Программа вступительного испытания для поступающих на программу подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре «Математическая физика»



Скачать 176.21 Kb.
Дата13.07.2016
Размер176.21 Kb.
ТипПрограмма
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

для поступающих на программу подготовки


научно-педагогических кадров в аспирантуре «Математическая физика»
по направлению подготовки 01.06.01 «МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»


по предмету «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»
РАЗДЕЛ I. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕМ


  1. Условный экстремум интегрального функционала.

  2. Поля экстремалей. Уравнение Гамильтона-Якоби.

  3. Регулярная задача Штурма-Лиувилля.

  4. Функция Грина задачи Коши для волнового уравнения.

  5. Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами на сфере.

  6. Регулярные и сингулярные обобщенные функции.

  7. Формулы Сохоцкого.

  8. Метод стационарной фазы и метод перевала.

  9. Теорема Римана об аналитических изоморфизмах. Группы аналитических автоморфизмов расширенной комплексной плоскости и единичного круга.

  10. Мера Лебега. Измеримые функции. Различные типы сходимости последовательности измеримых функций, их взаимосвязь.

  11. Определение и основные свойства интеграла Лебега.

  12. Предельный переход в интеграле Лебега.

  13. Функции ограниченной вариации. Функции скачков, абсолютно непрерывные, сингулярно непрерывные функции.

  14. Метрические пространства. Компактные множества в метрическом пространстве.

  15. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений.

  16. Банаховы и гильбертовы пространства. Пространства Lp.

  17. Ограниченные операторы в банаховых и гильбертовых пространствах. Принцип равномерной ограниченности и сходимость операторных последовательностей.

  18. Компактные операторы в банаховых и гильбертовых пространствах.

  19. Замкнутые операторы в гильбертовом пространстве. Сопряженный оператор.

  20. Симметричные и самосопряженные операторы. Формулы фон Неймана.

  21. Спектральные разложения самосопряженных и унитарных операторов. Функциональное исчисление самосопряженных и унитарных операторов.

  22. Интегральные уравнения Вольтерра.

  23. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений.

  24. Скалярная задача Римана-Гильберта и ее связь с сингулярными интегральными уравнениями.

  25. Пространства Соболева Wpl в ограниченной области. Определение и основные свойства.

  26. Теорема продолжения и теоремы вложения для пространств Соболева.

  27. Пространства Соболева Hs (Rn), определение и основные свойства. Точная теорема о следах.

  28. Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка.

  29. Определение волновых операторов, оператора и матрицы рассеяния.

  30. Формулировка теоремы Пирсона. Теоремы Като-Розенблюма и Бирмана-Крейна.

  31. Оператор Шредингера с короткодействующим потенциалом.

  32. Теорема разложения для одномерного оператора Шредингера с периодическим потенциалом.

  33. Построение однозонного потенциала, понятие о конечнозонных потенциалах.

  34. Теорема Котани об абсолютно непрерывном спектре эргодических семейств самосопряженных операторов.

  35. Локализация Андерсона для одномерных случайных операторов.

  36. Определение псевдодифференциального оператора на гладких финитных функциях в евклидовом пространстве. Амплитуда, ядро, символ ПДО.

  37. Символическое исчисление псевдодифференциальных операторов.

  38. Псевдодифференциальные операторы в пространствах Соболева.

  39. Эллиптические ПДО. Параметрикс эллиптического оператора.

  40. Определение равномерно непрерывной полугруппы и C_0-непрерывной полугруппы. Инфинитезимальный оператор. Теоремы Хилле-Иосида, Люмера-Филлипса, Стоуна (формулировки).

  41. Сильно эллиптические операторы. Неравенство Гординга.

  42. Задача Дирихле для сильно эллиптической системы уравнений.

  43. Оператор задачи Дирихле для сильно эллиптической системы как генератор C0-непрерывной полугруппы. Приложения к эволюционным (параболическим) задачам.

  44. Метод ВКБ для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

  45. Функция Эйри. Равномерная асимптотика решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вблизи простой точки поворота.

  46. Асимптотика решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. Фаза Берри.

  47. Лучевой метод для решений уравнения Гельмгольца.

  48. Пространственно-временной лучевой метод.

  49. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора В.П.Маслова.

  50. Быстро осциллирующие решения псевдодифференциальных уравнений.

  51. Определение гладкого многообразия. Тензорные поля на многообразии.

  52. Ковариантное дифференцирование тензорного поля. Символы Кристоффеля. Связность.

  53. Инвариантные (нормальные) подгруппы. Однородные пространства и фактор-группы и их топология.

  54. Неприводимые представления групп. Леммы Шура. Теорема ортогональности.

  55. Интеграл Хаара и приемы его построения.

  56. Касательная алгебра Ли группы Ли – 4 варианта определений. Функтор Ли.

  57. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа – формальный вывод. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа в форме Дынкина.

  58. Разрешимые, нильпотентные и полупростые алгебры Ли – основные определения и свойства.

  59. Понятие системы корней. Группа Вейля. Геометрия систем корней.



РАЗДЕЛ II. ИСТОЧНИКИ И ЛИТЕРАТУРА
Основная литература

  1. Адамс Р.А. Пространства Соболева. – Новосибирск, Тамара Рожковская, 2009.

  2. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. второе. – СПб.: Лань, 2010.

  3. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. – М.: Физматлит, 2009.

  4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Физматлит, 2004.

  5. Пламеневский Б.А. Псевдодифференциальные операторы на кусочно гладких многообразиях. – Новосибирск, Тамара Рожковская, 2010.

  6. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 3, часть вторая. – СПб: БХВ-Петербург, 2010.

  7. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. – М.: Наука, 1973.

  8. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. – М.: Наука, 1982.

  9. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, ч. 2. – М.: Мир, 1984.

  10. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.

  11. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. – М.: Мир, 1969.

  12. Simon B. Trace ideals and their applications. – American Mathematical Society, Providence, USA, 2005.

  13. Titchmarsh E.C. Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations. – Clarendon Press, Oxford, 2008.

  14. Roderick Wong. Five lectures on asymptotics. – Hong Kong, Liu Bie Ju Centre for Mathematical Sciences, 2004. http://www6.cityu.edu.hk/rcms/publications.htm




Дополнительная литература

  1. Бабич В.М, Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. – М.: Наука, 1972.

  2. Бабич В.М., Булдырев В.С., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

  3. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

  4. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. – М.: Наука, 1965.

  5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979.

  6. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1973.

  7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1973.

  8. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1986.

  9. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. – М.: Изд-во МГУ, 1985.

  10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984.

  11. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978.

  12. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973.

  13. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. – М., Наука, 1976.

  14. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. – М.: Наука, 1978.

  15. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. – М.: Наука, 1973.

  16. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. – М.: Наука, 1982.

  17. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, ч. 2. – М.: Мир, 1984.

  18. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.

  19. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. – М.: Мир, 1969.

  20. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. – М.: Наука, 1973.

  21. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. – М.: Наука, 1982.

  22. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, ч. 2. – М.: Мир, 1984.

  23. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.

  24. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. – М.: Мир, 1969.

  25. Simon B. Kotani theory for one-dimensional stochastic Jacobi matrices // Comm. Math. Phys., vol. 89, no. 2 (1983), 227-234.


Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы

Российская государственная библиотека www.rsl.ru

Российская национальная библиотека www.nlr.ru

Библиотека Академии наук www.rasl.ru

Научная библиотека СПбГУ www.bio.spbu.ru/library

Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU www.elibrary.ru


РАЗДЕЛ III. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Перечень компетенций, которыми должен владеть поступающий:

  • умение применять различные методы математической физики в избранной предметной области;

  • понимание сущности поставленных задач и способность использовать соответствующий физико-математический аппарат для их описания и решения;

  • умение представлять полученные результаты в письменной форме;

  • умение аргументированно, логически верно и содержательно ясно строить письменную речь;

  • владение культурой мышления, способностью к обобщению и анализу информации.


Форма проведения вступительного испытания: конкурс документов (портфолио).
Структура вступительного испытания

Портфолио включает следующие документы:



  1. Мотивационное письмо. Предоставляется поступающим в обязательном порядке. При отсутствии мотивационного письма итоговая оценка за портфолио составляет 0 баллов. Проверяется в обезличенном виде.

  2. Диплом магистра / специалиста (с Приложением).

  3. Письменная научно-исследовательская работа. Проверяется в обезличенном виде. (Не является обязательной.)


Примеры тем научно-исследовательской работы

  • Периодический оператор Шредингера с малым квазипериодическим возмущением.

  • Регулярность электромагнитных полей в выпуклых областях.

  • Динамическая обратная задача для системы типа Ламе.

  • Асимптотики собственных значений и обратная задача для оператора Эйлера-Бернулли.

  • О методе вычисления волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла.


Структура научно-исследовательской работы

Научно-исследовательская работа должна быть выполнена в форме научной статьи, должна присутствовать четкая постановка рассматриваемой задачи (проблемы). Структура должна включать: тему работы, введение с обзором литературы, содержательную часть, заключение, список литературы. Работа может содержать иллюстрации, графики и приложения. В качестве научно-исследовательской работы поступающий вправе представить выпускную квалификационную работу магистра / специалиста.



  1. Документы и материалы, подтверждающие наличие у поступающего научных статей по направлениям Математика, Механика, Физика (Не являются обязательными.)

  2. Документы и материалы, подтверждающие участие поступающего в научных мероприятиях (конференции, семинары, научные школы и т. п.). (Не являются обязательными.)

  3. Документы, подтверждающие назначение именных и / или специальных стипендий министерств, ведомств, фондов, образовательных учреждений. (Не являются обязательными.)

  4. Документы и материалы, подтверждающие участие поступающего в исследовательских проектах, программах и т. д. (Не являются обязательными.)


РАЗДЕЛ IV. Критерии оценивания документов

п/п


Документы / документально подтвержденные факты, подлежащие оценке

Критерии оценивания

Количество баллов

Раздел 1. Мотивационное письмо

Критерии оценивания

Максимальная сумма баллов по разделу – 5




Мотивационное письмо с изложением аргументированных оснований заинтересованности и способности обучаться по избранной программе аспирантуры

Предоставляется в обязательном порядке.

При отсутствии итоговая оценка за портфолио составляет 0 баллов, независимо от набранного количества баллов по другим разделам.

Мотивационное письмо заполняется в Личном кабинете поступающего в аспирантуру. В тексте мотивационного письма не должны упоминаться фамилия, имя, отчество поступающего.

Указание сведений о профессиональной подготовке / деятельности соискателя, которая может быть полезна при обучении на избранной программе аспирантуры – 1 балл.

Аргументированное указание причин выбора аспирантуры СПбГУ – 1 балл.

Сведения, подтверждающие необходимость получения знаний, приобретение которых возможно в период обучения по избранной программе аспирантуры – 1 балл.

Перспективы / планы реализации полученных знаний в будущей профессиональной деятельности – 2 балла.


5

Итого по разделу 1

5

Раздел 2. Академические успехи в области профильных направлений подготовки и специальностей, относящимся к физико-математическим и естественным наукам, или с присваиваемой квалификацией: Магистр техники и технологии, Магистр информационных систем, Магистр естественнонаучного образования, Магистр физико-математического образования, Инженер, Инженер-физик, Инженер-математик

Критерии оценивания

Максимальная сумма баллов по разделу – 20

2

Диплом магистра / специалиста с Приложением (Поступающий, проходящий обучение на выпускном курсе программы подготовки магистра или специалиста и не имеющий диплома на момент проведения конкурса документов, представляет справку об академической успеваемости (выписку из учебной карточки) за весь предшествующий период обучения)

Средний балл Приложения к диплому, без учета оценок за итоговую аттестацию, с коэффициентом 4.

При отсутствии диплома на момент представления Портфолио: средний балл по справке об академической успеваемости с коэффициентом 4.

20

Итого по разделу 2

20

Раздел 3. Научно-исследовательская работа

Критерии оценивания

Максимальная сумма баллов по разделу – 45

3

Письменная научно-исследовательская работа.

В качестве научно-исследовательской работы поступающий вправе представить выпускную квалификационную работу магистра /специалиста или ее проект.

Критерии оценивания научно-исследовательской работы приведены в Приложении.

При несоответствии темы научно-исследовательской работы темам, указанным в Разделе 1, за работу выставляется 0 баллов.

В тексте научно-исследовательской работы не должны упоминаться фамилия, имя, отчество поступающего.

Максимальная оценка за научно-исследовательскую работу – 30 баллов.



30

4

Научные статьи по направлению Математика, Механика, Физика (представляются копии публикаций, содержащие выходные данные изданий, в которых они были опубликованы)

Оценивается не более двух научных статей. Каждая статья оценивается в отдельности.

Статья в журнале из списка WoS или Scopus – 15 баллов.

Статья в журнале из перечня ВАК – 10 баллов.

Статьи, опубликованные в изданиях, не входящих в базы WoS, Scopus или перечень ВАК, не оцениваются.

Тезисы не оцениваются.

Наличие трех и более научных статей количество баллов не увеличивает.



30

5

Документы и материалы, подтверждающие участие поступающего в научных мероприятиях (конференции, семинары, научные школы и т.  п.)

Участие в международных или всероссийских мероприятиях, подтвержденное наличием опубликованных (в том числе в электронных изданиях) тезисов доклада – 5 баллов.

Участие в региональных и вузовских мероприятиях, подтвержденное наличием опубликованных (в том числе в электронных изданиях) тезисов доклада – 3 балла.

Участие, подтвержденное программой мероприятия – 1 балл.

Участие в двух и более научных мероприятиях количество баллов не увеличивает.



5

Итого по разделу 3

65

Раздел 4. Дополнительные документы, подтверждающие квалификацию

Критерии оценивания

Максимальная сумма баллов по разделу – 10

6

Документы, подтверждающие назначение именных и / или специальных стипендий министерств, ведомств, фондов, образовательных учреждений

Именные стипендии:

- Президента РФ – 5 баллов;

- Правительства РФ – 5 баллов;

- учрежденные органом власти субъекта РФ – 2 балла;

- иные именные стипендии – 1 балл.

Наличие двух и более стипендий количество баллов не увеличивает.



5

7

Документы и материалы, подтверждающие участие поступающего в исследовательских проектах, программах и т.д.

Справка руководителя об участии в проекте или документы, подтверждающие оплату работ по проекту – 5 баллов.

Участие в двух и более проектах количество баллов не увеличивает.



5

Итого по разделу 4

10

Итого

100


Оценивание по пятибалльной шкале

Сумма баллов, полученная за представленный пакет документов, переводится в пятибалльною шкалу оценок следующим образом:



Сумма баллов, полученная за представленный пакет документов

Пятибалльная шкала оценок

72 – 100

5

48 – 71

4

24 – 47

3

0 – 23

2



Приложение. Критерии оценивания научно-исследовательской работы

При несоответствии темы научно-исследовательской темам, указанным в Разделе 1, за работу выставляется 0 баллов. Максимальная оценка за научно-исследовательскую работу – 30 баллов.



Критерии оценивания

Количество баллов

Уровень поставленной в работе проблемы: проблема сформулирована недостаточно четко – 0 баллов, простая проблема – 2, средний уровень сложности – 4, сложная проблема – 7 балла.

0–7

Обзор существующих результатов по исследуемой теме: обзор отсутствует – 0, в обзоре приведен только один подход к проблеме – 2, обзор достаточно полно охватывает проблему – 5 баллов.

0–5

Полнота изложения: проблема не раскрыта – 0, недостаточная полнота изложения – 1, изложение достаточно полное – 3 балла.

0–3

Степень решения поставленной проблемы: нет попыток решить проблему, работа носит лишь описательный характер – 0, предложен лишь путь решения проблемы – 3, проблема решена частично – 6, проблема решена полностью –10 баллов.

0–10

Формулировка выводов в заключении: выводы отсутствуют – 0, выводы поверхностны – 1, выводы хорошо отражают проделанную работу – 3 баллов.

0–3

Наличие списка литературы: список отсутствует – 0, список недостаточно отражает поставленную проблему или плохо оформлен – 1, список полный и хорошо оформлен – 2 балла.

0–2

Итого

0–30

Если обнаружен плагиат, работа оценивается в 0 баллов. (Плагиатом считается копирование отрывка текста из Интернета или печатного издания без указания на авторство или источник.)
Оценка за работу может быть снижена в следующих случаях:

Оценка снижается в случае если:

Количество баллов, на которое
снижается оценка

Допущены фактические ошибки

минус 2 балла

Допущены ошибки в терминологии

минус 2 балла

Изложение небрежное или неграмотное

минус 2 балла

Если после снижения оценки за указанные недочеты балл становится отрицательным, то за работу выставляется 0 баллов.


Оценивание по пятибалльной шкале

Сумма баллов, полученная за представленный пакет документов, переводится в пятибалльною шкалу оценок следующим образом:



Сумма баллов, полученная за представленный пакет документов

Пятибалльная шкала оценок

72 – 100

5

48 – 71

4

24 – 47

3

0 – 23

2



Каталог: bbcswebdav -> institution -> %D0%90%D0%BA%D0%BA%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%83%D1%80%D1%8B%202015 -> 01 %D0%9E%D0%B1%D1%89%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B8%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B5 -> 21 %D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B0 -> 13 %D0%9F%D1%80%D0%B8%D1%91%D0%BC%20%D0%B2%20%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%83%D1%80%D1%83%20%D0%A1%D0%9F%D0%B1%D0%93%D0%A3 -> %D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D1%8B%20%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B8%D1%81%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9 -> %D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D1%8B%20%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B8%D1%81%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9%202014%20%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0
%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D1%8B%20%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B8%D1%81%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9%202014%20%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0 -> Программа вступительного испытания для поступающих на программу подготовки


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница