Пособие разработано ст преп. Смышляевой Т. В




Скачать 292.13 Kb.
Дата07.03.2016
Размер292.13 Kb.
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Аналитическая геометрия
Индивидуальные задания

Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В.

Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Образец решения варианта


Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты ЁC из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.

Решение:


Рис. 1

Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка µ §. µ § D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки µ §. Получаем µ §.

Уравнение медианы AD: µ §.

Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ ѓО АС, следовательно µ §. Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле µ §. Следовательно, µ §. Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (x0,y0) в данном направлении µ §.

Уравнение высоты из вершины В: µ §, µ §.

Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместно из уравнения µ §. Точка О (4;µ §).

Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x1,y1)и D (x2,y2) на плоскости µ §.

А (1,-3), D (5,3) µ §.

Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой µ §.

Решение:

Рис. 2

Уравнения искомых прямых имеют вид µ §, так как прямые проходят через начало координат. Задача имеет два решения (Рис. 2). Для решения используем формулу µ §, причем, поскольку нас интересует острый угол, правую часть формулы возьмём по абсолютной величине. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угловой коэффициент заданной прямой равен 3. Так как угол между этими прямыми равен µ §, то µ §.


Тогда µ §, отсюда µ § и µ §.

Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной из прямой µ §, а другой µ §. Уравнения искомых прямых µ §.

Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD ѓмѓм BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному.

Решение: Составим уравнение прямой ВС (уравнение прямой, проходящей через две точки).µ §

От общего уравнения прямой (µ §) перейдем к уравнению с угловым коэффициентом (µ §).

µ §


Средняя линия трапеции параллельна ВС и проходит через середину отрезка АВ. Е ЁC середина АВ, следовательно Е (µ §).

Так как прямые параллельны, то µ §. Используем уравнение прямой

µ §

Уравнение средней линии трапеции: µ §.



Уравнение прямой в отрезках:

Рис. 3


µ §, а ЁC величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, b - величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОY.

Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим µ §. Деля обе части равенства на -5, будем иметь µ §. Следовательно, µ § (Рис. 4).

Рис. 4

Нормальное уравнение прямой (Рис. 5) µ §, р ЁC длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, ѓС - угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси ОХ.



Рис. 5

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель µ §, причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

Находим нормирующий множитель µ § (знак минус берется потому, что С = 5 ѓ® 0). Таким образом, нормальное уравнение полученной прямой имеет вид µ §.

Направляющие косинусы µ §. Длина перпендикуляра из начала координат к прямой µ §.


Найти расстояние между параллельными прямыми µ §.

Решение: Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой µ §. Её ордината µ §. Итак, на первой прямой выбрана точка А (1;3). Найдем теперь расстояние этой точки до второй прямой по формуле µ §.

µ §.

Даны точки М1 (-3; 7; -5) и М2 (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной вектору µ §.



Решение: Найдем координаты нормального вектора µ §. Имеем µ §.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (µ §). Перпендикулярно данному вектору µ §: µ §.

Искомое уравнение плоскости: µ §.

Через точку пересечения плоскостей µ § провести плоскость, параллельную плоскости µ §. Найти расстояние точки М1 (1; -1; -1) до построенной плоскости.

Решение:

Плоскости пересекаются, следовательно µ §. Решив систему уравнений µ §, получим точку М (3; 5; 7).

Так как искомая плоскость параллельна плоскости µ §, то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор µ § данной плоскости (µ § - условие параллельности двух плоскостей).

Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно данному вектору µ §, получаем µ §. Это и есть искомое уравнение.

Расстояние от точки µ § до плоскости µ § определяется по формуле µ §. В данном случае µ §.

Плоскость ѓС проходит через точки: µ §. Плоскость ѓТ проходит через ось ОХ и точку µ §. Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ.

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки µ § имеет вид µ §. В данном случае µ §.

Раскрывая этот определитель, получим µ § µ § - уравнение плоскости ѓС. Если плоскость проходит через ось ОХ, А = 0, D = 0(общее уравнение плоскости µ §) т. е.µ §. Плоскость ѓТ проходит через ось ОХ и точку М4 (9,-3, 8). Подставляем в это уравнение координаты точки М4 получимµ § или µ §, таким образом, имеем µ §, т. е. µ § - уравнение плоскости ѓТ.

Угол между плоскостями определяется по формулам , где µ §. Нормальный вектор плоскости ѓС: µ §. Для плоскости ѓТ: µ §. Определяем острый угол между плоскостями ѓС и ѓТ: µ §

µ §.


Общее уравнение прямой µ § преобразовать к каноническому виду.

Решение:

Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y.

Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что µ §, откуда µ §.

Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая их почленно, получим µ §, откуда µ § или µ §.

Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде µ §.

Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим µ §. Прямая проходит через точку µ §и имеет направляющий вектор µ §.

Второй способ. Найдем направляющий вектор µ § прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей µ § и µ §, то в качестве его можно взять векторное произведение векторов µ §: µ §.

Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку µ §, через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом µ §, координаты µ § определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них µ §

µ §, отсюда получаем µ §. Так как каноническое уравнение имеет вид µ §, то в данном случае µ § µ §.


Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой µ §.

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (х1; y1; z1) и N(x2; y2; z2):

µ §

Прямая l: µ §. Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно находим: µ §; µ §; µ §. Следовательно, K„Ўl, M„Ўl, L„ўl. Условие перпендикулярности двух прямых - µ §. В данном случае для прямой µ §µ §.



Тогда µ §

µ §


При µ § прямые перпендикулярны.

При каких значениях n и А прямая µ § и плоскость µ § будут перпендикулярны? При n = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

Решение: µ § - условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 6).

Рис. 6


В данном случае µ §

µ §


При А = -4; n = µ § прямая и плоскость перпендикулярны.

Если n = -1, то прямая имеет вид µ §.

Если А = 3, то плоскость имеет вид µ §.

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: µ §. Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем µ §, откуда µ §. Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: µ §, М (5; 5; -2).

Острый угол между прямой µ § и плоскостью µ § определяется по формуле µ §. Учитывая, что µ § получаем µ §

µ §


Дана прямая µ § и вне её точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную М относительно данной прямой.

Решение: Проведем через М плоскость ѓС, перпендикулярную к данной прямой. ѓС: µ § или µ §.

Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: µ §. Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим µ §, отсюда µ §

Точка Q имеет координаты µ §. Тогда координаты симметричной точки можно найти из формулы координат середины отрезка, т. е. µ § или µ §. Откуда µ §. Следовательно, µ §.

Вариант 1
Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения его сторон.

Через точку пересечения прямых µ §провести прямую, составляющую с осью ОХ угол 45°.

К какой из двух прямых: µ § точка М(-1;2) находится ближе?

Показать, что отрезки прямых µ § µ § образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.

Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскостиµ §.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти точку пересечения прямой µ § с плоскостью µ § и угол между ними.

Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. При каком значении m прямая µ § будет перпендикулярна построенной прямой?

Проверить, лежит ли прямая µ § на плоскости µ §.

Вариант 2


Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).

Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату прямой µ §. Построить данную прямую.

Найти расстояние между параллельными прямыми µ §.

Даны уравнения сторон треугольника: µ § µ §. Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.

Плоскость ѓС проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость ѓТ задана уравнением µ §. Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.

Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости µ §. Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А (1; -5; 3) и образует с осями координат ОХ и OY углы, соответственно равные µ § и 45„a, а с осью OZ ЁC тупой угол.

Показать, что прямые µ § взаимно перпендикулярны.

При каком значении А плоскость µ §будет параллельна прямой µ §. При А = 4 найти угол между ними.

Вариант 3


В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6) и С (1;-5). Составить уравнения его сторон.

Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой µ § к оси OX равен 45° ?

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую µ §, и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОУ.

Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.

Плоскость ѓС проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и С (5; 4; -2), плоскость ѓТ проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам µ §. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью µ §.

Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и ОУ угол ѓС = 150° и ѓТ = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 ед. Указать особенность в расположении плоскости.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением µ §, другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).

При каких значениях В и n прямая µ § перпендикулярна плоскости µ §?

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-4; -7; 1) и параллельно прямой µ §.

Вариант 4


В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.

Составить уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой µ §.

Стороны треугольника выражаются уравнениями µ § µ § µ §. Найти уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.

Через начало координат провести прямые, образующие с прямой µ § углы, тангенсы которых равны µ §.

Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки М (0; 1; 3) и N (2; 4; 5), и построить её. Найти расстояние точки А (3; 2; -5) до построенной плоскости.

При каком значении l плоскости ѓС и ѓТ будут перпендикулярны? Плоскость ѓС проходит через точки К (-1; µ §; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Плоскость ѓТ задана уравнением µ §. При l = 3 найти острый угол между плоскостями ѓС и ѓТ.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-2; 7; 3) параллельно плоскости µ §. Полученное уравнение плоскости привести к нормальному виду.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти угол между прямыми µ § и µ §.

Даны вершины четырехугольника: A (-4; -3; -2), B (2; -2; -3), C (-8; -5; 1), D (4; -3; -1). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Найти значение m, при котором прямая µ § параллельна плоскости µ §. При m = -2 найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Вариант 5


Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС, и медианы, проведенной из вершины С.

Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой µ §.

Дана прямая µ §. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единиц.

Найти острый угол между прямой µ § и прямой, проходящей через точки А (1; -1) и В (5; 7).

На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору µ §, на расстояние µ §.

Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ, где ѓС проходит через точки A (1; µ §; µ §), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ , а ѓТ - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3).

Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору µ §, направляющие косинусы которого соответственно равны µ §. Проверить, будет ли искомая плоскость перпендикулярна плоскости µ §.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти угол между прямой µ § и плоскостью µ §.

Найти проекцию точки М (-6; 5; 7) на прямую µ §.

Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

Вариант 6


Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2).Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А.

Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой µ §, и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОХ .

Проверить, что прямые µ § служат сторонами равнобедренного треугольника.

Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы ѓТ = 60° и ѓЧ = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние р от начала координат до неё равно 8 единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; µ §) до построенной плоскости.

Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью ѓС, проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью ѓС и плоскостью XОY.

Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях µ § является прямоугольным.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти точку пересечения прямой µ §с плоскостью µ §и угол между ними.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 5; -1) и перпендикулярно прямой µ §.

Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD.

Вариант 7


Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой.

Известны уравнения сторон треугольника: µ § µ § µ §. Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.

Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3; 4) и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD.

Две из граней куба расположены на плоскостях µ §. Найти его объем.

Найти угол между плоскостью µ §и плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -1) параллельно вектору µ § ={0; -1; 2}.

Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (-4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположе­нии. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти угол прямой µ § с плоскостью µ §.

При каком значении n прямые µ § будут взаимно перпендикулярны?

Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; -1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.

Вариант 8


Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции.

Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой µ § к оси ОX равен 30° ?

Через точку пересечения прямых µ § проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат?

Определить острый угол, под которым пересекаются прямые АВ и СD, если А (2; 4), В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2).

Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости µ § и отстоящих от точки А (1; 2; 0) на расстоянии µ §.

Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью XOZ.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В (µ § 0; 1) и С (µ §).

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости µ §с прямымиµ §. Определить направляющие косинусы прямой.

При каком значении m прямые µ § будут взаимно перпендикулярны? При m = 1найти угол между ними.

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую µ §.

Вариант 9


Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину.

Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду.

Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямыхµ § и параллельную прямой µ §.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4; 1)и образующей угол µ § с прямой µ §.

Найти расстояние от точки пересечения плоскостей µ § до плоскости, проходящей через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору µ §.

Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1; 4) и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD.

Плоскость ѓС проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает на осях координат равные отрезки. Плоскость ѓТ задана уравнением, µ §. При каком значении m плоскости ѓС и ѓТ будут перпендикулярны?

Написать канонические уравнения прямой:µ §

Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5). Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями AC и BD.

При каких значениях В и С прямая µ § перпендикулярна плоскости µ §?

При каких значениях А и С прямая µ § лежит в плоскости µ §?

Вариант 10


Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; µ §), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; -1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ?

Вычислить угол между прямыми µ §.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору µ §, где В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Указать особенности в расположении плоскости. Найти расстояние от точки D (6; -2; 13) до построенной плоскости.

При каком значении m угол между плоскостями ѓС и ѓТ равен µ §? Плоскость ѓС проходит через точки А (µ §), В (-3; 1; 1) и С (2; 4; -7), плоскость ѓТ задана уравнением µ §.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости ХОY.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий вектор µ § прямой образует с координатными осями ОХ и OZ углы ѓС = 120°, ѓЧ = 45°, а с осью ОY - острый угол.

В плоскости XOZ найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямойµ §.

При каком значении С плоскость µ § будет параллельна прямой µ §. При С = -2 найти угол между ними.

Вариант 11


Показать, что точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) и Q (-1; 0) являются вершинами трапеции. Найти уравнение высоты трапеции, её длину.

Найти угол наклона к оси ОХ .и начальную ординату прямой µ §.

Определить, какие из уравнений прямой являются нормальными:

µ § µ §


µ § µ §

Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы µ §.

Найти такое число ѓС, чтобы плоскость µ § была параллельна плоскости µ §, и определить расстояние между ними.

Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью ѓС, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью ѓС и плоскостью XOZ.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно векторам µ § ={0; 1; 2} и µ §= {-1; 0; l}.Указать особенность в расположении плоскости.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Дан треугольник с вершинами А(3; -2; 5), В(-1.2; 3) и С(5; 4; -3). Найти угол между медианами, проведенными из вершин А, С, и их длины.

Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость µ §.

Параллельны ли прямые µ §?

Вариант 12


Даны две вершины треугольника: А (-4; 3), B (4; -1) и точка пересечения высот М (3; 3). Найти третью вершину С.

Написать уравнение прямой, если длина нормали р = 2, а угол наклона её к оси ОХ равен 225°.

Показать, что прямые µ § параллельны. Найти расстояние между ними. Построить указанные прямые.

Прямые АВ и СD пересекаются в точке М(4; 2; 5) под углом 45°. Написать уравнение прямой СD, если координаты точки А(0; 5).

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и равноудаленной от точек А (2; 7; 3) и 3 (-1; 1; 0).

Плоскость ѓС проходит через проекции точки М (2; 1; 2) на оси координат, а плоскость ѓТ через точки А (1; 2; 3), B (-2; 0; -1) и С (0; 1; 2). Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору µ §={3; 0; 1} . Полученное уравнение привести к нормальному виду.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Даны две вершины треугольника: А (-4; -1; 2) и В (3; 5; -16). Найти третью вершину С и угол при вершине А, зная, что середина стороны АС лежит на оси ОY, а середина стороны ВС -на плоскости XOZ .

Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую µ §.

При каких значениях В и D прямая µ § лежит в плоскости µ §?

Вариант 13


Даны координаты середин сторон треугольника: А(1; 2), B(7; 4), С(3; -4). Составить уравнения сторон треугольника.

Дано уравнение прямой µ §. Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.

Найти расстояние от точки пересечения прямых, заданных уравнениями µ § до прямой µ §.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС известны вершина острого угла А(2; 6) и уравнение противолежащего катета µ §. Составить уравнения двух других сторон.

Найти расстояние от точки М (0; -1; 1) до плоскости, проходящей через точки А(1; 4; -5) и В(4; 2; -3) и перпендикулярной плоскости µ §.

Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки А(2; 1; 8), В(-1; 3; 4) и С(3; 0; 12).

Дана плоскость µ §. Найти углы её нормали с осями координат. Проверить, проходит ли плоскость через одну из следующих точек: А(1; -2; 1), В(3; 2; 4), Сµ §, Dµ §.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти точку пересечения прямой µ § с плоскостью µ § и угол между ними.

При каком значении m прямые µ § будут взаимно перпендикулярны?

Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.

Вариант 14


Вершинами треугольника служат точки A(-8; 1), B(1; -2) и C(6; 3). Найти центр описанной около него окружности.

Через точку М (3; 2) провести прямую так, чтобы её отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.

Составить уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент µ § и отстоящей от начала координат на расстояние µ §.

Две прямые, проходящие через начало координат, образуют собой угол µ §. Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно µ §. Составить уравнения этих прямых.

Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости, проходящей через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), Р(4; 0; 0) и удаленных от неё на расстояние d = 4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОX и составляющей угол 60° с плоскостью Y = X.

Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору µ § ={2; -1; 6}.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти острый угол между прямыми: µ §

Показать, что треугольник с вершинами в точках А(1; -2; 1), В(3; -3; -1) и С(4; 0; 3) прямоугольный. Найти его периметр.

Прямая проходит через точки А(3; -1; 0) и В(х; -7; 3) и параллельна плоскости µ §. Определить абсциссу точки В и направляющие косинусы построенной прямой.

Вариант 15


Даны последовательные вершины параллелограмма: А(0; 0), В(1; 3), С(7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что данный параллелограмм является прямоугольником.

При каком значении параметра а уравнения µ § изображают параллельные прямые?

Через точку P(-2; 1) проведена прямая так, что её расстояние от точки С(3; 1) равно 4. Найти угловой коэффициент этой прямой.

Построить треугольник, стороны которого заданы уравнениями: µ §. Найти площадь треугольника.

Найти расстояние от точки М(2; 1; 1) до плоскости, проходящей через точку N(-1; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям µ §.

Через точку N(3; 9; -4) проведены две плоскости: одна из них содержит ось ОY, другая ЁC OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

Плоскость проходит через точки А(3; 1; 1), В(-7; µ §; 0) и С(-1; 1; µ §). Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Треугольник АВС образован пересечением плоскости µ § с координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости ХОY, и угол, который образует она с прямой µ §.

Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой µ §.

При каких значениях m и n прямые µ § будут параллельны?

Вариант 16


Даны вершины треугольника: А(-1; 6), В(-5; -2) и С(1; 0). Показать, что этот треугольник прямоугольный. Найти центр описанной около него окружности и её радиус.

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую µ §, а также координаты основания этого перпендикуляра.

Диагонали ромба длиной в 30 и 16 ед. приняты за оси координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых µ § под углом в 45° к прямой µ §.

На оси ОУ найти точку, равноудаленную от точки A (2; 0; 1) и от плоскости, проходящей через точку В (1; 1; 1) перпендикулярно вектору µ §.

Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ, где ѓС проходит через точку А (µ §) перпендикулярно оси OZ , a ѓТ - через точки В(2; -1; -1), С(-1; 0; 2) и D(0; -2; 0).

При каких значениях a, b, c плоскости µ § будут взаимно перпендикулярными?

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки: А(3; 0; 1), В(0; 2; 4) и С(1; µ §; 3).

При каком значении n прямые µ § будут взаимно перпендикулярны? При n = -3 найти угол между ними.

Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3; -1; -4), пересекающей ось ОY и параллельной плоскости µ §.

Вариант 17


Даны вершены четырехугольника: А(2; 4), B(-3; 7), С(-6; 6), D(-1; 3). Доказать, что данный четырехугольник - параллелограмм.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b , чтобы прямые µ § проходили через одну и ту же точку?

На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой µ § на расстоянии 3 единиц.

Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы µ § и вершину прямого угла (4; -1).

Дан тетраэдр с вершинами: K(1; 1; 2), L(-1; 1; 3), М(2; -2; 4), N(-1; 0; -2). Найти длину высоты, проведенной из вершины N, и угол между гранями КLM и LМN.

Из точки Р(-1; 1; 4) опущен на плоскость перпендикуляр, основанием которого является точка Q(2; 1; 3). Составить уравнение плоскости в нормальном виде и указать особенности в её расположении.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости, проходящей через точку А(6; -1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а = -3, а на оси аппликат - отрезок с = 4.

Написать канонические уравнения прямой: µ §.

Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(4; 0; -10) и С(-2; 6; 8). Найти угол между медианой, проведенной из вершины А, и стороной ВС.

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми µ §.

При каком значении р прямые µ § будут параллельны?

Вариант 18


Три вершины параллелограмма имеют следующие координаты: А(-6; -4), B(-4; 8), С(-1; 5), причем А и С - противоположные вершины. Определить координаты четвертой вершины параллелограмма и уравнения его диагоналей.

Даны две точки: А(-3; 1) и B(3; -7). На оси ординат найти такую точку M, чтобы прямые AM и ВМ были перпендикулярны друг другу.

На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой µ §.

Найти острый угол между прямой µ § и прямой, проходящей через точки А(-3; 8), В(1; µ §). Построить указанные прямые.

Определить, при каких значениях m и n плоскости µ § µ § будут параллельны, и найти расстояние между ними.

Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОУ и отсекающей на осях ОX и OZ отрезки, равные 2 и 3 ед. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью µ §.

Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки: А(1; -1; 1), В(0; 2; 4), С(1; 3; 3) и D(4; 0; -3).

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением µ §, другая проходит через точку А(1; 2; 3) и точку пересечения указанной прямой с плоскостью µ §.

Найти направление прямой, одновременно перпендикулярной к оси OZ и к прямой, проходящей через две точки: А(1; -1; 4) и В(-3; 2; 4).

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 1; 0) и через прямую µ §.

Вариант 19


Противоположные вершины ромба находятся в точках B(-2; 2) и D(0; -3). Составить уравнения диагоналей этого ромба.

При каком значении m прямые µ § проходят через одну точку? Найти эту точку.

Через точку Р (5; 0) провести касательную к окружности µ §.

Через точку А (-3; -5) проходят прямые: АС, параллельная оси ОУ , и А В, образующая угол µ §с осью ОХ. Найти угол между указанными прямыми.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) и отсекающей равные отрезки на осях ОУ и OZ. Найти расстояние от точки С(5; -7; 8) до построенной плоскости.

Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ, где ѓС проходит через точку А(5; -1; 3) параллельно плоскости YOZ, a ѓТ - через точки В(0; 1; 1), С(1; 0; -2), D(4; -2; -3).

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости µ §. Указать особенность в расположении плоскости.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти угол между прямой, лежащей в плоскости XOY и образующей с осью ОX угол 30°, и прямой, лежащей в плоскости XOZ и образующей с осью ОХ угол 60°.

Провести через точку пересечения плоскости µ § с прямой µ § прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

Прямая проходит через точки А(х; 5; 9), В(2; у; 21) и параллельна прямой µ §. Определить абсциссу точки А, ординату точки В и направляющие косинусы прямой АВ.

Вариант 20


Даны вершин треугольника: А(4; -1), В(µ §) и С(µ §). Показать, что этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.

Составить уравнение прямой, параллельной прямой µ § и отсекающей на положительной полуоси абсцисс отрезок, равный 4 единицам.

На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых µ §.

Стороны треугольника выражаются уравнениями: µ §. Найти внутренние углы треугольника и его вершины.

Найти расстояние от точки пересечения плоскостей µ § до плоскости, проходящей через точку µ § параллельно плоскости µ §.

Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ, где ѓС. проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ , a ѓТ отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, µ §.

Принадлежат ли одной плоскости четыре точки: А(3; 1; 0), В (0; 7; 2), С(-1; 0; -5) и D(4; 1; 5)?

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Треугольник образован пересечением плоскости µ § с координатными плоскостями. Найти угол наклона медианы треугольника, проведенной из вершины, лежащей на оси ОZ, к плоскости ХОY.

Даны вершины треугольника: А(4; 1; -2), В(2; 0; 0) и С(-2; 3; -5). Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 5; 1) параллельно прямой µ §.

Вариант 21


Дан четырехугольник с вершинами: А(-2; -3), B(-1; 4), С(3; 3) и D(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

При каком значении параметра а прямые µ § µ § окажутся перпендикулярными?

Через начало координат и точку М (1; 3) проходят две параллельные прямые. Найти их уравнения, если известно, что расстояние между этими прямыми равноµ §.

Прямая АВ отсекает на положительных полуосях OX и OY отрезки, соответственно равные 8 и 12 ед. Прямая CD проходит через точку С (-2; 0) и отсекает на оси ОУ отрезок b = 3. Найти угол между прямыми.

Найти абсциссу точки А(х; 1; 8) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точки В(7; 2; 4), С(7; -1; -2) и D(-5; -2; -1), равно 3 ед.

Найти угол между плоскостями ѓС и ѓТ, где ѓС проходит через точки А(µ §) и B(µ §) параллельно оси OY, а ѓТ задана уравнением µ §.

Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и OZ углы ѓС = ѓЧ = 60°, а с осью ОУ - острый угол. Составить уравнение плоскости при условии, что она проходит через точку М (1; 1; -1). Проверить, будет ли искомая плоскость параллельна плоскости µ §.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти отношение, в котором координатная плоскость ХОY делит отрезок между точками А(-1; -4; 4) и B(1; 2; -5). Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью ХОY и угол между ними.

Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D(3; 1; 4) есть квадрат.

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую µ § параллельно прямой µ §.

Вариант 22


Даны вершины треугольника: А(2; 1), В(-2; 3), С(0; 3).Найти уравнения медиан треугольника и их длины.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3)параллельно прямой µ §.

По какой линии должна двигаться точка, начальное положение которой определено координатами (3; 8), чтобы кратчайшим путем дойти до прямой µ §? В какой точке она достигнет этой прямой и как велик будет пройденный путь?

В параллелограмме АВСD известны уравнения сторон µ § µ § и точка С(7; 1). Найти углы, образованные диагональю АС со сторонами АВ и АD.

Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси ОУ отрезок b = -3 и перпендикулярной к вектору µ §. Найти расстояние от точки А(-2; -4; 3) до построенной плоскости.

Через точку А(-2; 4; 8) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX , другая - OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

Плоскость ѓС проходит через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1), С(2; -1; -2); плоскость ѓТ задана уравнением µ §. Определить абсциссу точки А так, чтобы плоскости были перпендикулярными.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Вершины треугольника находятся в точках А(1; -2; 8), В(0; 0; 4) и С(6; 2; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС, и определить внутренние углы треугольника.

Найти расстояние от точки М(1; 3; 5) до прямой, по которой пересекаются плоскости µ §.

Даны точки А(-3; -2; -3), В(-2; -5; -1), С(-4; ѓС; ѓТ). При каких значениях ѓС и ѓТ точка С лежит на прямой АВ? Найти направляющие косинусы прямой AВ.

Вариант 23


Даны две вершины: А(-6; -5) и В(2; 4) параллелограмма АВСD и точка М(3; 1) пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин С и D и уравнения сторон параллелограмма.

Через точку пересечения прямых µ § провести прямую, параллельную прямой µ §.

Проверить, что прямые µ § касаются одного и того же круга с центром в начале координат, и вычислить радиус этого круга.

Даны координаты вершин треугольника: А (-4; 0), В (5; -6), С (0; 6). Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.

На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3; 4) и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости µ §.

Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; -2) и N (2; 2; 2) и плоскостью УOZ .

Нормаль к плоскости ѓС составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. Определить, при каком значении m плоскость ѓС будет перпендикулярна плоскости ѓТ: µ §.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 ед.; концы этих отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол между плоскостью полученного треугольника и прямой, проходящей через точки А(0; 4; -2), В (3; -1; 2).

Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(-4; 3; -8) перпендикулярно двум прямым:µ §.

При каком значении n прямая µ § параллельна плоскости µ §?

Вариант 24


Даны вершины четырехугольника А(-4; -2), В(-3; 1), С(4; 3), D(5; -3). Показать, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Найти уравнения перпендикуляров к прямой µ §, восстановленных в точках пересечения её о осями координат.

Даны уравнения оснований трапеции: µ §. Найти её высоту.

Прямая задана уравнением µ §. Показать, что данное уравнение является нормальным и найти острый угол между указанной прямой и осью OX.

Найти расстояние от точки К (3; -2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; -4; 3) и N (-2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ.

Плоскость ѓС проходит через точки А (0; 0; z), B (3; -2; 0), С (3; 0; 1). Плоскость ѓТ задана уравнением µ §. Определить аппликату точки А при условии, что угол между плоскостями ѓС и ѓТ равен µ §.

Проверить, имеют ли общую тoчку следующие четыре плоскости: µ §.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями µ §. Найти эти углы.

Доказать, что треугольник АВС, где А(2; 3; -1), В(3; -1; 2), С(-1; 2; 3), равносторонний. Составить уравнения сторон треугольника и найти длину его высоты.

Доказать, что прямые µ § параллельны и написать уравнения прямой, проходящей посередине между ними.

Вариант 25


Даны вершины А(-3; -2), В(4; -1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD // ВС ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершин D этой трапеции.

При каких значениях с площадь фигуры, ограниченной координатными осями и прямой µ §, равна 135 кв.единицам?

Даны стороны треугольника:µ §. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую её (считая от вершины А ) в отношении 1:3. Найти угол между построенной прямой и стороной АС, а также длину высоты, опущенной из вершины В.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 2) и образующей с осью ОХ угол, вдвое больше угла, который составляет с той же осью прямая µ §.

Найти аппликату точки M(2; 3; Z ) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точку А (-3; 3; µ §) перпендикулярно вектору µ § равно 4 ед.

Определить, при каких значениях m и n плоскости µ § будут параллельны. При µ § найти угол между указанными плоскостями.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(10; -5; 2), B(16; 3; 11), С(-11; -33; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образованные перпендикуляром, проведенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

Написать канонические уравнения прямой:µ §.

Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением µ § другая проходит через точки М(1; 0; 3) и N(5; -2; 7).

Провести через точку пересечения плоскости µ § с прямой µ §прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярно к данной прямой.

Найти периметр треугольника, вершины которого находятся в точках А(8; 0; 6), В(8; -4; 6), С(6; -2; 5). Составить уравнения средней линии треугольника, параллельной стороне АС.

Вариант 26


Даны вершины треугольника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; -10). Показать, что этот треугольник прямоугольный и составить уравнение высоты, проведенной из вершины прямого угла.

Написать уравнение прямой, параллельной прямой µ §и отсекающей от первого координатного угла площадь, равную 5.

Основание равнобедренного треугольника имеет уравнениеµ §. Одна из боковых сторон имеет уравнение µ §. Найти уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M(8; 9).

Сторона AB и DC параллелограмма заданы уравнениями µ §и µ §, диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти длину высоты параллелограмма из вершины B.

Найти расстояние от точки пересечения плоскостейµ §, µ §, µ §до плоскости, проходящей через точки M1(1; 4; 2), M2(2; 3; 1), M3(1; 1; 2).

Плоскость б проходит через точку M1(1; 3; 1) параллельно плоскости µ §. Плоскость в проходит через точку M2(5; -1; 2) и содержит ось µ §. Найти угол между плоскостями б и в.

Плоскость б проходит через точку P(3; -1; 2) и отсекает на оси µ §отрезок вдвое больше, чем на оси µ §и втрое больше, чем на оси µ §. Плоскость в задана уравнением µ §. При каком m плоскости будут перпендикулярны?

Написать каноническое уравнения прямой µ §.

Найти расстояние от точки P(1; 3; 5) до прямой µ §.

Найти периметр треугольника с вершинами M1(2; 4; 5), M2(3; 8; 13), M3(-1; 0; 5). Найти уравнение треугольника и угол между сторонами M1M2 и M1M3.

Через точку M1(2; 3; 6) провести плоскость перпендикулярную прямой µ §.

Вариант 27


Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).

Написать уравнение прямой, отсекающей на оси µ §отрезок, величина которого равна 3, и наклоненной к оси µ §под углом 135є.

Вычислить тангенс острого угла между прямыми µ §, µ §.

На прямой µ §найти такую точку, у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние от найденной точки до прямой µ §.

Дан тетраэдр с вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; 1), D(4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 5; 1) и M2(4; 2; 3) и параллельной вектору µ §. Найти расстояние от точки P(5; -2; 4) до построенной плоскости.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости µ §. Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.

Написать каноническое уравнения прямой µ §.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку B(3; 4; -4) параллельно прямой µ §. При каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой µ §.

Найти проекцию точки M(-1; -1; 0) на плоскость µ §.

При каких значениях A и B прямая µ § лежит на плоскости µ §. При А=1, В=-2. Найти угол между прямой и плоскостью.

Вариант 28


Даны вершины треугольника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).

Даны уравнения сторон треугольника µ §(АВ), µ §(ВС), µ §(АС). Найти угол между высотой, проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.

Дана прямая µ §. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.

Плоскость б проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость в задана уравнением µ §. При каких m и n плоскости будут параллельны?

Плоскость б проходит через точку M1(5; 3; 2) и параллельна двум векторам µ §и µ §. Плоскость в проходит через точку Р1(1; 1; 1), Р2(2; 3; 2) и Р3(3; 4; 2). Найти угол между плоскостями б и в.

Вычислить расстояние между плоскостями µ §и µ §.

Написать каноническое уравнения прямой µ §.

Найти точку симметричную точке С(-1; 2; 0) относительно прямой µ §, µ §, µ §.

При каком n плоскость µ §будет параллельна прямой µ §? При µ §найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью.

Прямая б проходит через точку M1(3; 4; 7) и M2(-1; 3; 3). Прямая в проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно прямой µ §. Найти угол между прямыми б и в.

Вариант 29


Вершиной треугольника служит точка M1(5; -3), а основанием ЁC отрезок, соединяющий точки M2(0; -1) и M3(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.

Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату прямой µ §.

Стороны треугольника заданы уравнениями µ §(АВ), µ §(ВС), µ §(АС). Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.

Написать уравнение прямой, параллельной прямым µ §и µ §и проходящей посередине между ними.

Через точку пересечения плоскостей µ §, µ §, µ §провести плоскость, параллельную плоскости µ §. Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.

Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.

Плоскость проходит через точки M1(0; 1; 2), M2(2; 8; 3), M3(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).

Написать каноническое уравнения прямой µ §.

Доказать, что прямые µ § и µ § параллельны и найти расстояние между ними.

Прямая б проходит через точку А(1; -3; 6) параллельно оси Oy. Прямая в проходит через точку В(2; 1; -1) параллельно прямой µ §. Найти угол между прямыми.

Прямая проходит через точки M1(-1; 3; 0), M2(1; 7; 3). Плоскость задана уравнением µ §. При каких B и D прямая лежит в плоскости?

Вариант 30


Даны вершины четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям BD.

Дано уравнение прямой µ §. Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.

Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: µ §(АВ), µ §(АС) и основание D(-1; 3) высоты AD.

Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и В(1; 4).

Плоскость б проходит через точку M1(1; 1; -4), M2(0; -1; -1), M3(-1; 2; 12). Плоскость в задана уравнением µ §. Показать, что плоскости параллельны, и выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; -7; 3).

Плоскость б проходит через точку M1(2; -4; 3) и отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и втрое больше чем на оси oz. Плоскость в задана уравнением µ §. При каких m и n плоскости параллельны? При m=-1, n=2 найти угол между ними.

Найти такое число а, чтобы четыре плоскости µ §, µ §, µ §, µ §проходили через одну точку.

Написать каноническое уравнения прямой µ §.

При каких l и n прямая µ § и плоскость µ § будут перпендикулярны? При l=5, n=4 найти угол между ними.

Прямая б проходит через точку M1(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости µ §. Прямая в проходит через точки M1(2; 3; -5) и M2(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми б и в.



Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости µ §.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница