Методические указания к самостоятельной аудиторной работе (сар) для студентов III курса ртф специальности 2301 всех форм обучения



Дата02.08.2016
Размер1.46 Mb.
ТипМетодические указания
Министерство высшего и среднего специального образования

РСФСР


НГТУ

РАДИОАВТОМАТИКА


Методические указания к самостоятельной аудиторной работе (САР) для студентов III курса РТФ специальности 2301 всех форм обучения

Новосибирск

1990 г.

Данная работа включает 5 тем из курса радиоавтоматики для самостоятельного изучения студентами. По каждой теме дается краткий теоретический материал, рассматриваются примеры решения задач и предлагаются варианты задач для решения.



Составил С.Е.Лявданский, канд.техн.наук, доц.
Рецензировал Т.Б. Борукаев, д-р техн.наук, проф.

Работа подготовлена на кафедре радиоприемных и радиопередающий устройств



Тема I. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ
Цель занятия. Изучить вопросы классификации систем радиоавтоматики, принципы организации процесса управления параметрами уп­равляемого объекта. Научиться самостоятельно составлять функцио­нальные схемы некоторых несложных систем радиоавтоматики.

Удобнее всего данную тему начать с классификационных призна­ков систем радиоавтоматики, которых довольно много, и они харак­теризуют автоматические систем с самых различных точек зрения. Рассмотрим основные из них.

I.I. Системы стабилизации, следящие, программного регулирова­ния. Назначением системы стабилизации является автоматическое поддержание одного или нескольких параметров объекта регулирования на заданных уровнях с определенными, обычно довольно небольшими, отклонениями. Например, система стабилизации частоты, стабилиза­тор постоянного или переменного напряжения, система стабилизации скорости движения магнитной ленты и др. Рассмотрим на уровне функ­циональной схемы одну из них – систему стабилизации частоты.

Допустим, необходимо застабилизировать частоту высокочастотно­го автогенератора. Один из вариантов функциональной схемы такой системы показан на рис. 1.1.

ФД

Генератор



Варикап

Эталонный генератор






УПТ

Рис.1.1

В качестве опорной частоты, под которую подстраивается частота генератора, здесь взята частота высокостабильного, например, кварцевого автогенератора. Частоты и подаются на фазовый дискриминатор ФД, имеющий характеристику (рис.1.2).

Напряжение на выходе фазового дискриминатора на линейном участ­ке характеристики пропорционально разности фаз подаваемых на него сигналов. Это напряжение усиливается УНТ и в качестве сме­щения прикладывается к варикапу, изменяя величину его емкости, и тем самым перестраивая частоту контура автогенератора, куда под­ключен варикап. Если частота генератора начнет отклоняться от частоты , то со временем между двумя гармоническими сигна­лами увеличивается разность фаз , увеличивается напряжение на выходе детектора и через УНТ прикладывается к варикапу. Полярность включения УПТ и варикапа необходимо выбрать таким образом, чтобы в результате произведенной подстройки рассогласование частот уменьшалось, а не увеличивалось, т.е. обратная связь должна быть отрицательной. Пос­ле завершения отработки схемой возникшего рассогласования несколь­ко изменится емкость варикапа, выходное напряжение фазового диск­риминатора и величина . И это состояние будет продолжаться до возникновения новых дестабилизирующих факторов. Особый интерес здесь представляет то, что два колебания и при постоянст­ве или небольших колебаниях имеют абсолютно одинаковые часто­ты. Разность фаз есть, она постоянна, а разности частот нет. Мы вернемся еще к этому несколько позже, при рассмотрении другого классификационного признака.

Назначением следящей системы является изменение состояния объ­екта регулирования по закону поступающего на систему внешнего уп­равляющего сигнала, т.е. какой-то параметр объекта регулирования как бы отслеживает закон, за­данный управляющим воздействи­ем. В качестве примера можно использовать ту же систему по рис.1.1, если подключить к эта­лонному генератору некий управляющий сигнал, изменяющий его частоту. Тогда частота будет подстраиваться под , т.е. отслеживать закон изменения час­тоты .




0




Рис.1.2.

Назначением системы программного регулирования является изменение состояния объекта регу­лирования по закону, заданному специальной программой, которая мо­жет быть заранее записана на магнитофон, перфоленту, устройство цифровой памяти, и т.п. и считываться в процессе работы. В качестве примера системы программного регулирования рассмотрим систему наведения антенны приемной станции космической телевизионной связи на спутник связи.

Высота полета спутников связи и их малые размеры практически исключают наведение антенны радиолокационными или оптическими ме­тодами. Поэтому система программного регулирования является наибо­лее жизнеспособной. На рис.1.3 показана упрощенная функциональная схема такой системы по одной из угловых координат (например, ази­муту).

>

Преобраз



Схема сравнения

Устройство памяти


Двигатель

Генератор

Датчик


Антенна

Редуктор


Рис.1.3.

Система работает следующим образом. Через определенное время (например, через минуту) электронные часы посылают считывающий им­пульс и из устройства памяти считывается очередное число из зара­нее заложенной туда программы. Это число поступает на схему срав­нения, на второй вход которой – информация с датчика, находяще­гося на антенне. Устройство сравнения соотносит требуемое положе­ние антенны, считанное из программы, с действительным положением, полученным с датчика. В случае их несовпадения разность (сигнал ошибки) поступает на преобразователь, где преобразуется в напряже­ние, которое через систему усилителей питает двигатель, двигатель через редуктор вращает раму, на которой закреплена антенна. Таким образом, обратная связь замыкается. Поскольку двигатель реверсивный, он может вращаться в обе стороны и отрабатывать как положительные, так и отрицательные рассогласования. После завершения его работы (он остановится, когда исчезнет сигнал на выходе схемы срав­нения) система будет находиться в стационарном состоянии до следу­ющего импульса считывания с электронных часов. Спутник, конечно, при этом будет продолжать движение, но частота следования считыва­ющих импульсов выбирается так, чтобы за период между ними спутник связи не вышел за пределы диаграммы направленности антенны. Таким образом, система работает периодически, и перемещение антенны осу­ществляется небольшими "шагами". Такая работа производится в тече­ние всего сеанса связи, пока спутник не выйдет из зоны видимости с дачного пункта на земной поверхности.


I.2. Следующий классификационный признак - системы с регули­рованием по отклонению и системы с регулированием по возмущению. Принципиальным отличием этих систем является то, что в системе с регулированием по отклонению регулирующее воздействие на объект регулирования вырабатывается на основе информации о действитель­ном состоянии объекта регулирования в сравнении с требуемым, т.е. отклонение от требуемого состояния объекта есть источник формиро­вания управляющего воздействия, стремящегося это отклонение умень­шить или свести к нулю. В системах с регулированием по возмущению анализ состояния объекта регулирования не производится, а регули­рующее воздействие вырабатывается на основе анализа внешних воз­действий, действующих на систему.

Рассмотрим два примера построения системы автоматической ре­гулировки усиления (АРУ) в радиоприемнике (рис.1.4, 1.5).

На рис.1.4 приведена функциональная схема с регулированием по отклонению.
УВЧ
Детектор АРУ

3

каскад



2

каскад


1

каскад



Усилитель АРУ

Рис.1.4.

Схема работает следующим образом.

Трехкаскадный усилитель ВЧ усиливает принятый радиосигнал, ко­торый далее уходит по назначению приемника. Этот же сигнал поступа­ет на детектор АРУ, где превращается в постоянное напряжение, про­порциональное уровню ВЧ сигнала на выходе 3-го каскада, после чего усиливается в усилителе АРУ и в качестве напряжения смещения посту­пает на усилительные транзисторы всех каскадов усилителя ВЧ. Когда сигнал от принимаемой станции сильный, напряжение на выходе детек­тора АРУ возрастает, увеличивается смещение на усилительных эле­ментах, в результате чего коэффициент усиления снижается. И, наобо­рот, при приеме слабых сигналов смещение уменьшается и усиление приемника возрастает.

В рассмотренной схеме регулирующее воздействие формируется ис­ходя из величины сигнала на выходе приемника, т.е. именно там, где желательно его иметь примерно одинаковым при приеме радиосигналов с различными амплитудами. Это и есть регулирование по отклонению действительного значения сигнала на выходе приемника от требуемо­го. Функции сравнивающего устройства легко выполняет усилитель АРУ, который можно, например, выполнить на базе операционного уси­лителя с дифференциальным входом. Естественно, что в такой схеме можно добиться высокой стабильности выходного напряжения в прием­нике при значительных колебаниях уровня принимаемого сигнала.

Система, изображенная на рис.1.5 работает несколько иначе.

Здесь сигнал регулирования формируется из сигнала, взятого со входа приемника. Его можно предварительно усилить УВЧ АРУ, чтобы довести до требуемого уровня и отфильтровать посторонние радиостанции. Эта система также будет осуществлять регулирование в нужном направлении. Когда принимается мощная радиостанция, УПТ будет по­лучать, а следовательно, и выдавать на каскады УВЧ большое напря­жение смещения и уменьшать их коэффициент усиления, а при слабом сигнале на входе приемника - наоборот, открывать каскады УВЧ, уве­личивая их коэффициент усиления.

2

каскад


1

каскад


УВЧ

3

каскад


УВЧ


АРУ
УПТ

Детектор


АРУ
Рис.1.5

Вроде бы все работает так же, как показано в предыдущей схеме. Однако здесь есть одно существенное обстоятельство, которое обуславливает низкое, а иногда и вообще неудовлетворительное качество регулирования. В самом деле, ведь если в результате приема мощной станции УПТ выдаст столь сильный сигнал, что УВЧ вообще закроются и сигнал ВЧ на выходе приемника исчезает, система будет работать и продолжать регулировать усиле­ние уже неработающего приемника. Причина - в отсутствии информа­ции о том, что делается на выходе приемника, т.е. именно там, ра­ди чего последний и создавался. В системе по рис. 1.4 такая инфор­мация имеется, так как детектор АРУ расположен на выходе приемника. Естественно, система по рис. 1.4 гораздо более совершенна, чем система по рис.1.5. Поскольку разница между ними, по существу, сос­тоит в отсутствии или наличии обратной связи, системы с регулированием по отклонению называют "с обратной связью", а системы с регулированием по возмущению – "без обратной связи". Подавляющее большинство систем радиоавтоматики построены с использованием обратной связи, так как они имеют несравненно лучшие технические характеристики.

I.3. Последний классификационный признак в рамках данной те­мы – системы статические и астатические. Отличаются они как по свойствам, так и по построению.

Если говорить о свойствах статических и астатических систем, то основное отличие заключается в качестве регулирования. В ста­тических системах принципиально невозможно добиться регулирования без ошибки, так как ошибка регулирования является источником фор­мирования регулирующего воздействия. В астатических системах при выполнении некоторых условий можно добиться полного отсутствия ошибки регулирования при сохранении регулирующих воздействий. Это достигается особенностями построения астатических систем по срав­нению со статическими, а именно – астатические системы обязатель­но содержат в своем составе интегрирующие звенья, причем их количест­во определяет порядок астатизма.

Дальнейшее рассмотрение этого вопроса удобно производить на конкретных примерах. На рис.1.6,а приведена функциональная схема статической системы автоматической подстройки частоты (АПЧ) в со­временном радиоприемном устройстве. Как известно, практически все выпускаемые в настоящее время радиоприемники строятся по супергетеродинной схеме, с преобразованием частоты, когда основное усиле­ние производится на промежуточной частоте.

УПЧ


Смес

УПТ


Варикап

ЧД









Гетер






Рис.1.6

Итак, рассмотрим схему 1.6,а.

Принимаемый приемником сигнал с частотой fс поступает на сме­ситель, на второй вход которого подается гармонический сигнал, не­сколько отличающийся по частоте. В смесителе производится нели­нейное преобразование двух гармонических сигналов, в результате чего из всего многообразия гармонических и комбинационных состав­ляющих на выходе смесителя отфильтровывают разностную частоту, называемую промежуточной.

Сигнал с выхода смесителя очень слаб, поэтому он усиливается в усилителе промежуточной частоты УПЧ, с которого уходит по назна­чению приемника. Нас же интересует кольцо АПЧ, которое продолжает­ся частотным дискриминатором ЧД, усилителем УПТ, варикапом с гетеродином. Гетеродин – специальный автогенератор, предназначенный дня выработки сигнала с частотой .

Для нормальной работы приемника необходимо, чтобы спектр час­тот принимаемой радиостанции находился в пределах полосы пропуска­ния УПЧ, для чего несущая промежуточная частота совпадала бы с се­рединой полосы пропускания УПЧ. Добиться этого без системы АПЧ очень сложно, так как даже при небольшой нестабильности частоты гетеродина из-за довольно узкой полосы пропускания УПЧ сигнал при­нимаемый станции может выйти па край полосы пропускания УПЧ или даже быть потерянным. Например, если частота принимаемой станции составляет 25 МГц, а промежуточная - 465 КГц, то частота гетероди­на будет также около 25 МГц (на 0,465 МГц меньше). Реальная долго­временная нестабильность частоты гетеродина может составлять 10-3, что дает 25 КГц. В то же время полоса пропускания УПЧ может быть даже меньше 25 КГц. Поэтому в данном случае система АПЧ совершенно необходима. Рассмотрим работу системы АПЧ. На рис.1.6,б показана типичная характеристика частотного дискриминатора. Если несущая промежуточная частота совпадает с номинальной , и управление рабочей точкой варикапа не производится, то все в по­рядке. При отклонении частоты или происходит изменение , что приводит к появлению ошибки регулирования (рис.1.6,б), по­является напряжение , которое смещает рабочую точку на вольтфарадной характеристике варикапа с целью постановки промежуточной частоты в номинальное значение. Однако точной установки уже не по­лучится, так как, если предположить достижение промежуточной час­тотой номинала , то исчезает , а следовательно, и напря­жение , без которого регулирование гетеродина невозможно. Это особенность статической системы – управляющее воздействие есть уси­ленный сигнал ошибки. Такой сигнал ошибки можно уменьшить, увели­чив усиление в УПТ, но свести его к нулю невозможно. Если же за­менить частотный дискриминатор на фазовый, то система становится астатической и, как показано в ранее рассмотренном примере по рис.1.1, возможно регулирование с точностью до постоянной фазы, что по частоте дает идеальное совпадение. Конечно, придется доба­вить в схему эталонный генератор . Почему же замена дискрими­наторов дает качественное изменение свойств системы? Потому что фазовый дискриминатор в системе частотной подстройки является интегрирующим звеном: разность фаз пропорциональна интегралу от разности частот.

В итоге, несмотря на небольшое число рассмотренных примеров систем радиоавтоматики, все же можно сделать кое-какие обобщения по принципам их построения. Прежде всего, в этих системах всегда есть объект регулирования и средства управлениям его параметрами (исполнительные устройства). Необходимы также устройства сравне­ния, усилители, датчики и, конечно, отрицательная обратная связь. На рис.1.7 показан простейший вариант обобщенной функциональной схемы системы автоматического регулирования.

Объект регулирования

Исполнительное устройство

Усилитель

Устройство сравнения

Источник управляющего воздействия
Датчик

Рис.1.7

Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача I.I. Предложите вариант функциональной схемы системы стабилизации скорости движения магнитной ленты видеомагнитофона. Можете использовать любые известные Вам функциональные элементы. При этом попробуйте создать астатическую систему.

Задача I.2. Нарисуйте амплитудные характеристики в координатах

систем АРУ по рис. 1.4 и 1.5.

Задача I.3. Предложите функциональную схему автоматического наведения на Землю антенны самоходного аппарата, работающего на поверхности Луны и выполняющего движение по произвольной траектории. Считать для простоты, что Солнце над лунным горизонтом на­ходится довольно низко, а Земля - в зените.

Задача I.4. Пусть имеется генератор ВЧ с линейной частотной модуляцией (ЛМЧ):

Варикап


Генератор “пилы”

Генератор ВЧ


вых

Пилообразным напряжением, приложенным к варикапу, частота ге­нератора ВЧ должна изменяться по линейному закону. Вследствие не­линейности пилообразного напряжения и характеристики системы ва­рикап-генератор добиться хорошей линейности изменения во времени частоты генератора ВЧ практически невозможно.

Предложите вариант включения генератора ЛЧМ в состав автома­тической системы, способной резко повысить линейность генератора с ЛЧМ.

Тема 2. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Цель занятия: Усвоить назначение структурных схем, основные правила преобразования структурных схем. Научиться решать задачи сведения разветвленной структурной схемы к простейшему виду и оп­ределять сигналы в различных точках системы при известном входном сигнале.

Одним из важнейших этапов исследования автоматической системы является составление ее структурной схемы, позволяющей в последую­щем выйти на уровень математического описания процессов, протекаю­щих в системе. Принципиальное отлитие структурных схем от функци­ональных состоит в том, что если последние позволяют рассмотреть систему на уровне принципа ее работы и связей между основными эле­ментами, то структурная схема каждому функциональному элементу (например: детектор, смеситель, усилитель, генератор и т.п.) ста­вит в соответствие его математическое описание, т.е. оператор. Математическое описание элемента структурной схемы в принципе может быть различным: дифференциальное уравнение; импульсная характерис­тика; переходная характеристика; комплексный коэффициент передачи; передаточная функция; матрица сопротивлений (проводимостей) и дру­гие. Однако в теории автоматического управления в подавляющем боль­шинстве случаев в качестве математического описания структурного звена используют передаточную функцию (оператор Лапласа). Нельзя сказать, что это традиция или так сложилось исторически. Дело в том, что большинство практически существующих автоматических сис­тем имеют довольно сложные, часто разветвленные структуры, с не­сколькими петлями обратной связи. Вместе с тем, анализ процессов в системах, расчет их рабочих характеристик требуют упрощения сложных структур, сведения их к простейшим (например, к одной или двум эквивалентным структурным единицам, охваченным обратной свя­зью). Такая работа связана с преобразованием сложных структурных схем, когда последовательно сворачиваются к эквивалентным струк­турным единицам целые группы звеньев, часто вместе с местными пет­лями обратных связей. В процессе преобразований структурных схем наиболее удобным и быстрым является использование именно оператор­ного метода, когда в качестве математического описания структурного звена выступает передаточная функция. При этом выигрыш в трудо­емкости по сравнению с другими способами математического описания структурных звеньев настолько большой, что операторный метод сегодня является основным в теории автоматического управления, осо­бенно при преобразованиях структурных схем. Рассмотрим учебный пример структурной схемы и произведем ее преобразования к простей­шему виду. Пусть исходная (непреобразованная) структурная схема выглядит так, как показано на рис.2.1.





X 1 2 3






4
5









Рис.2.1

На схеме рис.2.1 имеются 8 структурных звеньев, заданных свои­ми передаточными функциями и 5 сумматоров, обозначенных, как при­нято в автоматике, кружочком, разделенным на 4 сектора. У любого сумматора один выход и до 3 входов, причем сигнал с входа, под­ключенного к не заштрихованному сектору сумматора, передается на выход без изменений, а сигнал с входа - к заштрихованному секто­ру, передается на выход с инверсией полярности (т.е. вычитается). Например, для сумматора I справедливо уравнение



так как сигнал Z(p)подается на инверсный вход сумматора. По существу, такой сумматор является вичитателем, то же самое относи к сумматорам 2,3,4. А сумматор 5 действительно суммирует оба сиг­нала, которые на него подаются, так как у него не заштрихован ни один сектор.

Присмотревшись к схеме рис.2.1, можно заметить некоторые ти­повые структуры:

- последовательное включение звеньев (например, звеньев и );

- параллельное включение звеньев (например, звеньев , и );

- встречно-параллельное включение звеньев (например, звенья и через сумматор 4).


Каждую из таких типовых структур можно заменить одним звеном с некоторой эквивалентной передаточной функцией. Например, пусть имеется цепочка последовательно включенных звеньев (рис.2.2).








Рис.2.2

Очевидно, что



…………………………

…………………………

или, опуская промежуточные функции



откуда эквивалентная передаточная функция последовательной цепоч­ки звеньев



т.е. при последовательном включении звеньев эквивалентная переда­точная функция равна их произведению.

Так же просто можно получить результат на примере параллель­ного включения звеньев (рис.2.3).

Поскольку структурный анализ основан на принципе однонаправ­ленности звеньев, т.е. считается, что передаточная функция звена не зависит от сопротивления нагрузки, можно предполагать, что ре­зультаты прохождения сигнала через каждое звено линейно складываются на общей нагрузке являющейся входным сопротивлением остальной части системы.

Тогда
Где – эквивалентная передаточная функция группы параллельно включенных звеньев.









Рис.2.3

Рассмотрим теперь случаи встречно-параллельного включения (рис.2.4). Здесь кроме двух звеньев обязательно присутствует сумматор, замыкающий обратную связь, причем сумматор вычитающий. Такая обратная связь называется отрицательной.



Эквивалентная передаточная функция такого соединения будет отношением изображения по Лапласу выходного сигнала к входному.

(2.1)

Выразим ее через передаточные функции звеньев и .

Запишем очевидные отношения












Рис.2.4

Исключим отсюда и как не входящие в формулу (2.1)



(2.2)

(2.3)

Подставляя (2.2) и (2.3) в уравнение сумматора, получаем



Разделяя переменные, получаем



Это и есть эквивалентная передаточная функция встречно-параллельного включения звеньев.

Весьма полезными при структурных преобразованиях оказываются также правила переноса точки приложения воздействия на систему и точки съема сигнала системы. Рассмотрим конфигурацию фрагмента структуры системы рис.2.5.








Рис.2.5

Здесь на систему подается управляющий и дополнительный сигнал (это может быть, например, возмущающий сигнал). Допустим, по какой-то причине необходимо сместить точку приложения сигнала , например, перенести ее на вход звена . Чтобы результат воздействия на систему не изменился, при этом между воздействием и новой точкой приложения необходимо включить звено с передаточной функцией . Тогда схема будет выглядеть как на рис.2.6.












Рис.2.6

Точно так же точку приложения воздействия можно переносить с выхода звена (группы звеньев) на вход, но при этом воздействие необходимо сначала пропустить через звено с обратной передаточной функцией (рис.2.7).





)

)

)

)



)






Рис.2.7

Подобные правила существуют и для переноса точки съема сигнала с системы.



)






)



)


Рис.2.8


)

)







)







Рис.2.9

Иллюстрации рис. 2.8, 2.9 можно охарактеризовать правилом: при пе­реносе точки съема сигнала с выхода звена (группы звеньев) на его вход (против направления распространения информации) необходимо добавлять звено с передаточной функцией этого звена (группы звень­ев). Перенос точки съема сигнала по ходу распространения информа­ции требует включения звена с обратной передаточной функцией. Те­перь, используя вышеизложенные правила, можно произвести структур­ные преобразования схемы рис.2.1.

Прежде всего заменим соединения звеньев и , и их соответствующими эквивалентами:



Дальнейшему упрощению схемы мешает наличие перекрещивающихся связей с входа и выхода звена 6 на сумматоры 2,3. Необходимо от этого избавиться. Проще всего это можно сделать, перенося точку съема сигнала с выхода звена C на его вход. С учетом этого и упро­щений в звеньях 1,2 и 4,8 структурная схема может быть зарисована несколько иначе (рис.2.10).

Теперь можно продолжить преобразование структурной схемы. В част­ности, звенья и вместе с сумматором 3 можно заменить эквивалентом встречно-параллельного включения.

Звенья 5 и 6 включены последовательно, а параллельно с ними вклю­чено звено 7. Их общая передаточная функция









x 1 5 2 3 y




z





4


Рис.2.10

С учетом этих преобразований схема принимает вид







x 5 y


z

Дальнейшее преобразование связано с свертыванием звеньев , и сумматора 2



после чего полученное эквивалентное звено оказывается включенным последовательно с звеном . Обозначим эквивалент последовательного соединения звеньев и через , .





Тогда окончательно схема примет вид





x 5 y


z

Что является, по существу, обычным встречно-параллельным включением, рассмотренным ранее. Теперь, считая сигнал x заданным, мы можем найти сигналы y,z,5 с помощью операторного метода







На этом рассмотрение примера можно закончить.



Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.I. Задана структура системы



x 5 y




z

Задано изображение входного сигнала x(p). Произвести упрощение схемы и определить изображение сигналов y(p),z(p),5 (p).



Задача 2.2. Задана структура системы




x 5 y



z


Упростить структурную схему и определить сигналы y(p),5 (p),z(p), если x(p) задано.
Тема 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Цель занятия. Изучить самостоятельно критерий устойчивости Гурвица, научиться исследовать по этому критерию автоматические системы произвольной структуры.

Еще в конце восьмидесятых годов XIX века выдающийся русский математики и механик А.М.Ляпунов сформулировал известные теоремы устойчивости. Исследование устойчивости по А.Н.Ляпунову сводится к доказательству отсутствия в характеристическом полиноме систе­мы корней с положительными или нулевыми вещественными частями. Однако пользоваться таким способом анализа устойчивости не всегда удобно, так как это связано с необходимостью отыскания корней ал­гебраического уравнения типа

(3.1)

где n – целое положительное число.

Поэтому многими специалистами в области математики, механики и автоматики велись поиски условий, выполнение которых гарантирова­ло бы отрицательные значения вещественной части всех корней ха­рактеристического уравнения. Такие условия устойчивости получили название критериев устойчивости. Первыми появились алгебраичес­кие критерии устойчивости, затем, уже в 30-х годах XX века – час­тотные. Среди алгебраических критериев наиболее известный и удоб­ный для практического применения критерии Гурвица (1895 г.). Гурвиц доказал, что если наложить определенные условия на коэффи­циенты уравнения (3.1), то при их выполнении все корни данного уравнения будут иметь отрицательные вещественные части. Эти усло­вия можно разделить на необходимые и достаточные. Необходимым ус­ловием устойчивости является положительность всех коэффициентов уравнения (3.1):
(3.2)

Если это условие не выполняется, дальнейший анализ можно не про­водить – система неустойчива. Если же условие (3.2) выполняется, то проверяется достаточное условие – положительность всех диаго­нальных определителей матрицы Гурвица. Эта матрица составляется из коэффициентов уравнения (3.1) по очень простым правилам:

I) матрица содержит h строк и n столбцов;

2) по главной диагонали с верхнего левого угла до нижнего правого вписываются коэффициенты от до ;

3) остальные места можно заполнять так: по строке вправо вписываются коэффициенты с возрастанием индекса, влево – с убыванием. Можно то же самое делать по столбцам: вверх – с убывающим индексом, вниз – с возрастающим. Результат будет один и тот же. Например, для системы с дифференциальным уравнением 5-го порядка характеристическое уравнение будет иметь вид



А матрица Гурвица выглядит следующим образом:



Достаточные условия устойчивости - положительные значения всех диагональных определителей:





В результате для уравнения 5-й степени условия Гурвица сводятся к двум неравенствам:





Аналогичные условия можно получить и для других порядков:





Для более низких порядков n достаточно проверки только положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Рассмотрим два примера.

Пример I. Система следящая, состоит из одного интегрирующего и двух инерционных звеньев



Получим характеристический полином замкнутой системы , являющийся, как известно, знаменателем передаточной функции замкнутой системы Ф(p). Для следящих систем



что дает для данного примера:











Обозначим коэффициенты характеристического полинома:



Запишем условие Гурвица для системы 3-го порядка



или, после подстановки коэффициентов




Это есть условие устойчивости. Если неравенство превратить в равенство, возникает так называемое критическое состояние системы, когда она находится на грани между устойчивым и неустойчивым сос­тояниями. Коэффициент усиления при этом называют критическим




Полученное выражение показывает, что в рассмотренной системе (одно интегрирующее звено и два инерционных) можно добиться больших значения путем уменьшения постоянных времени инерционных звеньев. А теперь подставим численные значения

С другой стороны

Таким образом, при заданных параметрах рассматриваемая система неустойчива, так как ее коэффициент усиления больше критического . Систему можно сделать устойчивой, либо уменьшив усиление примерно в 5 раз, либо уменьшив одну или обе постоянные времени .

Пример 2. Система из трех инерционных звеньев (рис.3.1)




Рис.3.1



Для структуры рис.3.1.





Отсюда характеристический полином



где

Подставив коэффициенты в условие Гурвица для уравнений третьей степени, для критического коэффициента усиления получаем

откуда


Из этого следует, что в данной системе критический коэффициент усиления зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а только от их отношений. Например, если бы те же числа постоянных времени были в размерности не секунды, а милли- или микросекунды, то с точки зрения устойчивости ничего бы не изменилось.

Подсчитаем для данных значений параметров системы

Заданный коэффициент усиления



Следовательно, система по примеру 2 устойчива, так как е коэффициент усиления меньше критического (примерно в 3 раза).



Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача 3.I. Следящая система со структурой:



Проанализировать по критерию Гурвица.



Задача 3.2. Следящая система со структурой:





Задача 3.2. В примере по задаче 3.2 сменить коэффициент усиления , увеличив его в 10 раз, затем в 100. Сделайте выводы по данной задаче.

Задача 3.4. Следящая система со структурой:



Проанализировать по критерию Гурвица.


Задача 3.2. В примере по задаче 3.4 уменьшить коэффициент усиления в 10 раз, в 1000 раз. Исследовать устойчивость, сделать выводы по структурной схеме задачи 3.4.
Тема 4. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПОЧКИ ТИПОВЫХ СТРУКТУРНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Цель занятия. Научиться зарисовывать вид амплитудно-фазовых частотных характеристик (годографов), последовательно соединен­ных типовых структурных звеньев.

При анализе устойчивости и качества переходного процесса в системах автоматического управления не всегда требуется использо­вать аппарат критериев устойчивости или вычислять параметры пере­ходного процесса. Бывают такие ситуации, когда, обладая опреде­ленным опытом или навыками, можно и без сложных вычислений быст­ро ответить на эти вопросы, по крайней мере, в первом приближе­нии. Например, иногда можно без всяких вычислений сказать, что система устойчива (или неустойчива), посмотрев на ее годограф Найквиста, который и является амплитудно-фазовой частотной харак­теристикой разомкнутой системы. Естественно, для этого необходимо хорошо представлять себе годографы всех типовых структурных зве­ньев, а при их последовательном соединении – правило построения суммарного годографа. В табл. 4.1 приведены передаточные функции и годографы наиболее часто встречающихся типовых структурных звеньев.
№ п/п
Наименование звена

Передаточная функция

Вид годографа

1

Инерционное



Re

Im


K

2

Интегрирующее



Re

Im


3

Дифференцирующее

идеальное

Im

Re


4

Дифференцирующее

реальное

Im

Re



1

5

Упругое



дифференцирующее



1

Im

Re


№ п/п
Наименование звена

Передаточная функция

Вид годографа

6

Упругое



интегрирующее





1 Re

Im
7

Форсирующее

Im

Re



K

8

Колебательное



Im

Re


K

Рассмотрим цепочку из n структурных звеньев (рис.4.1)












Рис.4.1

Передаточная функция всей цепи



Соответственно, в частотной области



или, переходя к модулю и фазе



Как известно, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а фаза – сумме фаз, т.е.





Пользуясь этими простыми правилами и зная форму годографов каж­дого эвена, можно, по крайней мере, качественно, быстро зарисо­вать форму годографа цепочки последовательно включенных звеньев. Рассмотрим несколько примеров.



Пример I. Имеется 3 последовательно включенных звена: 2 интегрирующих и одно инерционное.

Зарисуем годографы каждого из них:

Re

Im

Im



Re

Im

Re



K3

Пока нет навыка зарисовки суммарного годографа, можно посмотреть модуль и фазу комплексного коэффициента передачи каждого звена на нулевой и на бесконечной частотах, а также динамику их изме­нения при возрастании частоты, а затем сложить фазовые сдвиги и перемножить модули коэффициентов передачи. Конкретно, для данно­го примера:











Перемножая модули, получаем:





Складывая фазы, получаем:





Следовательно, годограф группы звеньев начинается на низких частотах в бесконечности под углом – (-180 ), т.е. слева по вещественной оси, а заканчивается на очень высоких частотах в начале координат, подходя к нему сверху (-270 ). В промежутке между и все три звена имеют плавное снижение модулей усиления, а фазовый сдвиг у первых двух звеньев неизменен (по - 90 ), а у инерционного звена плавно нарастает от 0 до -90 .

С учетом всего сказанного выше, возможна лишь одна форма годографа данной группы звеньев (рис.4.2)

Im
-1 Re




Рис.4.2

Если предположить, что эта группа звеньев охвачена отрица­тельной обратной связью, т.е. представляет собой замкнутую авто­матическую систему, то, пользуясь критерием Найквиста, можно сказать, что эта система неустойчива. Особенностью ее является то, что она будет неустойчива при любых коэффициенте усиления и постоянных времени , так как годограф всегда про­ходит выше точки (-1). Изменяя , , можно изменить лишь форму и масштабы кривой, но все равно годограф будет располагаться в верхнем левом квадранте и охватывать точку (-1). Такие и подобные им системы, неустойчивые при любых значениях параметров входящих в них звеньев, называют структурно неустойчивыми. Это именно тот случай, когда одного взгляда на структуру системы и тем более на ее годограф достаточно для заключения об устойчивос­ти, и нет никакой необходимости проводить численный анализ по критериям устойчивости.


Пример 2. Три инерционных эвена и одно идеальное дифференцирующее:

Зарисуем отдельно годографы всех четырех звеньев:

Re

Im

Im



Im

Im
Re



Re

Re

На частотах, равных нулю, модули коэффициентов передачи инерцион­ных звеньев-константы, фазовые сдвиги отсутствуют. У дифференци­рующего звена модуль равен нулю, фазовый сдвиг + . Следова­тельно, годограф данной цепи звеньев начинается из нуля в направ­лении + , т.е. вверх. На бесконечно больших частотах модули коэффициентов передачи инерционных звеньев стремятся к нулю, а дифференцирующего – к бесконечности. Однако в произведении этих модулей не будет неопределенности, так как инерционных звеньев три, а дифференцирующее – одно. В результате модуль коэффициента передачи рассматриваемой цепи при стремится к нулю. Что касается фазового сдвига, то три инерционных звена дадут при фазовый сдвиг , а одно дифференцирующее + . Все вместе дадут фазовый сдвиг . Следовательно, при годограф вой­дет в начало координат под углом -180°, т.е. слева. В процессе увеличения частоты от 0 до движение точки по годографу должно осуществляться по часовой стрелке, так как все инерционные звенья плавно наращивают фазовый сдвиг в одну и ту же сторону.

Таким образом, годограф выходит из начала координат вверх по касательной к мнимой оси и, обойдя три квартала, войдет в начало координат слева по касательной к вещественной оси (рис.4.3).
Im
-1 Re


Рис.4.3

Что касается модуля усиления на средних частотах, то, как следует из формулы



здесь имеются две тенденции - увеличение модуля за счет числите­ля и уменьшение за счет роста знаменателя. Однако числитель рас­тет линейно, а знаменатель - нелинейно. Поэтому на низких часто­тах преобладает скорость роста числителя, а на высоких - знаме­нателя. Отсюда - и такая форма годографа. Если данную цепь из 4-х звеньев охватить обратной связью и превратить в систему ав­торегулирования, то она будет устойчива при любых коэффициентах усиления и постоянных времени, так как годограф принципиально не может пересечь отрицательный отрезок вещественной оси и охватить точку (-1). Такие системы называются структурно устойчивыми.


Пример 3. Цепь из двух инерционных звеньев и одного ин­тегрирующего

Зарисуем отдельно годографы звеньев:

Re

Im

Im



Re

Re

Im
Ситуация несколько напоминает пример I, лишь одно интегрирующее звено заменено на инерционное. Поэтому рассмотрим этот пример более коротко:





На средних частотах происходит плавное уменьшение модуля коэффи­циента передачи и увеличение фазового сдвига в направлении по ча­совой стрелке. Вид годографа цепи звеньев показан на рис.4.4.

Im
Re


Рис.4.4
Если рассмотренные звенья включить в состав системы автоматичес­кого управления, то вопрос об ее устойчивости не может быть ре­шен только исходя из формы годографа, так как при некоторых пара­метрах звеньев годограф может охватывать точку (-1), а при дру­гих – не охватывать. В таких случаях требуется подробный анализ по одному из критериев с выполнением необходимых расчетов.

Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача 4.I. Задана структура:

Зарисовать годограф амплитудно-фазовых частотных характеристик.



Задача 4.2. Повторить решение задачи 4.I при

Задача 4.3.

Зарисовать годограф амплитудно-фазовых частотных характеристик.



Задача 4.4. Задана структура:

Зарисовать годограф амплитудно-фазовых частотных характеристик.



Задача 4.5. Задана структура:

Зарисовать годограф амплитудно-фазовых частотных характеристик.



Тема 5. МЕТОД ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ КОРНЕЙ

Цель занятия. Изучить один из способов анализа устойчивости линейных автоматических систем, научиться решать задачи устойчи­вости конкретных автоматических систем методом чередующихся кор­ней.

Метод чередующихся корней - это, по существу, приложение или следствие к критерию устойчивости Михайлова. Он позволяет, во всяком случае, для систем с характеристическими уравнениями до 5 порядка включительно, быстро произвести анализ устойчивости по критерию Михайлова без построения годографа Михайлова.

Как известно, по Михайлову система n -го порядка будет ус­тойчива, если годограф характеристической частотной функции в диапазоне частот от 0 до последовательно против часовой стрелки обходит n квадратов комплексной плоскости (рис.5.1).



Im

n=5
Re


n=3 n=4




Рис.5.1

Из рис. 5.1 видно, что если система устойчива, то годограф функции ζ( поочередно пересекает вещественную и мнимую оси и не может подряд два раза пересечь одну и ту же ось. Именно проверка этого обстоятельства и составляет сущность метода чередующихся корней. Обратим внимание, в частности, на годограф при n=5, осей - вещественной оси, , - мнимой оси. Если вычислить значение всех этих частот и расставить их в ряд по порядку возрастания численных значений, то при устойчивой системе не могут оказаться рядом два числа с четными (пересечение вещественной оси) или с нечетными индексами (пересечение мнимой оси).

Рассмотрим два примера.

Пример I. Пусть имеется система со структурой:



Характеристический полином данной системы



или после преобразований



Переходим в частотную область

обозначим и вычислим коэффициенты:









Найдем частоты пересечения мнимой оси, для чего приравняем к нулю вещественную часть и найдем корни полученного уравнения.



Заменим переменную





Взяв только положительные значения частот, получаем:





Находим частоты пересечения вещественной оси:



откуда


Расположим все четыре частоты пересечения осей по порядку их возрастания и подчеркнем корни одного уравнения сплошной чертой, а другого – волнистой:



0 , 0.57, 10.95, 15.6

Как видим, рядом расположены два корня одного уравнения , значит два раза подряд с ростом частоты пересекается мнимая ось. Система неустойчива. Теперь, исключительно ради интереса, можно нарисовать примерную форму годографа данной системы 4-го порядка


Im

0.57


10.92

15.6


Re

Условие Михайлова не выполняется.



Пример 2. В системе по примеру I изменим величину коэффициента усиления. Вместо K=200 возьмем K=25. Вычислим и запишем новые коэффициенты характеристического уравнения:

Повторим решение уравнений Re






Выписываем частоты в ряд, как прежде:



0 , 0.57, 5.896, 10.95

Корни чередуются. Правило чередующихся корней выполняется, следовательно, система устойчива. Можно нарисовать, как выглядит годограф Михайлова

0,57

5,89


10,95
Im

Re
Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача 5.I. Задана структура системы:



Исследовать устойчивость методом чередующихся корней. Нарисовать как выглядит годограф Михайлова.



Задача 5.2. Повторить решение по предыдущей структуре с параметрами:



Задача 5.3. Задана структура системы:





Исследовать устойчивость методом чередующихся корней. Нарисовать как выглядит годограф Михайлова.

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница