Методические указания для подготовки к интернет тестированию по теоретической механике




Скачать 269.83 Kb.
Дата13.07.2016
Размер269.83 Kb.


Министерство образования и науки Российской Федерации

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ)



Кафедра теоретической механики

ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Выпуск 2. Кинематика точки

Методические указания для подготовки к интернет - тестированию

по теоретической механике

Нижний Новгород

ННГАСУ

2011


УДК 531.1

Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 2. Кинематика точки. Методические указания для подготовки к интернет - тестированию по теоретической механике, Нижний Новгород, ННГАСУ, 2011 г..

Настоящие методические указания предназначены для студентов ННГАСУ, обучающихся по направлениям «Строительство» и «Теплоэнергетика». Методические указания содержат основные теоретические положения по кинематике точки и примеры решения типовых задач по данной теме, предлагавшихся для решения в процессе интернет - тестирования.

Составители: Г.А. Маковкин, А.С. Аистов, А.С. Баранова, Т.Е. Круглова, И.С. Куликов, Е.А. Никитина, О.И. Орехова, С.Г. Юдников, Г.А. Лупанова.



© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011г.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Векторный способ задания движения точки



Закон движения: 

Траектория: годограф радиус-вектора.

Скорость: 

Ускорение: 
Координатный способ задания движения точки
Закон движения: .
Траектория: из закона движения надо исключить время.

Скорость: Проекции вектора скорости:



Модуль вектора скорости:




Направляющие косинусы:

.



Ускорение: Проекции вектора ускорения:



Модуль вектора ускорения:



Направляющие косинусы:

.


Естественный способ задания движения точки


Закон движения: где s – дуговая координата.
Траектория: задана.
Скорость: 

 - проекция вектора скорости на касательную.


Модуль вектора скорости:

.



Ускорение:

,

где

 - касательное ускорение,



 - нормальное ускорение

(направлено в сторону вогнутости траектории) ,

радиус кривизны траектории,  – кривизна.

Модуль вектора ускорения:



Знак скалярного произведения векторов ускорения и скорости

позволяет определить является движение ускоренным или замедленным.

При ускоренном движении оно положительно, а при замедленном - отрицательно.

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Понятие о сложном движении точки

Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.

При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной . Другая система отсчета рассматривается как подвижная . В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относительное и переносное.



  1. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат. Характеристиками абсолютного движения являются абсолютная скорость и абсолютное ускорение , то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».

  2. Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат. Характеристиками относительного движения являются относительная скорость и относительное ускорение  то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».

  3. Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. Переносной скоростью и переносным ускорением  называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Они обозначаются индексом «e».

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характеристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения.

Сложение скоростей при сложном движении

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:

.



Cложение ускорений

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

.



Вычисление ускорения Кориолиса

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:



,

а его модуль может быть найден по формуле:

.

Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского:



Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо:

  1. спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

  2. повернуть полученную проекцию на 900 по ходу вращения;

  3. полученное таким образом направление указывает направление вектора ускорения Кориолиса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1.

По окружности радиуса R=1м движется точка по закону ,


где t – время в секундах, S – в метрах.

Касательное ускорение точки в момент времени t=2с равно… (м/с2) .




Варианты ответов.

1. 18;

2. 6;

3. 12;

4. 24;

5. 36.

Решение.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную:



 ,

знак которой показывает, в какую именно сторону оно направлено, т.е. в сторону положительного или отрицательного отсчета дуговой координаты.



 (м/с);

 (м/с2).

Касательное ускорение необходимо определить в момент времени t=2 (с), поэтому подставляем

t=2 (с) в выражение касательного ускорения:

 (м/с2).
Ответ: 3.  (м/с2).

ЗАДАЧА 2.
Движение точки по известной траектории задано уравнением 

ОМ=S.


Скорость точки  в момент времени t=1с равна… (м/с).

Варианты ответов.

1. 1;

2. 5;

3. 4;

4. -2.

Решение.

Движение точки задано естественным способом, т.е. задана её траектория и уравнение движения  (м).

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна

.

Знак показывает конкретное направление вектора скорости: если , то скорость направлена в сторону положительного отсчета дуговой координаты, а при  – в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.



 (м/с).

Подставляем t=1с в полученное уравнение:



 (м/с).

Знак минус показывает, что вектор скорости направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.



Ответ: 4.  (м/с).

ЗАДАЧА 3.

Точка движется по заданной траектории по закону  (м). В момент времени t=1с нормальное ускорение равно  (м/с2). ОМ=S.

Радиус кривизны траектории ρ в данный момент равен …(м).
Варианты ответов.

1. 0,8;

2. 0,2;

3. 1,8;

4. 3,2.

Решение.

Нормальное ускорение направлено по нормали, а его проекция равна



 ,

следовательно, радиус кривизны равен  .

Значение нормального ускорения дано в условии задачи, поэтому остается найти только модуль скорости.

Так как движение точки задано естественным способом, то модуль скорости определяется по формуле:



,

.

В полученное выражение подставляем t=1с



 (м/с).

Определяем радиус кривизны



 (м).
Ответ: 2.  (м).

ЗАДАЧА 4.

Уравнение, приведенное ниже, используется при … способе задания движения точки: .


Варианты ответов.

1. векторном;

2.координатном (в декартовой системе координат);

3.координатном (в цилиндрической системе координат);

4.естественном;

Решение.

Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz можно задать радиус-вектором этой точки . В процессе движения этот радиус-вектор будет меняться, т.е. он является векторной функцией времени:



Данное уравнение представляет собой уравнения движения точки в векторной форме.



Ответ: 1. векторном.

ЗАДАЧА 5.

Точка движется согласно уравнениям  (x,y – в метрах). Угол (в градусах) между осью Оy и вектором скорости точки в положении x=0, y=6 равен…


Вариантов ответа нет.

Решение.

Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.



 ,

Воспользуемся тригонометрическим тождеством  и исключим время из уравнений движения:



 .

Получаем, что траектория движения точки - уравнение эллипса с полуосями 4 см и 6 см по осям x и y соответственно, центр которого находится в начале координат.

Находим положение точки М по ее координатам x=0, y=6.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения. В данном случае касательная к траектории будет параллельна оси Ох или перпендикулярна оси Оу.

Направление скорости определяем, дифференцируя уравнения движения:

;

.

Подставив в уравнения движения координаты точки, находим время через которое точка будет находиться в данном положении:



; ; ; ;  (с);

; ; ; ;  (с).

То есть, точка М будет находиться в положении (0;6) в момент времени  (с). Подставив это время в уравнения проекций скорости, получаем:



 (м/с),

 (м/с).

Следовательно, по оси Ох проекция скорости направлена в сторону отрицательного отсчета, а по оси Оу проекция вектора скорости равна нулю.

То есть угол между осью Оу и вектором скорости точки М будет равен 900.

Ответ: 90 градусов.

ЗАДАЧА 6.

Движение материальной точки М задано уравнением



.

Вектор скорости точки направлен…



Варианты ответов.


1. параллельно плоскости xOz (непараллельно осям);

2. параллельно оси Ох;

3.параллельно плоскости yOz;

4.перпендикулярно плоскости yOz;



Решение.

Дифференцируя  , находим вектор скорости:



 ,

следовательно, проекции вектора скорости на оси будут:



,

то есть, вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси Ох и, следовательно, параллелен плоскости yOz.


Ответ: 3. параллельно плоскости yОz.

ЗАДАЧА 7.

Круглая горизонтальная пластина радиуса R вращается вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр по закону  (рад). По ободу пластины движется точка М по закону



 (м).

Ускорение Кориолиса для точки М равно…(м/с2).



Варианты ответов.

1. 0;

2.;

3.;

4..

Решение.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():


 ,

при этом его модуль равен :  .




Относительным движением является движение точки М по ободу пластины по закону



 (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна:

 (м/с).
Переносным движением является вращение круглой горизонтальной пластины вокруг вертикальной оси по закону  (рад). Угловая скорость  - вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
 (рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор  лежит в плоскости диска, а  перпендикулярен к этой плоскости, следовательно, угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900.



 (м/с2).
Ответ: 2.  (м/с2).

ЗАДАЧА 8.

Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону  (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону  (м).

Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с2).

Варианты ответов.

1.;

2. 0;

3.;

4..

Решение.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():


 , при этом его модуль равен: .

Относительным движением является движение точки М по стороне прямоугольной пластины по закону  (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна:  (м/с).

Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону  (рад). Угловая скорость  – вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
 (рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор  и  лежат в одной плоскости, параллельны и направлены в разные стороны. Значит угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 1800.  (м/с2).


Ответ: 2.  (м/с2).



ЗАДАЧА 9.

Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону  (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону  (м) (α=600).

Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с).
Варианты ответов.

1. 10;

2. 10;

3. 20;

4. 20.

Решение.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():


 , при этом его модуль равен:  .

Относительным движением является движение точки М по диагонали прямоугольной пластины по закону  (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна:  (м/с).

Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону  (рад). Угловая скорость  - вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота: рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор  и  лежат в одной плоскости, а угол между векторами относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900+600=1500.



 (м/с2).
Ответ: 4.  (м/с).

ЗАДАЧА 10.

Движение материальной точки М задано уравнением



 .
Ускорение точки направлено…

Варианты ответов.


1. перпендикулярно оси Oy;

2. параллельно плоскости хОz;

3. перпендикулярно плоскости yOz (параллельно осям);

4. параллельно оси Oy.


Решение.

Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора этой точки.

Дифференцируя  , находим вектор скорости:

 .

Далее дифференцируя уравнение , находим вектор ускорения:



 ,

следовательно, проекции вектора на оси будут:



,

то есть, вектор ускорения параллелен оси Oу.



Ответ: 4.параллельно оси Оу.

ЗАДАЧА 11.

Точка движется по прямой.

Дан график скорости движения точки  .

Определить пройденный путь в момент времени t=60с.


Варианты ответов.

1. 1350;

2. 750;

3. 375;

4. 800.

Решение.

Так как на графике значения скорости даны в км/ч, а времени - в секундах, то необходимо привести их к одной единице измерения.

Переводим км/ч в м/с:

(м/с).

График можно разделить на два участка от 0 до 30с и от 30с до 60с.

Они симметричны, следовательно, можно определить путь только на одном участке (), а путь на втором будет равным ().

Рассмотрим первый участок, по графику можно определить уравнение зависимости скорости от времени:  (м/с).

Так как модуль скорости по модулю равен , то проинтегрировав уравнение скорости, получим уравнение движения точки

получили, что за первые 30 секунд точка преодолеет путь  (м).



 (м).
Ответ: 2.  (м).

ЗАДАЧА 12.

Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой с постоянным ускорением а=0,2( м/с2). Определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с).


Варианты ответов.

1. 6,0;

2. 7,2;

3. 8,4;

4. 1,2.

Решение.

Движение точки происходит по прямой, следовательно, нормальное ускорение точки равно нулю (), а ее полное ускорение () равно касательному ().

Чтобы определить путь точки сначала необходимо найти уравнение скорости . Касательное ускорение равно производной по времени от скорости, значит, уравнение скорости определяется интегрированием:

Граничные значения при интегрировании определяются из условия задачи, точка начинает движение из состояния покоя, и отсчет времени начинается с этого момента (t0=0). А для того чтобы выразить зависимость скорости от времени, конечное значение остается переменной t.

Далее, интегрируя  получим уравнение движения точки, а в задании следует определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с), поэтому, подставив данное время в граничные значения и решив определенный интеграл, получим искомый ответ:

За промежуток времени от 4(с) до 10(с) точка пройдет путь 


Ответ: 3.  (м).

ЗАДАЧА 13.

Ускорение точки а=1 (м/с2). Векторы ускорения и скорости образуют

угол 450. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории  м).
Варианты ответов.

1. 52,4;

2. 12,3;

3. 14,6;

4. 44,3.

Решение.

Полное ускорение точки () складывается из двух – касательного () и нормального ():



.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Скорость также всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, таким образом, вектор скорости и касательного ускорения расположены на одной прямой.

Нормальное ускорение направлено по нормали, и его проекция на нормаль . То есть касательное и нормальное ускорения расположены под углом 90о.

Отсюда следует, что между векторами полного ускорения и касательного угол 45о, а значит, и между векторами полного ускорения и нормального также 45о. Следовательно, значение нормального ускорения равно:



(м/с2).

Из уравнения  находим значение скорости



 (м/с).

В ответе требуется указать значение скорости в км/ч, поэтому переводим м/с в км/ч:



 (км/ч).

Ответ: 1.  (км/ч).

ЗАДАЧА 14.

В трубке, вращающейся по закону  (рад) вокруг оси Oz, движется шарик по закону ОА=5t2 (м).

Определить координату хА(м) шарика в момент времени t=0,25(с).

Варианты ответов.

1.

0,3;


2. 0,169;

3. 0,312;

4. 0,174.

Решение.

Шарик участвует в сложном движении: движение шарика по трубке – относительное движение; вращение шарика вместе с трубкой – переносное движение.

Координату необходимо найти в момент времени t=0,25с, поэтому, подставляем данное время в уравнения движений:





 – показывает на какой угол отклонилась трубка за время t=0,25с от начального своего положения, оси Ох (переносное движение).

 – показывает какое расстояние в трубке преодолел шарик за это же время, двигаясь из точки О (относительное движение).

По рисунку видно, что проекция  на ось Ох и будет искомой координатой хА. Предварительно переведем угол  из радиан в градусы: .




Ответ: 1. .

ЗАДАЧА 15.
Заданы уравнения движения точки . Определить расстояние (м) точки от начала координат в момент времени t=2 (с).
Варианты ответов.

1. 2,0;

2. 6,32;

3. 10,0;

4. 7,21.

Решение.

Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.



,

Исключим время из уравнений движения:



.

Получаем, что траектория движения точки - это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а центр находится в начале координат.

Подставив время t=2(с) в уравнения движения, получим координаты

точки М:




Из рисунка видно, что расстояние от центра координат до точки М - это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны

6м и 4 м.

.
Ответ: 4. .

Маковкин Георгий Анатольевич

Аистов Анатолий Сергеевич

Куликов Игорь Сергеевич

Юдников Сергей Георгиевич

Баранова Алла Сергеевна

Никитина Елена Александровна

Круглова Татьяна Евгеньевна

Орехова Ольга Ивановна

Лупанова Галия Алексеевна




ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Выпуск 2. Кинематика точки

Методические указания для подготовки к интернет - тестированию

по теоретической механике

Подписано к печати . Формат 60х90 1\16 Бумага газетная. Печать трафаретная

Уч.изд.л.1,0. Усл.печ.л.1,2 Тираж 200 экз. Заказ №

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.



Полиграфический центр ННГАСУ, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница