Практическая работа Формы мышления. Алгебра высказываний. Цель: Ввести понятие формальной логики




Скачать 228.89 Kb.
Дата17.07.2016
Размер228.89 Kb.

10 класс. Практическая работа 3.1. Формы мышления. Алгебра высказываний.

Цель: Ввести понятие формальной логики.


Логика - наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств. Основными формами абстрактного мышления являются понятия, суждения и умозаключения. Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Содержание понятия - совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Объем понятия - множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Выделяют понятия общие и единичные. Выделяют следующие отношения понятий по объему: тождество, подчинение, исключение пересечение,   соподчинение объемов. Суждение - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях. Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.

1. Какие известные вам понятия определяются следующими предложениями:

1)      группа слов, которая выражает законченную мысль;

2)      значимая часть слова, которая стоит после корня и служит для образования новых слов;

3)      часть речи, которая указывает на предметы, признаки и количества, но не называет их;

4) последовательность команд, которую выполняет компьютер в процессе обработки данных;

5) система хранения файлов и организации каталогов;

2. Приведите примеры понятий из повседневной жизни, а также из курсов математики, русского языка, истории, географии и информатики.

3. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание следующих понятий. Каковы их объемы?

1)    алфавит;

2)    дистрибутив;

3)    дюйм;

4)    кибернетика;

5)    палитра;

6)    мультимедиа;

7)    компьютер;

8) символ;

9) пиксел.


4. Если некоторое событие обязательно имеет место при определенном условии, то это условие является достаточным, не может иметь место без определенного условия, то необходимым. В следующих суждениях поставьте слова, получившиеся высказывания должны быть истинными.

1)      Для того чтобы число делилось на 4, …, чтобы оно было четным.

2)      Чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 9.

3)      Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно оканчивалось 0.

5. По аналогии с приведенными в таблице примерами для каждого типа отношений между понятиями придумайте 2-3 собственных примера.
Отношения
Примеры

Совпадение объемов

Включение объемов

Исключение объемов

Пересечение объемов

Соподчинение объемов


Самая высокая гора — Эверест

Школьные предметы — информатика

Мебель — овощи

Девушки — студенты

Автобус, трамвай — общественный транспорт


  Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут математическими объектами. Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания. Высказывание - это любое предложение какого-либо языка, содержание которого можно определить как истинное или ложное. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт - истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность алгебраическими методами.

6. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:



1)      Какого цвета этот дом?

2)      Число Х не превосходит единицы.

3)      4Х+3

4)      Посмотрите в окно.

5)      Пейте томатный сок!

6)      Вы были в театре?



7. Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями?

1) Город Париж — столица Франции. 3) 3 + 5 = 2  4.

2) Число 2 является делителем числа 7. 4) 2 + 6 > 10.



5) Сканер — это устройство, которое печатать на бумаге то, что изображено на экране.

10 класс. Практическая работа 3.2. Логические выражения и таблицы истинности.

Цель: Ввести понятие формальной логики.

операция

естеств. язык

обозначение

программирование

название

таблица

конъюнкция

и

&

and

логическое

умножение


А

В

А&В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

дизъюнкция

или

\/

or

логическое

сложение


А

В

А В

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

инверсия

Не

Неверно, что…

_

А

not

отрицание


A



0

1

1

0

импликация



Если ..., то ...;

 , ;

If … Then …

следование


А

В

А В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

эквиваленция

тогда и только тогда

 , ~

в том и только в том случае

равнозначность


А

В

А В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1


Пример1. Определите истинность составного высказывания: ( & )  (C D). На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0. Пример 2. Определим сначала истинность составного высказывания:

( & )  (1 0) = (0&1)  (1 0) = (0&1)  (1 0) = 01 = 0



Пример 3. Даны три числа в различных системах счисления: А = 2010, В = 1116, С = 308. Переведите А, В и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (А В)&С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.



Арифметические и логические операции с использованием Wise Calculator.

1

Запустить программу Wise Calculator.

2

Запустить [Tools-Multi-Base Calculator].

3

Ввести значение логического аргумента A в текстовое поле Dec и аргумента B в текстовое поле Hex и c помощью группы переключателей Operation выбрать оператор логического сложения A or B.  

4

В окне Bin столбца Result появится результат (10101) поразрядного логического сложения чисел
À = 2010, Â = 1116.

5

Ввести значение промежуточного результата в текстовое поле Bin и аргумента C в текстовое поле Oct и c помощью группы переключателей Operation выбрать оператор логического умножения A and B.

6

В окне Bin столбца Result появится результат (10000) поразрядного логического умножения чисел АB = 101012, С = 308, а в окне Dec (16), результат в десятичной системе счисления.

          Пример 3.4. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение ((AВ) & В)  С.

        Импликация ложна на единственном наборе (1 0). Значит, С = 0, ((AВ) & В) = 1.

        Конъюнкция истинна на единственном наборе (1 1). Значит, В = 1 и (AВ) = 1.

        Дизъюнкции истинна при наборах (1 0) и (1 1). Следовательно, существуют два набора, удовлетворяющих условию задачи: (А = 0, В = 1, С = 0) и (А = 1, В = 1, С = 0).  



Логические операции имеют следующий приоритет: действия в скобках, инверсия , &,  ,  ,  .

        Пример 3.5. Определите истинность простых высказываний и составьте сложное:



А = {Принтер – устройство вывода информации},

В = {Процессор – устройство хранения информации},

С = {Монитор – устройство вывода информации},



D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.


Практическая работа 3.3. Логические выражения и таблицы истинности.


Цель: Научиться вычислять значения логических высказываний.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности состав-ного высказывания. Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

        Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице m = 2n;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций;

6. выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2n—1;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

 Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

а) определить количество наборов входных переменных;

б) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю —1;

в) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;

г) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа. Пример 1. Для формулы A&(B& ) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23 = 8. Количество логических операций в формуле 5, следовательно, количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.




A

B

C





&

B ( & )

A&(B & )

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1






Построение таблицы истинности логического выражения с использованием таблиц StarCalc.

1

Запустить интегрированное приложение командой [Программы-StarOffice].

2

В появившемся окне приложения StarOffice запустить электронные таблицы StarCalc командой [Файл-Создать-Документ электронной таблицы].

3

Создать заголовки и ввести в столбцы A, B, и С значения логических аргументов, а в столбцы D, E, F, G, H соответствующие логические функции. Для ввода функций - команда [Вставка-Функция].

4

После ввода аргументов и формул на листе появится таблица истинности логического выражения.  



 

Практическая работа 3.4. Решение логических задач.

Цель: Научиться упрощать логические выражения с помощью законов логики.


    В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

Двойное отрицание исключает отрицание.

А = .


исключение констант

A  1 = 1, A  0 = A;

A&1 = A, A&0 = 0.

2. Переместительный закон:

Результат операции не зависит от порядка высказываний.

АB = BA;

A&B = B&A.

закон противоречия:

A& = 0.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

        При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

(AB)  C = A  (BC);

(A&B)&C = A&(B&C).




закон поглощения

A  (A&B) = A;

A&(AB) = A.


4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

        Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.


(A  B)&C = (A&C)  (B&C);

(A&B)  C = (AC)&(BC).



закон исключения

(A&B)  ( &B) = B

(AB)&( B) = B.


5. Закон общей инверсии

законы де Моргана

= & ;



закон контрапозиции

(AB) = (BA).



Пример 3.1. Найдите X, если = В. Воспользуемся законом де Моргана для логического сло-жения и законом двойного отрицания: ( & )  ( &A) = &( A) = &1 = = B. Тогда X =  . Пример 3.2. Упростите логическое выражение (ABC)& Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону Моргана) и закону двойного отрицания:

(ABC)& = (ABC)&( &B& )

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения: (ABC)&
( &B& ) = (A& )  (B& )  (C& )  (A&B)  (B&B)  (C&B)  (A& )  (B& )  (C& )

        Согласно закона противоречия: (A& ) = 0; (C& ) = 0

        Согласно закона идемпотентности (B&B) = B  

        Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный) закон и группируя слагаемые, получаем: 0  (A&B)  ( &B)  B  (C&B)  ( &B)  (C& )  (A& )  0

        Согласно закона исключения (склеивания) (A&B)  ( &B) = B (C&B)  ( &B) = B

        Подставляем значения и получаем: 0  BBB  (C& )  (A& )  0

        Согласно закона исключения констант для логического сложения и закона идемпотентности:

0  B  0  BB = B

        Подставляем значения и получаем: B  (C& )  (A& )

        Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения:

(C& )  (A& ) = (CA)&(C)&( A)&( )

        Согласно закона исключения третьего: (C) = 1 ( A) = 1

        Подставляем значения и окончательно получаем: B& & .   

Задание 3.1. Какое тождество записано неверно:

1) X= 1; 2) X XXXXX = 1; 3) X & X & X & X & X = X.

 Задание 3.2. Определите, каким законам алгебры чисел (сочетательному; переместительному; распределительному; аналога нет) соответствуют следующие логические тождества:

а) АB = BA;

б) (A&B)&C = A&(B&C);

в) А  (В&С) = (АВ)&(АС);

г) (AB)&C = (A&C)  (B&C).



Практическая работа 3.5. Логические основы устройства компьютера.

Цель: Научиться строить логические схемы.


Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.

конъюнктор

дизъюнктор

инвертор







Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.

Пример 3.1. По заданной логической функции F(A, B) = B& &A построить логическую схему.

Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).





Пример 3.2. Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F1(X,Y) и F2(X,Y), которые реализуются на ее двух выходах.  

Функция F1(X,Y) реализуется на выходе первого конъюнктора, т.е. F1(X,Y) = X&Y. Одновременно сигнал с конъюнктора подается на вход инвертора, на выходе которого реализуется сигнал , который, в свою



Практическая работа 3.5. Логические основы устройства компьютера.

Цель: Научиться строить логические схемы.


Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.

конъюнктор

дизъюнктор

инвертор







Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.

Пример 3.1. По заданной логической функции F(A, B) = B& &A построить логическую схему.

Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).





Пример 3.2. Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F1(X,Y) и F2(X,Y), которые реализуются на ее двух выходах.  

Функция F1(X,Y) реализуется на выходе первого конъюнктора, т.е. F1(X,Y) = X&Y. Одновременно сигнал с конъюнктора подается на вход инвертора, на выходе которого реализуется сигнал , который, в свою



одноразрядный полусумматор

RS-триггер





очередь, подается на один из входов второго конъюнктора. На другой вход второго конъюнктора подается сигнал XÚY с дизъюнктора, следовательно, функция F2(X,Y) = & (XÚY). Данная логическая схема является одноразрядным полусумматором двоичных чисел, т.к. на ее вход подаются два слагаемых, а на выходах получаются сумма и перенос в старший разряд. Для сложения n-разрядных двоичных чисел используется последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров. Для хранения информации в оперативной памяти компьютера, а также во внутренних регистрах процессора используются триггеры. Триггер может находиться а одном из двух устойчивых состояний, что позволяет запоминать, хранить и считывать 1 бит информации. Самый простой триггер — RS-триггер. Он состоит из двух элементов ИЛИ-НЕ, входы и выходы которых соединены кольцом: выход первого соединен со входом второго и выход второго – со входом первого. Триггер имеет два входа S (от англ. set – установка) и R (от англ. reset – сброс) и два выхода Q (прямой) и (инверсный).

Задание 3.1. Существует 16 логических функций от двух переменных. Реализуйте их логические схемы с помощью логических элементов И, ИЛИ, НЕ.

Задание 3.2.     Доказать, по таблице истинности, что логическая функция S = ( A Ú B Ú P 0)& Ú( A & B & P 0) определяет сумму при сложении двоичных чисел ( A и B - слагаемые, P 0 – перенос из младшего разряда).  

Задание 3.3. Какое количество базовых логических элементов необходимо для реализации 64-разрядного сумматора двоичных чисел.

Задание3.4. Какое количество базовых логических элементов составляют оперативную память современного компьютера объемом 64 Мбайта.


одноразрядный полусумматор

RS-триггер





очередь, подается на один из входов второго конъюнктора. На другой вход второго конъюнктора подается сигнал XÚY с дизъюнктора, следовательно, функция F2(X,Y) = & (XÚY). Данная логическая схема является одноразрядным полусумматором двоичных чисел, т.к. на ее вход подаются два слагаемых, а на выходах получаются сумма и перенос в старший разряд. Для сложения n-разрядных двоичных чисел используется последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров. Для хранения информации в оперативной памяти компьютера, а также во внутренних регистрах процессора используются триггеры. Триггер может находиться а одном из двух устойчивых состояний, что позволяет запоминать, хранить и считывать 1 бит информации. Самый простой триггер — RS-триггер. Он состоит из двух элементов ИЛИ-НЕ, входы и выходы которых соединены кольцом: выход первого соединен со входом второго и выход второго – со входом первого. Триггер имеет два входа S (от англ. set – установка) и R (от англ. reset – сброс) и два выхода Q (прямой) и (инверсный).

Задание 3.1. Существует 16 логических функций от двух переменных. Реализуйте их логические схемы с помощью логических элементов И, ИЛИ, НЕ.

Задание 3.2.     Доказать, по таблице истинности, что логическая функция S = ( A Ú B Ú P 0)& Ú( A & B & P 0) определяет сумму при сложении двоичных чисел ( A и B - слагаемые, P 0 – перенос из младшего разряда).  

Задание 3.3. Какое количество базовых логических элементов необходимо для реализации 64-разрядного сумматора двоичных чисел.



Задание3.4. Какое количество базовых логических элементов составляют оперативную память современного компьютера объемом 64 Мбайта.



База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница