных СВ., либо вероятность попадания в любой заданный интервал для непрерывных СВ.
Закон распределения СВ может иметь различные формы. Общей формой закона распределения случайной величины Х является функция распределения.
Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция , которая для любого числа равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, меньшее, чем , т. е. .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее данной точки x.





Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определяющая для каждого аргумента x вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие чем x, т.е. F(x) = P(X < x). Это вероятность того, что случайная величина X попала в интервал (–∞, x).
Свойства интегральной функции распределения:

1. неубывающая функция, т.е. если , то ;

2. ;

3. ;

4. Вероятность попадания СВ X в интервале определяется по формуле

.

Обычно для определенности левую границу включают в интервал, а правую нет. Вообще для НСВ верно, что



.

§ 7. Дискретные случайные величины (ДСВ). Способы задания.

Пусть X – дискретная случайная величина, которая принимает значения x1, x2,..., xn с некоторой вероятностью pi. Где i=1, 2, …, n, … Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение xi: . Закон распределения дискретной случайной величины X удобно записывать в виде таблицы, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины x1, x2,..., xn и вероятности их появления :



xi

x1

x2



xi

pi

p1

p2



pi

В нижней строке таблицы , основное свойство таблицы

Такой способ задания ДСВ называют рядом распределения.

Закон распределения можно изобразить графически. Для этого рассмотрим совокупность пар (x1, p1), (x2, p2), …, (xn, pn). Нанесем точки с этими координатами на плоскость и соединим их поочередно отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником (или полигоном) распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

,

где суммирование ведется по всем индексам , для которых . Для дискретной случайной величины функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.







Пример 1. Пусть задана дискретная случайная величина своим законом распределения. По закону распределения записать функцию распределения, построить график функции распределения, построить многоугольник распределения.

xi

1

4

8

pi

0,3

0,1

0,6

Решение. Найдем для нее функцию распределения.

Построим график функции распределения





Пример 2. Составить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при одном броске p = 0,3. Построить многоугольник и функцию распределения.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности могут быть вычислены по формуле:

.

Здесь .



Ряд распределения



xi

0

1

2

3

pi

0,343

0,441

0,189

0,027

Многоугольник распределения Функция распределения


§ 8. Непрерывные случайные величины (НСВ). Способы задания.

С помощью функции распределения можно дать более строгое определение непрерывной случайной величины.



Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: . Поэтому для непрерывной случайной величины X имеем



. (*)
Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Пусть функция распределения данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.



Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция .

Функцию называют также дифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. ; обладает свойством нормированности:

; .

График функции называется кривой распределения.


Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

(1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток определяется равенством:



. (2)

Это площадь криволинейной трапеции с границами x=, x=, y=0, y=f(x).




Пример 3. Непрерывная случайная величина имеет интегральную функцию распределения:

Найти . Построить графики .



Решение. По условию задачи функция F(x) непрерывна. При х = 0 разрыва нет. ; , чтобы при х = 1 не было разрыва, выбираем а = 1.




или



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница