Комплексные числа



Скачать 39.64 Kb.
Pdf просмотр
Дата29.08.2019
Размер39.64 Kb.

Комплексные числа.
Комплексные числа были введены в связи с тем, чтобы расширить имеющуюся систему действительных чисел. Известно, что действительных чисел недостаточно, чтобы решить любое, например, квадратное уравнение. Так уравнение 𝑥
2
+ 1 = 0 не имеет решений среди вещественных чисел. Комплексных чисел окажется достаточно для того, чтобы любой многочлен с вещественным коэффициентом имел хотя бы один корень.
Определение. Под комплексным числом понимают выражение 𝑧 = 𝑎 +
𝑖𝑏, где a и b– действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: 𝑖
2
= −1; 𝑖 = √−1.
Действительные числа x и y соответственно называют действительной и мнимой частями числа z, и обозначают, Rez=a – действительная часть, Imz=b
– мнимая часть.
Определение. Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число |𝑧| = √𝑎
2
+ 𝑏
2
Определение. Сопряженным числом 𝑧̅ к числу 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 называют комплексное число 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏.
Определение. Два комплексных числа 𝑧
1
= 𝑎
1
+ 𝑖𝑏 и 𝑧
2
= 𝑎
2
+ 𝑖𝑏
2
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. 𝑎
1
=
𝑎
2
, 𝑏
1
= 𝑏
2
Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Пусть даны два комплексных числ𝑧
1
= 𝑎
1
+ 𝑖𝑏 а и𝑧
2
= 𝑎
2
+ 𝑖𝑏
2
, тогда сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующим образом:
1.
𝑧
1
± 𝑧
2
= (𝑎
1
± 𝑎
2
) + 𝑖(𝑏
1
± 𝑏
2
);
2.
𝑧
1
∙ 𝑧
2
= (𝑎
1
∙ 𝑎
2
− 𝑏
1
∙ 𝑏
2
) + 𝑖(𝑎
1
∙ 𝑏
2
+ 𝑎
2
∙ 𝑏
1
);
𝑧 ∙ 𝑧̅ = 𝑥
2
+ 𝑦
2
;
3.
𝑧
1
𝑧
2
=
𝑧
1
∙𝑧
2
̅̅̅
𝑧
1
∙𝑧
2
=
𝑎
1
∙𝑎+𝑏
1
∙𝑏
2
𝑎
2 2
+𝑏
2 2
+ 𝑖
𝑎∙𝑏
1
−𝑎∙𝑏
2
𝑎+𝑏
2 2
, 𝑧
2
≠ 0.
Геометрическое представление комплексного числа
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование.
Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел.
Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее.
Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости,
Всякому комплексному числу 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 на комплексной плоскости xoy
соответствует точка с координатами А(x;y): ox – действительная ось, oy – мнимая ось, o – начало координат, ОА=|z|=r. (рис.1)
рис.1
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Из геометрических соображений видно, что 𝑎 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑏 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
Определение. Тригонометрической формой комплексного числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 является
𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑), где значение аргумента 𝜑, удовлетворяющее условию −𝜋 < 𝜑 ≤
𝜋 и 𝑡𝑔𝜑 =
𝑏
𝑎
, |
𝑧| = √𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑟 - модуль комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа.
Определение. Показательной формой комплексного числа
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, имеющего тригонометрическую форму 𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑), где значение аргумента 𝜑, удовлетворяющего условию −𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋 и 𝑡𝑔𝜑 =
𝑏
𝑎
, |
𝑧| = √𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑟 - модуль комплексного числа, то 𝑧 = |𝑧|𝑒
𝑖𝜑
Образцы выполнения.
Даны комплексные числа 𝑧
1
= 4 + 4𝑖, 𝑧
2
= −3 − 5𝑖. Найти:
1.
3𝑧
1
− 7𝑧
2
= 3(4 + 4𝑖) − 7(−3 − 5𝑖) = 12 + 12𝑖 + 21𝑖 + 35𝑖 = 33 + 47𝑖
2.
𝑧
1
∙ 𝑧
2
= (4 + 4𝑖)(−3 − 5𝑖) = −12 − 12𝑖 − 20𝑖 − 20𝑖
2
= 8 − 32𝑖
3.
𝑧
1
𝑧
2
=
4+4𝑖
−3−5𝑖
=
(4+4𝑖)(−3+5𝑖)
(−3−5𝑖)(−3+5𝑖)
=
−12−12𝑖+20𝑖+20𝑖
2 9+9
= −
16 9
+
4 9
𝑖
4. Тригонометрическая форма числа
𝑧
1
:
|𝑧
1
| = √4 2
+ 4 2
= 4√2, 𝑡𝑔𝜑 = 1, 𝜑 =
𝜋
4
,
𝑧
1
= 4√2 (𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜋
4
)
5. Показательная запись комплексного числа
𝑧
1
:
𝑧
1
= 4√2𝑒
𝑖
𝜋
4 6. Возвести
𝑧
1
в степень n=16: 𝑧
1 16
= 32 8
(𝑐𝑜𝑠4𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛4𝜋) = 32 8
7. Извлечь корень из
𝑧
1
, степень n=5:
√𝑧
1 5
= √32 5
(𝑐𝑜𝑠
𝜋
4 + 2𝜋𝑘
5
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜋
4 + 2𝜋𝑘
5
) =
= 2 (𝑐𝑜𝑠
𝜋
4 + 2𝜋𝑘
5
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜋
4 + 2𝜋𝑘
5
) , 𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4 8. Изобразить комплексные числа
𝑧
1
и
𝑧
2
на комплексной плоскости xoy


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница