Особенности фрикционных автоколебаний в континуальных системах




Скачать 117.06 Kb.
Дата31.07.2016
Размер117.06 Kb.

Вестник Брянского государственного технического университета. 2008. № 4 (20)

УДК 621.891

Е.Г. Гайворонский


ОСОБЕННОСТИ ФРИКЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ

В КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотрены различные подходы к исследованию фрикционных автоколебаний в системах с континуальными упругоинерционными свойствами. Приведены аналитические законы движения континуальных систем (для безостановочных автоколебаний) и численные расчеты устойчивости релаксационных автоколебаний.
Ключевые слова: фрикционные автоколебания; релаксационные колебания; континуальные системы; устойчивость автоколебаний; автоволновые процессы
В данной статье рассматривается вопрос о механических автоколебаниях консольного стержня с распределенной по всей длине или сосредоточенной на конце силой трения (рис. 1), вызываемой скольжением относительно воображаемой ленты со скоростью и имеющей ниспадающую зависимость от скорости в определенном диапазоне (гипотеза Кайдановского) или скачок при переходе от покоя к скольжению (далее – сухое трение). В более ранних работах, посвященных этой проблеме [1-3], авторы ограничиваются рассмотрением одномассового случая (исключение составляет модель, учитывающая также нормальные к поверхности трения колебания). Получающееся таким образом решение позволяет в первом приближении описать характер движения системы, но эффекты, связанные с пространственно-частотной организацией колебаний, при этом себя не проявляют. Данная статья посвящена вопросу о том, насколько такое приведение бывает оправданно.

Континуальные модели на рис. 1а,б могут описывать процессы в системе «стержень» с внешним трением или в системе «резец-деталь» на токарном или строгальном станке. Дискретная схема на рис. 1в – модель поезда (train model) [4] – в ряде случаев может быть описана приближенным аналитическим решением для континуальной модели на рис. 1б.

Для системы, показанной на рис. 1а, закон движения представляется в виде обычного волнового уравнения:
, (1)

где – фазовая скорость распространения возмущений в стержне.

Граничные условия выглядят следующим образом:

, .

Процесс фрикционных автоколебаний для системы на рис. 1б описывается дифференциальным уравнением



, (2)

где – распределенное по длине (удельное) трение, с граничными условиями



, .

Для разных типов сухого трения получаются дифференциальные уравнения движения с переменной структурой (сокращенно ДУсПС). Процесс автоколебаний в простейшем случае состоит из двух стадий: первая – свободные колебания системы (скольжение по воображаемой ленте), вторая – процесс релаксации на равномерной части движения (часть стержня покоится относительно воображаемой ленты).



, ; (3)

, , (4)

где , , – параметры эквивалентной одномассовой системы [см. зависимости (6,7)], – зависимость коэффициента трения покоя от времени неподвижного контакта . В распределенном случае система ДУсПС включает в себя два и более состояний.

Рассмотрим безостановочные колебания, соответствующие гипотезе Кайдановского, с кубической зависимостью коэффициента трения от скорости, распределенной по длине стержня (рис. 2):

, (5)

где – коэффициент трения покоя; , коэффициенты аппроксимации кривой.

Для простейшего приближенного решения уравнений (1) и (2) приведем систему к одномассовой эквивалентной схеме по следующим зависимостям:






; (6)

, (7)

где – жесткость эквивалентной пружины; – масса, при которой первая частота колебаний стержня совпадает с собственной частотой приведенной системы; – нормальная нагрузка (рис. 3); – длина стержня; – модуль упругости; – площадь поперечного сечения; – масса единицы длины стержня.

При начальных условиях с помощью метода Ван-дер-Поля [5] можно получить приближенный закон движения конца стержня для одномассовой системы:

, (8)

где – частота свободных колебаний, ; , , – динамические коэффициенты, , , ; – удельное статическое усилие, .

По аналогии с эквивалентной одномассовой схемой возможно получение решения и для континуальной системы. Предполагая, что нелинейность мала, тело колеблется только на первой частоте свободных колебаний, а сила трения распределена (рис. 1б), получим перемещения стержня:

, (9)

где – скорость распространения волны, ; – волновое число, ; , , – динамические коэффициенты, , , ; – статическое перемещение конца стержня, .

Сопоставив решения уравнений (8) и (9), можно получить теоретическое различие в амплитудах безостановочных автоколебаний:



. (10)

Рассмотрим ситуацию, когда вся сила трения сосредоточена на конце стержня. В данном случае вызывает сомнение возможность мягкого возбуждения автоколебаний, так как масса точки приложения силы трения в теории бесконечно мала и «одномассовый» механизм притока энергии в систему невозможен.



Численные эксперименты показывают удовлетворительную согласованность получаемых результатов для конца стержня с формулой (9): различие – около (статическое перемещение конца стержня при сосредоточенной силе трения составляет ),– но также указывают на наличие дополнительной второй гармоники, проявляющей себя активно на конце стержня (рис. 4).

Мягкое возбуждение безостановочных автоколебаний при сосредоточенной на конце стержня силе трения, наличие второй гармоники стационарных автоколебаний является следствием переходного автоволнового процесса. Можно показать, что их возникновение связано с конечностью скорости распространения возмущений в стержне (). Источник возмущения (а также точка диссипации энергии) – конец консольного стержня, а зона отражения волн – участок у его заделки.



В
результате взаимодействия прямой и отраженной волн при переходном процессе возникает компенсационная вторая гармоника (амплитудой до 10% от первой моды), которая начинает согласовывать возмущение раскачки (или гашения) автоколебаний на конце стержня и свободных инерционных колебаний по его длине. При этом со временем происходит сдвиг фаз между первой и второй гармониками (около 2 рад) и, как правило, образуется стоячая волна – двухчастотный стационарный процесс автоколебаний.

Если начальные условия задавать в виде



, (11)

где – номер узла дискретизации континуальной системы (рис. 7), ; – коэффициенты, то при простейшей начальной форме колебаний () движение хорошо описывается формулой (9) (рис. 5). Не замечено появления второй гармоники в процессе стационарных колебаний.

При произвольном задании коэффициентов формулы (11) начинают происходить весьма показательные явления, известные в теории колебаний как конкуренция мод. Так, подбором начальной формы движения можно добиться колебаний на второй частоте или даже бигармонических автоколебаний (рис. 6).

Бигармонические автоколебания для распределенного по длине стержня трения неустойчивы в отличие от случая сосредоточенной силы трения (рис. 4). Они проявляются как результат граничного случая конкуренции мод. Интересно сравнение соотношения коэффициентов начальной формы колебаний (11), при котором сменяются гармоники автоколебаний. Так, для перехода от первой гармоники ко второй соотношение коэффициентов следующее: , , ,– а для перехода от второй гармоники к третьей – , , . Любопытен случай перехода колебаний от первой частоты сразу к третьей: соотношение мод для такого перехода минимально – , , . Возможно, этот эффект можно использовать для виброгашения безостановочных автоколебаний высокочастотной гармоникой собственных колебаний.

Так как многочастотные автоколебания неустойчивы, движение системы в случае колебаний на второй, третьей и др. собственных частотах можно представить тремя, пятью и т.д. независимыми автоколебательными системами. Характер колебаний в таком случае подразумевает наличие по длине стержня узловых точек с нулевыми скоростями и перемещениями. Тогда зависимость (9) можно модифицировать для учета автоколебаний на частотах выше первой, заменяя волновое число нечетным кратным (1, 3, 5 и т. д.) для номеров частот (1, 2, 3 и т. д.). Подобным образом получаются значения амплитуд предельных циклов для n-й частоты. Например, на конце стержня (), учитывая зависимость (5), имеем

.

Для численного интегрирования используются вариации метода Рунге-Кутта в сочетании с методом припасовывания [6]. Для расчета безостановочных автоколебаний применяется сеточная дискретизация системы на 15 масс, тогда как для интегрирования релаксационных процессов распределенная система заменяется эквивалентной семимас
совой схемой (рис. 7).

Следует отметить, что для безостановочных колебаний в случаях, когда возможно сопоставление численных экспериментов с теоретическими зависимостями, имеется хорошая согласованность результатов опыта и теории. Так, теоретическое различие в амплитудах безостановочных автоколебаний (10) и экспериментальное отношение расходятся не более чем на 2%.

Параметры основной системы для исследования безостановочных автоколебаний: , , , , , , , . Параметры основной системы для исследования релаксационных автоколебаний: , , . Уравнения движения соответствуют выражениям (3,4), сила трения – зависимости (15), где ; ; ; .

Рассмотрим обоб­щенную модель сухого трения – реологическое трение [1], когда сила трения покоя зависит от времени неподвижного контакта. Скачок силы трения при переходе от покоя к скольжению (сухое трение) можно считать крайним случаем реологического трения. Система приводится к од­номассовой эквивалент­ной схеме по зависимостям (6). Для этой схемы получаются следующие оценки частоты и амплитуды процесса стационарных автоколебаний:

;

; (12)

; (13)

, (14)

где – амплитуда релаксационных колебаний; – период равномерного движения груза; – период свободного движения.

Если сила трения покоя подчиняется реологическому закону:

, (15)

где – коэффициент трения скольжения; коэффициент трения при достаточно большом времени контакта; – инкремент силы трения,– то



. (16)

Условие возникновения автоколебаний в системе с сухим трением: . Разложив выражение (16) в степенной ряд, можно получить следующее неравенство:



. (17)

Так как параметр [см. формулу (12)] для жестких колебаний (см. рис. 8; для удобства рассмотрения положение подправлено: ) незначительно отличается от периода колебаний [см. формулу (13)], результаты исследований можно представить в виде графиков зависимости периода , а также амплитуды колебаний (рис. 9, 12) от величины инкремента силы трения .




Проверим устойчивость решения для случая релаксационных колебаний с приложенной на конце стержня силой трения. Для большей наглядности рассмотрим систему с малой жесткостью: для этого уменьшим модуль упругости основной модели в 100 раз, возьмем большую скорость скольжения, , и инкремент увеличения силы трения .

На рис. 11 приведены графики возмущенного (различие начальных условий – менее 1%) и невозмущенного движения конца стержня (возмущенное движение показано пунктиром). Очевидна неустойчивость движения: спустя 3 с решения отличаются на 15%.

При количественном исследовании основной модели выявляются интересные эффекты: при определенных значениях инкремента силы трения , близких к теоретическому пределу устойчивости колебаний, встречается процесс самогашения автоколебаний (рис. 12).

Как показывают исследования, гашение происходит из-за шума (вибраций), производимого самой автоколебательной системой. Это чем-то напоминает виброгашение автоколебаний [7], только источником высокочастотных вибраций и волноводом является континуальная среда стержня.



Рассмотрим особенности автоколеба­ний при распределен­ном тре­­нии. Начальные данные исследований соответствуют предыдущей модели с тем лишь различием, что сила трения не сосредоточена на конце стержня, а равномерно распределена вдоль стержня с погонным усилием

.

В ходе численного эксперимента скорость скольжения и инкремент увеличения силы трения приходилось варьировать, так как при изначальных значениях автоколебания не наблюдались. Измененные данные приводятся на соответствующих графиках (рис. 13), положение кривых подправлено для удобства сравнения (подправленные графики показаны как ).



В ходе исследований выяснилось, что процессы автоколебаний в исследуемой модели можно разделить на два типа: колебания, при которых все звенья колеблются с приблизительно одинаковой амплитудой, и стохастические колебания.

Из рис. 13a следует, что пики колебаний для разных масс смещаются во времени. Это отчетливо видно при рассмотрении зависимости скорости от времени (рис. 14). Иными словами, мы наблюдаем автоволны: равномерное движение части стержня, заканчивающееся волнами срыва. Имеются прямая (рис. 14, стрелка 1) и обратная (стрелка 2) волны. Можно рассчитать скорости волн: для прямой получим , для обратной – . Фазовая скорость распространения возмущения при отсутствии силы трения составляла бы .

По результатам работы можно сформулировать следующие выводы:


  • Амплитуды безостановочных автоколебаний конца стержня для распределенной системы по сравнению с эквивалентной одномассовой схемой на выше для обоих способов приложения силы [см. формулу (10)].

  • Амплитуды и периоды процессов в распределенной системе с реологическим (или сухим) трением значительно ниже: до 50% и более (для случая распределенного трения).

  • Для случая реологического трения критическая скорость возникновения автоколебаний [см. формулу (17)] почти в 2 раза ниже, чем в эквивалентной одномассовой системе (рис. 10).

  • Безостановочные автоколебания с приложенной на конце стержня силой трения – устойчивый бигармонический процесс, где вторая гармоника по амплитуде составляет до амплитуды первой частоты.

  • Безостановочные автоколебания с распределенной силой трения – процесс слабоустойчивый относительно высокочастотных возмущений. Есть устойчивые предельные циклы для высших собственных частот колебаний, на которые система может перейти вследствие конкуренции мод.

  • Для случая силы трения, приложенной на конце стержня, обнаружен новый нелинейный эффект – самогашение релаксационных автоколебаний, который принципиально не может быть получен в эквивалентной одномассовой системе (рис. 12).

  • Для релаксационных автоколебаний в распределенной системе свойственны стохастические процессы с наличием выраженной низкочастотной полосы квазипериодических колебаний и достаточно равномерным широкополосным шумом.

  • Автоколебания стержня с распределенной по длине реологической силой трения – это выраженный автоволновой процесс: стационарный режим, подобный релаксационным автоколебаниям в одномассовой системе, не устанавливается.

Совокупность проведенных исследований свидетельствует о том, что при установлении влияния автоколебаний на устойчивость и динамику рассматриваемой расчетной схемы или экспериментальной модели надо учитывать весь возможный спектр частот, воспроизводимый распределенной автоколебательной системой.

Учет континуальности среды, вместе с тем, может принести пользу. Так, свойства распределенной колебательной системы должны способствовать виброгашению автоколебаний собственными высокочастотными колебаниями за счет переорганизации процесса обмена энергией с внешней средой.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Крагельский, И.В. Трение и износ / И.В. Крагельский.– М.: Машиностроение, 1968.– 480 с.

  2. Кащеневский, Л.Я. Стохастические колебания при сухом трении / Л.Я. Кащеневский // Инженерно-физический журнал.– 1984.– №1. – С. 143-147.

  3. Сухомлинов, Г.Л. Итерационная процедура численного решения задач динамики, учитывающая скачкообразное изменение значений сил трения при переходе от покоя к скольжению / Г.Л. Сухомлинов, В.Л. Михайлова // Изв. вузов. Машиностроение.– 2003. №3. – С. 15-22.

  4. Тихомиров, В.П. Трибология / В.П. Тихомиров, О.А. Горленко, В.В. Порошин.– М.: МГИУ, 2002.–224 с.

  5. Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. – М.: Физматгиз, 1959. – 916 с.

  6. Кеглин, Б.Г. Применение метода Рунге-Кутта с припасовыванием для решения задач фрикционных автоколебаний в распределенных системах / Б.Г. Кеглин, Е.Г. Гайворонский // Вестн. БГТУ.­– 2007.– №4. – С. 41-43.

  7. Крагельский, И.В. Фрикционные автоколебания / И.В. Крагельский, Н.В. Гитис. – М.: Наука, 1987. – 181 с.

Материал поступил в редколлегию 15.10.08.






База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница