Конкурс исследовательских проектов, выполненных школьниками при научном консультировании


II. Основная часть. Золотое сечение и гармония форм



страница2/7
Дата08.03.2020
Размер483 Kb.
1   2   3   4   5   6   7

II. Основная часть.

Золотое сечение и гармония форм.

2.1 Понятие золотого сечения


В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a:b=c:d. (4) 
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

  • на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

  • на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.



Определение.

« Золотым сечением» называют такое деление отрезка на неравные части ,при котором длина меньшей части относится к длине большей части как длина большей части к длине всего отрезка .[4] (Рисунок 1).





Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции а:b=b:с или с:b=b:а

Число, равное соответствующим отношениям, называют коэффициентом «золотого сечения» и обозначают буквой φ ,φ = 0,6



Задача 1.Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки (Рисунок 2).



Рис. 2. Деление отрезка по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется отрезком с точкой А. На отрезке AC от точки С откладывается отрезок, равный ВС, заканчивающийся точкой D. На отрезке AB от точки А откладываем отрезок АЕ, равный отрезку AD. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью

AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. (4)



Таким образом, мы рассмотрели понятие золотого сечения и способы деления отрезка по золотому сечению. [4]

Золотой треугольник
Рис. 3. Золотой треугольник

Золотой прямоугольник

Рис. 4. Золотой прямоугольник

Прямоугольник, у которого отношение длины к ширине приблизительно равно числу φ, называется «золотым». Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами.



1. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и в (где а >в) отрезать квадрат со стороной в, то получим прямоугольник со сторонами в и а-в, который тоже золотой. Продолжая этот процесс, мы каждый раз будем получать прямоугольник меньших размеров, но опять золотой. [5]

2. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется «золотой спиралью» Французский учёный Пьер Вариньон (1654-1722) назвал эту спиралью логарифмической, Логарифмическая спираль (Рис 5) единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. [5,8]

Спираль Архимеда


Рис. 5. Спираль Архимеда
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Спирали распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали (Рисунок 5). Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. [8]

Числа Фибоначчи
Рис.6. Фибоначчи
С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Рис.6 ) После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи". А сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. (3) Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое среднее или золотая пропорция. В алгебре это число обозначается греческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

Анализ данных показал, что ряд Фибоначчи подчиняется закону золотого сечения. [5]

Таким образом, я рассмотрела понятие золотого сечения, которое просматривается не только в отношении отрезков, но и в треугольнике и спирали. Теперь подробнее остановлюсь на истории изучения золотого сечения.

История Золотого сечения
С давних пор ученые занимались поисками гармонии и совершенства. Одним из таких вопросов был деление отрезка таким образом, чтобы отношение частей было совершенным. Задолго до нашей эры, в различных точках мира, разные ученые, независимо друг от друга, находили это отношение, и у всех это отношение было одним и тем же. И сейчас мы с вами найдем такое деление отрезка, таким способом, каким его нашел знаменитый ученый Пифагор.( Рис.9), [7].
I. Построим пятиугольник.

И с помощью пятиугольника мы найдем это совершенное отношение.



Построим две диагонали пятиугольника, как показано на рисунке.



Рис.7. Пятиугольник


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница