Методические рекомендации и разбор задач



страница1/6
Дата11.06.2016
Размер0.8 Mb.
  1   2   3   4   5   6
Модуль 1. Теория вероятностей. Содержание

Учебный элемент 1. Случайные события. Методические рекомендации и разбор задач.

1.1. Случайные события. Виды событий и действия над ними. Непосредственный подсчет вероятностей случайных событий.

1.2. Статистическое определение вероятности. Понятие о сходимости по вероятности.

1.3. События зависимые и независимые. Теоремы умножения вероятностей и сложения вероятностей.

1.4. Формула полной вероятности. Теорема гипотез Бейеса.

Учебный элемент 2. Случайные величины. Методические рекомендации и разбор задач.

1.1. Распределение дискретной случайной величины. Биномиальный закон.

1.2. Функция распределения вероятностей и её свойства.

1.3. Плотность распределения вероятностей и её свойства.

1.4. Математическое ожидание и его свойства.

1.5. Дисперсия и её свойства.

1.6. Начальные и центральные моменты. Асимметрия, эксцесс.

1.7. Равномерный закон распределения вероятностей и его числовые характеристики.

1.8. Нормальный закон распределения вероятностей и его числовые характеристики.

1.9. Связь биномиального закона с нормальным законом распределения вероятностей. Понятие о локальной и интегральной теоремах Лапласа.



Учебный элемент 3. Случайные векторы. Методические рекомендации и разбор задач.

1.1. Функция распределения вероятностей случайного вектора и её свойства.

1.2. Плотность распределения случайного вектора и её свойства.

1.3. Случайные величины зависимые и независимые. Условные законы распределения вероятностей.

1.6. Случайный вектор и его числовые характеристики. Понятие о ковариационной матрице.

1.7. Многомерное нормальное распределение и его числовые характеристики.

1.8. Числовые характеристики линейных преобразований случайного вектора.

1.9. Числовые характеристики нелинейных преобразований случайного вектора. Метод линеаризации для приближенного оценивания числовых характеристик нелинейных преобразований случайного вектора.

Вопросы и задания для самоконтроля.

Тестовые задания для контроля знаний.

Литература.

Учебный элемент 1. Случайные события. Методические рекомендации и разбор задач.

Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются основные понятия и теоремы теории вероятностей, а также элементы комбинаторики, необходимые при решении задач.

1.1. Случайные события. Виды событий и действия над ними. Непосредственный подсчет вероятностей случайных событий.

Испытанием называется осуществление определённой совокупности условий.

Результат испытания называется исходом или событием.

События принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д.

События подразделяются на достоверные, невозможные и случайные.

Событие, которое в данных условиях обязательно произойдет, называется достоверным.

Событие, которое в данных условиях не может произойти, называется невозможным.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти, а может и не произойти.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие в данном испытании.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в данном испытании.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в данном испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате данного испытания появится хотя бы одно из них.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Противоположные события обозначаются А и .

Над событиями можно производить действия сложения и умножения.



Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А или события В или обоих вместе: С = А + В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении этих событий: С = А В.

События, которые нельзя разложить на более простые, называются элементарными.

Те элементарные события или исходы данного испытания, которые влекут за собой появление события А, называются благоприятствующими этому событию.

Определение. Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов данного испытания к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

.

Это – классическое определение вероятности. Из этого определения вытекают следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице: .

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Вероятность события А есть число, заключенное между 0 и 1:

Классическое определение вероятности обладает рядом недостатков:

1) Число элементарных исходов испытания должно быть конечно и они должны быть равновозможными;

2) Результат испытания должен быть разложим на элементарные события.

На практике часто встречаются испытания, исходы которых являются или не равновозможными или их число бесконечно. Множество исходов испытания такого типа бесконечно, оно может быть иллюстрировано геометрически в виде совокупности точек отрезка прямой, плоской фигуры или пространственного тела. Такую схему испытаний принято называть геометрической.

Пусть в результате испытания наудачу выбирается точка в области G. Требуется найти вероятность того, что точка окажется в области g, являющейся частью области G.

Пусть исходы испытаний распределены равномерно, т.е. можно считать, что вероятность попадания наудачу выбранной точки из области G в какую-либо часть g этой области пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

Тогда


,

где и есть меры соответствующих областей, выраженные в единицах длины, площади или объема.

Ниже изложены некоторые элементы комбинаторики, необходимые при решении задач теории вероятностей.

Определение. Различные группы, составленные из каких-либо элементов (произвольной природы) конечного множества и отличающиеся одна от другой или порядком этих элементов, или самими элементами, называются комбинациями. Комбинации бывают трех видов: размещения, перестановки и сочетания (без повторений и с повторениями). Мы будем рассматривать только комбинации без повторений.

1) Размещениями без повторений из элементов по элементов называются комбинации, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются одно от другого или хотя бы одним элементом или порядком расположения элементов . Обозначение:.

Число всевозможных размещений из n элементов по m





Пример: Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя цифрами?

Решение: чисел.



2) Перестановками без повторений из элементов называются такие комбинации, которые содержат все элементов и отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число всех перестановок из элементов обозначим через Pn. Тогда .

Пример: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра входит в число только один раз.

Решение:



3) Сочетаниями без повторений из элементов по называются такие комбинации, которые содержат элементов и отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число всех сочетаний из элементов по обозначается . Тогда

.

Пример: Сколько существует способов отбора трёх студентов из группы, состоящей из десяти студентов?

Решение: .

При использовании формул комбинаторики полезно иметь ввиду, что 0!=1. Принцип умножения: Пусть необходимо выполнить одно за другим какие -то действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе действие можно выполнить n2 способами и т.д. до kго действия, которое можно выполнить nk способами, то все действий вместе могут быть выполнены способами.

Принцип сложения: Если два действия взаимно исключают одно другое, причем одно из них можно выполнить n1 способами, а другое- n2 способами, то какое-либо одно из них можно выполнить (n1+n2) способами.

Примеры решения задач.

Пример 1. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность выпадения чётного числа очков.

Решение. Событие А состоит в том, что выпавшее число очков чётно. В этом случае n=6 – число граней куба; m=3 – число граней с чётными числами. Тогда Р(А)=3/6=1/2.

Пример 2. Симметричная монета подбрасывается 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет цифра.

Решение. Событие А состоит в том, что выпало 2 цифры при двух подбрасываниях монеты. В этом случае n=4, так как всего возможны 4 следующих исхода: ГЦ, ГГ, ЦГ, ЦЦ. При этом благоприятствует событию А только один исход А={ЦЦ}. Значит, m=1. Тогда Р(А)= 1/4.

Пример 3. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно три цифры, угадал их правильно. Очевидно, что m=1; Таким образом, Р(А)= 1/720.

Пример 4. Среди 14 билетов 4 выигрышных. Найти вероятность того, что из 6 купленных билетов ровно 2 выигрышных.

Решение. Решим задачу с помощью классического определения вероятности события с использованием формул комбинаторики:

,

где - общее число случаев, - число случаев, благоприятствующих событию .

Из 14 билетов 6 штук можно выбрать способами. Значит, . Два выигрышных билета могут быть выбраны из 4 билетов способами. Остальные (4 билета) должны быть невыигрышными, их можно выбрать из 10 невыигрышных способами.

Так как на один способ выбора двух выигрышных билетов приходится способов выбора невыигрышных билетов, то на способов выбора двух выигрышных билетов приходится способов выбора невыигрышных билетов.

Итак, . Тогда .

Получим: .



Пример 5. В окружность радиуса 6 см вписан квадрат.

В круг случайным образом бросается точка. Какова вероятность попадания этой точки в квадрат?



Решение. Эту задачу можно решить с помощью понятия геометрической вероятности:

Площадь круга:

Площадь квадрата: .

Тогда



Задачи для самостоятельного решения

  1. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет одинаковое количество очков.

  2. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что шары будут разных цветов.

  3. Какова вероятность, вытягивая из колоды в 36 карт 4 карты, вытянуть 2 дамы и два туза?

  4. На шести карточках помещены буквы «д», «и», «р», «к», «т», «о». Карточки перемешаны и случайным образом подкладываются одна к другой. Какова вероятность того, что получится слово «диктор»?

  5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник так, что его основание совпадает со стороной квадрата. В квадрат случайным образом бросается точка. Найти вероятность того, что точка не попадет в треугольник.

  6. На квадрат [0,5]x[0,5] случайным образом бросается точка. Найти вероятность попадания ее в треугольник с вершинами (1,1), (1,2), (2,2).

Вопросы для самоконтроля

Дайте определения следующих понятий:

1. испытание; случайное событие; совместные события; несовместные события; события, образующие полную группу; сумма событий; произведение событий.

2. классическая вероятность; геометрическая вероятность.

3. перестановки, размещения, сочетания.

1.2. Статистическое определение вероятности. Понятие о сходимости по вероятности.

Пусть произведена серия из n испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться или не появиться. Допустим событие А появилось m раз.



Относительной частотой события А называется отношение числа m появлений события к числу n всех произведенных испытаний:

.

При увеличении числа опытов частота события все более теряет случайный характер. Случайные обстоятельства, свойственные отдельному опыту, в большой массе опытов взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, колеблясь около некоторого числа. Длительные наблюдения показали, что это постоянное число есть вероятность появления события. Вероятность события есть, по сути дела, предел частоты при увеличении числа опытов, а потому частоту называют статистической вероятностью. Недостатком статистической вероятности является её неоднозначность: в различной серии опытов она может принимать различные значения.

Заметим, что было бы ошибочно утверждать, что

,

так как это предполагает, что такое, что неравенство выполняется при обязательно! При проведении экспериментов это неравенство выполняется необязательно, а с тем большей вероятностью, чем больше n. Поэтому вводится понятие сходимости по вероятности.

Говорят, что переменная сходится по вероятности к величине а, если для вероятность неравенства с бесконечным увеличением n неограниченно приближается к 1:

Таким образом, вероятность является пределом относительной частоты в смысле сходимости по вероятности



Вероятность события можно вычислить как до проведения испытаний, так и после. Частота события вычисляется только после проведения испытаний.



Примеры решения задач.

Пример 1: Монета брошена 100 раз. При этом герб выпал 57 раз. Найти частоту выпадения герба.

Решение. Тогда частота появления герба равна:

.

Пример 2. При выполнении спортивного упражнения стрелок в первой серии из 30 выстрелов поразил 28 мишеней, а во второй серии из 30 выстрелов – 24 мишени. Какова частота поражения мишеней в каждой серии и при выполнении всего упражнения?

Решение. a);

  1. ;

c) .

Пример 3. Определить число промахов, если известно, что произведено 16 выстрелов, а частота попадания равна а), б).

Решение. => ; n=16, число промахов равно

a) ;,.

б) ; , .

Задачи для самостоятельного решения

1. По цели произведено 30 выстрелов и зарегистрировано 25 попаданий. Какова относительная частота попаданий?

2. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0.92. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

3. При стрельбе по огневой точке была получена частота попаданий – 35%. Сколько всего было произведено выстрелов, если получено 13 промахов?



Вопросы для самоконтроля

1. Относительная частота.

2. Сходимость по вероятности.

1.3. События зависимые и независимые. Теоремы умножения и сложения вероятностей.

Введем понятие независимых и зависимых событий.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А, называется условной вероятностью события В.

Обозначение: или .

Если события А и В независимы, то и .

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

.

Эта теорема может быть обобщена на любое конечное число событий.



Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:



Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Теорему можно обобщить на произвольное число несовместных событий.



Следствие 1. Если событие А1, А2, …, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:


Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий, либо часть из них, есть события независимые.

Для независимых в совокупности событий А1, А2,…, Аn также справедливо следствие из теоремы умножения вероятностей независимых событий, т.е.

Р(.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

.

В частности, если события А1, А2,…, Аn имеют одинаковую вероятность появления p, то события имеют также одинаковую вероятность q = . Тогда получаем



.
Примеры решения задач.

Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,25. Найти вероятность промаха.

Решение. Пусть событие А – попадание при одном выстреле. Событие – промах при одном выстреле. Попадание и промах при одном выстреле – события противоположные. Значит, , т.е. , где, . Итак,.

Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.85. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе.

Решение. Пусть А – первый стрелок попадет в мишень, В – второй стрелок попадет в мишень. Тогда интересующее нас событие представляет собой сумму А+В.

Так как события А и В совместны, то по теореме сложения для совместных событий имеем: .



Каталог: posobija
posobija -> Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения
posobija -> Методические рекомендации по самостоятельному изучению модуля тестовые задания для контроля знаний по модулю
posobija -> Закон больших чисел
posobija -> Учебное пособие для вузов / Е. В. Александров, Т. В. Лисевич, М. А. Спирюгова; рек. Умо. Самара : Самгупс, 2013. 113 с
posobija -> Методические указания для проведения семинарских занятий по мировой аграрной экономике для студентов экономического факультета дневного отделения / Л. В. Дидюля. Гродно: ггау, 2005


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница