Министерство образования и науки Российской Федерации
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ)
Кафедра теоретической механики
ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Выпуск 2. Кинематика точки
Методические указания для подготовки к интернет - тестированию
по теоретической механике
Нижний Новгород
ННГАСУ
2011
УДК 531.1
Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 2. Кинематика точки. Методические указания для подготовки к интернет - тестированию по теоретической механике, Нижний Новгород, ННГАСУ, 2011 г..
Настоящие методические указания предназначены для студентов ННГАСУ, обучающихся по направлениям «Строительство» и «Теплоэнергетика». Методические указания содержат основные теоретические положения по кинематике точки и примеры решения типовых задач по данной теме, предлагавшихся для решения в процессе интернет - тестирования.
Составители: Г.А. Маковкин, А.С. Аистов, А.С. Баранова, Т.Е. Круглова, И.С. Куликов, Е.А. Никитина, О.И. Орехова, С.Г. Юдников, Г.А. Лупанова.
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011г.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Векторный способ задания движения точки
Закон движения:
Траектория: годограф радиус-вектора.
Скорость:
Ускорение:
Координатный способ задания движения точки
Закон движения: .
Траектория: из закона движения надо исключить время.
Скорость: Проекции вектора скорости:

Модуль вектора скорости:

Направляющие косинусы:
.
Ускорение: Проекции вектора ускорения:
Модуль вектора ускорения:

Направляющие косинусы:
.
Естественный способ задания движения точки
Закон движения: где s – дуговая координата.
Траектория: задана.
Скорость:
- проекция вектора скорости на касательную.
Модуль вектора скорости:
.
Ускорение:
,
где
- касательное ускорение,
- нормальное ускорение
(направлено в сторону вогнутости траектории) ,
радиус кривизны траектории, – кривизна.
Модуль вектора ускорения:
Знак скалярного произведения векторов ускорения и скорости
позволяет определить является движение ускоренным или замедленным.
При ускоренном движении оно положительно, а при замедленном - отрицательно.
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Понятие о сложном движении точки
Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.
При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной . Другая система отсчета рассматривается как подвижная . В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относительное и переносное.
-
Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат. Характеристиками абсолютного движения являются абсолютная скорость и абсолютное ускорение , то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».
-
Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат. Характеристиками относительного движения являются относительная скорость и относительное ускорение то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».
-
Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. Переносной скоростью и переносным ускорением называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Они обозначаются индексом «e».
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характеристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения.
Сложение скоростей при сложном движении
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Cложение ускорений
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
.
Вычисление ускорения Кориолиса
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:
,
а его модуль может быть найден по формуле:
.
Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского:
Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо:
-
спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;
-
повернуть полученную проекцию на 900 по ходу вращения;
-
полученное таким образом направление указывает направление вектора ускорения Кориолиса.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1.
По окружности радиуса R=1м движется точка по закону ,
где t – время в секундах, S – в метрах.
Касательное ускорение точки в момент времени t=2с равно… (м/с2) .
Варианты ответов.
1. 18;
|
2. 6;
|
3. 12;
|
4. 24;
|
5. 36.
|
Решение.
К асательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную:
,
знак которой показывает, в какую именно сторону оно направлено, т.е. в сторону положительного или отрицательного отсчета дуговой координаты.
(м/с);
(м/с2).
Касательное ускорение необходимо определить в момент времени t=2 (с), поэтому подставляем
t=2 (с) в выражение касательного ускорения:
(м/с2).
Ответ: 3. (м/с2).
ЗАДАЧА 2.
Д вижение точки по известной траектории задано уравнением
ОМ=S.
Скорость точки в момент времени t=1с равна… (м/с).
Варианты ответов.
Решение.
Д вижение точки задано естественным способом, т.е. задана её траектория и уравнение движения (м).
Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна
.
Знак показывает конкретное направление вектора скорости: если , то скорость направлена в сторону положительного отсчета дуговой координаты, а при – в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.
(м/с).
Подставляем t=1с в полученное уравнение:
(м/с).
Знак минус показывает, что вектор скорости направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.
Ответ: 4. (м/с).
ЗАДАЧА 3.
Точка движется по заданной траектории по закону (м). В момент времени t=1с нормальное ускорение равно (м/с2). ОМ=S.
Радиус кривизны траектории ρ в данный момент равен …(м).
Варианты ответов.
1. 0,8;
|
2. 0,2;
|
3. 1,8;
|
4. 3,2.
|
Решение.
Нормальное ускорение направлено по нормали, а его проекция равна
,
следовательно, радиус кривизны равен .
Значение нормального ускорения дано в условии задачи, поэтому остается найти только модуль скорости.
Так как движение точки задано естественным способом, то модуль скорости определяется по формуле:
,
.
В полученное выражение подставляем t=1с
(м/с).
Определяем радиус кривизны
(м).
Ответ: 2. (м).
ЗАДАЧА 4.
Уравнение, приведенное ниже, используется при … способе задания движения точки: .
Варианты ответов.
1. векторном;
|
2.координатном (в декартовой системе координат);
|
3.координатном (в цилиндрической системе координат);
|
4.естественном;
|
Решение.
Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz можно задать радиус-вектором этой точки . В процессе движения этот радиус-вектор будет меняться, т.е. он является векторной функцией времени:
Данное уравнение представляет собой уравнения движения точки в векторной форме.
Ответ: 1. векторном.
ЗАДАЧА 5.
Точка движется согласно уравнениям (x,y – в метрах). Угол (в градусах) между осью Оy и вектором скорости точки в положении x=0, y=6 равен…
Вариантов ответа нет.
Р ешение.
Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.
,
Воспользуемся тригонометрическим тождеством и исключим время из уравнений движения:
.
Получаем, что траектория движения точки - уравнение эллипса с полуосями 4 см и 6 см по осям x и y соответственно, центр которого находится в начале координат.
Находим положение точки М по ее координатам x=0, y=6.
Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения. В данном случае касательная к траектории будет параллельна оси Ох или перпендикулярна оси Оу.
Направление скорости определяем, дифференцируя уравнения движения:
;
.
Подставив в уравнения движения координаты точки, находим время через которое точка будет находиться в данном положении:
; ; ; ; (с);
; ; ; ; (с).
То есть, точка М будет находиться в положении (0;6) в момент времени (с). Подставив это время в уравнения проекций скорости, получаем:
(м/с),
(м/с).
Следовательно, по оси Ох проекция скорости направлена в сторону отрицательного отсчета, а по оси Оу проекция вектора скорости равна нулю.
То есть угол между осью Оу и вектором скорости точки М будет равен 900.
Ответ: 90 градусов.
З АДАЧА 6.
Движение материальной точки М задано уравнением
.
Вектор скорости точки направлен…
Варианты ответов.
1. параллельно плоскости xOz (непараллельно осям);
|
2. параллельно оси Ох;
|
3.параллельно плоскости yOz;
|
4.перпендикулярно плоскости yOz;
|
Решение.
Дифференцируя , находим вектор скорости:
,
следовательно, проекции вектора скорости на оси будут:
,
то есть, вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси Ох и, следовательно, параллелен плоскости yOz.
Ответ: 3. параллельно плоскости yОz.
ЗАДАЧА 7.
Круглая горизонтальная пластина радиуса R вращается вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр по закону (рад). По ободу пластины движется точка М по закону
(м).
Ускорение Кориолиса для точки М равно…(м/с2).
Варианты ответов.
Решение.
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения ( ) на относительную скорость точки ( ):
,
при этом его модуль равен : .
Относительным движением является движение точки М по ободу пластины по закону
(м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна:
(м/с).
Переносным движением является вращение круглой горизонтальной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость - вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
(рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.
В ектор лежит в плоскости диска, а перпендикулярен к этой плоскости, следовательно, угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900.
(м/с2).
Ответ: 2. (м/с2).
ЗАДАЧА 8.
Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону (м).
Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с2).
Варианты ответов.
Решение.
У скорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения ( ) на относительную скорость точки ( ):
, при этом его модуль равен: .
Относительным движением является движение точки М по стороне прямоугольной пластины по закону (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: (м/с).
П ереносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость – вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
(рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.
Вектор и лежат в одной плоскости, параллельны и направлены в разные стороны. Значит угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 1800. (м/с2).
Ответ: 2. (м/с2).
ЗАДАЧА 9.
Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону (м) (α=600).
Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с).
Варианты ответов.
1. 10;
|
2. 10 ;
|
3. 20 ;
|
4. 20.
|
Р ешение.
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения ( ) на относительную скорость точки ( ):
, при этом его модуль равен: .
Относительным движением является движение точки М по диагонали прямоугольной пластины по закону (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: (м/с).
П ереносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость - вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота: рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.
Вектор и лежат в одной плоскости, а угол между векторами относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900+600=1500.
(м/с2).
О твет: 4. (м/с).
ЗАДАЧА 10.
Движение материальной точки М задано уравнением
.
Ускорение точки направлено…
Варианты ответов.
1. перпендикулярно оси Oy;
|
2. параллельно плоскости хОz;
|
3. перпендикулярно плоскости yOz (параллельно осям);
|
4. параллельно оси Oy.
|
Решение.
Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора этой точки.
Дифференцируя , находим вектор скорости:
.
Далее дифференцируя уравнение , находим вектор ускорения:
,
следовательно, проекции вектора на оси будут:
,
то есть, вектор ускорения параллелен оси Oу.
Ответ: 4.параллельно оси Оу.
З АДАЧА 11.
Точка движется по прямой.
Дан график скорости движения точки .
Определить пройденный путь в момент времени t=60с.
Варианты ответов.
1. 1350;
|
2. 750;
|
3. 375;
|
4. 800.
|
Р ешение.
Так как на графике значения скорости даны в км/ч, а времени - в секундах, то необходимо привести их к одной единице измерения.
Переводим км/ч в м/с:
(м/с).
График можно разделить на два участка от 0 до 30с и от 30с до 60с.
Они симметричны, следовательно, можно определить путь только на одном участке ( ), а путь на втором будет равным ( ).
Рассмотрим первый участок, по графику можно определить уравнение зависимости скорости от времени: (м/с).
Так как модуль скорости по модулю равен , то проинтегрировав уравнение скорости, получим уравнение движения точки
получили, что за первые 30 секунд точка преодолеет путь (м).
(м).
Ответ: 2. (м).
ЗАДАЧА 12.
Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой с постоянным ускорением а=0,2( м/с2). Определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с).
Варианты ответов.
1. 6,0;
|
2. 7,2;
|
3. 8,4;
|
4. 1,2.
|
Решение.
Движение точки происходит по прямой, следовательно, нормальное ускорение точки равно нулю ( ), а ее полное ускорение ( ) равно касательному ( ).
Чтобы определить путь точки сначала необходимо найти уравнение скорости . Касательное ускорение равно производной по времени от скорости, значит, уравнение скорости определяется интегрированием:
Граничные значения при интегрировании определяются из условия задачи, точка начинает движение из состояния покоя, и отсчет времени начинается с этого момента (t0=0). А для того чтобы выразить зависимость скорости от времени, конечное значение остается переменной t.
Далее, интегрируя получим уравнение движения точки, а в задании следует определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с), поэтому, подставив данное время в граничные значения и решив определенный интеграл, получим искомый ответ:
За промежуток времени от 4(с) до 10(с) точка пройдет путь 
Ответ: 3. (м).
ЗАДАЧА 13.
Ускорение точки а=1 (м/с2). Векторы ускорения и скорости образуют
угол 450. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории м).
Варианты ответов.
1. 52,4;
|
2. 12,3;
|
3. 14,6;
|
4. 44,3.
|
Решение.
Полное ускорение точки ( ) складывается из двух – касательного ( ) и нормального ( ):
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Скорость также всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, таким образом, вектор скорости и касательного ускорения расположены на одной прямой.
Н ормальное ускорение направлено по нормали, и его проекция на нормаль . То есть касательное и нормальное ускорения расположены под углом 90о.
Отсюда следует, что между векторами полного ускорения и касательного угол 45о, а значит, и между векторами полного ускорения и нормального также 45о. Следовательно, значение нормального ускорения равно:
(м/с2).
Из уравнения находим значение скорости
(м/с).
В ответе требуется указать значение скорости в км/ч, поэтому переводим м/с в км/ч:
(км/ч).
Ответ: 1. (км/ч).
З АДАЧА 14.
В трубке, вращающейся по закону (рад) вокруг оси Oz, движется шарик по закону ОА=5t2 (м).
Определить координату хА(м) шарика в момент времени t=0,25(с).
Варианты ответов.
1.
0,3;
|
2. 0,169;
|
3. 0,312;
|
4. 0,174.
|
Решение.
Ш арик участвует в сложном движении: движение шарика по трубке – относительное движение; вращение шарика вместе с трубкой – переносное движение.
Координату необходимо найти в момент времени t=0,25с, поэтому, подставляем данное время в уравнения движений:
– показывает на какой угол отклонилась трубка за время t=0,25с от начального своего положения, оси Ох (переносное движение).
– показывает какое расстояние в трубке преодолел шарик за это же время, двигаясь из точки О (относительное движение).
По рисунку видно, что проекция на ось Ох и будет искомой координатой хА. Предварительно переведем угол из радиан в градусы: .
Ответ: 1. .
ЗАДАЧА 15.
Заданы уравнения движения точки . Определить расстояние (м) точки от начала координат в момент времени t=2 (с).
Варианты ответов.
1. 2,0;
|
2. 6,32;
|
3. 10,0;
|
4. 7,21.
|
Решение.
Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.
,
И сключим время из уравнений движения:
.
Получаем, что траектория движения точки - это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а центр находится в начале координат.
Подставив время t=2(с) в уравнения движения, получим координаты
точки М:
Из рисунка видно, что расстояние от центра координат до точки М - это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны
6м и 4 м.
.
Ответ: 4. .
Маковкин Георгий Анатольевич
Аистов Анатолий Сергеевич
Куликов Игорь Сергеевич
Юдников Сергей Георгиевич
Баранова Алла Сергеевна
Никитина Елена Александровна
Круглова Татьяна Евгеньевна
Орехова Ольга Ивановна
Лупанова Галия Алексеевна
ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Выпуск 2. Кинематика точки
Методические указания для подготовки к интернет - тестированию
по теоретической механике
Подписано к печати . Формат 60х90 1\16 Бумага газетная. Печать трафаретная
Уч.изд.л.1,0. Усл.печ.л.1,2 Тираж 200 экз. Заказ №
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
Полиграфический центр ННГАСУ, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. |