Решение Введем обозначения: ab хорда окружности




Скачать 97.26 Kb.
Дата05.06.2016
Размер97.26 Kb.
Определение

Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.

Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.

Итак, понятия вписанного и центрального угла неразрывно связаны с окружностью и хордами внутри нее. А теперь — основное утверждение:

Теорема

Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.



вписанный угол amb и центральный угол aob

Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач B6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.

Задача [Материалы подготовки к ЕГЭ]

Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

Решение

Пусть AB — рассматриваемая хорда, O — центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB — радиусы окружности. Получим:



aob - равносторонний треугольник

Рассмотрим треугольник ABO. В нем AB = OA = OB — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO —равносторонний, и все углы в нем по 60°.

Пусть M — вершина вписанного угла. Поскольку углы O и Mопираются на одну и ту же дугу AB, вписанный угол M в 2 раза меньше центрального угла O. Имеем:

M = O : 2 = 60 : 2 = 30

Ответ


30

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение


Введем обозначения:

  1. AB — хорда окружности;

  2. Точка O — центр окружности, поэтому угол AOB —центральный;

  3. Точка C — вершина вписанного угла ACB.

вписанный угол acb и центральный угол aob

Поскольку мы ищем вписанный угол ACB, обозначим его ACB = x.Тогда центральный угол AOB равен x + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:



AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 · x;
x = 36.

Вот мы и нашли вписанный угол AOB — он равен 36°.

Ответ

36

Окружность — это угол в 360°



Прочитав подзаголовок, знающие читатели, наверное, сейчас скажут: «Фу!» И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:

тригонометрическая окружность

К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360 : 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B6.

Задача [Материалы подготовки к ЕГЭ]

треугольник abc и описанная окружность

Точки AB и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший уголтреугольника ABC.

Решение

Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x. На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB: дуга BC = 3xAC = 5x.В сумме эти дуги дают 360 градусов:



AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B.Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна5x = 5 · 40 = 200 градусов.

Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральныйугол AOC. Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC. Имеем:

ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100

Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC.

Ответ

100


Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника

Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи B6 без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений, что вы скорее уснете, чем дойдете до ответа.

Теорема

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.



прямоугольный треугольник abc и описанная окружность

Что следует из этой теоремы?



  1. Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы;

  2. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B6.

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

прямоугольный треугольник abc и медиана cd

В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°,а угол B — 60°. Найдите угол ACD.

Решение

Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные.



В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD.Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. «Задача B6: отрезки и углы в треугольниках». Поэтому искомый угол ACD = A.

Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC. Обозначим угол A = x.Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:



A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Ответ


30

Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюдаугол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница