Кинематика Раздел Кинематика. Способы задания движения. Скорость точки. Ускорение точки




Скачать 261.51 Kb.
страница1/3
Дата13.07.2016
Размер261.51 Kb.
  1   2   3



Кинематика

Раздел 1. Кинематика. Способы задания движения. Скорость точки. Ускорение точки.
Кинематика –

раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела. Соответственно изучение делят на кинематику точки или кинематику твердого тела.

Движение в механике

механическое движение, т.е. изменение положения тел в пространстве с течением времени.

Способы задания движения точки:

1) естественный;

2) координатный;

3) векторный.

Закон движения тела –

это зависимость положения тела в пространстве от времени.

Траектория движения точки

геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета (непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении).

Естественный способ:

указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image273.gif – закон движения точки. При прямолинейном движении: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image275.gif.

Дуговая координата –

расстояние, отложенное по траектории движения точки от начала отсчета (НО).

Начало отсчета –

неподвижная точка на траектории, намеченная произвольно, в полном направлении от  которой отсчитываются значения   http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image277.gif дуговой координаты;  в другом - отрицательные http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image279.gif.

Радиус кривизны

расстояние по нормали к траектории в данной точке от местоположения данной точки на траектории до центра ее кривизны (ЦК) в данной точке траектории.

Кривизна  траектории  в  данной точке – величина  обратная  радиусу  кривизны, http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image281.gif.

Вектор кривизныhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image283.gif.

Длина пути

расстояние, пройденное точкой по траектории от одного положения на ней до другого.

График движения точки –

график зависимости ее дуговой координаты http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image285.gifот времени http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image287.gif.

График пути

путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, представляет собой сумму абсолютных значений элементарных перемещений за этот промежуток времени, т.е. линия этого графика непрерывно поднимается вверх независимо от направления движения.

Координатный способ:

 положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image289.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image291.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image293.gif.

Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном видеhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image295.gif (для плоскости).

Векторный способ:

 положение точки определяется ее радиус-вектором http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image297.gif, проведенным из какого-либо центра.

http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image299.gif

Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, называется годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора. Связь между координатным и векторным способами: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image301.gif, где http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image303.gif –орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью.

модуль http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image305.gif, направляющие косинусы: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image307.gif и т.д.

Переход от координатного способа к естественномуhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image309.gif.

Скорость движения точки истинная мгновенная –

векторная  величина http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image311.gif, характеризующая быстроту и направление движения точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image313.gif – первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени); http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image315.gif. Проекции скорости: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image317.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image319.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image321.gif. Модуль скорости: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image323.gif, направляющие косинусы: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image325.gif и т.д.

Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным. При естественном способе: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image327.gif – модуль скорости, вектор скорости: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image329.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image331.gif– орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории. Если v>0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот.

Движение в полярной системе координат:

 http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image333.gif – полярный радиус, http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image335.gif – угол. Проекции скорости на радиальное направление http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image337.gif, поперечное направление http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image339.gif, модуль скорости http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image341.gif;  http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image343.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image345.gif. Для определения алгебраической величины скорости точки по графику движения в любой момент времени следует провести касательную к графику движения в соответствующей точке, определить угол http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image347.gifнаклона этой касательной к оси и определить скорость http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image349.gif.

Ускорение точки истинное мгновенное –

векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля скорости и направления движения точки. http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image351.gif, [м/сек2]. Проекции ускорения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image353.gif и т.д. Модуль ускорения:http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image355.gif,  направляющие косинусы: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image357.gif, и т.д.



http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image359.gif

При задании движения в полярных координатах:

проекции ускорения на радиальное направление http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image361.gif, поперечное направление http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image363.gif, модуль ускорения http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image365.gif.

При естественном способе задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image367.gif. Модуль нормального ускорения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image369.gif,   http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image371.gif – радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории (http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image373.gifк касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Нормальное ускорение в данный момент времени может быть равно нулю http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image375.gif в том случае, когда в данный момент скорость точки обращается в нуль (точка меняет направление движения), или, когда движущаяся точка находится в точке перегиба своей траектории http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image377.gif.

Модуль касательного ускорения http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image379.gif, направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движении направление касательного ускорения и скорости совпадают, при замедленном – противоположно. http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image381.gif. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. его проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости плоской кривойбинормаль – http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image373.gifк главной нормали и касательной). Направление ускорения определяется углом http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image383.gif между вектором http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image385.gif и главной нормалью http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image387.gif.

Частные случаи движения точки:

1) Прямолинейное движение: радиус кривизны http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image389.gif (бесконечно большой), отсюда http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image391.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image393.gif..

2) Равномерное криволинейное движение: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image395.gif, отсюда http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image397.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image399.gif. Ускорение появляется только за счет изменения направления скорости. Закон движения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image401.gif, при http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image403.gif,  http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image405.gif.

3) Равномерное прямолинейное движение: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image407.gif. Единственное движение, где http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image409.gif.

4) Равнопеременное криволинейное движение: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image411.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image413.gif,  http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image415.gif.

При равноускоренном движении знаки у http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image417.gif и http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image419.gif одинаковы, при равнозамедленном – разные.



Простейшие движения твердого тела:

поступательное и вращение вокруг неподвижной оси, плоскопараллельное (плоское), сферическое и общий случай движения твёрдого тела.

Поступательное движение тела –

такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращательное движение тела –

такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Уравнение (закон) вращательного движения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image421.gif – угол поворота тела в радианах. (http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image423.gif).

Угол поворота (угловая координата) –

двугранный угол, образованный полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна  P из которых неподвижна, а другая Q вращается вокруг оси вместе с телом. В одном направлении вокруг оси отсчитываются положительные значения угла http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image425.gif, в другом - отрицательные.

Угловая скорость:

 http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image427.gif, [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поворота.

Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против часовой стрелки. "n"– число оборотов в мин. [об/мин],  http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image429.gif,  http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image431.gif.

Угловое ускорение тела:

 http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image433.gif, [рад/с2]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.

Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращениеhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image435.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image437.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image439.gif,

2) Равнопеременное вращение: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image441.gif;  http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image443.gif, здесь начальный угол http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image445.gif.

http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image447.gif

Скорости и ускорения точек вращающегося тела. http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image449.gif – скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image451.gif, где (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.

Формулы Эйлера: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image453.gif,

http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image455.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image457.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image459.gif – проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной (окружной) скорости: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image461.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image463.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image465.gif. Если ось вращения совпадает с осью z, то http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image467.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image469.gif. Ускорение: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image471.gif.

Вращательное ускорение:

http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image473.gif, модуль вращательного ускорения http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image475.gif, направлено по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости.

Центростремительное (осестремительное) ускорение:

 http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image477.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image479.gif, направлено по радиусу к оси (центру) вращения. Модуль полного ускорения: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image481.gif. Угол, между векторами полного и центростремительного ускорений: http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image483.gif. Проекции ускорения точек тела вращающегося вокруг оси http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image485.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image487.gif , http://www.teoretmeh.ru/termin.files/image489.gifhttp://www.teoretmeh.ru/termin.files/image491.gif.

  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница