Рабочая программа наименование дисциплины : Теория случайных процессов Направление подготовки : 230401 Прикладная математика




Скачать 257.65 Kb.
Дата13.07.2016
Размер257.65 Kb.
Научно-исследовательский университет «Высшая школа экономики»

«Московский институт электроники и математики»



«СОГЛАСОВАНО»


Декан факультета

______ ________/Белов А.В./

«___»_______________2013 г.

«УТВЕРЖДАЮ»


Проректор по учебной работе

_____________/ Рощин С.Ю./

"____"_____________ 2013 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА



Наименование дисциплины: Теория случайных процессов

Направление подготовки: 230401 – Прикладная математика

Квалификация выпускника: специалист

Форма обучения: очная

Факультет: Прикладной математики и кибернетики

Кафедра: Компьютерная безопасность

Москва 2013

  1. Цели и задачи дисциплины.

Научить студентов владеть математическими методами исследования и описания стохастическими динамическими системами.

  1. Требования к уровню освоения содержания дисциплины (требования к знаниям, умениям и навыкам, приобретенным в результате изучения дисциплины).

В результате изучения курса студенты должны овладеть теорией марковских процессов и последовательностей, теорией стохастического интеграла и уравнений.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций и их элементов в соответствии с ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика»:

А) общекультурных (ОК):




  • способность владеть культурой мышления, умение аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1);

  • способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК-11);

  • способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-12);

  • способность работать в коллективе (ОК-13);

  • способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными технологиями (ОК-14);

  • способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);



Б) профессиональных (ПК):

  • способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);

  • способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);

  • способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);

  • способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников (ПК-6);

  • способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области описания случайных явлений и событий (ПК-9);

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:


  • методы построения вероятностных моделей описывающих стохастическую динамику процессов;

  • методы исследования свойств стохастических моделей;

  • свойства марковских процессов;

  • методы описания систем массового обслуживания;

уметь:

  • формулировать математическую постановку задачи;

  • устанавливать свойства решений стохастических систем;

  • адекватно строить математические модели;

владеть:

  • методами теории вероятности;

  • теории интегрирования;

  • методами построения решений уравнения Колмогорова описывающие различные случайные процессы: как непрерывный так и дискретный;

  • стохастическим исчислением Ито;





  1. Вид учебной работы

    Всего часов/З.Е.

    Семестры

    Весенний семестр(7 семестр)/З.Е.

    Осенний семестр (8 семестр)/З.Е.

    Общая трудоемкость дисциплины

    396/9

    180/4

    216/5




    Аудиторные занятия

    144/4

    72/2

    72/2

    Лекции (Л)

    72/2

    36/1

    36/1

    Практические занятия (ПЗ)










    Семинары (С)

    72/2

    36/1

    36/1

    Лабораторные работы (ЛР)










    И (или) другие виды аудиторных занятий










    Самостоятельная работа

    108/3

    36/1

    72/2

    Курсовой проект (работа)




    -




    Расчетно-графические работы




    -

    -

    Реферат




    -

    -

    И (или) другие виды самостоятельной работы




    -

    -

    Вид итогового контроля

    (зачет, экзамен)






    экзамен

    экзамен



    Объем дисциплины и виды учебной работы.










  1. Аудиторные занятия

    с№

    Раздел дисциплины

    Лекции

    ПЗ

    1.

    Основание теории случайных процессов (теорема Колмогорова)

    10

    10

    2.

    Случайные последовательности: марковские последовательности, марковские цепи, мартингалы.

    14

    14

    3.

    Элементы общей теории случайных процессов. Непрерывность случайных процессов. Классификация случайных процессов. Марковские моменты. Полумартингалы.

    12

    12

    4.

    Марковские процессы в широком смысле. Классификация. Марковские полугруппы. Уравнения Колмогорова. Процессы с независимыми приращениями.

    12

    12

    .

    Точечные случайные процессы. Теория восстановления. Теория очередей.

    12

    12

    5.

    Стохастические уравнения и их свойства.

    12

    12




    Содержание дисциплины.

    1. Разделы дисциплины и виды занятий.




    1. Содержание разделов дисциплины

  1. Основание теории случайных процессов (10 часов).

Аксиоматика Колмогорова. Измеримые пространства. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах (Теорема Колмогорова). Случайные элементы Интеграл Лебега (математическое ожидание) и его свойства. Виды сходимостей случайных элементов. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Условные математические ожидания относительно -алгебры. Их свойства и структура. Регулярные условные вероятности. Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса.

  1. Случайные последовательности (14 часов).

Стохастический базис. Марковские последовательности. Переходные вероятности. Теорема Чепмена-Колмогорова. Теоремы существования случайных последовательностей (Колмогоров, Ионеско-Тулча). Процесс определенный рекуррентно (существование, единственность, марковское свойство, примеры).

Полумартингалы (мартингалы, субмартингалы, супермартингалы). Примеры полумартингалов. Теорема Дуба (о существовании конечного предела у полумартингала). Марковские моменты, остановленные последовательности. Локальные мартингалы. Теорема Дуба-Мейера. Квадратично-интегрируемые мартингалы. Характеристики. Локальная абсолютная непрерывность вероятностных мер. Марковские цепи: классификация состояний. Классификация марковских цепей по асимптотическим свойствам. Эргодические марковские цепи.



  1. Элементы общей теории случайных процессов (12 часов).

Основные определения: поток -алгебр (фильтрация), стохастический базис, случайный процесс, согласованный случайный процесс, модификация.

Непрерывность случайного процесса: справа, слева, стохастическая непрерывность. Построение пуассоновского случайного процесса. Полумартингалы (с непрерывным временем: определение, свойства). Теорема Дуба-Мейера. Регулярные полумартингалы. Неравенство Колмогорова. Марковские моменты: определение, свойства. Стохастические интервалы, график марковского момента, локализующиеся последовательности марковских моментов. Остановленные случайные процессы. Локальные полумартингалы. Классификация марковских моментов: предсказуемые, опциональные, достижимые. Классификация потоков -алгебр: предсказуемые, опциональные фильтрации. Опциональный и предсказуемый случаные процессы. Процесс ограниченной вариации, возрастающий процесс.



  1. Марковские процессы (в широком смысле) (12 часов).

Определение переходной вероятности марковского процесса. Соотношение Чепмена-Колмогорова. Закон входа. Операторы, порождаемые переходными вероятностями марковских процессов. Марковские полугруппы. Классификация марковских процессов по свойствам траекторий.

Марковские процессы с конечным или счетным числом состояний. Вывод и разрешимость уравнения Колмогорова (прямого и обратного), соответствующего марковским процессам с конечным или счетным числом состояний.

Регулярные скачкообразные марковские процессы. Вывод и разрешимость уравнения Колмогорова (прямого и обратного) соответствующего скачкообразному марковскому процессу.

Процессы с независимыми приращениями: определение, описание, свойства. Теорема Леви-Хинчина.

Диффузионные процессы: определение. Уравнения (прямое и обратное) Колмогорова для диффузионных процессов (вывод).


  1. Теория массового обслуживания (12 часов).

Точечные процессы (основания).

Определения: стохастического базиса, случайного процесса, согласованного случайного процесса. Непрерывность справа, слева случайных процессов. Пуассоновский случайный процесс. Теорема Дуба-Мейера. Считающий (точечный) процесс (определение) и его свойства.

Компенсатор точечного процесса и его свойства. Интеграл Римана-Стильтьеса. Стохастический интеграл для считающих процессов. Формула Ито для считающих процессов. Квадратическая вариация. Локальные мартингалы. Интегрирование по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию. Теорема Кэмбелла. Мультивариантные точечные процессы. Марковские m-вариантные точечные процессы, уравнения Колмогорова. Разрешимость системы уравнений Колмогорова, соответствующая марковским процессам с конечным или счетным числом состояний. Интенсивность m-вариантного точечного процесса и ее вероятностное представление. Случайные меры: определение, классификация, свойство. Мера Долиана. Случайные меры и мультивариантные точечные процессы. Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих мультивариантным точечным случайным процессам.

Теория восстановления.

Процесс восстановления, функция восстановления. Уравнение восстановления. Разрешимость уравнения восстановления. Предельные теоремы теории восстановления: элементарная, узловая, Блэкуэла.

Теория очередей.

Описание простейшей системы массового обслуживания: входной точечный процесс (поток), процесс обслуживания, внутреннее состояние, очередь.

Вывод и разрешимость стохастического уравнения для процесса обслуживания. Выходной поток. Вывод уравнения описывающего эволюцию во времени распределения вероятности длины очереди. Процесс гибели-размножения. Системы массового обслуживания с обратной связью: описание, стохастическое уравнение.



Стационарное распределение длины очереди. Теорема Буркэ.

  1. Стохастические интегралы Ито. Стохастические уравнения.

Винеровский процесс и его свойства. Стохастический интеграл Ито по винеровскому процессу и его свойства. Процесс Ито. Формула Ито и ее применение. Стохастические уравнения: существование и единственность сильных решений. Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений. Диффузионные процессы и стохастические уравнения. Уравнения Колмогорова, соответствующие стохастическим уравнениям.

    1. Понедельный план проведения занятий лекционных и практических.

      1. План лекционных занятий.

Семестр 7.

  1. Аксиоматика Колмогорова. Алгебры, -алгебры. Меры: аддитивная, счетно-аддитивная, -конечная, вероятностная. Вероятностное пространство. Измеримые пространства. Монотонные классы. Борелевская -алгебра действительной прямой, .

  2. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах:

  3. Случайные элементы: классификация и свойства.

Интеграл Лебега (математические ожидания): определения, существование, корректность свойства.Различные виды сходимости случайных элементов. Теоремы о предельном переходе под знаком математического ожидания: теорема о монотонной сходимости, лемма Фату о мажорируемой сходимости. Равномерная интегрируемость.

  1. Сходимость в , по распределению (слабая сходимость). Теорема Прокорова. Неравенства: Чебышева, Гельдера, Иенсона, Минковского.Абсолютная непрерывность мер. Теорема Радона-Никодима. Теорема о замене переменных под знаком интеграла. Теорема Фубини.

  2. Условное математическое ожидание: определение, корректность, свойства.Структура условных математических ожиданий. Условная вероятность, регулярная условная вероятность. Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса.

  3. Определения: случайной последовательности, стохастического базиса, согласованной последовательности, марковской последовательности. Переходная вероятность. Соотношение Чепмена-Колмогорова для марковских последовательностей.

  4. Существование случайных последовательностей (Теорема Ионеску-Тулча). Процесс определенный рекуррентно (теорема существования и единственности). Условия марковости процесса определенного рекуррентно. Дискретная модель диффузии.

  5. Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы: определение, примеры. Теорема Дуба о существовании конечного предела у неотрицательного супермартингала. Равномерно интегрируемые мартингалы.

  6. Марковские моменты. Локальные полумартингалы. Обобщенные мартингалы. Возрастающие процессы. Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера.

  7. Семимартингалы. Формула Ито. Квадратическая вариация. Квадратично интегрируемые мартингалы и их характеристики.

  8. Локальная абсолютная непрерывность вероятностных мер. Локальная плотность и ее свойства. Марковские цепи. Переходная вероятность. Однородная марковская цепь. Классификация состояний.

  9. Классификация марковских цепей по асимптотическим свойствам. Эргодические марковские цепи: определение, существование.

  10. Определения: случайного процесса с непрерывным временем, стохастического базиса; измеримого, прогрессивно измеримого согласованного случайных процессов.

Модификация и неотличимость случайных процессов. Непрерывный справа (слева) случайный процесс. Стохастически непрерывный случайный процесс. -непрерывность случайных процессов. Пуассоновский случайный процесс.

  1. Полумартингалы (семимартингалы): определение, представление, свойства. Примеры полумартингалов. Теорема Дуба-Мейера. Регулярные мартингалы и их свойства. Квадратично интегрируемые мартингалы. Существование непрерывной справа модификации у супермартингалов. Неравенство Колмогорова для квадратично интегрируемых мартингалов.

  2. Определение марковского момента. Свойства марковских моментов. Стохастические интервалы. График марковского момента. Тонкое множество. Остановленный случайный процесс.

  3. Локализующаяся последовательность. Локальные мартингалы. Классификация марковских моментов: предсказуемые, достижимые, опциональные. Критерии предсказуемости и опциональности марковских моментов.

  4. Классификация -алгебр: предсказуемая, достижимая, опциональная. Предсказуемые, опциональные случайные процессы. Процесс ограниченной вариации. Возрастающие случайные процессы: определение, представление; свойства. Процессы ограниченной вариации.

  5. Семимартингалы: представление, разложение. Опциональные возростающие процессы и их компенсаторы.

Семестр 8



  1. Марковские процессы в широком смысле. (МПШ). Переходные вероятности. Соотношение Чепмена-Колмогорова. Закон входа. Операторы, порождаемые вероятностями перехода и их свойства. Однородные МПШ. Классификация МПШ.

  2. МПШ с конечным или счетным числом состояний. Прямое и обратное уравнение Колмогорова. Разрешимость прямого и обратного уравнений Колмогорова. Скачкообразные МПШ (определение). Регулярные скачкообразные МПШ (РСМПШ). Уравнения Колмогорова соответствующих РСМПШ: вывод уравнения Колмагорова и условия его разрешимости

  3. Процессы с независимыми приращениями: определение, свойства. Характеристическая функция для процессов с независимыми приращениями (ПНП) и ее свойства. Однородные ПНП. Теорема Леви-Хинчина.

  4. Диффузионные процессы. Достаточные условия существования диффузионного процесса. Обратное и прямое уравнение Колмогорова для диффузионных процессов.

  5. Точечные случайные процессы (определения). Свойства траекторий, субматрингальность. Компенсатор точечного процесса. Интеграл Римана-Стильтьеса. Стохастический интеграл по процессу ограниченной вариации.

  6. Формула Ито для точечных процессов и ее применение. Квадратическая вариация опциональных процессов. Характеристика точечного процесса. Взаимная вариация и характеристика опциональных процессов. Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.

  7. Теорема Кэмбелла. Характеристическая функция пуассоновского процесса. Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени. Мультивариантные точечные процессы: определения, описание. К-вариантные точечные процессы.

  8. Матрица интенсивности перехода. Прямое уравнение Колмогорова для опционального процесса с конечным или счетным числом состояний и матрицей интенсивности перехода (вывод). Разрешимость прямой системы уравнений Колмогорова и свойства его решения.

  9. Вероятностная интерпретация интенсивности. Случайные меры. Мера Долиана и ее свойства. Опциональная и предсказуемая случайные меры. Компенсаторы опциональной меры. Целочисленная случайная мера.

  10. Случайные меры и мультивариантные точечные процессы. Описание опциональных процессов с кусочнопостоянными траекториями.

  11. Теория восстановления. Процесс восстановления (простой), функции восстановления. Уравнение восстановления. Разрешимость уравнения восстановления. Процесс восстановления с запаздыванием. Преобразование Лапласа-Стилтьеса. Предельные теоремы теории восстановления: элементарная теорема восстановления, узловая, Блэкуэлла.

  12. Описание простейшей системы массового обслуживания. Определения: входной поток, внутреннее состояние, очередь. Стохастическое уравнение для простого процесса обслуживания (вывод). Разрешимость стохастического уравнения для простого процесса обслуживания. Выходной поток.

  13. Вывод уравнения и его разрешимость, описывающего эволюцию распределения длины очереди. Процесс гибели-размножения и его свойства.Описание простейшей системы массового обслуживания с обратной связью (СМО ОС). Вывод и разрешимость стохастического уравнения для очереди для СМО ОС.

  14. Вывод и разрешимость уравнений описывающих эволюцию распределения вероятностей длины очереди для СМО ОС. Теорема Буркэ.

  15. Винеровский процесс (определение). Теорема существования винеровского процесса. Мартингальное свойство винеровского процесса. Свойство приращений винеровского процесса. Свойства винеровского процесса.

  16. Стохастичесикй интеграл Ито по винеровскому процессу: определение, существование, корректность определения стохастического интеграла Ито, свойства. Описание классов интегрируемых функций в смысле Ито.Процесс Ито. Формула Ито. Применение формулы Ито.

  17. Стохастические уравнения. Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений.

  18. Диффузионные процессы и стохастические уравнения. Условия марковости решений стохастических уравнений.Уравнения прямое и обратное Колмогорова для диффузионных процессов и стохастические уравнения Ито.



      1. План практических занятий.

7 семестр

Занятие №1. Алгебры и -алгебры. Измеримые пространства.

Задача 1. Пусть две -алгебры подмножеств . Будут ли -алгебрами ?

Задача 2. Пусть неубывающая последовательность -алгебр на . Доказать, что -алгебра.

Задача 3. Докажите, что .

Задача 4. Докажите, что -алгебра борелевских множеств (0,1] счетно порождена.

Занятие №2. Способы задания вероятностных мер.

Задача 1. Пусть . Докажите, что



;

;

;

;

.

Задача 2. Докажите, что функция распределения на прямой имеет не более, чем счетное число точек разрыва.

Задача 3. Пусть P вероятностная мера на прямой. Докажите, что для любого и события В найдутся компактное множество и открытое множество такие, что .

Задача 4. Приведите пример дискретной функции распределения, носитель которой совпадает со всей числовой прямой.



Занятие №3. Случайные величины. Случайные элементы.

Задача 1. Пусть случайные величины. Докажите, что событие.

Задача 2. Пусть последовательность случайных величин на . Докажите, что случайные величины.

Задача 3. На задана случайная величина . Опишите -алгебру, порожденную этой случайной величиной.

Задача 4. На , где мера Лебега на , задана последовательность случайных величин , где . Пусть . Найти .

Задача 5. Пусть последовательность случайных элементов со значениями в соответственно. Пусть измеримые функции. Докажите, что если независимы в совокупности, то также независимы случайные величины .



Занятие №4. Математическое ожидание (Интеграл Лебега).

Задача 1. Докажите, если , это равносильно тому, что .

Задача 2. Пусть случайные величины, причем для любого существуют . Докажите:

;

;

Задача 3. Почему функция Дирихле, определенная на [0,1], интегрируема по Лебегу и не интегрируема по Риману.

Задача 4. Пусть последовательность интегрируемых случайных величин, причем существует случайная величина такая, что . Докажите, что если .

Задача 5. Если то при .

Задача 6. Пусть неинтегрируемая случайная величина. Докажите равенство:

Задача 7. Пусть случайная величина с . Докажите неравенства:



Задача 8. Пусть на заданы вероятностные меры , причем существуют производные Радона-Никодима . Докажите, что существует , причем п.в.



Задача 9. Пусть на заданы две меры , причем дискретна. Докажите .

Задача 10. Пусть функция распределения такая, что и на интервале [0,1] удовлетворяет условию Липшица:

Пусть мера на отрезке [0,1], где , а мера Лебега на [0,1]. Докажите, что и п.в.



Задача 11. Пусть на заданы две вероятностные меры , причем , причем п.н. , где константа (). Докажите, что существуют и вероятностная мера такие, что .



Занятие №5. Условные математические ожидания, условные вероятности.

Задача 1. Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины, определено. Докажите



Задача 2. Пусть последовательность независимых в совокупности интегрируемых случайных величин, причем . Докажите, что P-п.н.



, где .

Задача 3. Пусть случайная величина с функцией распределения . Докажите равенство



Задача 4. Пусть неотрицательная случайная величина и . Докажите, что , P-п.н. тогда и только тогда, когда мера , определяемая равенством , является конечной.

Задача 5. Пусть X,Y - независимые случайные величины, имеющие распределение пуассона с параметрами соответственно. Докажите, что

Задача 6. Пусть А и В - два события такие, что , где . Докажите





Занятие №6. Цепи Маркова. Анализ марковского свойства цепей.

Теоретические сведения. Определение марковской цепи (МЦ), комментарии к определению. Системы событий, порожденные траекториями процесса, понятия «прошлого», «настоящего» и «будущего» (формализация). Вариант марковского свойства (условная независимость произвольных событий из «прошлого» и «будущего» при фиксированном «настоящем»).

Задача 1. Приведите пример случайной последовательности, не образующей МЦ.

Занятие №7. Вероятностные характеристики марковской цепи.

Теоретические сведения. Матрицы вероятностей перехода (МВП) и их свойства. Графы переходов МЦ. Уравнение Колмогорова-Чепмена и его матричное представление. Задание произвольных конечномерных распределений МЦ. Два способа задания МЦ. Примеры.

Задача 1. Анализ вероятностных свойств МЦ с четырьмя состояниями.

Занятие №8. Классификация состояний МЦ. Понятие класса.

Теоретические сведения. Достижимость из i в j ().

Задача 1. Для вероятностей перехода докажите неравенство - любые.

Задача 2. Доказать транзитивность отношения (,).

Теоретические сведения. Сообщающиеся состояния. Классы. Замкнутые и незамкнутые классы.

Определения существенных и несущественных состояний.

Задача 3. Альтернатива солидарности (доказательство).

Задача 4. Доказать, что класс С замкнут С – существенный.



Занятие №9. Классификация состояний МЦ. Возвратность и положительность.

Теоретические сведения. Возвратность. Основные результаты, связанные с возвратностью (формулировки теорем). Теорема о связи существенности и возвратности. Положительность. Связь возвратности и положительности.

Общая схема классификации состояний МЦ (изложение). Примеры.

Задача 1. Классификация состояний МЦ с двумя классами: – замкнутый, C2 – незамкнутый.



Занятие №10. Классификация состояний МЦ. Периодичность.

Теоретические сведения. Периодичность. Определение периода. Периодический класс. Циклические подклассы. Матрицы вероятностей перехода из подкласса в (за один шаг) и из подкласса в за d шагов МЦ. Выделить случай периодического класса C, период которого d=2; циклические подклассы .

Задача 1. Анализ МЦ с пятью состояниями, одним классом и двумя циклическими подклассами.

Занятие №11. Поглощающие цепи Маркова.

Теоретические сведения. Определение поглощающей МЦ. Матрица вероятностей перехода и ее структура. Особенности эволюции поглощающей МЦ.

Вероятностные характеристики марковской модели с поглощением. Матричные формулы для основных характеристик поглощающей МЦ.

Задача 1. Вычислительная система с отказами и восстановлением, обработка сообщений. Модель поглощающей МЦ с четырьмя состояниями.



Занятие №12. Аудиторная контрольная работа №1 на тему «Цепи Маркова. Общие свойства».

Занятие №13. Предельные и стационарные распределения марковских цепей.

Анализ результатов контрольной работы №1. Недостатки в решениях задач и способы их устранения.

Теоретические сведения. Определения предельного, эргодического и стационарного распределений МЦ. Свойство стационарности МЦ (стационарность в узком смысле). Достаточные условия стационарности в форме условий на начальное распределение.

Занятие №14. Предельные и стационарные распределения марковских цепей.

Теоретические сведения. Основные результаты для предельных и стационарных распределений: 1) Теорема 1 (эргодическая теорема для вероятностей перехода), 2) Теорема 2 (необходимые и достаточные условия эргодичности конечной МЦ), 3) Теорема 3 (необходимые и достаточные условия существования предельного распределения конечной МЦ), 4) Теорема 4 необходимые и достаточные условия существования единственного стационарного распределения конечной МЦ. Связь стационарных вероятностей с параметрами где – математическое ожидание времени между последовательными возвращениями в состояние . Связь предельного и стационарного распределений МЦ.



Занятие №15. Свойства экспоненциального распределения.

Анализ результатов контрольной работы №2. Недостатки в решениях задач и способы их устранения.

Теоретические сведения. Экспоненциальное распределение. Свойство отсутствия последействия (доказательство).

Важнейшие свойства экспоненциального распределения.



Занятие №16. Свойства экспоненциального распределения.

Задача 1. Асимптотическое свойство экспоненциального распределения вероятностей.

Задача 2. Распределение минимума , независимых экспоненциально распределенных случайных величин

Тогда



Занятие №17. Аудиторная контрольная работа №2 на тему: цепи маркова “Предельные и эргодические распределения”.
8 семестр

  1. Марковские процессы. Переходные вероятности. Закон входа. Соотношение Чепмена-Колмогорова. Операторы, порождаемые переходными вероятностями.

  2. МПШ с конечным или счетным числом состояний. Прямое и обратное уравнение Колмогорова.

  3. Скачкообразные марковские процессы (классификация, примеры). Уравнение Колмогорова.

  4. Процессы с независимыми приращениями. Однородные ПНП. Теорема Леви-Хинчина. Устойчивые ПНП.

  5. Диффузионные процессы. Прямое и обратное уравнения Колмогорова. Примеры.

  6. Пуассоновский процесс. Возрастающий процесс. Классификация марковских моментов. Процесс ограниченной вариации.

  7. Точечные случайные процессы. Компенсаторы точечных случайных процессов. Теорема Кэмбэлла.

  8. Характеристическая функция пуассоновского процесса. Мультивариантные точечные процессы. Матрица интенсивности перехода.

  9. Уравнение Колмогорова для марковских процессов с конечным или счетным числом состояний. Процессы гибели и размножения

  10. Простой процесс восстановления. Уравнение восстановления с запаздыванием. Предельные теоремы теории восстановления.

  11. Описание систем массового обслуживания. Стохастические уравнения, описывающие системы массового обслуживания. Системы массового обслуживания и процессы гибели и размножения.

  12. Описание системы массового обслуживания с обратной связью. Уравнения Колмогорова, описывающие систему массового обслуживания с обратной связью.

  13. Стационарное решение уравнений Колмогорова для систем массового обслуживания с обратной связью и без нее. Теорема Буркэ.

  14. Сети Джексона. Сети Петри. Теорема Буркэ для сетей.

  15. Винеровский процесс и его свойства.

  16. Стохастичесикй интеграл Ито и его свойства. Процесс Ито.

  17. Формула Ито и ее применение. Стохастические уравнения

  18. Стохастические уравнения Ито и диффузионные процессы. Примеры.




  1. Лабораторный практикум не предусмотрен.

  2. Курсовая работа не планируется.

  3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

    1. Рекомендуемая литература:

      1. Основная литература:

        1. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М. Физматлит, 2003.

        2. Вентцель А.Д., Курс теории случайных процессов, М.Наука, 1996.

        3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания М. РУДН, 1996.

        4. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания.-М.:Высшая школа, 1982.

      1. Дополнительная литература: нет изданий после 1996 года.




    1. Средства обеспечения дисциплины не используются.

  1. Материально-техническое обеспечение дисциплины не используется.


10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Рекомендуемые образовательные технологии:

– чтение лекций;

– проведение практических занятий;

– выполнение студентами курсовой работы;

– проведение экзамена.

Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий. Во время проведения практических занятий широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем; выбор вариантов задач в рамках конкретных тем домашних заданий).

Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине могут использоваться: устный опрос (УО) в виде коллоквиума, теста; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ (КР); зачет и экзамен. Оценка на экзамене может быть выставлена с учетом всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.

Для текущей и промежуточной аттестации студентов выполняются 2 письменные контрольные работы по основным разделам дисциплины и проводится курсовая работа.

Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий, проработка материалов лекций, подготовка к контрольным работам, выполнение курсовой работы. Для успешного освоения дисциплины рекомендуется перед каждым практическим или семинарским занятием повторить теоретический материал соответствующей лекции, а после активной работы на занятии - выполнить полученные задания и изучить соответствующий раздел указанной в программе курса литературы.



Оценочные средства

  1. Экзамен. Сдача студентом экзамена оценивается по пятибальной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене.

Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 230401.

Программу составил д. ф-м. н., профессор. Хаметов В.М.

Настоящая рабочая программа рассмотрена на заседании (методическом семинаре) кафедры «28» августа 2013г. протокол №1 и рекомендована к применению в учебном процессе.


Заведующий кафедрой Компьютерная безопасность Лось А.Б.

«28» августа 2013г



доцент., к.т.н.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница