Приближенные вычисления и определение погрешностей при решении задач и выполнении лабораторных работ




Скачать 64.63 Kb.
Дата13.07.2016
Размер64.63 Kb.
Урок на тему
«Приближенные вычисления и определение погрешностей при решении задач и выполнении лабораторных работ»
Цель урока: научить учащихся грамотно применять правила приближенных вычислений при решении задач и выполнении лабораторных работ.

План урока.

Актуализация знаний.


  1. –Формула для определения плотности твердого тела7

  2. – Что значит, что плотность 7,8 г/cм3 ?

  3. – Что нужно знать для определения плотности?

  4. – Как определить массу твердого тела, имеющего неправильную форму?

  5. – Как определить его объем?

Объяснение.

Проведение лабораторных работ чаще всего связано с необходимостью измерения различных величин. Учащиеся должны ясно сознавать, что результат измерения никогда не может быть точным. При любом измерении всегда неизбежна большая или меньшая погрешность. Истинная величина этой погрешности обычно не известна, но ее предельное значение мы можем указать. Будем называть это значение максимально возможной абсолютной погрешностью или сокращенно - абсолютной погрешностью.

Величина абсолютной погрешности зависит от многих факторов, но в основном она складывается из погрешности, допущенной при отсчете (погрешности отсчета Δо) и погрешности измерительного инструмента ( инструментальной погрешности Δ и).

Инструментальную погрешность, обычно, находим в таблице (см. учебник 10 кл.), а максимальную погрешность, допускаемую при отсчете, можно, чаще всего, принять равной половине цены деления шкалы прибора.

Максимальное значение абсолютной погрешности не дает возможности судить о степени точности измерения. Для оценки точности измерения надо знать, какую часть измеряемой величины составляет максимальная абсолютная погрешность, допущенная при измерении. Это число называется максимальной относительной погрешностью измерения.

В лабораторных работах результаты измерений, обычно, служат материалом для последующих вычислений с целью определения какой-либо физической величины, которая в данных условиях не может быть найдена непосредственным измерением. Разумеется, что результат таких вычислений, как и исходные данные, является числом приближенным, и нас должны интересовать границы, в которых находится истинное значение определяемой величины.

Пример. На рис. сплошными линиями изображена крышка стола и указаны ее размеры, полученные в результате измерения сантиметровой лентой. По ним можно легко определить искомую площадь. 140·59=8260 (см2 ).

1 см






1см

140 см

59 см



Размеры стола были определены с некоторой погрешностью, поэтому и величина площади, вычисленная по этим размерам, также получена с некоторой погрешностью. Истинная величина площади может быть как больше, так и меньше вычисленной, но заключена в границах, указанных на рис. пунктиром. Максимальная погрешность, допущенная в одну сторону, равна 59·1+140·1+1·1=200 (см2 ). Максимальная погрешность, которая допущена в другую сторону, равна 198 см 2.




Таким образом, истинная величина площади крышки стола заключена в пределах 8460 см 2 и 8062 см 2. Значит, и в полученном нами ранее результате, который равен 8260 см2 и является одним из множества

возможных значений величины площади, первая цифра вполне надежна, вторая - сомнительна, но мало отличается от истинной, а остальные цифры

не имеют смысла; они должны быть заменены нулями. Следовательно, результат надо округлять до двух значащих цифр, т.е. 8300 см 2 .


Правила действий над приближенными числами.

  1. Приближенные числа надо округлять, сохраняя в них только надежные цифры и не более одной не вполне надежной, отбрасывая или заменяя нулями все последующие.

  2. При сложении и вычитании полученная сумма или разность в конце числа не должны иметь значащих цифр в тех разрядах, в которых они отсутствуют в каком-либо из данных.

Пример. Допустим, что в результате взвешивания масса внутреннего стакана калориметра с водой оказалась равной 127,15 г + 1 г, а объем налитой в него воды, измеренный мензуркой, равен 82 мл + 1 мл. Следовательно , массу воды можно считать равной 82 г + 1 г. Чтобы по этим данным определить массу стакана, надо из первого числа вычесть второе, т. е. 127,15 г – 82 г = 45,15 г ≈ 45 г. Так как в вычитаемом нет десятых и сотых долей в соответствующих разрядах ( измерение выполнено с точностью до 1 г), то по правилу второму их не должно быть и в разности. Из этого следует, что полученный результат должен быть округлен до целых граммов, как это сделано в приведенном примере.




  1. В остальных случаях в окончательном результате вычислений надо удерживать столько значащих цифр, сколько имеется в самом коротком из приближенных данных. Прочие цифры заменяются нулями или отбрасываются по правилам округления.

  2. В результатах промежуточных действий надо удерживать одной значащей цифрой больше, чем установлено для окончательного результата.

Пример. Размеры алюминиевого прямоугольного бруска в результате измерения, оказались равными: длинна - 4,3 см + 0,1 см,

ширина- 2,4 см + 0,1 см, толщина- 1,1 см + 0,1 см, а масса бруска при взвешивании- 30,81 г + 0,01 г.

Чтобы определить плотность алюминия, надо сначала найти его объем, перемножив линейные размеры бруска, а потом массу бруска разделить на найденный объем.

1) 4,3 см ∙ 2,4 см = 10,32 см2 ≈ 10,3 см2

2) 10,3 см2 ∙ 1,1 см = 11,33 см3 ≈ 11,3 см3;

3) 30,81 г /11.3 см3 = 2,73 г/см 3 ≈2,7 г/см3

Из четырех данных в условии этой задачи одно содержит четыре значащие цифры и три – по две значащие цифры. Согласно правилу третьему в окончательном результате следует сохранить лишь две значащие цифры, а каждый из промежуточных результатов округлять по правилу четвертому до трех цифр, как это и выполнено при решении задачи.


  1. При округлении приближенных чисел и отбрасывании лишних знаков на конце числа последнюю из оставшихся цифр увеличивают на единицу, если следующая за ней цифра 5 или больше 5, и оставляют без изменения, если она меньше 5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней следуют нули, то последнюю из сохраненных цифр оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

В процессе выполнения первых же лабораторных работ на материале этих же работ надо: во-первых, усвоить понятие о максимальной абсолютной и относительной погрешностях измерения и научиться их определять; во-вторых, уметь оценивать точность отдельных измерений, сравнивая их относительные погрешности; в-третьих, при вычислениях уметь применять правила действий над приближенными числами.


Определение погрешности измерений при выполнении лабораторных работ.

Апр-приближенное значение физической величины, полученное путем прямых или косвенных измерений.

ΔА - абсолютная погрешность измерения физической величины.

Абсолютной погрешностью измерения физической величины называют модуль разности между точным и приближенным ее значением.

ε - относительная погрешность измерения физической величины в системе СИ:

Абсолютная погрешность косвенных измерений определяется по формуле

ΔА = Апр · ε ( ε выражается десятичной дробью)

Δи А-абсолютная инструментальная погрешность.

Δ ο А-абсолютная погрешность отсчета.

Максимальная абсолютная погрешность прямых измерений складывается из абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчета при отсутствии других погрешностей: ΔА=Δи А + Δ ο А.


Относительная погрешность измерений обычно определяется по формулам ( см. учебник 10 класса).

Пример. Определение плотности твердого тела. 1). У первого ученика масса полученного твердого тела 63 г + 1г. Объем тела 27 см3 + 1 см3. Δm=1г, Δv =1cм3.



ρ=m/v=63г/27 см3=2,33333 г/cм3 ≈ 2,3 г/см3


ε =Δρ/ρ=Δ m/m+Δv/v=1/63 +1/27 =0,05291;

Δρ/ρ = 0,05291;

Δρ = ρ· 0,05291 = 2,33333 г/см3· 0,05291=0,12346 г/см 3≈0,2 г/см3 (округляем до одной значащей цифры в сторону увеличения).

ε=Δρ/ρ; ε=0,2/2,3=0,0869565 , ε=9%.

Ответ записывается в виде: ρ = ρпр ± Δρ, т.е.

ρ=2,3 г/см3 ± 0,2 г/cм3, ε=9%.

Это значит, что

ρ-Δρ≤ ρ ≤ ρ+Δρ, т.е.

2,1 г/см3≤ρ≤2,5 г/см3

Допустим, что

второй ученик получил плотность тела:

ρ =2,5 г/см3 + 0,2 г/см3.

2,3 г/см3 ≤ ρ ≤ 2,7 г/cм3

Равны ли плотности тел, полученные учениками?

Как сравнивать результаты измерений.
Надо сравнить интервалы значений: если интервалы не перекрываются, то результаты неодинаковы, если перекрываются - одинаковы при данной относительной

погрешности измерений.



  1. 3


Интервалы перекрываются, значит полученные плотности равны.
Закрепление. Определить плотность фарфорового ролика.

Приборы: ролик, мензурка с водой, весы с разновесом.

На дом: стр. 346-349, 10 кл.

(в начале урока)






Значащими цифрами приближенного числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля, цифры и нулей, стоящих в конце числа, если они поставлены взамен неизвестных или отброшенных цифр. Например, число 1,01 имеет три значащие цифры, а число 0,01- одну; число 1030, полученное округлением числа 1032, имеет три значащие цифры, число 8300, полученное при округлении числа 8260, - две, но число 100, когда мы, например, пишем 1м =100 см, содержит три значащие цифры.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница