Математическое и компьютерное моделирование нелинейных распределенных механических систем




Скачать 390.54 Kb.
страница1/2
Дата08.03.2016
Размер390.54 Kb.
  1   2


На правах рукописи

Жигалов Максим Викторович



Математическое и компьютерное моделирование нелинейных распределенных механических систем

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ



Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук
Саратов 2013
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования

«Саратовский государственный технический университет»

имени Гагарина Ю.А.


Научный

консультант:


доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ

Крысько Вадим Анатольевич

Официальные

оппоненты:

Григоренко Ярослав Михайлович

доктор технических наук, профессор, академик НАН Украины, институт механики имени С.П. Тимошенко НАН Украины, главный научный сотрудник отдела вычислительных методов






Немировский Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН, главный научный сотрудник лаборатории «Физика бысторопротекающих процессов»






Талонов Алексей Владимирович

доктор физико-математических наук, ФГАОУ ВПО Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», профессор кафедры №67



Ведущая

организация:

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»

Защита состоится 3 июля 2013 года в 1330 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. » по адресу 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, СГТУ, корпус 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан « » ___________ 2013 г.




Ученый секретарь диссертационного совета



А.А. Терентьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Математические модели распределенных механических структур описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть решены с помощью аналитических методов только в редких случаях. Использование численных методов сопряжено с большими трудностями из-за «проклятия размерности», высокого порядка дифференциального оператора и нелинейности. Одним из способов разрешить указанную проблему является аппроксимация исходного дифференциального оператора оператором более простого вида.

Среди методов, позволяющих решить эту проблему, можно выделить следующие: методы линеаризации исходных уравнений, методы понижения порядка дифференциального оператора и методы понижения размерности.

Методам линеаризации посвящены работы Баженова В.А., Валишвили Н.В., Вайнберга Д.В., Шалашилина В.И., Паймушина В.Н., Григолюка Э.И., Григоренко Я.М., Морозова Н.Ф., Товстика П.Е., Каюмова Р.А., Карнаухова В.Г., Крысько В.А., Петрова В.В., Grüters J., Mescall J., Temple G., Thurston G.A., Weinitschke H.J. и др., в которых линеаризация исходных уравнений производится без понижения порядка дифференциального оператора.

Методы, понижающие порядок дифференциального оператора, описаны в работах Асадова Ф., Буйвола В.М., Воронко В.П., Гринберга Г.А., Крысько В.А., Демьяненко В.И., Кобелькова Г.М., Уздалева А.И., Nowacki W., Kaczkowski Z., Giangreco E., Conway H.D. и Leissa A.W., Nishihara Т. и Tanaka К. и др. Отметим, что в известной литературе приемы, понижающие порядок, не распространяются на решение нелинейных задач.

Поэтому, актуальными являются создание, обоснование и численное исследование итерационного метода линеаризации и дальнейшего понижения порядка, а также доказательства сходимости итерационных процедур. Предлагаемый подход можно использовать как в статических, так и в динамических задачах для областей с прямоугольными и криволинейными границами.

Однако при использовании численных методов для криволинейных границ возникает парадокс Сапонджяна – невозможность аппроксимировать такую границу полигональными контурами. Поэтому актуальным является разработка процедур и подходов для решения данной проблемы.

Использование процедуры сведения исходного оператора к оператору Лапласа позволяет создать достаточно простые алгоритмы для методов конечных и граничных элементов при моделировании нелинейных нестационарных процессов.

Интерес к исследованию нелинейной динамики пространственно-распределенных систем, несмотря на длительную историю, не только не уменьшается, но и в последние годы возрастает, что свидетельствует о фундаментальности и актуальности этой проблемы. Исследованию нелинейной динамики в распределенных механических системах, таких как балки, пластины и оболочки, посвящены работы Немировского Ю.В., Кантора Б.Я., Пикуля В.В., Якупова Н.М., Талонова А.В., Крысько В. А., Коноплева Ю.Г., Баженова В.Г., Крысько А.В., Ерофеева В.И., Бабешко В.А., Марчук М.В., Lepik, U., Awrejcewicz J., Pietraszkiewicz W., Van der Heijden, Cheng Chang-jun, Magnucki K., Wang Xin-zhi и др. Явлением синхронизации колебаний занимались Анищенко В.С., Астахов В.В., Блейхман И.И., Короновский А.А., и др. Несмотря на достигнутые успехи, остаётся достаточно много нерешенных проблем.

К ним относятся: учет влияния на нелинейную динамику различных типов математических моделей механических структур; выявление наиболее общих закономерностей перехода к хаотическим колебаниям; исследование динамических процессов механических структур с учетом различного рода нелинейностей; пространственно-временной хаос и фазовая хаотическая синхронизация.

Поэтому актуальными являются разработка математических моделей нелинейных систем и построение методов, алгоритмов и программ для исследования хаотической динамики таких систем.

Целью диссертационной работы является построение нового метода решения нелинейных, дифференциальных уравнений в частных производных, сочетающего в себе понижение порядка дифференциального оператора и его линеаризацию, создание программных комплексов на основе этого метода, а также математическое и компьютерное моделирование нелинейной динамики распределенных механических конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности и контактного взаимодействия.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:



  • Анализ и оценка применимости известных методов линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

  • Разработка теоретических положений и области применимости нового метода понижения порядка и линеаризации дифференциальных уравнений.

  • Развитие итерационных вычислительных схем численного решения нелинейных многомерных уравнений статики и динамики.

  • Построение на основе созданных итерационных методов и алгоритмов комплексов программ для проведения численного исследования математических моделей нелинейной динамики механических структур в виде балок, пластин и оболочек.

  • Решение на основе разработанных подходов и расчетных схем ряда задач, для изучения новых явлений в нелинейной динамике механических структур в виде балок, пластин и оболочек.

Научная новизна положений, выносимых на защиту.

1. Предложен и обоснован новый эффективный итерационный метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на сведении исходного уравнения к уравнению типа Пуассона на каждом шаге итерационной процедуры. Доказана сходимость предложенных итерационных процедур.

2. На основе предложенного метода разработаны алгоритмы и комплексы программ для различных типов граничных условий и вида областей. Использование предложенного метода позволило ускорить получение численного решения, уменьшить машинную погрешность.

3. Предложена итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона для областей с криволинейной границей, позволяющая разрешить парадокс Сапонджяна. Доказана сходимость предложенной итерационной процедуры.

4. Построены алгоритмы и разработаны комплексы программ для численного исследования нелинейной динамики балок, математические модели которых построены на основе гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева – Пелеха. Комплексы программ имеют адаптацию к различным видам нелинейности: геометрической, физической и конструктивной. Для программ получены охранные свидетельства.

5. Разработан универсальный программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет спектров (с различными материнскими вейвлетами), сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модального портретов. Для программ получены охранные свидетельства.

7. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода от гармонических колебаний в хаотические для трех типов математических моделей балок и пластин. Проведены анализ и обобщение сценариев.

8. С помощью вейвлет-анализа впервые изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки, а также замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузки.

9. На основании эвристического анализа спектра мощности, показателей Ляпунова, автокорреляционной функции построены 56 карт режимов колебаний балок для трех математических моделей, различных типов граничных условий, материалов балки и типов нагрузки, что позволило создать схему диагностики режимов колебаний. Исследовано влияние относительной толщины балки на результаты решения задач статики и динамики.

10. Исследовано динамическое поведение многослойных балок на основе гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева – Пелеха, а также пакетов балок, соединенных между собой только через краевые условия, с учетом трех типов нелинейности. Получены новые эффекты:

а) эффект фазовой хаотической синхронизации как для упругого материала, так и для физически нелинейного материала балок;

б) явление «расслоения» пакета, когда колебания одной из балок после бифуркации происходят вокруг нового положения равновесия;

в) явление «полной синхронизации», т.е. фазовой синхронизации и синхронизации сигналов.

Методы исследования.

Используется общая методология математического моделирования, математический аппарат начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, методы нелинейной динамики. Для создания программных комплексов на основе разработанных алгоритмов были использованы системы программирования С++ и FORTRAN.



Теоретическая и практическая значимость.

Разработанный метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных может быть применен при компьютерном анализе широкого класса математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для анализа пространственно-временной динамики и частотных характеристик механических распределенных структур в проектной и расчетной практике конструкторских и научно-исследовательских организаций строительного, авиа-, судо- и машиностроительного профилей и приборостроения.

Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе при чтении курсов: «Методы линеаризации, понижения порядка и размерности», «Математические методы в нелинейной динамике», «Математическое моделирование динамических систем», «Проблемы хаоса и нелинейности. Синхронизация колебаний» для специальности «Прикладная математика и информатика», а также для других специальностей Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. С использованием полученных результатов издано учебное пособие «Математические модели и методы исследований сложных колебаний неклассических распределенных механических систем».

Методы и программы были внедрены и использованы для проектирования некоторых систем дугогасительных камер в ОАО «Контакт».

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры «Математика и моделирование» - «Математическое моделирование нелинейных колебаний распределенных систем». Исследования проводились при финансовой поддержке Грантов Министерства образования РФ в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-2011 годы», Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №10-08-91153, №10-08-91332, № 12-08-00569), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы, финансируемых за счет средств федерального бюджета, выделяемых по направлению расходов «НИОКР», мероприятию 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» (контракт № П321).



Достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью применения математического аппарата, доказательством теорем сходимости решения по предложенным методам и алгоритмам, непротиворечивостью фундаментальным положениям методологии анализа нелинейной динамики распределенных механических систем, сравнением с признанными зарубежными и отечественными аналогами в области анализа, практическим использованием материалов диссертации и разработанных программных комплексов. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских (из списка ВАК РФ) и зарубежных журналах и прошли рецензирование.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 11 международных и 22 всероссийских съездах, конференциях, симпозиумах: 9, 10, 11 Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos (Lodz, Poland 2007, 2009, 2011); IV Международной конференции в механике неоднородных структур.- (Тернополь.- Украина. 1995); 1-ой Международной научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения и применения» (Санкт-Петербург, 1996); XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997); 8, 9, 11, 12 межвузовских и 1, 2, 3, 4, 7 всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998 – 2011); VIII, IX, X Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (2001, 2006, 2011); Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ – 2007» (Санкт-Петербург, 2007); Международном семинаре «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (Казань, 2008); International Conference «Chaotic modeling and Simulation»-CHAOS 2009 (Technical University of Creet, Chania, Greece, 2009); 9th SSTA Conference «Shell Structures: Theory and Applications» (Gdańsk-Jurata, Poland, 2009); 2 Международной конференции «Проблемы нелинейной динамики деформируемого твердого тела» (Казань,2009); VIII Международной научной конференции, «Математические проблемы механики неоднородных структур» (Украина, Львов, 2010).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м. н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 45 печатных работах, из них 1 глава в монографии в издательстве Springer, 20 cтатей в в ведущих иностранных журналах и входящих в «Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК РФ», 1 учебное пособие, а также 10 авторских свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ.



Личный вклад.

Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. Во всех совместных исследованиях автор принимал участие в выборе направления исследования и формулировки задач. Автору диссертации принадлежит ведущая роль в реализации численных методов и алгоритмов, проведении численных экспериментов и физической интерпретации полученных результатов.



На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

  1. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для различных типов граничных условий и вида областей, позволяющий ускорить получение решения, уменьшить вычислительную ошибку, решить парадокс Сапонджяна и упростить использование методов конечных и граничных элементов для сложных нелинейных задач.

  2. Доказательство сходимости предложенных итерационных процедур.

  3. Алгоритмы и комплекс программ для решения задач нелинейной динамики математических моделей балок на основе гипотез Бернулли, С.П. Тимошенко, Пелеха – Шереметьева с учетом трех типов нелинейности (геометрической, физической и конструктивной), а также алгоритмы и комплексы программ для анализа результатов на основе спектра Фурье, вейвлет – спектра, автокорреляционной функции, фазового и модального портретов.

  4. Для различных математических моделей однослойных и многослойных балок впервые получен эффект динамической потери устойчивости при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Для многослойных пакетов, связанных через краевые условия, это явление характеризуется «расслоением», т.е. балки перестают воздействовать друг на друга.

  5. Построенные и проанализированные 56 карт характеров колебаний для трех математических моделей, ряда граничных условий, типов материала и видов нагрузки дают возможность построить схему диагностики режимов колебаний с возможностью предсказания последствий работы балочных структур. Для построения одной карты решено задач и проведено исследование полученных данных с помощью методов нелинейной динамики.

  6. Проведенный анализ сценариев перехода к хаотическим колебаниям для трех математических моделей балок позволил найти наиболее общий сценарий, заключающийся в формировании вокруг независимой частоты (или частоты бифуркации удвоения) парных частот, приводящих к зашумлению спектра и появлению хаотических колебаний.

  7. Исследование фазовой хаотической синхронизации показали, что зоны синхронизации увеличиваются при смене граничных условий для одной из балок.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 155 наименований. Общий объем диссертации 335 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков, 17 таблиц.


Содержание работы

Во Введении приведен краткий обзор работ по методам линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений, а также нелинейной динамике распределенных систем. Сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, а также кратко изложено содержание диссертационной работы.



В первой главе предложен и обоснован метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений.

В §1.1 построена процедура метода линеаризации применительно к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка, описывающих математическую модель пластинки, построенную на основе гипотез Кирхгофа – Лява. Уравнения приведены для функций прогиба и усилий1:





(1)

Здесь – бигармонический и известный нелинейный операторы соответственно. Граничные и начальные условия могут быть произвольными.

Итерационная процедура линеаризации системы дифференциальных уравнений имеет вид





(2)

На первом шаге итерационной процедуры решается бигармоническое уравнение для заданной нагрузки : . Полученное значение подставляется в правую часть второго уравнения системы (2), в результате получаем бигармоническое уравнение для с известной правой частью. Найденное значение функции усилий подставляется в первое уравнение системы, формирование правой части. Процесс решения продолжается до достижения заданной точности.

Доказаны 3 теоремы, обосновывающие сходимость процедуры (2). Теоремы 1 и 2 показывают, что решение задачи (2) эквивалентно решению задачи минимизации функционала , при ограничениях . Построим итерационный процесс минимизации на М по следующей схеме: а) элемент выбирается произвольно; б) после вычисления определяем последовательно и из решений следующих задач: в) коэффициент выбирается из условия: , где – параметр метода. Сходимость итерационного процесса доказана в теореме 3. Здесь .

В §1.2 рассмотрен метод понижения порядка для бигармонического уравнения:

.

(3)

Граничные условия могут быть двух типов:

1) заданы функция и вторая производная на границе





(4)

2) заданы функция и первая производная на границе



(5)

Условие (4) позволяет ввести функцию в виде .2

Тогда уравнение (3) можно записать в виде системы уравнений



с граничными условиями

(6)

Граничное условие (5) осложняет операцию понижения порядка путем введения новой функции, в связи с этим для этого граничного условия построена процедура с использованием представления решения в ряд по малому параметру, предложенному в работе А.А. Дородницына3. Получаем итерационную процедуру решения исходной задачи:

, , ,

, ,

(7)

Таким образом, построены итерационные процедуры сведения бигармонического уравнения к системе уравнений типа Пуассона для различных граничных условий.

В §1.3 на основе процедур, предложенных в §§1.1, 1.2, построены итерационные процедуры понижения порядка и линеаризации для нелинейных дифференциальных уравнений моделей пластин на основе гипотез Кирхгофа, С.П. Тимошенко4 и Шереметьева-Пелеха5. Процедура заключается в сведении исходной задачи к решению уравнения типа Пуассона на каждом шаге. Сходимость итерационных процедур обоснована в теоремах, доказанных в §1.1. Итерационная процедура для уравнений Кармана (модель Кирхгофа) имеет вид





(8)

где Граничные условия для функции и второй производной (4) преобразуются к виду (6). В случае граничных условий вида (5) используется итерационная процедура (7).

Для моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева – Пелеха имеем





(9)



(10)

Итерационные процедуры (8)-(10) имеют преимущества по сравнению с итерационной процедурой (2), т.к. на каждом шаге решается уравнение второго порядка вместо уравнения четвертого порядка. Таким образом, происходит понижение порядка в 4, 5 и 6 раз соответственно. В связи с тем, что уравнения, входящие в систему, решаются на основе численных методов (метод конечных разностей – МКР, метод вариационных итераций – МВИ, метод конечных элементов – МКЭ и др.), а аппроксимация бигармонического оператора в этих методах накладывает более высокие требования на аппроксимирующие функции, чем для гармонического оператора, при использовании процедур (8)-(10) можно сократить трудоемкость решения за счет более простых аппроксимирующих функций.

В §1.4 дано общее описание метода понижения порядка и линеаризации для нелинейных уравнений, содержащих бигармонический или гармонический операторы. Рассмотрим систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных порядка (2n).



,

(11)

где , F – функционал, содержащий функции и их производные, – постоянные коэффициенты, имеющие некоторый физический или геометрический смысл. Выделяя из функционала F производные для формирования оператора Лапласа и проводя процедуры линеаризации и понижения порядка n раз, приходим к системе n уравнений типа Пуассона, для решения которой предложена следующая итерационная процедура:



(12)

Преобразование граничных условий проводится по предложенным процедурам (6) и (7).

Приведены различные варианты итерационных процедур.

В §1.5 рассмотрены численные результаты по предложенным итерационным процедурам, полученные с помощью методов вариационных итераций (МВИ)6, конечных разностей, конечных элементов для различных математических моделей. Ниже приведены результаты для системы Кармана.






Рис.1. Результаты по итерационной

процедуре (2)



Рис. 2. Результаты по итерационной процедуре (10)

На рис. 1 приведены полученные автором результаты по итерационной процедуре (2) для двух типов граничных условий полученных методами вариационных итераций (линии 1, 2), методом конечных элементов (линии 3, 4), методом конечных разностей – кружок, а так же экспериментальные результаты, полученные в работе Ramberg W at all7 – звездочка.

На рис. 2 приведены полученные автором результаты по итерационной процедуре (8) для одного типа граничных условий, полученных по методу вариационных итераций (линия 3 – процедура (8), линия 2 – процедура (2)), методу конечных разностей (линия 1). Результаты достаточно близки, однако при использовании процедуры (8) сетка для МКР может быть более «грубой», а количество элементов для МКЭ меньше.

Рассмотрены численные алгоритмы для ускорения сходимости итерационной процедуры: на основании подхода, предложенного В.А. Крысько и В.В. Бочкаревым8, метода невязок, описанного в статьях Аграновского, Баглая и Смирнова9. По методу невязок после решения систем уравнений (2) значения использовались при формировании невязки : которая играет роль нагрузки для следующего шага итерационной процедуры метода невязок, которая заканчивается при достижении наперед заданной точности.

Вторая глава посвящена применению созданного программного комплекса на основе методов конечных разностей, конечных и граничных элементов при исследовании математических моделей, с разрешающими уравнениями Пуассона и Жермен – Лагранжа. Для последнего использовался прием понижения порядка для двух типов граничных условий.

Для случая прямоугольной границы данная процедура не представляет особых трудностей. Если же область имеет криволинейную границу, то при попытке применить метод конечных или граничных элементов для расчета свободно опертых пластин с криволинейным контуром возникает так называемый парадокс О.М. Сапонджяна10 – невозможность получить решение для пластинки с криволинейным контуром как предел решения для пластинок с полигональными контурами, аппроксимирующими криволинейный контур.

В §2.1 для этого случая построена итерационная процедура, сходимость которой обоснована в трех теоремах. В первых двух теоремах установлена связь между решением задачи о минимуме функционала и задачи (5)-(6). Далее показывается, что решение задачи может быть сведено к решению последовательности задач Дирихле для оператора Лапласа. Основная идея состоит теперь в применении итерационного градиентного метода к задаче минимизации. В теореме 3 обосновывается выбор параметра итерационного процесса. Результаты доказательства описанной процедуры могут быть распространены на другие типы уравнений, включая и нелинейные, содержащие бигармонический оператор.

В §2.2 рассмотрены температурные задачи для двухсвязанных областей неканонической формы. Численные решения получены методами конечных и граничных элементов и сопоставлены с аналитическим методом – методом возмущений (МВ)11. Следует отметить, что на внутреннем контуре значение температуры в обоих случаях одинаково. На внешнем контуре разница между результатами составляет около 1%. Однако в силу специфики МВ дает на границе менее точное значение по сравнению с МГЭ. Метод конечных элементов дает более близкие значения к методу граничных элементов, чем к методу возмущений.

В §2.3 с помощью программного комплекса методами МКР, МКЭ, МГЭ решены задачи кручения для стержней с разнообразной формой поперечного сечения. Проведено сравнение с точным решением для одного вида поперечного сечения.

В §2.4 дано сравнение аналитического решения уравнения Жермен – Лагранжа с численным решением МКР, МКЭ, МГЭ. При использовании процедуры понижения порядка для бигармонического уравнения количество конечных и граничных элементов можно сократить в два раза без потери точности. Это позволяет увеличить скорость получения результата, уменьшить погрешности машинного счета, что является особенно актуальным при решении сложных нелинейных задач для областей со сложной границей, особенно для динамических задач.

Численные алгоритмы, предложенные в 1 и 2 главах, использованы в последующем для изучения систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих математические модели балок, пластин и оболочек. Алгоритмы и программные комплексы методов МКР, МКЭ и МГЭ использовались при исследовании колебаний пластин с криволинейной границей.

Третья глава посвящена математическому и компьютерному моделированию нелинейной динамики однослойных балок. Рассмотрены математические модели: первого приближения – Бернулли – Эйлера, второго приближения – С.П. Тимошенко и третьего приближения – Шереметьева – Пелеха.

В §3.1 построена математическая модель на основе гипотезы Бернулли – Эйлера, где предполагается, что нормаль перпендикулярная к срединной линии до деформации, остается перпендикулярной к ней в процессе деформирования балки, но поворачивается на угол по отношении к недеформированному состоянию. Связь между деформациями и перемещениями для этой и других моделей принята в форме Т. Кармана. Рассматривается упругая балка, т.е. зависимость между деформациями и напряжениями линейна. На основании вариационного принципа получаем уравнения движения с учетом диссипации энергии, уравнения записаны в безразмерном виде:





(13)

где , , – коэффициент диссипации; ; – поперечная нагрузка, точка обозначает производную по переменной , штрих обозначает производную по . Рассмотрены три типа граничных условий – для функции и первой производной, для второй производной и смешанные. Исследование проводилось для трех типов внешней нагрузки: постоянная; переменная во времени, распределенная по всей длине балки; переменная во времени и распределенная на некоторых отрезках балки.

В §3.2 проведена проверка достоверности получаемых результатов. Для этого были использованы разные по самой сути методы: прямой – метод конечных разностей и вариационный – метод конечных элементов. Сопоставление проводилось для различных режимов колебаний.

С помощью программного комплекса, реализующего метод установления, проведено исследование влияния вида граничных условий для статических и динамических задач и для разных типов нагрузки на поведение системы. Шаг по времени и количество разбиений для пространственной координаты определялись из условия устойчивости расчетной схемы на основании принципа Рунге. Результаты решения динамической задачи (, , , ) показывают наличие резкого скачка значений прогиба при малом изменении нагрузки, т.е. происходит жесткая потеря устойчивости при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Однако для симметричных граничных условий он гораздо меньше, чем для смешанных граничных условий. При исследовании влияния типов нагрузки: нагрузка, заданная по всей длине балки; нагрузка, распределенная на 4 отрезках разбиения балки, симметрично расположенных относительно середины; нагрузка, распределенная на 4 отрезках разбиения балки, расположенных слева от центра балки (8-12 отрезки) выявлено, что при симметричном относительно центра балки нагружении чем больше область приложения нагрузки, тем быстрее растет прогиб с ростом значения нагрузки. Наибольшее влияние несимметричный тип нагружения оказывает для симметричных граничных условий.

В диссертационной работе исследованы сценарии перехода от гармонических к хаотическим колебаниям для различных типов граничных условий и типов нагрузки. Получены как известные сценарии Фейгенбаума, Рюэлля – Такенса  – Ньюхауза, модифицированный сценарий Фейгенбаума (МФ), а также две различные модификации комбинированных сценариев МФ+перемежаемость. Однако следует отметить, что наиболее часто встречается сценарий, по которому по мере увеличения нагрузки появляются одна или две независимые частоты, вокруг которых впоследствии возникают парные частоты.

Вычислена константа Фейгенбаума (теоретическое значение – 4,66906..) с помощью удвоения периода для прогиба (4,6461) на четвертой бифуркации и для перемещения (4,6626) на пятой бифуркации.

Созданы алгоритмы и программный комплекс для построения карт режимов колебаний, в зависимости от управляющих параметров – частоты возбуждения и амплитуды внешней нагрузки соответственно, основанные на оригинальном алгоритме анализа спектра Фурье, Ляпуновских показателей и др. Было построено 18 карт для двух материалов, для трех типов граничных условий и трех значений : 30, 50 и 100. Построение карт для различных типов нагрузки позволило создать схему диагностики режимов колебаний с возможностью предсказания последствий работы балочных структур. Отмечено, что при увеличении параметра зоны хаотических колебаний уменьшаются. Результаты для граничного условия с первой производной (заделка обоих концов) приведены в табл. 1.

Карты характеров колебаний для несимметричных граничных условий существенно отличаются от симметричных при всех значениях . Наибольшие зоны хаотических колебаний имеются для граничных условий шарнир-шарнир. Построены карты характеров колебаний для разных случаев расположения кусочно-неоднородной нагрузки. Тип нагрузки существенно влияет на характер колебаний. Отметим, что для симметричных нагрузок зоны гармонических колебаний существенно больше. Несимметричная нагрузка существенно осложняет картину колебаний.

Таблица 1.















Построены карты для одного типа граничных условий при использовании для решения системы (13) метода Бубнова – Галеркина в одночленном приближении. Отмечено практически полное отсутствие зон хаоса и наличие большой зоны гармонических колебаний на высоких частотах в отличие от использования МКР. Проведено исследование алгоритмов и программ для получения старшего показателя Ляпунова. Для получения численного значения старшего показателя Ляпунова выбран алгоритм, предложенный в статье A. Wolf et all12. Проведено тестирование созданной программы по этому алгоритму для различных нагрузок.

В §3.3 приведено исследование математической модели нелинейной динамики балок Бернулли – Эйлера с помощью вейвлет преобразования. Созданы алгоритм и программа построения вейвлет спектров и их временных срезов. Временные срезы вейвлет – поверхности позволяют проследить перераспределение энергии спектра. Создан алгоритм подсчета суммарной энергии по значениям вейвлет – коэффициентов. Проведено исследование влияния материнского вейвлета на информативность частотного спектра. Лучшую локализацию частот во времени дает вейвлет Морле.

Проведено исследование колебаний, в частности при исследовании сценариев перехода к хаотическим колебаниям, с помощью вейвлет – анализа, на основании которого выявлены качественные изменения спектра частот с течением времени (табл.2). Спектр Фурье указывает на наличие частот, но не дает информацию об изменении частотного спектра во времени. На графиках 2D и 3D вейвлет-спектра видно, что частота появляется начиная с , а - при . Временной срез (6) показывает, что с течением времени происходит качественная перестройка частотного спектра.
Таблица 2

1) Спектр Фурье



2) Сигнал



3) Фазовый портрет



4) 2D вейвлет-спектр



5) 3D вейвлет-спектр

6) Временной срез



Четвертая глава посвящена исследованию нелинейной динамики математических моделей на основе гипотез С.П. Тимошенко и Шереметьева – Пелеха.

Для модели С.П. Тимошенко вводится предположение о том, что нормаль не остается перпендикулярной относительно срединной линии и поворачивается на угол, равный , оставаясь прямолинейной. Математическая модель Шереметьева-Пелеха учитывает поворот нормали и ее искривление. Как и в § 3.1, рассматриваются геометрически нелинейные балки.

С учетом введенных гипотез на основании вариационного принципа из § 3.1 получаем уравнение движения, а также соответствующие граничные условия. Модель С.П. Тимошенко описывается системой дифференциальных уравнений 6 порядка гиперболического типа:



(14)

здесь операторы , имеют вид, аналогичный уравнениям Бернулли – Эйлера. При рассмотрении модели Пелеха – Шереметьева система нелинейных дифференциальных уравнений имеет 8 порядок:



(15)

где .

В §4.2 приведен анализ зависимостей для трех типов граничных условий и трех значений относительной толщины : 30,50 и 100. Анализ показал, что учет поворота нормали (сопоставление моделей Бернулли – Эйлера и С.П. Тимошенко, Бернулли – Эйлера и Шереметьева – Пелеха) приводит к существенному изменению режимов колебаний на карте , в то же время при учете искривления нормали (сопоставление моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева – Пелеха) изменения видны только на высоких частотах () (табл. 3).

Сравнение карт колебаний, полученных для различных материалов (сталь и графитопластик), показало, что режимы колебаний моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева – Пелеха имеют различия на всем диапазоне частот. Проведено исследование влияния параметра на характер колебаний, отмечено, что при его увеличении результаты, полученные по трем моделям, сближаются, особенно для задач статики (результаты получены методом установления). При этом для балок получен эффект жесткой потери устойчивости, сопровождающийся резким изменением прогиба .

Таблица 3









а) модель Бернулли – Эйлера

б) модель С.П. Тимошенко

в) модель Шереметьева – Пелеха

Были построены сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим для трех типов граничных условий. Полученные сценарии являются модифицированными сценариями Фейгенбаума, Рюэлля –Таккенса – Ньюхауза. Основным сценарием для моделей С.П. Тимошенко и Пелеха – Шереметьева является следующий: появление одной либо двух независимых частот, около которой (которых) в дальнейшем возникает серия парных зависимых частот, приводящая к возникновению «пьедестала» и переходу к хаотическим колебаниям.

полотно 2В §4.3 для исследования частотных характеристик математических моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева – Пелеха используется вейвлет – преобразование. Вейвлет Морле позволил выявить изменение спектра частот с течением времени, окна периодичности в хаотическом сигнале и др. Приведенные на рис. 3 характеристики колебаний моделей Шереметьева –Пелеха (модель 1), С.П. Тимошенко (модель 2) показывают, что учет искривления нормали в модели Шереметьева – Пелеха и в связи с этим, появление в уравнениях системы членов, характеризующих моменты высших порядков, приводит к усложнению «динамического отклика» математической модели на внешнее воздействие. Используемый алгоритм вычисления старшего показателя Ляпунова позволяет проследить его изменения во времени. Сопоставление вейвлет – спектра и графика старшего показателя Ляпунова показывает, что при появлении новой частоты происходит резкий рост показателя, а при установившимся частотном режиме показатель Ляпунова плавно стремится к нулю.

При исследовании пространственно–временного сигнала для некоторых зон сигнала, в которых старший показатель Ляпунова положителен (IV, V для модели Шереметьева – Пелеха и II для модели Тимошенко), получено явление пространственно–временного хаоса (табл. 4). Следует отметить, что для модели Шереметьева – Пелеха картина пространственно– временного хаоса более разнообразна вследствие учета в математической модели таких факторов как изгиб нормали.


Таблица 4







а) модель Шереметьева – Пелеха (IV)

б) модель Шереметьева – Пелеха (V)

в) модель С.П. Тимошенко (II)


Пятая глава посвящена построению математических моделей многослойных балок и решению контактных задач.

В §5.1, 5.2 построены математические модели и приведены результаты компьютерных исследований математических моделей многослойных балок моделей Бернулли – Эйлера и С.П. Тимошенко на основе гипотез для всего пакета в целом с учетом нелинейной связи деформаций и перемещений в форме Т. Кармана. Рассмотрены трехслойные балки: стеклопластик–алюминий–стеклопластик, медь–сталь–медь, стеклопластик–сталь–стеклопластик.

Проведено исследование динамических характеристик в зависимости от толщины слоев. Для различных соотношений толщин слоев построены карты характеров колебаний. Для многослойных балок характер колебаний существенно зависит от малых изменений частоты. Некоторым частотам соответствует хаотическое состояние системы во всем диапазоне амплитуды внешней нагрузки. Таким образом, малейшее изменение значения частоты колебаний может привести к потере устойчивости системы. Если рассматривать однослойную балку, то для частот изменение амплитуды не приводит к смене характера колебаний, а значит, система более устойчива к изменению частоты внешней нагрузки. Исследования проводились с помощью вейвлета Морле и показателя Ляпунова. Построены сценарии перехода в хаос.

В §5.3 построены математические модели контактных задач балок Бернулли – Эйлера, С.П. Тимошенко и Шереметьева – Пелеха. Для учета контактного взаимодействия используется связь между обжатием и контактным давлением в виде13: здесь – коэффициент, определяющий пропорциональность между контактным давлением и обжатием, функция учитывает размер зоны контакта и вычисляется по правилу Наличие множителя в уравнениях приводит к новому типу нелинейности – конструктивной, т.е. в процессе деформации во времени меняется расчетная схема задачи. Предполагаем, что зависимость задана в начальный момент времени. Для определения этой зависимости, используется теория малых упругопластических деформаций Генки14. Для учета нелинейного деформирования используется метод переменных параметров упругости15.

В §5.4 рассмотрены сложные колебания физически, геометрически и конструктивно нелинейных балок. Исследования проводились для пакетов, сполотно 6остоящих из двух и трех балок. Рассматривались разные величины зазоров между балками. Отмечено, что для геометрически нелинейных балок при смене граничных условий «заделка – свободный край», «шарнир – шарнир» и «заделка – заделка» области синхронизации увеличиваются – она происходит на всем диапазоне частот в отличие от двух других, где она имеет место в основном на «низком» диапазоне. Для физически нелинейных балок области синхронизации уменьшаются для всех граничных условий. В задачах с учетом физической нелинейности материала получен ряд интересных явлений: при определенных значениях управляющих параметров происходит динамическая потеря устойчивости одной из балок, в результате которой колебания происходят вокруг положения равновесия и при отсутствии соприкосновения со второй балкой (рис. 4). Кроме этого, получено явление полной синхронизации, т.е. фазовой синхронизации и синхронизации сигналов балок.

Для пакета из двух геометрически нелинейных балок получен модифицированный сценарий Фейгенбаума перехода из гармонических колебаний в хаотические.



Шестая глава посвящена исследованию нелинейной динамики пластин и оболочек.

В §6.1 приведены математические модели пластин и оболочек, основанные на гипотезе Бернулли – Эйлера. Разрешающие уравнения получены как в перемещениях, так и в смешанной форме – для прогиба и функции усилий.

В §6.2 рассмотрено применение вейвлет – анализа к исследованию замкнутых цилиндрических оболочек. Для решения применяется метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях. Исследовалась динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной нагрузки и при действии полосовой знакопеременной нагрузки. Применение вейвлет – анализа и анализа старшего показателя Ляпунова позволило исследовать это явление с позиций нелинейной динамики. После потери устойчивости вейвлет анализ показывает неоднородность спектра во времени, что не наблюдается до этого.

В §6.3 рассмотрен анализ нелинейной динамики пластины произвольного очертания. Методом установления проведено исследование решения статических задач для различных типов нагрузки: равномерно распределенной и локальной. Приведены линии равных прогибов для различных типов нагрузки.



Для пластинки под действием знакопеременной нагрузки вида , построен сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

  1. Предложен метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Доказаны теоремы сходимости. На основе предложенного метода создан комплекс программ с использованием методов вариационных итераций, конечных разностей, конечных и граничных элементов, для разных типов граничных условий и видов областей.

  2. Созданы алгоритмы и комплексы программ для исследования балок математических моделей на основе гипотез Бернулли, С.П. Тимошенко, Пелеха – Шереметьева, в которых учитываются три типа нелинейности (геометрическая, физическая и конструктивная).

  3. Создан программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет – спектров с различными материнскими вейвлетами, сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модельного портретов.

  4. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода к хаотическим колебаниям. Проведен анализ и выявлен наиболее общий сценарий.

  5. Исследовано влияние относительной толщины балки на результаты решения задач статики и динамики. Выявлено, что увеличение параметра приводит к сходимости результатов для моделей, построенных на основе гипотез Бернулли – Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева – Пелеха.

  6. Изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки и замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузки.

  7. Исследовано явление синхронизации колебаний для математических моделей контактных задач для пакетов, состоящих из двух и трех балок.


Основные публикации по теме диссертации:

  1   2


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница