Основные понятия математической логики




страница8/9
Дата26.02.2016
Размер0.54 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Ещё пример задания:


Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?

1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ



Решение:

  1. два условия связаны с помощью операции /\ («И»), поэтому должны выполняться одновременно

  2. импликация ложна, если ее первая часть («посылка») истинна, а вторая («следствие») – ложна

  3. первое условие «первая буква согласная → вторая буква согласная» ложно тогда, когда первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов 2 и 4

  4. второе условие «предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная» ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа 3

  5. таким образом, для варианта 1 (КРИСТИНА) оба промежуточных условия и исходное условие в целом истинны

  6. ответ: 1.

Ещё пример задания:


Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)(X > 3))?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4



Решение (вариант 1, прямая подстановка):

  1. определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках

  2. выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:

    X

    X > 2

    X > 3

    (X > 2)→(X > 3)

    ¬((X > 2)→(X > 3))

    1

    0

    0







    2

    0

    0







    3

    1

    0







    4

    1

    1







  3. по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):

    X

    X > 2

    X > 3

    (X > 2)→(X > 3)

    ¬((X > 2)→(X > 3))

    1

    0

    0

    1




    2

    0

    0

    1




    3

    1

    0

    0




    4

    1

    1

    1




  4. значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):

    X

    X > 2

    X > 3

    (X > 2)→(X > 3)

    ¬((X > 2)→(X > 3))

    1

    0

    0

    1

    0

    2

    0

    0

    1

    0

    3

    1

    0

    0

    1

    4

    1

    1

    1

    0

  5. таким образом, ответ – 3.

Возможные ловушки и проблемы:

    • можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!)

    • можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация»)

    • нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов2

    • этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно

Решение (вариант 2, упрощение выражения):

  1. обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

  1. тогда можно записать все выражение в виде

¬(A B) или

  1. выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):

¬(A B)= ¬(¬A B) или

  1. раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем

¬(¬A B)= A ¬B или

  1. таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X 3), то есть для всех X, таких что 2 < X 3

  2. из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

  3. таким образом, ответ – 3.

Возможные проблемы:

    • нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана)

    • при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот

    • нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X 3, а не X < 3


Решение (вариант 3, использование свойств импликации):

  1. обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

  1. тогда исходное выражение можно переписать в виде ¬(AB)=1 или AB=0

  2. импликация AB ложна в одном единственном случае, когда A = 1 и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X 3

  3. из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

  4. таким образом, ответ – 3.


Выводы:

  1. в данном случае, наверное, проще третий вариант решения, однако он основан на том, что импликация ложна только для одной комбинации исходных данных; не всегда этот прием применим

  2. второй и третий варианты позволяют не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.


1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница