Примерный перечень вопросов к зачёту или экзамену




Скачать 122.77 Kb.
Дата04.08.2016
Размер122.77 Kb.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ ИЛИ ЭКЗАМЕНУ


  1. Понятие группы Ли.

  2. Линейные представления групп Ли.

  3. Действия групп Ли на многообразиях.

  4. Алгебра Ли группы Ли.

  5. Полупрямое произведение и полупрямая сумма алгебр Ли.

  6. Корневая система полупростой компактной алгебры Ли.

  7. Унимодулярные группы Ли и алгебры Ли.

  8. Трехмерные унимодулярные группы Ли.

  9. Кривизна левоинвариантной римановой метрики на группе Ли. Биинвариантные римановы метрики на группе Ли.

  10. Понятие симметрического пространства.

  11. Группы Ли как симметрические пространства.

  12. Иволютивные автоморфизмы группы Ли и симметрические пространства. Модель Картана симметрического пространства.

  13. Инвариантная метрика модели Картана.

  14. Классификация Картана Симметрических пространств.

  15. Редуктивные однородные пространства.

  16. Построение однородных римановых метрик на редуктивном однородном пространстве.

  17. Векторные поля Киллинга на римановом многообразии.

  18. Векторные поля Киллинга на однородном пространстве.

  19. Кривизна нормальных однородных пространств.

  20. Элементы теории представлений.

  21. Инвариантные аффинные связности на редуктивном однородном пространстве.

  22. Регулярные Ф-пространства.




  1. Доказать, что замкнутая подгруппа группы Ли сама является группой Ли.

  2. Множество элементов группы Ли G, которые можно соединить непрерывным путем с единицей группы, называется связной компонентой единицы и обозначается G0 . Доказать, что G0 есть группа Ли.

  3. Доказать, что всякая подгруппа Ли замкнута.

  4. Компактны ли следующие группы: SOn (R) , U(n), SU(n), On (C)?

  5. Компактны ли следующие группы: O (p,q) ,SLn (C)?

  6. Показать, что следующие группы Ли являются компактными подгруппами Ли в SO(4): U(2), SU(2), SO (3), SO(2)? Определить их размерность.

  7. Доказать, что подмножество sln(K) матриц с нулевым следом (trA=0) есть подалгебра Ли.

  8. Выяснить строение матриц алгебры Ли .

  9. Выяснить строение матриц алгебры Ли .

  10. Доказать, что всякая двумерная алгебра Ли изоморфна либо алгебре [e1,e2]=0, либо алгебре [e1,e2]= e1 .

  11. Найти алгебру Ли псевдоунитарной группы U(1,n).

  12. Найти алгебру Ли симплектической группы Spm(K).

  13. Найти алгебру Ли аддитивной группы R1.

  14. Доказать, что гомоморфизм групп Ли коммутирует с левыми сдвигами: .

  15. Показать, что группы Ли SU(1,1) и SL2(R) изоморфны.

  16. Доказать справедливость разложения в прямое произведение .

  17. Трехмерная группа G задана законом умножения . Показать, что G является полупрямым произведением нормального делителя N: и центра Z: .

  18. Найти все одномерные представления группы Ли C. При каком условии они унитарны?

  19. Найти все одномерные представления группы Ли S1. Показать, что они унитарны.

  20. Найти все одномерные представления группы Ли Т1. Показать, что они унитарны.

  21. Доказать, что Exp(X)YExp(−X)=Exp(ad(X))Y, X,Y из .

  22. Вычислить форму Киллинга алгебры .

  23. Вычислить форму Киллинга алгебры

  24. Показать, что действие группы GLn (R) на по формуле x=Ax транзитивно. Найти стационарную подгруппу.

  25. Докажите, что прямое произведение симметрических пространств является симметрическим пространством.

  26. Докажите, что плоскость Лобачевского является симметрическим пространством.



ОБРАЗЕЦ ТЕСТА ТЕКУЩЕЙ АТТЕСТАЦИИ
Тест по теме: Группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой
A1. Множество является

1. Только группой.

2. Только топологической группой.

3. Только дифференцируемым многообразием.

4. Группой Ли.
A2. Отображение является

1. Только гомоморфизмом.

2. Только непрерывным отображением.

3. Линейным представлением.

4. Только гомоморфизмом Ли.
Б1. Какое из следующих утверждений верно?
1. Группа SL2(C) является связной группой Ли.

2. Группа SL2(C) есть локально компактная группа Ли.

3. Группа SL2(C) суть компактная группа Ли.

4. Группа SL2(C) не является группой Ли.


Б2. Форма Киллинга алгебры Ли
1. Инвариантна относительно всех автоморфизмов алгебры Ли .

2. Инвариантна только относительно внутренних автоморфизмов алгебры Ли .

3. Инвариантна только относительно операторов присоединенного представления .

4. Не обладает свойством инвариантности относительно автоморфизмов алгебры Ли .


В1. Какое из следующих утверждений ложно?
1. Всякая нильпотентная алгебра Ли разрешима.

2. Алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена.

3. Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена.

4. Всякая простая алгебра Ли полупроста.

В2. Пусть − линейное представление группы Ли. Тогда, если Ker={e}, то представление называют
1. Неприводимым.

2. Точным.

3. Вполне приводимым.

4. Сопряженным.



ОБРАЗЕЦ ТЕСТА ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ (ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО ТЕСТА)
1 вариант

А1. Какое из следующих утверждений верно?


1. Группа SL2(C) является связной группой Ли.

2. Группа SL2(C) есть локально компактная группа Ли.

3. Группа SL2(C) суть компактная группа Ли.

4. Группа SL2(C) не является группой Ли.


А2. Пусть − линейное представление группы Ли. Тогда, если Ker={e}, то представление называют
1. Неприводимым.

2. Точным.

3. Вполне приводимым.

4. Сопряженным.


Б1. Отображение является

1. Только гомоморфизмом.

2. Только непрерывным отображением.

3. Линейным представлением.

4. Только гомоморфизмом Ли.
Б2. Какое из следующих утверждений ложно?
1. Всякая нильпотентная алгебра Ли разрешима.

2. Алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена.

3. Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена.

4. Всякая простая алгебра Ли полупроста.


В1. Форма Киллинга алгебры Ли
1. Инвариантна относительно всех автоморфизмов алгебры Ли .

2. Инвариантна только относительно внутренних автоморфизмов алгебры Ли .

3. Инвариантна только относительно операторов присоединенного представления .

4. Не обладает свойством инвариантности относительно автоморфизмов алгебры Ли .


В2. Множество является

1. Только группой.

2. Только топологической группой.

3. Только дифференцируемым многообразием.



4. Группой Ли.
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант № 1


  1. Докажите, что множество SLn (R) является некомпактной группой Ли.

  2. Найти алгебру Ли псевдоунитарной группы U(1,n).

  3. Вычислить форму Киллинга алгебры .

  4. Найти все одномерные представления группы Ли T1.



Вариант № 2


  1. Докажите, что множество SU(n) является компактной группой Ли.

  2. Найти алгебру Ли симплектической группы Spm(K).

  3. Вычислить форму Киллинга алгебры

  4. Найти все одномерные представления группы Ли C.



Вариант № 3


  1. Докажите, что множество SOn (R) является компактной группой Ли.

  2. Найти алгебру Ли аддитивной группы R1.

  3. Вычислить форму Киллинга алгебры .

  4. Найти все одномерные представления группы Ли S1.



Вариант № 4


  1. Докажите, что множество GLn (R) является некомпактной группой Ли.

  2. Найти алгебру Ли унитарной группы U(n).

  3. Вычислить форму Киллинга алгебры .

  4. Найти все одномерные представления группы Ли R.



Вариант № 5


  1. Докажите, что множество U(n) является компактной группой Ли.

  2. Найти алгебру Ли псевдоортогональной группы O(1,2).

  3. Вычислить форму Киллинга алгебры .

  4. Найти все одномерные представления группы Ли R+.



БАНК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ



  1. Доказать, что замкнутая подгруппа группы Ли сама является группой Ли.

  2. Множество элементов группы Ли G, которые можно соединить непрерывным путем с единицей группы, называется связной компонентой единицы и обозначается G0 . Доказать, что G0 есть группа Ли.

  3. Доказать, что всякая подгруппа Ли замкнута.

  4. Компактны ли следующие группы: SOn (R) , U(n), SU(n), On (C)?

  5. Компактны ли следующие группы: O (p,q) ,SLn (C)?

  6. Показать, что следующие группы Ли являются компактными подгруппами Ли в SO(4): U(2), SU(2), SO (3), SO(2)? Определить их размерность.

  7. Доказать, что подмножество sln(K) матриц с нулевым следом (trA=0) есть подалгебра Ли.

  8. Выяснить строение матриц алгебры Ли .

  9. Выяснить строение матриц алгебры Ли .

  10. Доказать, что всякая двумерная алгебра Ли изоморфна либо алгебре [e1,e2]=0, либо алгебре [e1,e2]= e1 .

  11. Найти алгебру Ли псевдоунитарной группы U(1,n).

  12. Найти алгебру Ли симплектической группы Spm(K).

  13. Найти алгебру Ли аддитивной группы R1.

  14. Доказать, что гомоморфизм групп Ли коммутирует с левыми сдвигами: .

  15. Показать, что группы Ли SU(1,1) и SL2(R) изоморфны.

  16. Доказать справедливость разложения в прямое произведение .

  17. Трехмерная группа G задана законом умножения . Показать, что G является полупрямым произведением нормального делителя N: и центра Z: .

  18. Найти все одномерные представления группы Ли C. При каком условии они унитарны?

  19. Найти все одномерные представления группы Ли S1. Показать, что они унитарны.

  20. Найти все одномерные представления группы Ли Т1. Показать, что они унитарны.

  21. Доказать, что Exp(X)YExp(−X)=Exp(ad(X))Y, X,Y из .

  22. Вычислить форму Киллинга алгебры .

  23. Вычислить форму Киллинга алгебры

  24. Показать, что действие группы GLn (R) на по формуле x=Ax транзитивно. Найти стационарную подгруппу.

  25. Докажите, что прямое произведение симметрических пространств является симметрическим пространством.

  26. Докажите, что плоскость Лобачевского является симметрическим пространством.


МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
Главная цель курса «Теория однородных пространств» дать студентам современные знания и хорошую практическую подготовку, необходимую будущему преподавателю-исследователю. В курсе «Теория однородных пространств» рассматриваются вопросы римановой геометрии многообразий с транзитивной группой движений. Курс широко использует геометрические представления, которые сложились у студентов при изучении курса дифференциальной геометрии и курса римановой геометрии. Но вместе с тем, тут содержится большое количество новой информации. Содержание курса стандартное, но особое внимание необходимо обратить на прочность получаемых студентами знаний, так как при изучении данного курса закладывается база знаний по Эрлангенской программе Ф. Клейна.

В теме «Группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой» приводятся следующие вопросы курса. Понятие группы Ли. Линейные представления групп Ли. Действия групп Ли на многообразиях. Алгебра Ли группы Ли. Полупрямое произведение и полупрямая сумма алгебр Ли. Полупростые группы Ли и алгебры Ли. Корневая система полупростой компактной алгебры Ли. Унимодулярные группы Ли и алгебры Ли. Трехмерные унимодулярные группы Ли. Кривизна левоинвариантной римановой метрики на группе Ли. Биинвариантные римановы метрики на группе Ли.

В теме «Симметрические просранства» освещаются следующие вопросы курса. Определение симметрического пространства. Группы Ли как симметрические пространства. Иволютивные автоморфизмы группы Ли и симметрические пространства. Модель Картана симметрического пространства. Инвариантная метрика модели Картана. Классификация Картана симметрических пространств.

В теме «Однородные римановы многообразия» изучаются следующие вопросы курса. Редуктивные однородные пространства. Построение однородных римановых метрик на редуктивном однородном пространстве. Векторные поля Киллинга на римановом многообразии. Векторные поля Киллинга на однородном пространстве. Кривизна нормальных однородных пространств. Элементы теории представлений. Инвариантные аффинные связности на редуктивном однородном пространстве. Регулярные Ф-пространства.

Электронное пособие, входящее в состав УМК, может быть адресовано студентам очного и заочного отделений высших учебных заведений в качестве учебника и руководства по самостоятельному изучению темы.

Данное электронное пособие может быть рекомендовано преподавателям вузов для электронной поддержки курса при чтении лекций (в мультимедийной аудитории) и на практических (семинарских) занятиях.

При чтении лекций с использованием электронного курса – презентации, в отличие от традиционных, делается упор на наглядность (за счёт использования анимации, мультипликации), что повышает интерес к изучению данной темы, способствует развитию пространственного мышления.

Практические занятия с использованием разработанного пособия рекомендуется проводить в компьютерном классе, в котором установлены математические пакеты программ (например, MathCAD). На практических занятиях осуществляется:

• работа с теоретическим материалом электронного учебника (изучение теории выбранного «урока» (параграфа) с использованием гиперссылок, видеороликов, всплывающих подсказок, справочника);

• изучение примеров решения типовых задач по выбранному «занятию» учебника (решение задач, разобрано подробно и полностью, отображается пошагово);

• самостоятельное решение задач по изученному материалу;

• промежуточное тестирование (промежуточный контроль, организованный в виде теста, содержащего вопросы для самопроверки по изученной теме);

• итоговое тестирование (итоговая разноуровневая контрольная работа – проводится по окончании изучения всего содержания учебника).

Большое значение отводится индивидуальной работе со студентами. Она проводится в часы самостоятельной работы в форме консультаций.

Текущий контроль результатов освоения курса проводится на практических занятиях. В качестве контрольных мероприятий планируются контрольные работы, коллоквиумы, а также зачет.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Методические рекомендации
1. Указания по изучению теоретической части дисциплины (по темам)

В результате изучения тем курса студент должен:



  • знать основные понятия;

  • знать основные определения;

  • уметь применять базовые теоремы курса к решению геометрических задач;

  • уметь решать задачи данной теории;

  • знать основные вычислительные формулы;

  • владеть основными методами теории однородных пространств;

  • знать основные уравнения теории однородных пространств;

2. Указания по подготовке к занятиям.

При подготовке к занятиям студенту рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал.
3. Указания по подготовке к текущему и итоговому контролю знаний

В процессе изучения модуля «Теория однородных пространств» студент должен выполнить три контрольные работы соответственно по темам «Группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой», «Симметрические пространства», «Однородные римановы многообразия», а также текущий и итоговый тесты. Подготовка к контрольным мероприятиям включает в себя:



  • повторение изученного теоретического материала;

  • решение типовых задач.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница