Рабочая программа учебной дисциплины




Скачать 163.71 Kb.
Дата19.04.2016
Размер163.71 Kb.


РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Российской академии наук

Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН

«УТВЕРЖДАЮ»

Директор ВЦ РАН

академик РАН,

д.ф.-м.н., профессор

______________ Ю.Г.Евтушенко


«___»__________________ 2012 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«Уравнения математической физики»

для подготовки аспирантов по специальности


01.01.03 – математическая физика

Москва 2012



1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

Целями и задачами курса являются:



  • углубленное изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными;

  • освоение современного аппарата качественных, аналитических и вариационных методов решения уравнений математической физики и умение успешного их применять к исследованиям актуальных прикладных проблем.

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» В СТРУКТУРЕ ОБОРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ ПОСЛЕВУЗОВСКОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Дисциплина «Уравнения математической физики» относится к обязательным дисциплинам учебного плана подготовки аспирантов по научной специальности 01.01.03 «математическая физика».

Для успешного изучения курса аспиранту необходимо знать следующие дисциплины в рамках университетских курсов:


  • «Математический анализ»;

  • «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»;

  • «Теория функций комплексного переменного»;

  • «Обыкновенные дифференциальные уравнения»;

  • «Дифференциальные уравнения в частных производных»;

  • «Функциональный анализ»

Для успешного изучения курса аспиранту необходимо уметь свободно изучать научную литературу, а также читать и понимать ее на английском языке.

Получаемые в рамках данного курса знания потребуются при подготовке к кандидатскому экзамену по научной специальности 01.01.03 «математическая физика», а также в научно-исследовательской работе и при выполнении диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.



3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Уравнения математической физики» аспирант должен:



  • знать актуальные проблемы и достижения современной математической физики;

  • понимать место и роль дифференциальных уравнений в современной математике и иметь представление о его связи с другими разделами математики, в том числе комплексным анализом, геометрией, топологией, алгеброй, функциональным анализом;

  • понимать связь дифференциальных уравнений с гидродинамикой, теорией упругости, акустикой, электродинамикой, с другими разделами физики и прикладными науками;

  • владеть навыками самостоятельных исследований и уметь на основе полученных знаний составлять модели в прикладных науках, а также гибко владеть широким арсеналом методов, позволяющих эффективно решать соответствующие математические задачи;

  • уметь адекватно излагать полученные результаты и оформлять их в виде научных публикаций.

4. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА КУРСА

Курс посвящен углубленному изучению математического аппарата дифференциальных и интегральных уравнений, применяемого при решении широкого круга физических задач. Кратко повторяется теория обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) и уравнений с частными производными первого порядка, теория динамических систем, включая вопросы устойчивости, и непрерывности решений по параметру, содержащемуся в правой части. Для изучения краевых задач для обыкновенных ДУ используются теоремы Фредгольма. Дается вариационная постановка задач математической физики. Повторяется теория интегральных уравнений как база для операторных уравнений, возникающих в уравнениях и системах уравнений с частными производными. В уравнениях с частными производными рассматриваются классические и обобщенные решения. Значительное место уделяется корректности постановок задач, понятиям эллиптичности и правильной эллиптичности, краевым и начальным условиям. Дается представление о нелинейных задачах и таких характерных для них явлений как разрушение решений. Рассматривается вопрос стабилизации решений параболических уравнений. Излагаются основы нелинейных задач математической физики.



4.1. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ КУРСА

п/п

Наименование

раздела

Содержание раздела


Форма текущего контроля

1.

Введение.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы



Понятие первого интеграла дифференциального уравнения (ДУ). Теоремы Коши для ДУ первого порядка разрешенных и не разрешенных относительно производной. Область существования решения. Теорема Коши для нормальной системы ДУ и для ДУ высших порядков. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы. Сведение задачи Коши для нормальной системы ДУ к задаче существования единственного непрерывного решения соответствующего интегрального уравнения. Линейные системы ДУ и линейные ДУ высшего порядка, формулы Остроградского–Лиувилля–Якоби. Структура общего решения линейных однородных систем ДУ. Матрица Коши. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянной. Уравнения с постоянными коэффициентами, общий вид решения. Квазиполиномы. ДУ с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори.




2.

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Операторная форма постановки краевой задачи. Методы интегрирования краевых задач. Общий метод решения краевой задачи. Случаи единственного решения, множества решений и их отсутствия для краевой задачи. Метод функции Грина. Задача Штурма–Лиувилля для уравнения второго порядка. Теорема о существовании и единственности решения краевой задачи. Формулировка теоремы об условиях существования функции Грина.





3.

Исследование устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства фазовых траекторий автономных динамических систем. Положения равновесия. Классификация фазовых траекторий автономных динамических систем. Условия существования фазовых траекторий без самопересечения, самопересекающихся траекторий – циклов и точек покоя. Теорема о принадлежности фазовой траектории состоянию равновесия динамической системы. Определения устойчивости, асимптотической устойчивости, устойчивости в целом, неустойчивости решений по Ляпунову. Теоремы о необходимых и достаточных условиях всех типов устойчивости решений линейных динамических систем ДУ. Исследование устойчивости решений систем ДУ с помощью функций Ляпунова. Определение производной функции в силу данной системы ДУ. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Устойчивость решений линейных ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара и Михайлова. Сведение задачи исследования устойчивости невозмущенного решения неавтономной динамической системы ДУ общего вида к исследованию нулевого решения системы первого приближения. Формулировка теорем об устойчивости и неустойчивости решений динамической системы дифференциальных уравнений по первому приближению.




4.

Уравнения с частными производными первого порядка

Интегрирование ДУ первого порядка с частными производными. Сведение задачи интегрирования линейного однородного ДУ в частных производных первого порядка к эквивалентной задаче интегрирования соответствующей системы обыкновенных ДУ. Уравнения характеристик. Первые интегралы соответствующей системы ДУ. Теорема об общем решении однородного ДУ в частных производных первого порядка. Интегрирование линейных неоднородных ДУ в частных производных первого порядка. Интегрирование квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Постановка задачи Коши в обобщенной форме. Теория Гамильтона–Якоби.




5.

Элементы вариационного исчисления

Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера-Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.




6.

Интегральные уравнения

Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром. Теорема Гильберта-Шмидта. Ряд Неймана.




7.

Постановка основных задач математической физики

Основные уравнения математической физики (колебаний, диффузии, переноса, гидродинамики, Максвелла, Шредингера). Классификация уравнений с частными производными и систем. Проблема краевых и начальных условий, корректность. Пример Адамара. Аналитические решения. Теорема Коши–Ковалевской.




8.

Эллиптические уравнения. Гармонические функции и их свойства

Понятие правильной эллиптичности. Фундаментальное решение. Интегральное представление функций. Связь гармонических функций двух переменных с аналитическими функциями комплексного переменного. Теоремы о среднем. Принцип максимума, теорема о среднем, лемма о нормальной производной, Теорема об устранимой особой точке. Функция Грина, метод отражений, физический смысл.




9.

Обобщенные и классические решения эллиптических задач

Классические решения основных краевых задач. Обобщенные решения краевых задач. Разрешимость и спектральные свойства первой краевой задачи. Фредгольмова разрешимость эллиптических задач. Вариационный принцип, метод Ритца. Свойства обобщенных собственных функций для оператора Лапласа. Задача на собственные значения и разложения по собственным функциям.




10.

Уравнения параболического типа

Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Функция источника. Формула Пуассона. Принцип Дюамеля. Теоремы о стабилизации. Принцип максимума. Теорема единственности. Смешанные задачи. Построение приближенных решений методом Фурье и методом Галеркина.




11.

Уравнения гиперболического типа

Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное Решение. Задача Коши. Формула Даламбера. Формула Кирхгофа, метод спуска. Принцип Дюамеля. Распространение волн, фронт волны. Смешанные задачи. Построение приближенных решений методом Фурье и методом Галеркина.




12.

Нелинейные уравнения математической физики

Монотонные операторы и их свойства. Нелинейные эллиптические, параболические и гиперболические уравнения. Основные свойства.




4.2. СТРУКТУРА КУРСА

Вид работы

Трудоемкость, часов

Общая трудоемкость

180

Аудиторная работа

36

Лекции

36

Практические занятия




Лабораторные занятия




Самостоятельная работа:

144

Самостоятельное изучение разделов




Самоподготовка (проработка и изучение лекционного материала и учебно-монографического материала, выполнение практических занятий)

144

Вид итогового контроля (зачет, экзамен)

Кандидатский экзамен

Трудоемкость отдельных разделов курса

№ темы и название

Общее число часов

Аудиторная работа (лекции)

Внеаудиторная самостоятельная работа

1. Введение.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы



15

3

12

2. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

15

2

12

3. Исследование устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений

15

3

12

4. Уравнения с частными производными первого порядка

15

3

12

5. Элементы вариационного исчисления

15

3

12

6. Интегральные уравнения

15

2

13

7. Постановка основных задач математической физики

15

2

13

8. Эллиптические уравнения. Гармонические функции и их свойства

15

4

11

9. Обобщенные и классические решения эллиптических задач

15

4

11

10. Уравнения параболического типа

15

4

11

11. Уравнения гиперболического типа

15

3

12

12. Нелинейные уравнения математической физики

15

3

12

Всего (зач ед. (часов))

180 час

36 час.

144 час

5. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕТНО-МЕТАДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Форма контроля знаний:

Кандидатский экзамен по специальности



Контрольно-измерительные материалы

На кандидатском экзамене аспирант должен продемонстрировать знания в объеме основной программы кандидатского экзамена по научной специальности 01.01.03 «математическая физика», гибкое владение широким арсеналом средств, приемов и методов теории дифференциальных уравнений при решении теоретических задач, умение составлять математические модели физических, механических и других прикладных проблем с использованием полученных знаний, а также способность находить оптимальный и адекватный аппарат для эффективного решения задач, к которым сводятся эти модели.


Контрольные вопросы для программы



  1. Теоремы Коши для дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка разрешенных и не разрешенных относительно производной.

  2. Неединственность и несуществование решений ДУ.

  3. Теорема Коши для нормальной системы ДУ и для ДУ высших порядков.

  4. Линейные системы ДУ и их свойства.

  5. Фундаментальная система решений.

  6. Метод вариации постоянной.

  7. Теоремы Фредгольма о разрешимости краевой задачи. Функция Грина.

  8. Теоремы о необходимых и достаточных условиях устойчивости, асимптотической устойчивости, устойчивости в целом, неустойчивости по Ляпунову и их геометрическая интерпретация.

  9. Исследование устойчивости решений систем ДУ с помощью функций Ляпунова.

  10. Интегрирование ДУ первого порядка с частными производными.

  11. Теория Гамильтона–Якоби, скобки Пуассона.

  12. Лагранжиан и уравнения Эйлера-Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.

  13. Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений.

  14. Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных уравнений с эрмитовым ядром.

  15. Классификация уравнений с частными производными и систем старших порядков.

  16. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения.

  17. Фундаментальное решение эллиптических уравнений.

  18. Интегральное представление функций.

  19. Связь гармонических функций двух переменных с аналитическими функциями комплексного переменного. Теоремы о среднем. Принцип максимума. Теорема об устранимой особой точке.

  20. Функция Грина. Метод отражений. Физический смысл.

  21. Метод потенциалов. Потенциал равномерно заряженной сферы.

  22. Обобщенные решения краевых задач с условиями Дирихле и Неймана.

  23. Фредгольмова разрешимость эллиптических задач.

  24. Вариационный принцип, метод Ритца.

  25. Свойства обобщенных собственных функций для оператора Лапласа.

  26. Фундаментальное решение параболического уравнения. Задача Коши.

  27. Смешанные задачи для параболического уравнения. Метод Фурье.

  28. Метод Галеркина для параболических задач.

  29. Фундаментальное решение гиперболического уравнения. Задача Коши.

  30. Формулы Даламбера и Кирхгофа. Метод спуска.

  31. Смешанные задачи для гиперболического уравнения. Метод Фурье.

  32. Построение приближенных решений гиперболических уравнений методом Галеркина.

  33. Нелинейные эллиптические уравнения. Основные свойства.

  34. Нелинейные параболические уравнения. Основные свойства.

  35. Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства.



6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. А.Ф. Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М., УРСС, 2004.

  2. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1973.

  3. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1998.

  4. М.В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.

  5. А.Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., Физматлит, 1985.

  6. Э.Л. Айнс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, НТИУ, 1939.

  7. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.

  8. Ф. Трикоми. Дифференциальные уравнения. М., Изд-во иностр. лит., 1962.

  9. Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики. М., Высшая школа, 1970.

  10. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М., ГИТТЛ, 1953.

  11. Р. Курант. Уравнения с частными производными. М., Мир, 1964.

  12. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. М., Наука, 1981.

  13. В.П. Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983.

  14. Ж.-Л. Лионс. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., МИР, 1972.

  15. А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1985.

  16. В.С. Владимиров (ред.). Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Физматлит, 2003.

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Необходимое оборудование для лекций и практических занятий: Компьютер и мультимедийное оборудование (проектор, звуковая система)

Программу составил д.ф.-м.н. Власов Владимир Иванович

Принята на заседании ученого совета ВЦ РАН

Протокол № _____ от «___ » _________ 201 г.





База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница