Равнодействующая двух пересекающихся сил; диагональ параллелограмма




Скачать 304.92 Kb.
Дата27.07.2016
Размер304.92 Kb.



http://teormex.net


Статика

Равнодействующая двух пересекающихся сил– ; диагональ параллелограмма . Равнодействующая сходящихся сил . Проекции силы на оси координат (для плоской системы сил): Fx=Fcos; Fy=Fcos. Модуль силы: ; направляющие косинусы: разложение на составляющие: , Для пространственной системы: ,

Fx=Fcos; Fy=Fcos; Fz=Fcos; ; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: Rx=Fix; Ry=Fiy; Rz=Fiz; . Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое: , аналитические: Fix=0; Fiy=0; Fiz=0. Условие равновесия пар сил: . Момент силы относительно точки: – векторное произведение. Модуль векторного произведения: RFsin= Fh. Плоская система сил: Fh, >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр.



=(yFz – zFy) +(zFx – xFz) +(xFy – yFx) , проекции момента силы на оси координат: М0x( )=yFz – zFy; М0y( )=zFx – xFz; М0z( )=xFy – yFx.

Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.: , или , А,В,С точки не на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.

Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): . Сила трения скольжения: . tgсц=fсц; tgтр=f. Мтр= fkN – момент трения качения. Момент силы относительно оси: . Моменты силы относительно осей координат: Мx( )=yFz – zFy; Мy( )=zFx – xFz; Мz( )=xFy – yFx. Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I1= Fo2= Fx2+Fy2+Fz2; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент: I2= =FxMx+FyMy+FzMz.

Проекция гл. момента на направление гл. вектора . Мmin=M*

Главный вектор и главный момент ,

уравнения центральной оси: .



Условия равновесия простр. сист.сил: Fkx=0; Fky=0; Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0; Mz(Fk)=0. Условия равновесия для системы параллельных сил (||z): Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0. Координаты центра ||-ых сил: . Координаты центра тяжести: ; ; где Р=рk. Центр тяжести плоской фигуры: , . Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2: ; кругового сектора: .

Статический момент площади плоской фигуры – Sx=yiFi= Fyc; Sy=xiFi= Fxc.

Объем тела вращения V=2xcF; площадь поверхности вращения F=2xcL.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .

Кинематика

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).



Координатный способ: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный способ: радиус-вектор = , модуль , направляющие косинусы: и т.д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор скорости: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т.д.

Естественный способ: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcos, y=rsin. Ускорение точки. . Проекции уск.-я: и т.д. Модуль уск.-я: , направляющ. косинусы: , и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я . . Модуль нормального ускорения: ,  – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения , ,  . Прямолинейное движение: = , аn=0, a=a. Равномерное криволинейное движение: v=const, a=0, a=an. s=s0+vt, при s0=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движение: а=a=an=0.

4) Равнопеременное криволинейное движение: a=const, v=v0+at, .

Угловая скорость: , . Угловое ускорение тела: . Равномерное вращение: =const, =t, =/t, равнопеременное вращение: =0+t; . Скорости и ускорения точек вращающегося тела: .

v=rsin() = (CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.



Формулы Эйлера: ,

vx=yz – zy; vy=zx – xz; vz=xy – yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= – y; vy=x. Ускорение: . Вращательное уск. , авр=rsin, центростремительное уск. , ац=2R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремительным ускорениями: . Плоское движение твердого тела.



Уравнения плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t),  = f3(t), Скорость ; , vBA= BA, vAcos = vBcos. Мгновенный центр ск-ей – Р: . , . Ускорения: ,

. , , , . Мгновенный центр уск-ий – Q; , , . Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: =f1(t); =f2(t); =f3(t)  – угол прецессии,  – угол нутации,  – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: . Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=rsin=h, h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. авр=rsin=h1, h1– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение , аос=2h. Движение свободного тв.тела. Ур-ия движ.св.тв.тела: xA=f1(t); yA=f2(t); zA=f3(t); =f4(t); =f5(t); =f6(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела: . Ускорение точки св.тв. тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

, ;

, ;

; ; ,

, . Теорема о сложении ускорений -

теорема Кориолиса:

и т.д.

1) ;

2)

3) ;

4) ,

; ; .

. , ; ас= 2|evr|sin(e^vr).

Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угловых ск-ей: .

. Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации ,

угл. ск. собственного вращ-ия . , – кинематические уравнения Эйлера.



Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

Вращения направлены в одну сторону. =2+1, ,



. 2) Вращения направлены в разные стороны. ,

 = 2—1, . 3) Пара вращений ; vA=vB, v=1AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и =const, то h= =const, . Динамика



Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: ,

; .

– дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:

x=f(t,C1,C2), начальные условия: t=0, x=x0, =Vx=V0.

Свободные колебания ; c/m=k2, ; x= C1coskt + C2sinkt,

= – kC1sinkt + kC2coskt, С1= х0, С2= /k, т.е. x= х0coskt + ( /k)sinkt.

С1=Аsin, C2=Acos, x=Asin(kt+) – гармонические колебания, А= амплитуда, tg=kx0/ ,  – начальная фаза свободных колебаний; – собственная частота колебаний; период Т=2/k. Статическое отклонение ст=Р/с. Т=2 .



Затухающие колебания Rx= – b сила сопротивления, , b/m=2n, , характеристическое уравнение: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:

z1,2= . а) n ,

x=Ae-ntsin(kt+). , ; частота затухающих колебаний: k*= ; период: . – декремент колебаний; –nT*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение n  k . При n > k: , обозначая С1=(В12)/2, С2=(В12)/2, . При n = k: , ,



Вынужденные колебания: возмущающая сила: Q = Hsin(pt+), р – частота возмущающей силы,  – начальная фаза. , h=Н/m, .

х = х***. х*= C1coskt + C2sinkt, х**= Asin(рt+).

– количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д. - момент количества движения матер.

точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. . Если МО= 0,  =const. =const,

где – секторная скорость. Элементарная работа dA = Fds, F – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscos. dA= – скалярное произведение; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1:

. Если F=const, то = Fscos. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М0 выше М1.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , Fтр=fN. Сила притяжения (тяготения): , k=gR2. Работа силы тяготения: .



Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме: . – кинетическая энергия материальной точки. В конечном виде: . , U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: А=Аi= dU. Работа сил на конечном перемещении . Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А1,2= П1– П2. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральная сила – , . Гравитационная сила , , f = 6,6710-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения.

Первая космическая скорость v1=  7,9 км/с, R = 6,37106м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v11=  11,2 км/с.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин: ,  – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: .

Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д. Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек: или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер.точки: mh2. Момент инерции тела: Jz= mkhk2. При непрерывном распределении масс: Jx= (y2+z2)dm; Jy= (z2+x2)dm; Jz= (x2+y2)dm. Jz= M2,  – радиус инерции тела. Полярный момент инерции Jo= ( x2+y2+z2)dm; Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент инерции: Jxy=xy dm; Jyz=yz dm; Jzx=zx dm. Jxy=Jyx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; . Сплошной диск: .

Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч):



. Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси: J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2 – 2Jxycoscos – 2Jyzcoscos – 2Jzxcoscos, если координатные оси – главные, то: J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2.

Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс. Если , если при этом в начальный момент vCx0= 0, то   xC= const. Количество движения системы . Теорема об изменении количества движения системы: , проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: . импульсы внешних сил. В проекциях: Q1x – Q0x = Sekx. Закон сохранения количества движения:  = const, в проекциях:  Qx= const. Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы: уравнение Мещерского,

– реактивная сила, секундный расход топлива, . Формула Циолковского: . – число Циолковского, m0 – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) . Теорема об изменении кинетического момента: ; . Закон сохранения кинетического момента: если , то . Кинетический момент вращающегося тела Kz = Jz. Если Mz= 0, то Jz = const. Кинетическая энергия системы .

Т = Тк. Поступательное движение: Тпост= . Вращательное: Твр= . Плоскопараллельное (плоское): Тпл= + , vC – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т= + . Работа момента: . Мощность: N=Mz.



Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме:

dT = , в конечной форме: Т2 – Т1= . Для неизменяемой системы и Т2 – Т1= . Коэффициент полезного действия: ,

= Nмаш/Nдв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела: и т.д.

Дифф-ные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: , .

1) если = 0, то  = const; 2) = const, то  = const.

Уравнение вращательного движения физического маятника: , , дифференциальное уравнение колебаний маятника: , sin  ,

тогда – дифференциально уравнение гармонических колебаний.

Решение этого уравнения:  = С1coskt + C2 sinkt или  = sin(kt + ). Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2 . Для математического маятника: , L= – приведенная длина физического маятника.

Дифф. урав-ния плоского движения тела: ; ; .

— принцип Даламбера для материальной точки.

Сила инерции: , знак (–) означает, что сила инерции против ускорения.

Для системы добавляется уравнение: .

– главный вектор сил инерции, – главный момент сил инерции. , — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции . Главный момент сил инерции при плоском движении: , при вращении вокруг оси z: .



Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Центробежная сила инерции , вращательная .



и , , .

,

,

,

, – центробежные моменты инерции, .

Уравнения равновесия кинетостатики:

,

,

,

,

,

.

Условия отсутствия динамических составляющих:

, , , ,

откуда xC= 0, yC= 0, Jyz= 0, Jzx= 0.



Основы аналитической механики

Принцип возможных перемещений:

; .

Общее уравнение динамики .

Уравнения Лагранжа 2-го рода: , (i=1,2…s), s – число степеней свободы; qi – обобщенная координата; – обобщенная скорость,

Т = Т(q1,q2,…,qS, , ,t) – кинетическая энергия; Qi – обобщенная сила.



. , П = П(q1,q2,…,qS,t) – потенциальная энергия.

Функция Лагранжа: L = T – П, – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях – квадратичная форма обобщенных скоростей, aij= ajiкоэффициенты инерции.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница