Методические указания для подготовки к интернет тестированию по теоретической механике

Методические указания для подготовки к интернет - тестированию

по теоретической механике

Нижний Новгород

ННГАСУ

2011

Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 2. Кинематика точки. Методические указания для подготовки к интернет - тестированию по теоретической механике, Нижний Новгород, ННГАСУ, 2011 г..

Настоящие методические указания предназначены для студентов ННГАСУ, обучающихся по направлениям «Строительство» и «Теплоэнергетика». Методические указания содержат основные теоретические положения по кинематике точки и примеры решения типовых задач по данной теме, предлагавшихся для решения в процессе интернет - тестирования.

Составители: Г.А. Маковкин, А.С. Аистов, А.С. Баранова, Т.Е. Круглова, И.С. Куликов, Е.А. Никитина, О.И. Орехова, С.Г. Юдников, Г.А. Лупанова.









_

Модуль вектора скорости:

_

_.

_

Модуль вектора ускорения:

_

Направляющие косинусы:

_.





_ - проекция вектора скорости на касательную.

_.

_,

где

_ - касательное ускорение,



(направлено в сторону вогнутости траектории) ,

_радиус кривизны траектории, _ – кривизна.

Модуль вектора ускорения:

_

Знак скалярного произведения векторов ускорения и скорости

позволяет определить является движение ускоренным или замедленным.

При ускоренном движении оно положительно, а при замедленном - отрицательно.

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Понятие о сложном движении точки

Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.

При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной . Другая система отсчета рассматривается как подвижная . В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относительное и переносное.

1. 
   Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат. Характеристиками абсолютного движения являются абсолютная скорость _и абсолютное ускорение _, то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».
   
2. 
   Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат. Характеристиками относительного движения являются относительная скорость _и относительное ускорение _ то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».
   
3. 
   Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. Переносной скоростью _и переносным ускорением _ называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Они обозначаются индексом «e».
   

_.

_.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:



а его модуль может быть найден по формуле:

_.

Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского:

1. 
   спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;
   
2. 
   повернуть полученную проекцию на 90⁰ по ходу вращения;
   
3. 
   полученное таким образом направление указывает направление вектора ускорения Кориолиса.
   

По окружности радиуса R=1м движется точка по закону _,

Касательное ускорение точки в момент времени t=2с равно… (м/с²) .

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную:



знак которой показывает, в какую именно сторону оно направлено, т.е. в сторону положительного или отрицательного отсчета дуговой координаты.





Касательное ускорение необходимо определить в момент времени t=2 (с), поэтому подставляем

t=2 (с) в выражение касательного ускорения:

_ (м/с²).
Ответ: 3. _ (м/с²).

ЗАДАЧА 2.
Движение точки по известной траектории задано уравнением _

ОМ=S.



Движение точки задано естественным способом, т.е. задана её траектория и уравнение движения _ (м).

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна

_.

Знак показывает конкретное направление вектора скорости: если _, то скорость направлена в сторону положительного отсчета дуговой координаты, а при _ – в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.



Подставляем t=1с в полученное уравнение:



Знак минус показывает, что вектор скорости направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.



Точка движется по заданной траектории по закону _ (м). В момент времени t=1с нормальное ускорение равно _ (м/с²). ОМ=S.

Радиус кривизны траектории ρ в данный момент равен …(м).
Варианты ответов.

1. 0,8;

2. 0,2;

3. 1,8;

4. 3,2.

Решение.

Нормальное ускорение направлено по нормали, а его проекция равна



следовательно, радиус кривизны равен _ .

Значение нормального ускорения дано в условии задачи, поэтому остается найти только модуль скорости.

Так как движение точки задано естественным способом, то модуль скорости определяется по формуле:





В полученное выражение подставляем t=1с



Определяем радиус кривизны





Уравнение, приведенное ниже, используется при … способе задания движения точки: _.

Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz можно задать радиус-вектором этой точки _. В процессе движения этот радиус-вектор будет меняться, т.е. он является векторной функцией времени:

Данное уравнение представляет собой уравнения движения точки в векторной форме.

Точка движется согласно уравнениям _ (x,y – в метрах). Угол (в градусах) между осью Оy и вектором скорости точки в положении x=0, y=6 равен…

Решение

Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.



Воспользуемся тригонометрическим тождеством _ и исключим время из уравнений движения:



Получаем, что траектория движения точки - уравнение эллипса с полуосями 4 см и 6 см по осям x и y соответственно, центр которого находится в начале координат.

Находим положение точки М по ее координатам x=0, y=6.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения. В данном случае касательная к траектории будет параллельна оси Ох или перпендикулярна оси Оу.

Направление скорости определяем, дифференцируя уравнения движения:

_;

_.

Подставив в уравнения движения координаты точки, находим время через которое точка будет находиться в данном положении:





















То есть, точка М будет находиться в положении (0;6) в момент времени _ (с). Подставив это время в уравнения проекций скорости, получаем:





Следовательно, по оси Ох проекция скорости направлена в сторону отрицательного отсчета, а по оси Оу проекция вектора скорости равна нулю.

То есть угол между осью Оу и вектором скорости точки М будет равен 90⁰.

Ответ: 90 градусов.

ЗАДАЧА 6.

Движение материальной точки М задано уравнением



Вектор скорости точки направлен…

Дифференцируя _ , находим вектор скорости:



следовательно, проекции вектора скорости на оси будут:



то есть, вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси Ох и, следовательно, параллелен плоскости yOz.

Круглая горизонтальная пластина радиуса R вращается вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр по закону _ (рад). По ободу пластины движется точка М по закону



Ускорение Кориолиса для точки М равно…(м/с²).

1. 0;

2.;

3.;

4..

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения (_) на относительную скорость точки (_):



при этом его модуль равен : _ .

Относительным движением является движение точки М по ободу пластины по закону











Вектор _ лежит в плоскости диска, а _ перпендикулярен к этой плоскости, следовательно, угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 90⁰.





Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону _ (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону _ (м).

Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с²).

Варианты ответов.

1.;

2. 0;

3.;

4..

Решение.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения (_) на относительную скорость точки (_):





Относительным движением является движение точки М по стороне прямоугольной пластины по закону _ (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: _ (м/с).

Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону _ (рад). Угловая скорость _ – вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
_ (рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор _ и _ лежат в одной плоскости, параллельны и направлены в разные стороны. Значит угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 180⁰. _ (м/с²).



Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону _ (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону _ (м) (α=60⁰).

Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с).
Варианты ответов.

1. 10;

2. 10;

3. 20;

4. 20.

Решение.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения (_) на относительную скорость точки (_):





Относительным движением является движение точки М по диагонали прямоугольной пластины по закону _ (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: _ (м/с).

Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону _ (рад). Угловая скорость _ - вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота: _рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор _ и _ лежат в одной плоскости, а угол между векторами относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 90⁰+60⁰=150⁰.



Ответ:



Движение материальной точки М задано уравнением



Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора этой точки.

Дифференцируя _ , находим вектор скорости:

_ .

Далее дифференцируя уравнение _, находим вектор ускорения:



следовательно, проекции вектора на оси будут:



то есть, вектор ускорения параллелен оси Oу.

ЗАДАЧА 11.

Точка движется по прямой.

Дан график скорости движения точки _ .

Определить пройденный путь в момент времени t=60с.

Решение

Так как на графике значения скорости даны в км/ч, а времени - в секундах, то необходимо привести их к одной единице измерения.

Переводим км/ч в м/с:

_(м/с).

График можно разделить на два участка от 0 до 30с и от 30с до 60с.

Они симметричны, следовательно, можно определить путь только на одном участке (_), а путь на втором будет равным (_).

Рассмотрим первый участок, по графику можно определить уравнение зависимости скорости от времени: _ (м/с).

Так как модуль скорости по модулю равен _, то проинтегрировав уравнение скорости, получим уравнение движения точки

получили, что за первые 30 секунд точка преодолеет путь _ (м).





Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой с постоянным ускорением а=0,2( м/с²). Определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t₁=4(с) до t₂=10(с).

Движение точки происходит по прямой, следовательно, нормальное ускорение точки равно нулю (_), а ее полное ускорение (_) равно касательному (_).

Чтобы определить путь точки сначала необходимо найти уравнение скорости _. Касательное ускорение равно производной по времени от скорости, значит, уравнение скорости определяется интегрированием:

Граничные значения при интегрировании определяются из условия задачи, точка начинает движение из состояния покоя, и отсчет времени начинается с этого момента (t₀=0). А для того чтобы выразить зависимость скорости от времени, конечное значение остается переменной t.

Далее, интегрируя _ получим уравнение движения точки, а в задании следует определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t₁=4(с) до t₂=10(с), поэтому, подставив данное время в граничные значения и решив определенный интеграл, получим искомый ответ:

За промежуток времени от 4(с) до 10(с) точка пройдет путь _



Ускорение точки а=1 (м/с²). Векторы ускорения и скорости образуют

угол 45⁰. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории _ м).
Варианты ответов.

1. 52,4;

2. 12,3;

3. 14,6;

4. 44,3.

Решение.

Полное ускорение точки (_) складывается из двух – касательного (_) и нормального (_):



Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Скорость также всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, таким образом, вектор скорости и касательного ускорения расположены на одной прямой.

Нормальное ускорение направлено по нормали, и его проекция на нормаль _. То есть касательное и нормальное ускорения расположены под углом 90^о.

Отсюда следует, что между векторами полного ускорения и касательного угол 45^о, а значит, и между векторами полного ускорения и нормального также 45^о. Следовательно, значение нормального ускорения равно:



Из уравнения _ находим значение скорости



В ответе требуется указать значение скорости в км/ч, поэтому переводим м/с в км/ч:





ЗАДАЧА 14.

В трубке, вращающейся по закону _ (рад) вокруг оси Oz, движется шарик по закону ОА=5t² (м).

Определить координату х_А(м) шарика в момент времени t=0,25(с).

Варианты ответов.

1. 0,3;

2. 0,169;

3. 0,312;

4. 0,174.

Решение.

Шарик участвует в сложном движении: движение шарика по трубке – относительное движение; вращение шарика вместе с трубкой – переносное движение.

Координату необходимо найти в момент времени t=0,25с, поэтому, подставляем данное время в уравнения движений:





_ – показывает на какой угол отклонилась трубка за время t=0,25с от начального своего положения, оси Ох (переносное движение).

_ – показывает какое расстояние в трубке преодолел шарик за это же время, двигаясь из точки О (относительное движение).

По рисунку видно, что проекция _ на ось Ох и будет искомой координатой х_А. Предварительно переведем угол _ из радиан в градусы: _.





Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.



Исключим время из уравнений движения:



Получаем, что траектория движения точки - это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а центр находится в начале координат.

Подставив время t=2(с) в уравнения движения, получим координаты

точки М:

Из рисунка видно, что расстояние от центра координат до точки М - это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны

6м и 4 м.

_.
Ответ: 4. _.

Маковкин Георгий Анатольевич

Аистов Анатолий Сергеевич

Куликов Игорь Сергеевич

Юдников Сергей Георгиевич

Баранова Алла Сергеевна

Никитина Елена Александровна

Круглова Татьяна Евгеньевна

Орехова Ольга Ивановна

Лупанова Галия Алексеевна

Методические указания для подготовки к интернет - тестированию

по теоретической механике

Подписано к печати . Формат 60х90 1\16 Бумага газетная. Печать трафаретная

Уч.изд.л.1,0. Усл.печ.л.1,2 Тираж 200 экз. Заказ №

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.