Основные понятия математической логики




страница5/9
Дата26.02.2016
Размер0.54 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Ещё пример задания:


На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25,40]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (xQ) → (xR) ) /\ (x A) /\ (x P)



тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 15] 2) [10, 40] 3) [25, 35] 4)[15, 25]



Решение (способ 1):

  1. три условия связаны с помощью операции /\ (логическое «И»), поэтому для того, чтобы выражение было тождественно равно нулю, для каждого значения x по крайней мере одно из них должно был ложно

  2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x А, P: x P, Q: x Q, R: x R

  1. учтем, что в формуле дважды используется знак  («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:



  1. представим импликацию через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

  2. роль сомножителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где произведение равно 1; поэтому для этих значений x выражение A должно быть равно нулю, а для остальных x его значение не играет роли

  3. область истинности выражения по закону де Моргана совпадает с областью истинности выражения , то есть это область вне общей части отрезков Q и R (она показана жёлтым цветом на рисунке):



  1. теперь умножим это выражение на (ему соответствует область вне отрезка [10,25]), построив область ; эта область, где одновременно истинны и , выделена фиолетовым цветом:



  1. как следует из п. 4, в фиолетовой области на предыдущем рисунке выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10,30] может быть истинно

  2. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]

  3. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)

  4. Ответ: 4.

Решение (способ 2, инверсия и преобразование):

  1. пп. 1-4 такие же, как и в первом способе

  2. выражение тождественно ложно тогда и только тогда, когда обратное ему, , тождественно истинно; таким образом, если выполнить инверсию для , мы сведём задачу к задаче из демо-варианта ЕГЭ-2013, разобранной выше

  3. имеем, используя законы де Моргана:



  1. выражение истинно на общей части (пересечении) отрезков Q и R, то есть, на отрезке [25,30]

  2. добавляя к этому диапазону отрезок P, получим отрезок [10,30], где истинно выражение



  1. остальную часть числовой оси (при x меньше 10 и x больше 30) должно перекрыть выражение , то есть должно быть ложно вне отрезка [10,30]

  2. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]

  3. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)

  4. Ответ: 4.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

  1. пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения

  2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

  3. эти точки (10,15,25, 30 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x

P



Q



R







x < 10

0

1

0

1

0

1

1

1

10 < x < 15

1

0

0

1

0

1

1

0

15 < x < 25

1

0

1

0

0

1

1

0

25 < x < 30

0

1

1

0

1

0

0

0

30 < x < 40

0

1

0

1

1

0

1

1

x > 40

0

1

0

1

0

1

1

1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

  1. по условию выражение должно быть равно 0 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

x







x < 10

1

0

0

10 < x < 15

0

любое

0

15 < x < 25

0

любое

0

25 < x < 30

0

любое

0

30 < x < 40

1

0

0

x > 40

1

0

0

  1. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]

  2. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)

  3. Ответ: 4.
1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница