«Радианная мера углов»




Скачать 290.62 Kb.
страница1/2
Дата17.07.2016
Размер290.62 Kb.
  1   2
Тема урока: «Радианная мера углов».

Цели урока:



1) учебные:

  • дать понятие о радианном измерении углов,

  • изучить связь между градусной и радианной мерами измерения углов,

  • познакомиться с формулами перевода градусной меры в радианную меру и наоборот,

  • получить представление о вычисление длины дуги с использование значений углов в радианах,

  • научиться применять формулы, изученные на уроке для решения задач и упражнений.

2) развивающие:

  • получение учащимися представлений о появлении тригонометрии как науки, о её практическом применении,

  • развитие навыков абстрактного мышления,

  • развитие представлений о разностороннем подходе к решению задач,

  1. воспитывающие: активизировать интерес к изучаемому материалу.

Ход урока.

1.Организационный момент. Проверка готовности к уроку.

2. Мотивация урока.

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

Сегодня у нас первый урок нового для нас раздела математики – тригонометрии. С отдельными тригонометрическими понятиями вы уже могли встречаться на уроках геометрии и алгебры в 8-9 классах. Но полноценное знакомство с этой наукой мы начинаем именно сегодня.

В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.

Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?

Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете такие задачи решать.

Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины. Для этого нам нужна теоретическая база.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Что называется углом? виды углов, единицы измерения. Транспортир. Построение углов.

1°=часть развернутого угла.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется… отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется… отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется… отношение противолежащего катета к прилежащему катету.



4. Изучение нового материала.

Просмотр презентации. Творческое задание.

В тригонометрии угол-это фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки. Работа с учебником с.234.

Измерение углов.

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол.

Направление поворота против часовой стрелки положительное, а по часовой стрелке - отрицательное. Выполнить задание 1 (нечетные) с.238.

В математике и физике. Кроме градусной меры углов. Используется радианная мера.



Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

; ; ;

Переход от градусной меры углов к радианной
Найдём радианную меру угла72 °

Так как , то

При записи радианной меры угла, обозначение «рад» часто опускают.

Например: .

Заполнить таблицу:

α °
α рад


0


30°


45°


60°


90°


180°


270°


360°


Переход от радианной меры углов к градусной
Выразим в градусах 4,5 рад.
Так как, то

Историческая пауза.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Дугу он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Термин «тригонометрия» означает дословно треугольникомерие или измерения в треугольнике.

5. Закрепление нового материала.

Решение у доски: пример 1, 2 с.236, 2, 4 (нечетные)



6. Повторение. Понятие множества.

Решить №1. 2 с.14

Логическое задание.

7. Самостоятельная работа.

Вариант 1.


  1. Выразите в радианной мере величины углов 75º и 168º.

  2. Выразите в градусной мере величины углов и .

Вариант 2.

  1. Выразите в радианной мере величины углов 64º и 160º.

  2. Выразите в градусной мере величины углов и .

8.Итоги урока. Рефлексия. Д\З.

Выучить п.16, повторить п.1

Решить:

На 7 баллов: № 1(четные), 3



на 9 баллов: +№ 4 (четные)

на 12 баллов: +№ 5 (п.1)

Сообщение: «Такие разные углы»».

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

-Я узнал…

-Я почувствовал…

-Я увидел…

-Я сначала испугался, а потом…

-Я заметил, что …

«Сенкан» к слову «Угол».
Урок по теме «Свойства тригонометрических функций»

Цель урока:



  • Образовательные: Изучить свойства тригонометрических функций, закрепить изученный материал при решении упражнений;

  • Развивающие: развивать умения, анализировать, применять имеющиеся знания у учащихся в изменённой ситуации.

  • Воспитательные: воспитывать у учащихся аккуратность, любознательность, бережное отношение к окружающему миру, нравственные качества; создать условия для развития познавательной активности учащихся, реализации личностных функций каждого учащегося. Ход урок:

1. Организационный момент

Притча о цели.

2. Мотивация урока.

Сегодняшний урок мне хотелось бы начать со слов великого ученого-физиолога И.П Павлова:



«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее». С

Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.

Скажите, пожалуйста, какую тему мы изучаем?

А всякое знание должно перейти в умение и навык.



3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

  • Какие могут быть углы?

  • Как называются стороны прямоугольного треугольника?

  • Что такое катет?

  • Что такое гипотенуза?

  • Какие соотношения между сторонами и углами этого треугольника вы знаете?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется… отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется… отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется… отношение противолежащего катета к прилежащему катету.



Устный счет по «Ромашке» (На лепестках «Ромашки» написаны значения углов в радианах. В центр поочередно прикрепляются таблички «cos» ,«sin», «tg».)

Лепестки «Ромашки»: , , , , 0, , , .

Сердцевинки «Ромашки»: «cos», «sin», «tg».

Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

; ; ;

Переход от градусной меры углов к радианной

Переход от радианной меры углов к градусной

С/Р:


Вариант №1

Вариант №2

1. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image002_0536.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image004_0463.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image006_0372.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image008_0386.gif.

1. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image010_0296.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image012_0323.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image014_0278.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image016_0293.gif.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image018_0256.gif.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image020_0195.gif.

Вариант №3

Вариант №4

1. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image022_0200.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image024_0192.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image026_0182.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image028_0186.gif.

1. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image030_0171.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image032_0145.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image034_0145.gif; http://www.unimath.ru/../images/clip_image036_0130.gif.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image038_0130.gif.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: http://www.unimath.ru/../images/clip_image040_0116.gif.

Задание. В какой координатной четверти расположены углы:



4.Изучение нового материала.

-Знаки тригонометрических функций:

Задание.

Определить знак.



Определите знак





-Четность и нечетность функций:

  1. По единичной окружности устанавливаем равенства: , .

  2. Получаем , .

  3. Вывод: - четная функция, - нечетная функция, -нечетная функция, - нечетная функция.

- нечетная функция.

-Периодичность функции:

Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность.


Функция называется периодичной, если существует такое число T, что для любого значения х из области определения функции http://studyport.ru/images/stories/school/math/123.gif.
Число T называют периодом функции. Например, известные нам тригонометрические функции являются периодическими, наименьший положительный период функций y=sinx и y=cosx равен , y=tgx и y=ctgx , наименьший положительный период которых равен П.

Работа с таблицей 278 учебника.



5. Зарядка для глаз.

6.Закрепление нового материала.

Решить №__________________



7.Самостоятельная работа с учеником с.245-249.

Разобрать примеры с решениями с.249-250.

Задание на повторение.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.__, вопросы с._____. Сообщение « Из истории тригонометрии».

Решить №______________

Что вы узнали нового? На уроке:



  • вы рассматривали …

  • вы анализировали …

  • вы получили …

  • вы сделали вывод …

  • вы пополнили словарный запас следующими терминами …

Тема урока: «Графики функции у=sin x и у=соs x, их свойства»

Цели урока: Ознакомить учащихся со свойствами функции у=sin x и у=соs x, обучение построению графика функции у=sin x и у=соs x, чтению этого графика, использование свойств и графика функции у=sin x и у=соs x, при решении неравенств.

Задачи урока.

Образовательные – формировать умение построения графика функции у= sinx, рассмотреть свойства графика, формировать навыки свободного чтения графиков, умение считывать свойства функции по графику.

Развивающые – развивать логическое мышление, умение анализировать, обобщать полученные знания.

Воспитательные – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей.

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Объявление темы и цели урока.

Тема урока: «Свойства функции у=sin x и ее график».

Сегодня рассмотрим свойства функции у=sinx и построим график. Рассмотрим простейшие преобразования функции, построим графики этих функций и перечислим их свойства.

3 Актуализация опорных знаний:

Выполнение устных упражнений.

Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.

Затем учащиеся отвечают на вопросы:

Учащимся предложена иллюстрация единичной окружности.



Вопросы:

  • При каких значениях х функция у=sinx принимает значение, равное 0? 1? -1?

  • Может ли функция у=sinx принимать значение больше 1, меньше -1?

  • При каких значениях х функция у=sinx принимает наибольшее (наименьшее) значение?

  • Каково множество значений функции у=sinx?

Дана иллюстрация единичной окружности.

Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, синус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:



  • Какой знак имеет значение функции у = sinx?

если х =, х =,

если х =, х =?



4. Изложение нового материала.

Обобщение и конкретизация знаний, полученных ранее: 1)область определения, 2)множества значений, 3)четность или нечетность, 4) периодичность,5) точки пересечения с осями координат, 6) промежутки знакопостоянства, 7) промежутки возрастания и убывания, 8) наибольшее и наименьшее значение функции. Выделенные характеристики позволят построить сначала часть графика функции у = sinx на отрезке , затем на отрезке, потом на отрезке и , наконец на всей числовой прямой.

Так как значение синуса - ордината соответствующей точки единичной окружности. Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности, то область определения функции у = sinx - все действительные числа. Это можно записать так: D (sinx)= R.

Для точек единичной окружности ординаты принимают все значения от -1 до 1, таким образом, для функции у = sinx область значений: у. Это можно записать так: Е(sinx) = .

Синус – нечетная функция: sin(-x) = - sinx. Поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус - периодическая функция с наименьшим положительным периодом Т = 2: sin(x+2) = sinx. Таким образом, через промежутки длиной 2 вид графика функции sinx повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат (на оси Оу значение х=0). Тогда соответствующее значение у =sin0=0, то есть график функции у = sinx проходит через начала координат. Функция обращается в нуль при х =k, при k .

Как видим, наибольшее значение функции sinx равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка, то есть при х =+ 2k, при k .



Наименьшее значение функции sinx равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка, то есть при х = - + 2k, при k . А так же при х=

Для построения графика функции у = sinx на отрезке составим таблицу ее значений:



х

0









у= sinx

0







1

Построим найденные точки и проведем через них кривую, учитывая, что на отрезке функция у = sinx возрастает. Получили график синуса на отрезке . Так как sin(-x) = sin(+x). То график синуса должен быть симметричен относительно прямой х =. Это позволяет построить график синуса на отрезке . Воспользовавшись нечетностью синуса. Получим график синуса на отрезке симметричным отображением построенной части синусоиды относительно начала координат. Так как на отрезке имеет длину, равную периоду синуса, то график синуса на всей числовой оси можно получить параллельным переносами построенной кривой.

Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у = sin x по точкам и обобщают свойства функции.

На этом этапе учащимся выдаются опорные конспекты (все свойства заносятся в таблицу).

Построение графика функции на отрезке

Значения синуса положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в 1 и 11 четвертях. Таким образом, sin х>0 на отрезке (2πk; π+2πk), при k .



синусГрафик функции у = sinx построен.

Промежутки знакопостоянства.

Значения синуса положительны в 1 и 11 четвертях. Таким образом, sin x>0 на отрезке (2 πk ; π+2πk) k .



Промежутки знакопостоянства. Значения синуса отрицательны в 111 и 1V четвертях. Таким образом, sin x>0 на отрезке (π+2 πk ; 2π+2πk) k .

Если хто при увеличении аргумента х ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается. Следовательно , на этом промежутке функция sin x возрастает. Если хто при увеличении аргумента х ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается. Следовательно, на этом промежутке функция sin x убывает.



5. Закрепление первичных знаний.

С помощью таблицы и графика функции у = sin x отвечают на теоретические вопросы

Вместе с классом решаются задачи на сравнение;

А) Сравнить числа

sin 2 и sin 3 ; sin 1000 и sin 1300 ; sin 4 и sin 2;

Расположить в порядке возрастания числа


sin 1.9; sin 3; sin(-1); sin(-1.5).

Решение


Числа sin 1.9 и sin 3 положительны, так как точки Р 1,9 и Р 3 находятся во 2 четверти. Функция у=sinх во 2 четверти убывает. sin 3 < sin 1.9

Числа sin(-1) и sin(-1.5) отрицательны, так как точка Р(-1) и Р(-1,5) находятся в 4 четверти.

Функция у=sinх во 4 четверти возрастает..

sin(-1.5) < sin(-1.5)

Ответ: Таким образом, в порядке возрастания эти числа располагаются так:

sin(-1.5); sin(-1); sin 3; sin 1.9.

6. Зарядка для коррекции зрения.

7. Самостоятельное работа.

Работа с таблицей. «Свойства функции у=соs x и ее график».



косинус

D(f)=


E(f)=

T=

Четность:



график симметричен относительно

f возрастает при х

f убывает при х

нули функции: х=

f>0 при х

f<0 при х

у наибольшее= при х=

у наименьшее= при х=



8. Преобразование графиков тригонометрических функций.

Сдвиг вдоль оси ординат.

Задача на построение графиков функций у=sinх+3 и у=sinх-3

Обсуждение свойств функции.



Сдвиг вдоль оси абсцисс.

Задача на построение графиков функций у=sin(х - ) и у=соs(х+ )

Обсуждение свойств функции.

Сжатие и растяжение к оси абсцисс

Задача на построение графиков функций у= 3 sinх и у= 1/3 соsх

Обсуждение свойств функции.



Сжатие и растяжение к оси ординат

Задача на построение графиков функций у = sin2х и у = соs

Обсуждение свойств функции.

9, Историческая пауза об истории тригонометрии.

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.

Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.

Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру.

10. Выполнение упражнений на преобразование графиков тригонометрических функций. Решить 6(1), 7(1).

11. Подведение итогов. Рефлексия. Д/з.

Выставление оценок.



На уроке научились строить график функции у = sinx, у = соsx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = sinx, у = соsx.

Построить график функции у = sin2х+3 и у = sin(х- )

Описать свойства функций у = sinx, у = соsx. Выучить п.19, решить №1(1), 2(1), 5(1,2).

  1   2


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница