Основные понятия математической логики




страница4/9
Дата26.02.2016
Размер0.54 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Ещё пример задания:


На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (xА) → (xP) ) \/ (x Q)



тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 15] 2) [10, 25] 3) [2, 10] 4)[15, 20]



Решение (отрезки на оси):

  1. два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них

  2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x А, P: x P, Q: x Q

  1. учтем, что в формуле используется знак  («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:



  1. представим импликацию через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

  2. это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: ,, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только

  3. посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями и Q; область состоит из двух участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2,20], а область Q – это отрезок [15,25]:



  1. таким образом, область истинности выражения должна перекрывать оставшуюся часть – отрезок [2,15]

  2. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ

  3. Ответ: 1.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

  1. пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения

  2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

  3. эти точки (2,15,20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x

P



Q



x < 2

0

1

0

1

2 < x < 15

1

0

0

0

15 < x < 20

1

0

1

1

20 < x < 25

0

1

1

1

x > 25

0

1

0

1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

  1. по условию выражение должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

    x

    P



    Q







    x < 2

    0

    1

    0

    1

    любое

    1

    2 < x < 15

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    15 < x < 20

    1

    0

    1

    1

    любое

    1

    20 < x < 25

    0

    1

    1

    1

    любое

    1

    x > 25

    0

    1

    0

    1

    любое

    1

  2. таким образом, область истинности выражения должна перекрывать отрезок [2,15]

  3. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ

  4. Ответ: 1.
1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница