Программа по дисциплине: Статистическая физика по направлению подготовки: 03. 03. 01 «Прикладные математика и физика»




Скачать 210.3 Kb.
Дата13.08.2016
Размер210.3 Kb.


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УТВЕРЖДЕНО

Проректор по учебной

и методической работе

Д.А. Зубцов

23 ноября 2015 г.



ПРОГРАММА

по дисциплине: Статистическая физика


по направлению подготовки:

03.03.01 «Прикладные математика и физика»


факультет: ФФКЭ


кафедра теоретической физики

курс: IV

семестр: 8

Трудоемкость: вариативная часть – 3 зач. ед.

Лекции – 30 часов Экзамен – 8 семестр

Практические (семинарские)

занятия – 30 часов Зачет – нет

Лабораторные занятия  нет

Самостоятельная работа – 18 часов

Курсовые и контрольные работы  4


Всего АУДИТОРНЫХ часов – 60

Программу и задание составила к.ф.-м.н., доц. Ю.В. Михайлова


Программа принята на заседании

кафедры теоретической физики



16 ноября 2015 года
Заведующий кафедрой Ю.М. Белоусов

Статистическая физика


  1. Принципы статистической физики

Микроканоническое распределение. Энтропия и температура. Двухуровневые системы и понятие отрицательной температуры.

Канонический ансамбль. Статистическая сумма. Вывод первого и второго начала термодинамики из распределения Гиббса. Двухатомный газ с молекулами из одинаковых и разных атомов.

Большой канонический ансамбль. Статистики Ферми, Бозе и Больцмана.

(pT)-ансамбль и распределение Богуславского. Статистическая сумма. Условие химического равновесия.

Обобщённый (p – T – μ)-ансамбль. Статистическая сумма и термодинамические функции.

Кольцевое приближение. Корреляционные поправки в кулоновском газе. Кольцевые диаграммы.

Термодинамическая теория гауссовых флуктуаций. Флуктуации энергии, числа частиц и объёма в различных ансамблях.


  1. Квантовая статистика идеальных систем

Вырожденный ферми-газ. Низкотемпературное разложение. Хими-ческий потенциал, теплоемкость и уравнение состояния. Парамаг-нетизм Паули и диамагнетизм Ландау. Эффект де Гааза–ван Альфена.

Идеальный бозе-газ. Химический потенциал, теплоемкость и уравнение состояния идеального бозе-газа. Конденсация Бозе–Эйнштейна.


  1. Квантовая статистика слабонеидеальных систем

Вторичное квантование (представление чисел заполнения). Гамиль-тонианы ферми- и бозе-частиц в представлении вторичного кван-тования.

Неидеальный бозе-газ. Квазичастицы. Спектр возбуждений, сжима-емость и сверхтекучесть.

Низкотемпературные свойства гейзенберговского ферро-магнетика. Магноны. Одномерный магнетик. Преобразование ЙорданаВигнера.

Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением. Теория БКШ, понятие об аномальных средних. Спектр возбуждений. Зависимость энергетической щели от температуры. Критерий сверхпроводимости. Эффект Мейсснера и квантование магнитного потока. Термодинамика сверхпроводников. Скачок теплоемкости.

Функционал и уравнения Гинзбурга–Ландау. Первое, второе, термодинамическое критические магнитные поля.


  1. Фазовые переходы в системах с сильным взаимодействием

Теория самосогласованного поля. Микроскопическая теория магнитного фазового перехода в приближении самосогласованного поля. Влияние внешнего поля на фазовый переход.

Теория фазовых переходов II-го рода Ландау. Параметр порядка. Скачок теплоемкости. Соотношения Эренфеста.

Критические колебания. Флуктуационная теория Орнштейна–Цернике вблизи критической точки. Критерий применимости теории фазовых переходов Ландау и функционала ГинзбургаЛандау.

Критические индексы. Гипотеза универсальности и соотношения между критическими индексами.
Литература


  1. Беляев С.Т. Теория конденсированного состояния: учеб. пособие.  М.: МФТИ, 1982.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1.  М.: Физматлит, 2002.

  3. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч. 2.  М.: Физматлит, 2001.

  4. Зайцев Р.О. Введение в современную статистическую физику.  М.: УРСС, 2005.

  5. Хуанг К. Статистическая механика.  М.: Мир, 1966.

  6. Кубо Р. Статистическая механика.  М.: УРСС, 2006.

  7. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике.  М.: Добросвет, 2006.

  8. Ма Ш. Современная теория критических явлений.  М.: Мир, 1980.

  9. Зайцев Р.О., Михайлова Ю.В. Термодинамические флуктуации: учеб.-метод. пособие.  М.: МФТИ, 2003.

  10. Зайцев Р.О., Михайлова Ю.В. Основы теории сверхпроводимости: учеб.-метод. пособие.  М.: МФТИ, 2004.

  11. Зайцев Р.О., Михайлова Ю.В. Элементы флуктуационной теории фазовых переходов второго рода: учеб.-метод. пособие.  М.: МФТИ, 2004.

  12. Зайцев Р.О., Михайлова Ю.В. Метод вторичного квантования для систем многих частиц: учебное пособие.  М.: МФТИ, 2008.

  13. Левитов Л.С., Шитов А.В. Функция Грина. Задачи и решения.  М.: ФИЗМАТГИЗ, 2003.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПОНЯТИЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА


  1. Микроканоническое распределение: заданы энергия (E), объем (V) и число частиц (N).

Функция распределения:

Энтропия:





  1. Каноническое распределение Гиббса: заданы температура (T), объем (V) и число частиц (N).

Функция распределения по состояниям:

где F  свободная энергия.

Свободная энергия F выражается через статистическую сумму Z:

где

Энтропия выражается через сумму по всем состояниям:

Средняя квадратичная флуктуация энергии при заданной температуре, объеме и числе частиц пропорциональна теплоемкости Cv:





  1. Большое каноническое распределение с переменным числом
    частиц
    : заданы химический потенциал , температура и объем.

Функция распределения по состояниям:

где   омега-потенциал.

Омега-потенциал  выражается через большую статистическую сумму Z:

где

Среднеквадратичная флуктуация числа частиц при заданной температуре, объеме и химическом потенциале пропорциональна изотермической сжимаемости T:



  1. Открытый ансамбль распределение с переменным объемом
    (
    pT-ансамбль): задано давление, температура и число частиц.

Функция распределения по состояниям:

где   термодинамический потенциал (в узком смысле).

Термодинамический потенциал  выражается через обобщенную статистическую сумму :

где

Среднеквадратичная флуктуация объема при заданных давлении и температуре:

Условие химического равновесия:



  1. Обобщенный ансамбль распределение с переменным объемом и переменным числом частиц (pT – μ-ансамбль): задано давление, температура и химический потенциал.

Обобщенная статистическая сумма есть Y:

Число частиц и флуктуация числа частиц имеют макроскопическую величину одинакового порядка:





Объем и его среднеквадратичная флуктуация при заданных давлении, температуре и химическом потенциале имеют одинаковый порядок:





  1. Статистические суммы и термодинамические функции

Микроканоническое, каноническое, большое каноническое (Tp)-распределение являются соответственно распределениями при заданной энергии (E = const), при заданной температуре (T = const), при заданной температуре и химическом потенциале (T = const, μ = const), при заданной температуре и давлении (T = const, p = const). Если система макроскопическая, то термодинамическая функция в каждом перечисленном случае определяется соответствующей статистической суммой (см. табл. 1).

Таблица 1



Ансамбль

Статистическая сумма


Термодинамическая функция

Микроканони-ческий





Канонический

(ансамбль

Гиббса)






Большой

канонический

ансамбль







(Tp)-

ансамбль






Обобщенный

ансамбль




нет




  1. Термодинамика:









  1. Термодинамические неравенства:



  1. Термодинамические (гауссовы) флуктуации:

,

  1. Больцмановский газ:

где





  1. Квантовые идеальные газы:

Полное число частиц:

Энергия всей системы:



  1. Ферми-газ:

Общее соотношение:

При Т = 0:

При условии вырождения теплоемкость



Парамагнетизм Паули:



Диамагнетизм Ландау:





  1. Бозе-газ:

Бозе-конденсация:





  1. Фононы:



Теплоемкость решетки:





  1. Спиновые волны:



где Nя – число ячеек.



  1. Классический неидеальный газ:

.

Уравнение Ван-дер-Ваальса: .



  1. Неидеальный бозе-газ (T = 0):

где и  операторы рождения и уничтожения квазичастиц со спектром возбуждений:



при

g – фурье-образ парного потенциала при

  1. Неидеальный ферми-газ. Теория БКШ:

где и  операторы рождения и уничтожения квазичастиц с энергетическим спектром:

При

при где  константа БКШ,

Уравнения Гинзбурга–Ландау:







  1. Кольцевое приближение

Теория ДебаяХюккеля (кольцевое приближение):





  1. Равновесие фаз и фазовые переходы

Равновесие двух подсистем.

Фазовое равновесие:

Уравнение КлапейронаКлаузиуса:


  1. Теория Ландау:

Соотношения Эренфеста:

а) задана зависимость а также тогда

б) задана зависимость а также , тогда





  1. Флуктуации при T ~ Tc

Флуктуационная плотность термодинамического потенциала:

Равновесная флуктуационная поправка к термодинамическому потенциалу:



Корреляционный радиус:



флуктуационная поправка к теплоемкости:



где – коэффициент теории ГинзбургаЛандау, r0  радиус действия потенциала.




  1. Флуктуационная теория фазовых переходов:




ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ


        1. Якобианы:





        1. Формула Стирлинга:



        1. Формула суммирования ЭйлераМаклорена для медленно
          меняющихся функций
          :





.


КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА





  1. Уровни энергии осциллятора:




  1. Расщепление уровней энергии в магнитном поле

(эффект Зеемана):

где  магнетон Бора,  проекция полного момента J на ось ,  фактор Ланде (гиромагнитный фактор).




  1. Уровни энергии орбитального движения в однородном магнитном поле (уровни Ландау):

где e  заряд, m  масса частицы, pz  импульс движения вдоль оси z.

  1. Вторичное квантование бозе-частиц со спином 0

Ненулевые матричные элементы:

Перестановочные соотношения:



Оператор числа частиц в p-состояниях:





  1. Вторичное квантование фермионов со спином 1/2

Ненулевые матричные элементы:

Здесь σ ± 1, где t  номер состояния (σ, p) (t – 1) – номер состояния, предыдущего по счету.

Перестановочные соотношения:

Операторы квантованного поля (нерелятивистское приближение):



Перестановочные соотношения:







  1. Взаимодействие электронов во вторичном квантовании

Оператор числа частиц:

Гамильтониан невзаимодействующих электронов:



Нерелятивистское взаимодействие с внешним полем :



Нерелятивистское электрон-электронное взаимодействие:







  1. -потенциал:




  1. Температурная S-матрица:

где – оператор взаимодействия в представлении Мацубары.



ЗАДАНИЕ 1
УПРАЖНЕНИЯ


  1. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

    1. Исходя из соотношений коммутации для фермиевских операторов рождения и уничтожения доказать, что собственные значения оператора числа частиц равны 0 и 1.

    2. Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения.

    3. *Доказать, что для бозевских операторов рождения и уничтожения имеет место тождество



    1. Доказать, что для фермиевских операторов рождения и уничтожения имеет место тождество



    1. Вычислить среднее от произведения четырех ферми-операторов где обозначают усреднение по состоянию невзаимодействующих частиц с заданной температурой и химическим потенциалом.

    2. СПереходя к представлению Мацубары: при определить средние числа заполнения идеального ферми-газа и идеального бозе-газа

Указание:


  1. ТЕРМОДИНАМИКА, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

СТАТИСТИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ, НИЗКОРАЗМЕРНЫЕ

СИСТЕМЫ

    1. СОпределить в переменных

а) V, Т; б) p, Т.

Определить для больцмановского газа, газа Ван-дер-Ваальса, ферми- и бозе-газа и черного излучения.



    1. Показать, что

    2. Теплоемкость обычно определяют при V = const либо при
      p = const, что отвечает чаще всего встречающимся условиям эксперимента. Но бывает необходимость определить теплоемкость при других условиях. Так, при расширении газа в пустоту сохраняющейся величиной будет энергия. В таком процессе теплоемкость должна рассчитываться при E = const.

A. Доказать, что

B. Вычислить изменение температуры при расширении в пустоту. Объяснить знак эффекта для вырожденных бозе- и ферми-газов.



  1. Объяснить ответ для классического идеального газа/

    1. Определить в переменных

а) , V, Т; б) N, V, Т.

Определить для больцмановского газа, ферми- и бозе-газа.



    1. Для термодинамического потенциала справедливо утверждение Ф = μN (μ химический потенциал, N число частиц). Для идеального бозе-газа в области бозе-конденсации
      μ = 0. следовательно, Ф = 0. Используя формулу, мы получаем S = 0 во всей области бозе-конденсации.

  1. В чем ошибочность приведенного рассуждения?

  2. Получить правильное выражение для энтропии в области бозе-конденсации.

    1. Тело с теплоемкостью С(Т) и магнитной восприимчивостью  находится в слабом магнитном поле, которое адиабатически меняется от значения H = H0 до нуля. Найти изменение температуры ∆T; объяснить знак эффекта.

    2. ЛИдеальный газ, состоящий из N точечных молекул, заключен в сосуд объемом V. Найти число состояний (фазовый интеграл) в классическом случае и, пользуясь им, получить уравнение состояния. Вычислить энтропию при заданных энергии, объеме и числе частиц.

    3. СНа примере системы, состоящей из N молекул идеального газа, показать, что каноническое распределение Гиббса по энергиям в пределе N ˃˃ 1 переходит в микроканоническое распределение.

    4. Доказать наличие максимума в теплоемкости cVN одномерного идеального ферми-газа. Получить высокотемпературные разложения давления, плотности и энтропии для одномерного идеального ферми-газа.

    5. Найти явный вид химического потенциала двумерного идеального бозе-газа, а также низкотемпературное поведение его теплоемкости.


ЗАДАЧИ


  1. ССистема состоит из N независимых частиц, каждая из которых может находиться в одном из двух квантовых состояний с энергиями + и . Определить энтропию S состояния системы с заданной энергией E. Найти равновесные концентрации частиц в состояниях с энергиями  при температуре Т. Обсудить случай, когда каждое из состояний имеет конечную кратность вырождения z.

Найти температуру как функцию энергии E и показать, что она может быть отрицательной. Что произойдет, если система с отрицательной температурой вступит в тепловой контакт с системой с положительной температурой? Найти температурную зависимость теплоемкости системы.

  1. *Рассмотреть трехуровневую систему: каждая частица может находиться в одном из трех квантовых состояний с энергиями +, 0 и .

Найти температуру как функцию энергии E и показать, что она может быть отрицательной.

  1. ССистема состоит из N невзаимодействующих осцилляторов с частотой ν.

Определить энтропию состояния системы с заданной энергией и получить связь между энергией и температурой системы.

Установить связь между температурой системы и средней энергией. Выразить среднюю энергию через температуру. Определить теплоёмкость при заданных (N, T).

Определить число состояний W(E) при заданной полной энергии по статистической сумме ZN(β) системы. Пользуясь асимптотической оценкой при больших N, вычислить энтропию S(E).


  1. Газ атомов с моментом J спином S и орбитальным моментом L помещен в слабое магнитное поле H, температура и расщепление в магнитном поле малы по сравнению с интервалом тонкой структуры.

Найти свободную энергию, вычислить χ и исследовать случаи:

а) расщепление в магнитном поле ˃˃ T;



б) расщепление в магнитном поле ˂˂ T.

  1. СВычислить энтропию и вращательную теплоемкость чистых орто- и параводорода. Записать условие их полного термодинамического равновесия и определить вращательную теплоемкость смеси. Сравнить теплоемкость смеси при заданных концентрациях орто- и параводорода с теплоемкостью в условиях полного термодинамического равновесия.

  2. СПостроить изотермы идеальных ферми- и бозе-газов. Качественно рассмотреть предельный переход к больцмановскому случаю.

  3. СПостроить кривые температурной зависимости величины N0/N, химического потенциала и удельной теплоемкости для идеального бозе-газа. Определить скачок производной теплоемкости по температуре в точке бозе-конденсации.

  4. Найти температуру бозе-конденсации для ультрарелятивистского газа ε = cp.

  5. Рассмотрим идеальный бозе-газ из частиц, обладающих внутренними степенями свободы. Предположим для простоты, что кроме основного энергетического уровня ε0 = 0 существует только один возбужденный уровень внутренней энергии частицы ε1. Определить температуру бозе-эйнштейновской конденсации как функцию энергии ε1.

  6. Вычислить энергию Ферми, внутреннюю энергию Е, давление и теплоемкости cV,N и cV идеального ферми-газа, состоящего из частиц со спином 1/2, с точностью до членов порядка T2 в случае сильного вырождения.

  7. СНайти магнитную восприимчивость вырожденного электронного газа (парамагнетизм Паули свободных электронов в металле и диамагнетизм Ландау) при условии, что μBH B  магнитный момент электрона) много меньше энергии Ферми. Указать условие существования диамагнитных металлов.

  8. *Найти диамагнитную восприимчивость двумерного газа свободных электронов, если εF ˃˃ μBH ˃ T (эффект де Гааза–ван Альфена). Оценить область температур, в которой можно ожидать наблюдение этого эффекта.

  9. Потенциал взаимодействия N частиц, расположенных на одной прямой, является функцией только расстояния между частицами. Система классическая. Доказать, что в том случае, когда учитывается только взаимодействие между соседними частицами, связь между давлением и объемом (расстоянием L между крайними частицами) может быть описана простой однозначной функцией, и потому не будет никаких особых явлений, соответствующих фазовому переходу.

ЗАДАНИЕ 2
УПРАЖНЕНИЯ


        1. ТЕРМОДИНАМИКА, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

СТАТИСТИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ, НИЗКОРАЗМЕРНЫЕ

СИСТЕМЫ


    1. Для электронов, находящихся под поверхностью Ферми, произвести переход к дырочному представлению. Записать полный гамильтониан идеального ферми-газа, используя операторы рождения и уничтожения квазичастиц (электронов над поверхностью Ферми и дырок под поверхностью Ферми). Определить химический потенциал и энергетический спектр полученных квазичастиц.

    2. Доказать, что записанный в представлении вторичного квантования гамильтониан взаимодействия электронного спина с внешним магнитным полем инвариантен относительно u-v-преобразования.

    3. Найти преобразование Боголюбова, диагонализующее фермионный гамильтониан:

Здесь J1, J2, J2 – некоторые постоянные.

Определить спектр квазичастиц.


    1. *Используя представление оператора смещения для гармонического осциллятора получить формулу Дебая–Уоллера:

Для объяснения каких физических эффектов используется полученное соотношение?



Примечание. Для решения удобно воспользоваться результатом упр. 1.3 из задания 1.
ЗАДАЧИ


  1. Найти:

а) флуктуации

б) флуктуации плотности n = N/V, энергии и энтальпии.



  1. Пусть система N изинговых спинов образует кольцо.

Предположим, что энергия такой системы есть

где σ1 принимает значения +1 и 1.

Найти свободную энергию и магнитную восприимчивость системы.

Показать, что при T = 0 фазовые переходы отсутствуют.



  1. СНайти распределение частиц по импульсам для основного состояния неидеального бозе-газа.

  2. ЛНайти зависимость плотности сверхтекучей компоненты слабонеидеального бозе-газа от температуры при T → 0 (T ˂˂ Tc).

  3. В модели БКШ определить:

а) *скачок теплоемкости при T = Tc;

б) Лплотность сверхпроводящих электронов n0(T) в предельных случаях T << Tc и T Tc.



  1. Используя уравнения ГинзбургаЛандау, найти верхнее критическое поле для сверхпроводника второго рода. Сравнить с термодинамическим критическим полем.

  2. Используя уравнения ГинзбургаЛандау, найти глубину проникновения для слабого магнитного поля.

  3. СИспользуя теорему, доказанную в упражнении 2.14, получить общее выражение для спиновой восприимчивости сверхпроводника. Определить её асимптотическое значение в пределе низких температур (сдвиг Найта). Качественно объяснить полученный результат.

  4. СГамильтониан ферромагнетика в модели Гейзенберга имеет вид

(1)

где  оператор спина в ячейке векторы , определяют узлы кристаллической решетки. В приближении самосогласованного поля определить точку фазового перехода Tc, температурную зависимость магнитной восприимчивости  и спонтанной намагниченности вблизи Тc.



  1. СДля модели Гейзенберга (1) при T ˂˂ Tc определить спектр возбуждений (магнонов) и найти температурную зависимость теплоемкости спиновых волн.

  2. ЛИспользуя уравнения ГинзбургаЛандау, определить флуктуационную поправку к свободной энергии, энтропии и теплоемкости. Установить область применимости уравнений ГинзбургаЛандау.

  3. Предположим, что разложение свободной энергии производится по четным степеням параметра порядка m, но по дробным степеням малого параметра

Вычислить все три критических индекса   .




Индекс у номера задачи или упражнения означает:
Л – будет обсуждена на лекции;

С – рекомендуется решить на семинаре;

* – задача сложная, рекомендуется обратить особое внимание.

Срок проведения контрольной работы № 1

и сдачи 1-го задания: 21.03–26.03 2016 года.

Срок проведения контрольной работы № 2

и сдачи 2-го задания: 10.05–14.05 2016 года

Подписано в печать 23.11.2015. Формат 6084 116.


Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 65 экз. Заказ № 483.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт (государственный университет)»

141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Тел. (495)408-58-22. Е-mail: rio@mipt.ru



Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»

141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Тел. (495)408-84-30. E-mail: polygraph@mipt.ru






База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница