Основные понятия математической логики




страница3/9
Дата26.02.2016
Размер0.54 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Ещё пример задания:


На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:

(xP) → (xA)

( (xА)) → ((x Q))

Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

1) [40,50] 2) [30,60] 3) [30,70] 4) [40, 100]



Решение:

  1. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x А, P: x P, Q: x Q

  1. перейдем к более простым обозначениям в первом условии PA и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ:

  2. выражение должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение - это две полуоси



  3. отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 3

  4. аналогично разбираем и преобразуем второе выражение



  1. и находим, что для того, чтобы обеспечить истинность второго выражения на всей оси отрезок A должен полностью перекрыть отрезок Q; этому условию удовлетворяют варианты ответов 3 и 4

  2. объединяя результаты п. 5 и 7, получаем, что условию задачи соответствует только отрезок 3.

  3. Ответ: 3.

Ещё пример задания:


На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (xА) → (xP) ) \/ (x Q)



тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4)[15, 17]



Решение:

  1. два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них

  2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x А, P: x P, Q: x Q

  1. тогда получаем, переходя к более простым обозначениям:

Z = (AP) + Q

  1. представим импликацию AP через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

  2. это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , P, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только

  3. посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями P и Q:



  1. видим, что отрезок [2,14] перекрыт, поэтому выражение должно перекрывать оставшуюся часть; таким образом, должно быть истинно на интервалах (– ,2) и (14,) и, соответственно, выражение A (без инверсии) может быть истинно только внутри отрезка [2,14]

  2. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ

  3. Ответ: 2.

Решение (вариант 2, А.Н. Евтеев):

  1. пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения

  2. полученное после преобразований выражение должно быть истинно при любом x

  3. логическая сумма истинна во всех случаях кроме одного: если все слагаемые ложны, следовательно выражение ложно только когда A = 1, P = 0 и Q = 0

  4. поэтому если область истинности A выйдет за пределы отрезка [2,14], где одновременно ложны P и Q, то будет ложно

  5. это значит, что A может быть истинно только внутри отрезка [2,14]

  6. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ

  7. Ответ: 2.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

  1. пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения

  2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

  3. эти точки (2,6,10 и 14) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

x

P

Q



x < 2

0

0

0

2 < x < 6

1

0

1

6 < x < 10

1

1

1

10 < x < 14

0

1

1

x > 14

0

0

0

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

  1. по условию выражение должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение (и соответствующее значение ) для каждого интервала:



x

P

Q









x < 2

0

0

0

1

0

1

2 < x < 6

1

0

1

любое

любое

1

6 < x < 10

1

1

1

любое

любое

1

10 < x < 14

0

1

1

любое

любое

1

x > 14

0

0

0

1

0

1

  1. таким образом, значениедолжно быть равно 0 вне отрезка [2,14]; из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2)

  2. Ответ: 2.
1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница